北京市西城区2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试卷 （解析版）

北京市西城区2024-2025学年度第一学期期末试卷

七年级数学

1.本试卷共6页，共两部分，四道大题，26道小题.其中第一大题至第三大题为

必做题，满分100分.第四大题为选做题，满分10分，计入总分，但卷面总分不

超过100分.考试时间100分钟.

注意2.在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号.

事项3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.

4.在答题卡上，选择题、作图题用25铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作

答.

5.考试结束，请将考试材料一并交回.

第一部分选择题

一、选择题（共16分，每题2分）

第1〜8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1.-7的绝对值是（）

rr11

A.—7B.7C.—D.

77

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了绝对值，绝对值是数轴上表示一个数的点到原点的距离，正数的绝对值是它本身、负

数的绝对值是它的相反数、0的绝对值是0.-7是一个负数，它的绝对值是它的相反数7.

【详解】解：根据绝对值的定义可知：卜7|=7.

故选：B.

2.国家能源局等多部门发布关于大力实施可再生能源替代行动的指导意见，提出了2025年全国可再生能

源消费量达到1100000000吨标煤以上等系列目标.将1100000000用科学记数法表示应为（）

A.HxlO8B.l.lxlO8C.l.lxlO9D.l.lxlO10

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为axlO",其中14时＜10,〃为整

数，解题的关键是要正确确定。的值以及〃的值.

根据科学记数法的定义解题即可.

［详解］解：1100000000=1.1X109

故选：c.

3.如图，点A,8在数轴上表示的数分别是a,b.若a,匕互为相反数，且A3=6,则。的值为

()

AB

―1---------------------------i---------►

ah

A.-3B.3C.-6D.6

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、相反数、二元一次方程组的解法.根据数轴上点A,3之间

的距离为6和。，匕互为相反数，可列关于a,匕二元一次方程组，解方程组可以求出a的值.

【详解】■,AB=6,

:.b-a=6,

a,b互为相反数，

:.a+b=Q,

b-a=6

解方程组《

a+b=0

a=-3

可得：＜

b=3

a的值为—3.

故选：A.

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查的是长方体的展开图，解决本题的关键是根据长方体的表面展开图的特征进行判断即

可.

【详解】解：A选项：两个底面在展开图的同一侧，折叠后左面缺一个面，故A选项不符合题意；

B选项：两个底面在展开图的同一侧，另一个底面的位置缺一个面，故B选项不符合题意；

C选项：展开图可以折叠成一个完整的长方体，故C选项符合题意；

D选项：展开图的右面缺一个底面，故D选项不符合题意.

故选：C.

5.下列计算正确的是（）

A.2a+5b=7abB.6x3—2x=4x2

C.xy2+3xy2=4-xy2D.9ab—8ab=l

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查合并同类项，解题的关键是掌握：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项;

合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变.据此判断即可.

【详解】解：A.2a与56不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；

B.6V与-2x不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；

C.xy~+3xy2=4xy2,故此选项符合题意；

D.9ab-3ab=ab^l,故此选项不符合题意.

故选：C.

6.一个角的补角比它大50。，则这个角的度数为（）

A.130°B.115°C.70°D.65°

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了补角的定义，设这个角为a,根据题意列出方程1800-1=50°,求解即可.

【详解】解：设这个角为a,

根据题意得，180°—6Z—a=50°,

解得a=65°,

故选：D.

7.下列问题中的两个量成反比例关系的是()

A.每天阅读半小时，阅读的总时长与天数B.50米短跑测试，跑步的平均速度与时间

C.圆柱的底面积一定，圆柱的体积与高D.长方形的周长一定，长方形相邻两边的长

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查成反比例关系的意义和辨别，熟练掌握两种相关联的变量，一种量变化，另一种量也随着

变化，如果这两种量的乘积一定，那么这两种量就叫做成反比例的量，它们之间的关系叫做反比例关系.根

据成反比例关系的意义对选项逐一分析判断即可.

【详解】解：A、每天阅读半小时，阅读的总时长与天数成正比例关系，故此选项不符合题意；

B、50米短跑测试，跑步的平均速度与时间成反比例关系，故此选项符合题意；

C、圆柱的底面积一定，圆柱的体积与高成正比例关系，故此选项不符合题意；

D、长方形的周长一定，长方形相邻两边的长不成比例关系，故此选项不符合题意；

故选：B.

8.对任意两个有理数a,b如下运算：a*b=\a+b-ab\.有下列四个结论：

©3*(-2)=5；@a*0=a；@a*b=b*a；④若a*2=》*2,则。=〃.

其中所有正确结论的序号是()

A.①②B.③C.①③D.③④

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了有理数的混合运算，绝对值，理解新定义运算的运算方法是解题的关键.

根据新定义运算逐项计算判断即可.

【详解】解：­.-3*(-2)=|3+(-2)-3x(-2)|=7,

.■.①错误；

a*0=|a+0-CFh|=时，

②错误；

a*b-\a+b-ab\,b*a-\a+b-at^,

:.a*b=b*a,

③正确；

a*2=\a+2-2a\=\2-a\,b*2=\b+2-2^=\2-l^

若a*2=》*2,

则。=人或a+Z?=4,

④错误；

...正确结论的序号是③；

故选：B.

第二部分非选择题

二、填空题（共16分，每题2分）

9.检测某种零件的质量，将超过标准长度的毫米数记为正数.抽查4个零件的长度记录如下表所示，其中

长度最接近标准长度的零件的编号是号.

零件编号1234

长度/mm-0.15+0.08-0.04+0.19

【答案】3

【解析】

【分析】本题考查了绝对值的意义，解决本题的关键求出各数的绝对值.

根据正数和负数的实际意义求得各数的绝对值后选取绝对值最小的数即可.

【详解】解：各数的绝对值分别为0.15,0.08,0.04,0.19,

则绝对值最小的数是0.04,

即最接近标准长度的是三号.

故答案为：3.

10.如图，已知点尸与直线/,用适当的语句表述图中点P与直线/的关系：

【答案】点P在直线/外

【解析】

【分析】本题考查点和直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线

外.根据点与直线的位置关系可得答案.

【详解】解：由图知，点尸在直线/外，

故答案为：点尸在直线/外.

11.写出一个次数是4的单项式，这个单项式可以是（写出一个即可）.

【答案】%4（答案不唯一）

【解析】

【分析】此题主要考查了单项式，直接利用单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，进而得出

答案.

【详解】解：根据题意可得，这个单项式可以为：尤4（答案不唯一）.

故答案为：X4（答案不唯一）.

12.若x=3是关于x的方程4x+左=6%的解，则％的值为.

【答案】6

【解析】

【分析】本题考查一元一次方程的解，将x=3代入方程4x+左=6x,得到关于上的一元一次方程并求解即

可.

【详解】解：将无=3代入方程4x+左=6x,得12+左=18,

解得左=6.

故答案为：6.

13.如图，ZAOB=US°,ZCOD=28°,ZCOD=2ZDOB,则/AOC的度数为°

【答案】76

【解析】

【分析】本题考查了角的计算，先根据ZCOD=2ZDOB求出ZBOD的度数，然后根据

ZAOC=ZAOB-ZCOD-ZBOD计算即可.

【详解】解：：NCOD=28°,NCOD=2ZDOB,

ZBOD=-ZCOD=14°,

2

又NAO6=n8°,

ZAOC=ZAOB-Z.COD-ZBOD=76°,

故答案为:76.

14.如图，边长相等的小正方形组成一组有规律的图案，其中部分小正方形涂有阴影.按照这样的规律，

第w〃个图案中m涂有阴影的小正s方形的个m数为（用含n的式子表示）.

第1个第2个第3个

【答案】3〃+2

【解析】

【分析】本题考查了图形变化的规律及列代数式，能根据所给图形发现涂有阴影的小正方形个数依次增加

3是解题的关键.

根据所给图形，依次求出图形中涂有阴影的小正方形的个数，发现规律即可解决问题.

【详解】解：由所给图形可知，

第1个图案中涂有阴影的小正方形的个数为：5=1x3+2；

第2个图案中涂有阴影的小正方形的个数为：8=2x3+2；

第3个图案中涂有阴影小正方形的个数为：11=3x3+2；

所以第九个图案中涂有阴影的小正方形的个数为（3〃+2）个.

故答案为：3〃+2,3（〃+1）.

15.在一次劳动课上，有35名同学在甲处劳动，有21名同学在乙处劳动.现在另调25人也去这两处劳

动，使得在甲处劳动的人数是在乙处劳动的人数的2倍，应调往甲处多少人？如果设调往甲处x人，那么

依题意可列方程为.

【答案】35+x=2（21+25-x）

【解析】

【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出

的条件，找出合适的等量关系列出方程.

设调往甲处x人，根据另调25人也去这两处劳动，得出调往乙处的人数是（25-%）人，由甲处劳动的人数

是在乙处劳动的人数的2倍，可得出方程即可解答.

【详解】解：设调往甲处了人，那么调往乙处的人数是（25-%）人,

由题意得：35+x=2(21+25—%),

故答案为：35+x=2(21+25—x).

16.如图1,“幻圆”的八个“圆圈”中的数分别是1,2,3,4,5,6,7,8,大圆上、小圆上以及大圆

的两条直径上的四个数的和都等于18.将—3,-2,-1，0,1,2,3,4这八个数分别填入图2的“幻

圆”的八个“圆圈”中，使大圆上、小圆上以及大圆的两条直径上的四个数的和都相等，其中—1,1,4

已填入如图所示的位置.

(1)图2中％,y表示的这两个数的和为；

(2)将尤，y表示的数以及剩余的三个数填入图2中(填出一种即可)，从上往下依次为,一,

【答案】①.-3②.3③.2④.-2

【解析】

【分析】本题考查了有理数的加减运算，根据题意，图2中大圆，小圆的数字之和为2,每一横线，每一竖

线的数字之和也是2即可得到结果.

【详解】解：(1)V-3-2-14-0+1+2+3+4=4,且8个数分成一个大圆，一个小圆,

每个圆中的4个数之和为2,

4+l+x+y=2,

x+y=-3,

故答案为：-3,

(2)图2中的填写的数字，从上往下依次为3,2,-2(答案不唯一).

图2

故答案为：3,2,-2(答案不唯一).

三、解答题(共68分，第17题19分，第18〜19题，每题6分，第20题12分，第21题7

分，第22题5分，第23题6分，第24题7分)

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17.计算：

(1)6-(-5)+(-18)；

(2)(―4"；x(—0.75)；

⑶(叫出+再,

(4)-14+^-X23+(-3)2.

【答案】(1)-7

(2)21

(3)-4

(4)10

【解析】

【分析】本题考查了有理数的乘方和四则混合运算，掌握运算法则是解题的关键.

(1)根据去括号法则去掉括号，再从左到右依次计算；

(2)将除法转换为乘法；

(3)根据乘法的分配律进行计算；

(4)先算乘方，再算乘法，最后算加减.

小问1详解】

6-(-5)+(—18)

=6+5-18

=—7.

小问2详解】

(-4)+gx(-0.75)

=4x7x3

4

=21.

【小问3详解】

=-7-9+12

=-4.

【小问4详解】

-14+-X23+（-3）2

4

=-l+-x8+9

4

=10.

18.先化简，再求值：冲+（2取一3y2）-2（冲一力，其中％=—2,y=1.

【答案】xy—y2；——

【解析】

【分析】本题考查了整式加减的化简与求值，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键.根据整式加减的

运算法则化简，再将％=—2,y代入到化简后的式子计算即可.

【详解】解：孙+（2孙一3y2）一2（孙一力

二町+2xy-3y之一2xy+2y2

当x=—2,y=’时，

2

19.如图，已知线段。，b（〃</?）,点A,M.

ab

•・

AM

(1)使用直尺和圆规，完成以下作图(保留作图痕迹)；

①作直线AM；

②在射线AM上作线段AB,使AB=2b—a；

③作线段BC,使点A是线段的中点.

(2)若a=1.5cm,Z>=2.5cm,贝U(1)中线段的长为cm.

【答案】(1)见解析(2)7

【解析】

【分析】本题考查作图-复杂作图，直线，射线，线段等知识.

(1)①作直线AM；

②以A为圆心，线段人长为半径画弧，在A右边交直线AM于E,以E为圆心，线段人长为半径画弧,‘

在E右边交直线40于。，以。为圆心，线段。长为半径画弧，在。左边交直线40于此时线段

AB=2b—a；

③以A为圆心，线段4B长为半径画弧，在A左边交直线40于C，此时点A是线段的中点.

(2)求出A3=3.5cm,再根据线段中点的定义求出即可.

【小问1详解】

解：图形如图所示；

ab

IIII

［小问2详解］

C\A］EB\JDM

解：由题意AB=2b-a=3.5(cm),

:点A是BC的中点，

BC=2AB=7(cm).

故答案为：7.

20.解下列方程：

(1)7%—5=3(x—2)；

4+3%〜x-2

(2)---=2+---

53

【答案】（1）x=--

4

（2）x=2

【解析】

【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键.

（1）先去括号，再将方程移项合并，将尤系数化为1,即可求出解；

（2）方程去分母，去括号，移项合并，将尤系数化为1,即可求出解.

【小问1详解】

解：7x-5=3（x-2）,

去括号，得7%—5=3%—6,

移项，得7%-3x=5-6,

合并同类项，得4%=—1,

系数化为1,得X=—

4

【小问2详解】

4+3%^-2

解：-----=2+-------,

53

去分母，得3（4+3x）=30+5（x—2）,

去括号，得12+9x=30+5x—10,

移项，得9x—5x=30—10—12,

合并同类项，得4x=8,

系数化为1,得x=2.

21.甲、乙、丙、丁四位志愿者参加某公益组织举办的义卖活动，负责帆布袋、冰箱贴、徽章三款商品的

售卖.下表记录了他们售出商品的数量和总销售额的部分信息.

志愿者帆布袋/个冰箱贴/个徽章/个总销售额/元

甲3000600

乙1870465

丙21211538

T12443

(1)直接写出帆布袋、冰箱贴、徽章的单价；

(2)如果丁售出的徽章数量比他售出的冰箱贴数量的3倍还多1个，那么丁售出冰箱贴和徽章各多少个？

【答案】(1)帆布袋、冰箱贴、徽章的单价分别是20元，15元，8元

(2)丁售出5个冰箱贴，16个徽章

【解析】

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键.

(1)利用帆布袋的单价=志愿者甲的总销售额+志愿者甲销售帆布袋的数量，可求出帆布袋的单价，设冰箱

贴的单价为尤元，利用总销售额=销售单价义销售数量，结合志愿者乙售出商品的数量和总销售额，可列出

关于x的一元一次方程，设徽章的单价为y元，利用总销售额=销售单价X销售数量，结合志愿者乙和志愿

者丙售出商品的数量和总销售额，可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论；

(2)设丁售出机个冰箱贴，则有(3m+1)个徽章，根据“丁的总销售额”，可列出关于m的一元一次方

程，解之即可得出结论.

小问1详解】

解：帆布袋的单价为600+30=20(元).

设冰箱贴的单价为x元，根据题意得：

20xl8+7x=465,

解得：尤=15；

设徽章的单价为y元，根据题意得：

20x21+2x15+11^=538,

解得：y=8.

答：帆布袋的单价为20元，冰箱贴的单价为15元，徽章的单价为8元；

【小问2详解】

解：设丁售出机个冰箱贴，则有(3m+1)个徽章，根据题意得：

20xl2+15m+8(3m+l)=443,

解得：m=5.

所以，z?=3m+l=3x5+1=16

答：丁售出5个冰箱贴，16个徽章.

22.学校机器人社团计划开展自制机器人比赛，场地是长为500cm,宽为300cm的长方形，现需要设计

赛道和比赛方案.如图1,小明在场地长为500cm的一条边上截取线段A3，以为一边在场地内部画

了一个小长方形，设计了一个宽都为xcm的“u”形赛道（阴影部分），并制定了比赛方案.他将小长方

形在场地内部的三条线段的和叫作赛道的内圈长.例如，图1中赛道的内圈长为线段AZ）,DC,CB的

和.

图1图2

（1）用含x的式子表示：图1中，。。的长为cm,赛道的内圈长为cm；

（2）小明想到可以调整“U”形赛道的开口方向，如图2,他在场地长为300cm的边上截取线段

EF,且ME=NR=ycm.他以所为一边在场地内部画了一个小长方形，设计了一个宽都为jem的

“U”形赛道.

①请在图2中补全小明设计的赛道图形；

②对于图2的这种设计，在图2和图1两种赛道的内圈长相同的前提下，如果这两种赛道宽度的差在

-3030cm范围内，那么可以直接使用之前制定的比赛方案，否则需要对比赛方案作出调整.判断使用

图2的设计时，是否需要调整小明之前制定的比赛方案，并说明理由.

【答案】（1）（500—2x）,（1100-4x）

（2）①见解析；②需要调整比赛方案，理由见解析

【解析】

【分析】本题考查了作图的应用与设计.

（I）根据线段的和差求解；

（2）①根据图1作图；

②先计算新图中的赛道长，再求出两个赛道的宽度差，再求解.

【小问1详解】

解：图1中：DC的长为（500—2x）cm,

赛道的内圈长为：（500—2x）+2（300—x）=（1100—4x）cm,

故答案为：（500-2x）,（1100-4x）;

【小问2详解】

解：①小明设计的赛道图形如下图所示：

②需要调整小明之前制定的比赛方案；

理由：赛到长为：2(500—y)+(300—2y)=1300—4》,

由题意得：1300-4^=1100-4%,

y-x=50,

,；50不一3030cm范围内，

...需要调整小明之前制定的比赛方案.

23.如图，数轴上点A,O,3分别表示数-8,0,5.动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿

数轴正方向运动；同时动点。从点8出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，并在经过点。

后以每秒2个单位长度的速度继续沿数轴负方向运动；当点尸到达点。时，P,。两点都停止运动.设点

P运动的时间为r秒.

AOB

-9-8-7-6-5-4-3-2-10~1""2~34~5

(1)当『=5时，PQ=；当点P与点。重合时，t=；

(2)当点。在点P左侧，且尸。=1时，t=，点。表示的数是；

(3)当PQ—PO=1时，求r的值.

【答案】(1)3；6；

(3)4或一

4

【解析】

【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是用含f的代数式表示P,。表示的数.

(1)当f=5时，P运动到表示—8+5=—3的点，。运动到5—5=0的点，可得。。=卜3—0|=3；当

，＞5时，。表示的数为—2。—5)=10—2/,P表示的数为—8+乙故10—2f=—8+小解得/=6；

(2)点。在点尸左侧，。表示的数为10-2，，P表示的数为—8+r,即得(—8+。—(10—2/)=1,解得

198

t=—,从而求出点。表示的数是-§；

(3)当0W.W5时，PQ=5—/—(―8+/)=—2/+13,PO=0—(―8+f)=8—/,可得

(-2z+13)-(8-?)=l,解得/=4；当5<M8时，P2=|-8+?-(10-2z)|=|3/-18|,

27

PO=0—(―8+r)=8T,故在―叫―(8T)=1,解得/=^或/=4.5(舍去).

【小问1详解】

解：当方=5时，P运动到表示—8+5=—3的点，。运动到5—5=0的点，

APg=|-3-0|=3;

当方>5时，。表示的数为—2。—5)=10—2方,尸表示的数为—8+/,

•••点尸与点。重合时，10—2f=—8+八

解得t=6；

故答案为:3,6；

【小问2详解】

解：点。在点尸左侧，。表示的数为10-2f,P表示的数为—8+九

VPQ=1,

.•.(-8+r)-(10-2r)=l,

解得f=二19，

3

198

此时10—2f=10—2x?=—2,

33

Q

...点。表示的数是-§；

故答案为：—，—；

33

【小问3详解】

解：当04/<5时，尸表示的数为—8+/,。表示的数为5—人

PQ=5—/—8+/)=—2/+13,PO=0—(―8+/)=8—/,

PQ-PO=1,

.1.(-2/+13)-(8-r)=l,

解得f=4；

当5</W8时，P表示的数为—8+r,。表示的数为10-2/,

：.PQ=\-8+t-(10-2z)|=|3Z-18|,PO=0_(-8+f)=8T,

PQ-PO=1,

|3r-18|-(8-r)=l,

27

解得f=?或/=4.5(舍去)，

4

27

综上所述，/的值为4或一.

4

24.已知直线脑V,从一副三角尺中任取一个，将其某一个锐角的顶点放置在直线上，并记为点4

该锐角的两边分别记为射线A3,射线AC,且字母A,B,C按顺时针方向排列(射线AB,AC不与直

线MV重合).作射线的＞平分NM4B，射线AE平分NM4c.

图I图2

(1)如图1,若NB4C=45°,NM4D=45°,则NM4E=°；

(2)如图2,若NZME=120。，且/加4。与NC4E互余，求NN4E的度数；

(3)将三角尺绕点A旋转，使得射线AD,AE都在直线的下方，直接写出的度数的所有可

能值.

【答案】(1)22.5

(2)15°

(3)75°,67.5°,60°

【解析】

【分析】(1)先证明ZBAD=ZMAD=45°,ZCAE=ZNAE,再求解

Z.CAN=180°-45°-45°-45°=45°,再进一步求解即可；

(2)设：ZBAD=ZMAD=x°,ZCAE=ZNAE=y°,可得x+y=9。①，结合94£=120。，可

得x—y=60②，再进一步求解即可;

(3)如图，由(1)可设：ZBAD=ZMAD=x°,NCAE=NNAE=y0,可得

ZZME=180°-(x+y)°,ZEAB=y°-180°+2x°,分当NC4B=45。时，当NC4B=30。时，当

NC4B=60°时，再进一步求解即可.

【小问1详解】

解：•••射线平分NM4B，射线AE平分NN4C,ZM4D=45°.

AZBAD=ZMAD=45°,ZCAE=ZNAE,

VABAC=45°,

：.NC42V=18O°—45°—45°—45。=45°,

ZCAE=ZNAE=22.5°；

【小问2详解】

解：由(1)可设：ZBAD=AMAD=jf,ZCAE=ZNAE=y0,

：NMAD与/C4E互余，

：.x+y-900,

ZDAE=120°,

：.ZDAN+ZNAE=120°,

180—x+y=120,

x-y=60@,

由①②得：\x="75；

y=15

：.ZNAE=15°；

【小问3详解】

解：如图，由(1)可设：ZBAD=ZMAD=x°,ZCAE=ZNAE=y°,

AZZME=180°-(x+y)°,

ZE47V=180°—2x。，

：.ZEAB=y0-180°+2x°,

当NC48=45°时，

/.y+y-180+2x=45,

x+y=112.5,

ZZME=180°-(x+y)o=67.5°,

当NC45=30°时，

y+y-180+2%=30,

x+y=105,

ZDAE=180。-(x+y)。=75。，

当NC4B=60°时，

y+y-180+2%=60,

x+y=120,

ZDAE=180。-(x+y)。=60。，

当旋转到另外符合条件的位置时，如图,

同理可得：ND4E的可能值为67.5。或75°或60。.

综上：/D4E的可能值为67.5。或75。或60。.

【点睛】本题考查的是角平分线的定义，角的和差运算，一元一次方程组的应用，互余的含义，熟练的利

用方程解题是关键.

四、选做题（共10分，第25题4分，第26题6分）

25.进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统.约定逢三进一就是三进制，用数字0,1，2记

数，三进制数可以转换为十进制数.例如，三进制数1212记为（1212、，由

321

（1212）3=lx3+2x3+1X3+2x3°=50,可得（12121是十进制数50.

(1)将(201，转换为十进制数，结果是；

(2)对于一个用三进制表示的正整数，有下列两个结论：

①如果这个数的末位数字能被2整除，那么这个数就能被2整除；

②如果这个数的所有数位上的数字之和能被2整除，那么这个数就能被2整除.

从中选出正确结论，并以四位的三进制数(标1为例，说明该结论正确的道理.

【答案】(1)19

(2)②，理由见解析

【解析】

【分析】本题考查了有理数的混合运算，能熟练将三进制转化为十进制是解答本题的关键.

(1)根据题意将三进制转化为十进制即可；

(2)根据题意判断出②正确，将四位的三进制数化为十进制的数，经过变形即可验证②.

【小问1详解】

解：(20%=2x3?+1x3°=19,

故答案为：19；

【小问2详解】

解：②是正确结论，理由见下：

(abed)=33tz+32Z?+31c+3°=27a+9b+3c+d=2(13a+4-b+c)+(a+b+c+d),

2(13a+4〃+c)能被2整除，

如果a+b+c+d能被2整除，那么2(13a+46+c)+(a+b+c+d)就能被2整除，即(嬴力工能被2

整除.

26.数轴上点A,B,M分别表示数a,b,m,如果a,b,m满足a—m=m—b,则称点A,B互为关于

点M的“平衡点”.例如，当a=—5,b=7,加=1时，点A,8互为关于点〃的''平衡点”.

已知数轴上点尸表示数—3.

(1)点A,B分别表示数a,b,且点A,8互为关于点P的“平衡点”，则3=(用含a的式子

表示)；

(2)点。，C,。分别表示数0,1,6.

对点C做如下操作：点C关于点P的“平衡点”为点G,点G关于点O的“平衡点”为点c2，点关

于点尸的“平衡点”为点C3,点C3关于点。的“平衡点”为点。4,按此方式继续操作，得到点G，

＜，…,＜(〃为正整数).

对点。做如下操作：将点。沿数轴负方向移动左(左＞o)个单位长度得到点A,点2关于点P的“平衡

点”为点3，将点2沿数轴负方向移动k个单位长度得到点。3，点A关于点P的“平衡点”为点

。4,按此方式继续操作，得到点。5，。6,…，Dn.

①求线段C3D3的长；

②是否存在正整数小对于任意的正数%,都有线段的长为667?如果存在，直接写出”的值；如果

不存在，说明理由.

【答案】(1)-0-6

(2)①1；②存在，〃=224

【解析】

【分析】本题考查数字规律，数轴两点之间的距离，一元一次方程的应用；

(1)根据“平衡点”的定义得至U。―(—3)=—3—6,整理化简即可；

(2)①根据操作步骤得到C3表示的数为-13,2表示的数为-12,再求线段G3的长即可；

②根据操作步骤得到当"为偶数时，C,表示的数为：3"+1,当场为奇数时，C”表示的数为：—3〃—4,

D”是6—k,-12+左，-12,6四个数循环，根据规律分情况讨论，分别计算即可.