北师大版八年级数学常见题型专练：勾股定理之“赵爽弦图”模型（原卷版+解析）

重难点03勾股定理之“赵爽弦图”模型

【知识梳理】

“赵爽弦图”的面积关系是中考常考的一种题型，一般出现在选择题、填空题中，如果能够记住面积之间

的关系，那么做此类题时一定非常高效.

【考点剖析】

一.选择题（共2小题）

1.如图1是我国古代著名的'‘赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若AC=6,BC

=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这

个风车的外围周长是（）

2.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理.在如图所示的“赵爽弦图”中，△ABH,ABCG,△

F和△步£是四个全等的直角三角形，四边形A2CZ）,所G8都是正方形.若AB=10,EF=2,则AH

的长为（）

A.6&B.872C.6D.8

二.填空题（共4小题）

3.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是

由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a,较短

直角边长为6,若（a+b）2=107,大正方形的面积为57,则小正方形的边长为.

4.如图，由四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”.尸中，NAEB=90°,AF=4,AB=5.四边

形EFGH的面积是

5.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形E的边长为7cm,

则图中五个正方形A、B、C、D、E的面积和为cm2.

6.图（1）是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.在RtAABC

中，若直角边AC=6cw,BC=5cm,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图

（2）所示的“数学风车”.则①图中小正方形的面积为②若给这个“数学风车”的外围

装饰彩带，则需要彩带的长度至少是.

（图1）（图2）

三.解答题（共3小题）

7.如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形.

（1）如图①弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a.较短的直角

边为6,斜边长为c,可以验证勾股定理；

(2)如图②，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABC。，正方形EFGH,正方形MNKT

的面积分别为Si、S2、S3,若Sl+S2+S3=16,则S2=

①

8.我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等

面积法，这是一种重要的数学方法.请你用等面积法来探究下列两个问题：

(1)如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，请你用它来验证勾股定理；

(2)如图2,在RtaABC中，ZACB=90°,CD是AB边上的高，AC=4,BC=3,求CD的长度.

9.图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成，面积为74的正方

形.在Rt^ABC中，若直角边8C=5,将四个直角三角形中边长为5的直角边分别向外延长一倍，得到

图乙所示的“数学风车”.

(1)这个风车至少需要绕着中心旋转才能和本身重合；

(2)求这个风车的外围周长(图乙中的实线).

图甲图乙

【过关检测】

选择题（共10小题）

1.（2022春•东城区期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形

围成的.若AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示

的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）

图⑴

A.72B.52C.80D.76

2.（2021秋•邳州市期中）公元3世纪切，中国古代书学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”.如

图，勾。=3,弦c=5,则小正方形ABC。的面积为（）

C

A.1B.3C.4D.9

3.（2021春•长垣市期末）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形，如

图，其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4,则小正方形与大正方形的面积比是（）

B.1：4C.1：5D.1：10

4.（2022秋•青秀区校级期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，

如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形

较长直角边长为外较短直角边长为b,若Q+b）2=21,小正方形的面积为5,则大正方形的面积为（）

A.12B.13C.14D.15

5.（2022秋•南岸区校级期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，根据《周髀算经》的记载，勾股定理

的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”.三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》勾

股定理作出了详细注释，并给出了另外一种证明.下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）

ba

A.B.ab

ba

C.D.ba

6.（2022秋•平湖市期末）在认识了勾股定理的赵爽弦图后，一位同学尝试将5个全等的小正方形嵌入长方

形ABCD内部，其中点N,P,。分别在长方形的边AS,BC,C。和上，若AB=7,BC=8,则

小正方形的边长为（）

A.V5B.V6c.VVD.272

7.（2022秋•邺城县校级月考）如图，阴影部分是两个正方形，图中还有一个直角三角形和一个空白的正方

形，阴影部分的面积为25cm1,直角三角形①中较长的直角边长12cm,则直角三角形①的面积是（）

A.16cm之B.25c,扇C.30c7/D.169C/M2

8.（2021秋•鹿城区校级期中）如图，中，ZACB=90°,ZABC=30°,分别以AC,BC,AB为

一边在△ABC外面做三个正方形，记三个正方形的面积依次为Si,S2,S3,已知Si=4,则8为（）

Si

A.8B.16C.4A/3D.4A/3+4

9.（2022秋•温州期末）如图，大正方形ABC。由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成.点E为

小正方形的顶点，延长CE交AD于点F,连结BF交小正方形的一边于点G,若4BCF为等腰三角形,

AG=5,则小正方形的面积为（

C.20D.25

10.（2022春•南海区期末）赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小

正方形（如图所示）.某次课后服务拓展学习上，小将绘制了一幅赵爽弦图，她将EG延长交。于点/.记

小正方形EFGH的面积为51,大正方形ABCD的面积为若DI=2,CI=1,S2=5SI,则GI的值是

（）

A.2/IP-B.C.遮D.3

520v84

填空题（共7小题）

11.（2022秋•锡山区期中）如图，在△ABC中，NC=90°,AC=5,3c=12.以A8为一边在△ABC的同

侧作正方形A8OE,则图中阴影部分的面积为.

12.（2022秋•德惠市期末）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形EFG8拼

成的大正方形A8CD若AE=5,AB=13,则中间小正方形EFGH的面积是

13.（2022秋•建邺区校级期中）将四个全等的直角三角形分别拼成正方形（如图1,2）,边长分别为6和

2.若以一个直角三角形的两条直角边为边向外作正方形（如图3）,其面积分别为Si,则S1-S2

14.（2021秋•龙泉驿区校级月考）如图，是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正

方形，若大正方形的面积是17,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边分别为a,b,则（a+b）2

的值是.

15.（2022秋•金台区校级月考）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三

角形围成的.若AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图

所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是.

16.（2022秋•工业园区校级期中）如图，在弦图中，正方形A8CD的对角线AC与正方形的对角线

EH交于点、K,对角线AC交正方形EFH/于G,1/两点，记△GK”面积为Si,ZV/C面积为S2,若AE=

12,CZ）=4/10>则S1+S2的值为.

17.(2022秋•宁德期中)我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等

的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，如图，若拼成的大正方形为正方形A8CD,面积为

9,中间的小正方形为正方形面积为2,连接AC,交BG于点、P,交DE于点、M,①

AEM,@SAAFP-SACGP=—,③DH+HC=4,④HC=2+叵,以上说法正确的是.(填写序

22

18.(2021秋•凤翔县期中)如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股

定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于。2,另一种是等于四个直角三角形与一个小正

方形的面积之和，即/abX4+(b-a)2,从而得到等式c2=/abX4+(b-a)2,化简便得结论/+用=

c2.这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”.现在，请你用

“双求法”解决下面两个问题

(1)如图2,在Rt^ABC中，ZACB=90°,CD是AB边上的高，AC=3,BC=4,求CD的长度.

(2)如图3,在△ABC中，AO是BC边上的高，AB=4,AC=5,BC=6,设BO=x,求x的值.

如图2

如图3

19.（2021春•利辛县期中）如图，小明用4个图1中的矩形组成图2,其中四边形ABC。，EFGH,MNPQ

都是正方形，证明：a2+b2=c2.

重难点03勾股定理之“赵爽弦图”模型

【知识梳理】

“赵爽弦图”的面积关系是中考常考的一种题型，一般出现在选择题、填空题中，如果能够

记住面积之间的关系，那么做此类题时一定非常高效.

二1「以二

【考点剖析】

一.选择题（共2小题）

1.如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若

AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2

所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）

【分析】由题意/ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，

从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个.

【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x,则

X2=122+52=169

所以尤=13

所以“数学风车”的周长是：（13+6）X4=76.

故选：A.

【点评】本题是勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题.

2.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理.在如图所示的“赵爽弦图”中，

△BCG,ACDF和△D4E是四个全等的直角三角形，四边形ABCD,EFGH都是正方

形.若4B=1O,EF=2,则A”的长为（）

-------------------

A.6&B.8A/2C.6D.8

【分析】由题意得，设AH=DE=CF=BG=x,贝1|4£=。尸=。3=38=2+羽再根据勾

股定理即可求解.

【解答】解：*/AABH,△BCG,Z\CQF和是四个全等的直角三角形，四边形ABCD,

EFG”都是正方形.4B=10,EF=2,

.•.设AH=OE=CF=8G=x,则AE=DF=CG=BH=2+x,

在RtAAHB中，AB2^AH2+BH2,

即1。2=/+(x+2)2,

整理得，x2+2x-48=0,

解得：尤1=6,X2=-8(不符合题意，舍去)，

：.AH^6.

故选：C.

【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的性质，根据题意得到线段的

关系，然后根据勾股定理列出方程并求解是解题关键.

二.填空题(共4小题)

3.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的

“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角

三角形较长直角边长为。，较短直角边长为b,若(a+6)2=107,大正方形的面积为57,

则小正方形的边长为

【分析】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积，利

用已知(a+b)2=107,大正方形的面积为57,可以得出直角三角形的面积，进而求出答

案.

【解答】解：如图所示：

V(a+()2=107,

：.a2+2ab+b2=101,

:大正方形的面积为57,

；.2M=107-57=50,

...小正方形的面积为57-50=7,

故小正方形的边长为我.

【点评】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式,

本题属于基础题型.

4.如图，由四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图尸中，ZAFB=90°,AF=4,

AB=5.四边形EFG8的面积是1.

【分析】四边形EFG/1的面积=四边形ABC。的面积-四个全等直角三角形的面积.直

角三角形的面积需利用勾股定理求出直角边后解答.

【解答】解：因为AB=5,所以S正方形ABCD=5X5=25.

心△ABF中，AF=4,AB=5,

贝UB77=^52-42=3,

所以SRIAABF=AX3X4^6,

2

四个直角三角形的面积为：6X4=24,

四边形EPG8的面积是25-24=1.

故答案为1

【点评】此题主要考查了勾股定理，以及正方形面积、三角形面积，难易程度适中.

5.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形E

的边长为7c7",则图中五个正方形A、B、C、D、E的面积和为98cm2.

【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于

最大正方形的面积.

【解答】解：设正方形A、B、C、。的边长分别是a、b、c、d,

Dd

7cmE

xL__

则正方形A的面积=/,正方形2的面积=必，正方形C的面积=°2,正方形。的面积

—d2,

又,.,/+庐=$,c2+d2=y2,

正方形A、B、C、D、E的面积和=(cr+b2)+(c2+^2)+72=X2+J2+72=72+72=98(cm2).

即正方形A,B,C,D、E的面积的和为98am.

故答案为：98.

【点评】本题考查了勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.熟练

运用勾股定理进行面积的转换是解题关键.

6.图(1)是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.在

□△A8C中，若直角边AC=6c机，BC=5cm,将四个直角三角形中边长为6的直角边分

别向外延长一倍,得到图(2)所示的“数学风车”.则①图中小正方形的面积为1cm2；

②若给这个“数学风车”的外围装饰彩带，则需要彩带的长度至少是16cm.

【分析】①表示出小正方形的边长，然后利用正方形的面积公式列式计算即可得解;

②利用勾股定理求出外围直角三角形的斜边，然后根据周长公式列式计算即可得解.

【解答】解：图①，小正方形的面积=(6-5)2=1劭2；

图②，外围直角三角形的斜边=任耳/=13。，3

周长=4X(13+6)=4X19=76cm,

即，需要彩带的长度至少是76cm.

故答案为：1cm2,76cm.

【点评】本题考查了勾股定理的证明，读懂题目信息并准确识图是解题的关键.

三.解答题(共3小题)

7.如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形.

(1)如图①弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为

a.较短的直角边为b,斜边长为c,可以验证勾股定理；

(2)如图②，将八个全等的直角三角形紧密地拼接,记图中正方形ABCD,正方形EFG”，

正方形MNKT的面积分别为Si、S2、S3,若SI+S2+S3=16,贝IS2=—.

—3—

,c.IX

S4s

B

①②

【分析】(1)由图可知，小正方形的面积可直用边长乘边长，为Q-b)2,也可用大正

方形的面积减去四个全等的直角三角形的面积，为c2-4X、ab，以此即可证明；

(2)设正方形MNKT的面积为x,八个全等的直角三角形的面积均为y,可得Si=8y+x,

S2=4y+x,S3=x,则Si+S2+S3=12y+3x=16,根据整体思想即可求出52=4伊+_¥=/_.

【解答】⑴证明：s小正方形=(a-b)2=a2-2ab+b2，

另一方面=c2-4X-^-ab=c2-2ab*

即a2-2QZ?+廿-2ab,

则a2+b2=c2；

(2)解：设正方形MNKT的面积为羽八个全等的直角三角形的面积均为y,

V5I+S2+S3=16,

Si=Sy+x,S2=4y+x,S3=x，

Si+S2+S3=12y+3x=16,

3

；.S2=4y+x=¥~.

故答案为：」旦.

3

【点评】本题主要考查勾股定理的证明，利用数形结合的思想来答题是解题关键.

8.我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，

这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法.请你用等面积法来探究下列两个问

题:

(1)如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，请你用它来验证勾股定

理；

(2)如图2,在Rt^ABC中，ZACB=90°,。是AB边上的高，AC=4,BC=3,求

CD的长度.

【分析】(1)根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方

形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式.

(2)先由勾股定理求出AB的长，再根据三角形的面积求的长即可.

【解答】解：(1)•••大正方形面积为c?,直角三角形面积为上“6,小正方形面积为：(6

2

-a)之，

.•・。2=4义工曲+(〃-b)2=2ab+a2-2ab+b2

2

即c2=a2+b2.

(2)在Rt/XABC中,

VZACB=90°,

，由勾股定理，得：AB=~

9：CDLAB,

：.S^ABC=^AC'BC^^-AB'CD

22

CD=.

【点评】本题考查了学生对勾股定理的证明和对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和

运用，属于基本题型.

9.图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成，面

积为74的正方形.在RtAABC中，若直角边BC=5,将四个直角三角形中边长为5的

直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”.

(1)这个风车至少需要绕着中心旋转90°才能和本身重合;

(2)求这个风车的外围周长(图乙中的实线).

【分析】(1)根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点作答.

(2)在直角△ABC中，已知BC,AB,根据勾股定理即可计算AC的长，AC=7,故求得

8D即可计算风车的外围周长.

【解答】解：(1)：V36004-4=90°,

该图形绕中心至少旋转90度后能和原来的图案互相重合.

已知BC=5,AB=V74,

由勾股定理得：AC=7,CO=7+5=12,

.1.BD=iy52+122=i3,

•风车的外围周长为4(BD+AD)=4(13+5)=72.

【点评】本题考查了旋转角的定义及勾股定理在直角三角形中的运用，考查了全等三角

形对应边相等的性质，本题中正确的计算3。是解题的关键.

【过关检测】

选择题(共10小题)

1.(2022春•东城区期末)如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全

等的直角三角形围成的.若AC=6,8C=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别

向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是()

B,

图⑴图⑵

A.72B.52C.80D.76

【分析】由题意NAC8为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，

从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个.

【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x,则

尤2=122+52=169

所以尤=13

所以“数学风车”的周长是：（13+6）X4=76.

故选：D.

【点评】本题是勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题.

2.（2021秋•邳州市期中）公元3世纪切，中国古代书学家赵爽注《周髀算经》时，创造了

“赵爽弦图”.如图，勾。=3,弦c=5,则小正方形ABC。的面积为（）

B.3C.4D.9

【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式可求解.

【解答】解：如图，

\•勾。=3,弦c=5,

•,.股6=4$2_§2=4,

...小正方形的边长=4-3=1,

...小正方形的面积=12=1,

故选：A.

【点评】本题运用了勾股定理和正方形的面积公式，关键是运用了数形结合的数学思想.

3.（2021春•长垣市期末）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成

的大正方形，如图，其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4,则小正方形与大正方

形的面积比是（）

B.1：4C.1：5D.1：10

【分析】根据题意求得小正方形的边长，根据勾股定理求出大正方形的边长，由正方形

的面积公式即可得出结果.

【解答】解：•••直角三角形的两条直角边的长分别是2和4,

小正方形的边长为2,

根据勾股定理得：大正方形的边长=五互中=2炳,

,小正方形面积=22=_£=_1

,,大正方形面积（2V5）2205，

故选：C.

【点评】本题考查了勾股定理和正方形的面积.本题是用数形结合来证明勾股定理，锻

炼了同学们的数形结合的思想方法.

4.（2022秋•青秀区校级期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古

代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成

的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为。，较短直角边长为b,若（0+8）2=21,

小正方形的面积为5,则大正方形的面积为（）

A.12B.13C.14D.15

【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a-b,根据勾股定理以及题目给出的已知

数据即可求出大正方形的边长.

【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a-b=烟,

（。+6）2=（。-6）2+4<?/?=5+4ab=21,

ab—4,

，大正方形的面积=4义工仍+5=13,

2

故选：B.

【点评】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，

本题属于基础题型.

5.（2022秋•南岸区校级期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，根据《周髀算经》的

记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”.三国时

代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一种证明.下面四

幅图中，不能证明勾股定理的是()

ba

【分析】根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写

出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理.

【解答】解：4大正方形的面积为：，2；

也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：labX4+(b-a)2=

2

a2+Z>2,

.•./+庐=02,故A选项能证明勾股定理；

B、大正方形的面积为：(a+b)2；

也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：labXA+^^ab+c2,

2

(a+b)2=2ab+c2,

：.a1+b2=c1,故8选项能证明勾股定理；

C、梯形的面积为：—(a+6)(a+b)=—(cr+b^)+ab；

22

也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：工滴X2+LC2=

22

ab+—c2,

2

.'.ab+—c2=-(次+庐)+岫,

22

.-.aW=c2,故C选项能证明勾股定理；

D、大正方形的面积为：(a+b)2；

也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2+b2+2ab,

(a+b)2=a2+b2+2ab,

二。选项不能证明勾股定理.

故选：D.

【点评】本题考查勾股定理的证明方法，熟练掌握内弦图、外弦图是解题关键.

6.(2022秋•平湖市期末)在认识了勾股定理的赵爽弦图后，一位同学尝试将5个全等的小

正方形嵌入长方形A8CD内部，其中点M,N,P,0分别在长方形的边AB,BC,C。和

AD上，若42=7,BC=8,则小正方形的边长为（）

A.脏B.V6C.41D.2&

【分析】将每个小正方形按照如图所示分成四个全等的直角三角形和一个正方形，设每

个直角三角形的较大的直角边为x,较小的直角边为》根据AB=7,BC=8,列出二元

一次方程组，求出x和》再求出边长即可.

【解答】解：将每个小正方形按照如图所示分成四个全等的直角三角形和一个正方形，

设每个直角三角形的较大的直角边为x,较小的直角边为y,

VAB=7,BC=8,

.f3x+y=7

-i3x+2y=8，

解得，

小正方形的边长为422+。=遥.

故选A.

【点评】本题考查了勾股定理与二元一次方程组的应用，根据题意运用好赵爽弦图是解

题关键.

7.（2022秋•邺城县校级月考）如图，阴影部分是两个正方形，图中还有一个直角三角形和

一个空白的正方形，阴影部分的面积为253?,直角三角形①中较长的直角边长12cm,

则直角三角形①的面积是（）

A.16cm2B.25cm2C.30cm2D.169cm2

【分析】两个阴影正方形的面积和等于直角三角形另一未知边的平方.利用勾股定理即

可求出.

【解答】解：：两个阴影正方形的面积和等于直角三角形另一未知边的平方，

直角三角形①中较短的直角边长5cm,

:直角三角形①中较长的直角边长12cm,

直角三角形①的面积=^X5X12=30（C，

故选：C.

【点评】考查了正方形的面积以及勾股定理的应用.推知“正方形的面积和等于直角三

角形另一未知边的平方”是解题的难点.

8.（2021秋•鹿城区校级期中）如图，RdABC中，ZACB=90°,ZABC=3O°,分别以

AC,BC,4B为一边在△ABC外面做三个正方形，记三个正方形的面积依次为Si,&,

S3,已知Si=4,则8为（）

§3

A.8B.16C.4"/3D.45/3+4

【分析】根据正方形的面积公式结合勾股定理就可发现大正方形的面积是两个小正方形

的面积和，即可得出答案.

【解答】解：：SI=AC2=4,

；.AC=2,

•.•&△ABC中，ZACB=90°,ZABC=30°,

：.AB=2AC=4,

.•.S3=AB2=16,

故选：B.

【点评】本题考查了勾股定理和正方形面积的应用，注意：分别以直角三角形的边作相

同的图形，则两个小图形的面积等于大图形的面积.

9.（2022秋•温州期末）如图，大正方形A8CZ）由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼

接而成.点£为小正方形的顶点，延长CE交于点凡连结交小正方形的一边于

点G,若ABC才为等腰三角形，AG=5,则小正方形的面积为（）

A.15B.16C.20D.25

【分析】由等腰三角形性质可得出BF=CF,利用HL可证得RtAABF^RtADCF(HL),

得出AB=AD=2AF,根据余角的性质得出NBAG=NA3F,进而推出CF=BF=2AG=

10,利用面积法求得BN=8,再运用勾股定理求得CN=4,即可求得答案.

【解答】解：设小正方形为如图，

•/四边形ABCD和四边形EHMN是正方形，

：.AB=AD=CD,ZBAD=90°,CF//AG,

:△■BCP为等腰三角形，>BF>AB=BC,CF>CD=BC,

：.BF=CF,

在RtAABF和RtADCF中，

[AB=CD

IBK<F)

RtAABF^RtADCF(HL),

：.ZAFB=ZCFD,AF=DF,

：.AB=AD=2AF,

\'CF//AG,

:.NCFD=NDAG,

：./AFB=ZDAG,

：.AG=FG,

VZAFB+ZABF=90°,ZDAG+ZBAG^90°,

：.ZBAG^ZABF,

C.AG^BG,

：.CF=BF=2AG=10,

在Rt/VIB产中，AB2+AF2^BF2,

：.(2AF)2+AF2=102,

:.AF=2炳,

：.AB=BC=4[S,

"：S^BCF=—BC'AB=-^CF'BN,

22

._BC-AB_475X4A/5_

••DDIANr---------O0,

CF10

•••CN=7BC2-BN2=q(4代)2-8、=4'

•；AABM咨ABCN,

：.BM=CN=4,

:.MN=BN-BM=8-4=4,

；・S正方形EHMN=(MN)2=42=16,

故选：B.

Ar-

【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定

与性质，平行线的性质，勾股定理，三角形面积等，利用面积法求得BN是解题的关键.

10.（2022春•南沼区期末）赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，

中间是一个小正方形（如图所示）.某次课后服务拓展学习上，小涛绘制了一幅赵爽弦图，

她将EG延长交CD于点/.记小正方形EFGH的面积为Si,大正方形ABCD的面积为

S2,若D/=2,C7=l,S2=5SI,则G/的值是（）

【分析】如图，连接。G,先由已知条件分别求得S2=cr>2=32=9,S1=9,小正方形边

长为再由勾股定理得：设

EG=JEH2+HG2=3V10_；AE=BF=CG=DH=X,

55

则4尸=26=。//=。£=尤+至氏，由勾股定理得：CD2=£）H2+CH2,即9=f+（x+生叵）

“三线合一”得/DGH=/HGE=45。进而得NOG/=90°最后由勾股定理得：GI=

而于=百乎?即得选项A.

Vbb

【解答】解：如图，连接。G,

..•赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形，

:.AE=BF=CG=DH,AF=BG=CH=DE,CH±DE,

,:Dl=2,C/=l,

：.CD=DI+CI=2+1=3,

:大正方形ABCD的面积为S2,

.•.52=5=32=9,

又：小正方形EFGH的面积为Si,S2=5SI,

；.si=a,

5

EF=FG=GH=HE=,

5

;将EG延长交CD于点/,

；./HGE=45°,在Rtz\EHG中，由勾股定理得：/滔=宜野,

设AE=BF=CG=DH=x,则AF=BG=CH=DE=,

5

在RtZkCDH中，由勾股定理得：。2=。刊2+c82,即9=/+（x+旦工殳）2,

5

解得：Xl=3应，X2=-EE（不合题意，舍去），

55

即AE=BF=CG=DH=x=^^~,

5

：.DH=EH=^^,

5

CH垂直平分ED,

：.DG=EG=,

5

；.NDGH=NHGE=45°,

.•.ZDGE=45°+45°=90°,

：./DGI=90°,

在RtADG/中，由勾股定理得：G/=VDI2-DG2=V22-2=^-,

V55

故选：A.

【点评】本题是一道勾股定理的综合题，主要考查了全等三角形的性质，正方形的性质,

勾股定理，线段的中垂线判定与性质，等腰三角形的“三线合一”，二次根式计算与化简，

关键是巧添辅助线构等腰直角三角形，顺利实现求得答案.

二.填空题（共7小题）

11.（2022秋•锡山区期中）如图，在△ABC中，ZC=90°,AC=5,BC=12.以AB为一

边在△ABC的同侧作正方形则图中阴影部分的面积为139.

【分析】首先利用勾股定理求得边的长度，然后由三角形的面积公式和正方形的面积

公式解答.

【解答】解：如图，Rt/XABC中，ZACB=90°,BC=12,AC=5,

由勾股定理知，AB=4AC2+BC2=13.

故S阴影=S正方形ABDE-S/^ABC—132--X5X12=169-30=139.

2

故答案为：139.

【点评】本题主要考查了勾股定理，求阴影部分的面积时，采用了“分割法”.

12.（2022秋•德惠市期末）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小

正方形EFG8拼成的大正方形A2CD若AE=5,AB=13,则中间小正方形EPG8的面

【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出小正方形的边长，即可得到小正方形的

面积.

【解答】解：：AE=5,AB=13,

：.BF=AE=5,

在Rt^AB尸中，AF=iyAB2+Bjr2=i2,

小正方形的边长斯=12-5=7,

...小正方形EFGH的面积为7X7=49.

故答案为：49.

【点评】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

13.（2022秋•建邺区校级期中）将四个全等的直角三角形分别拼成正方形（如图1,2）,边

长分别为6和2.若以一个直角三角形的两条直角边为边向外作正方形（如图3）,其面

积分别为Si,&.则分-S2=12.

【分析】首先设四个全等的直角三角形的两条直角边分别为a,b（a>6）,然后根据图1、

2列出关于a、b的方程组即可求解.

【解答】解：设四个全等的直角三角形的两条直角边分别为a,b（a>b）,

根据图1得：。+6=6,

根据图2得：a-b=2,

a=4

联立解得:

b=2

，Si=16,

S2=4,

则SI-Si=12.

故答案为：12.

【点评】此题主要考查了勾股定理证明的应用，解题的关键是正确理解图形中隐含的数

量关系.

14.（2021秋•龙泉驿区校级月考）如图，是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形

拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是17,小正方形的面积是1,直角三角形的两

直角边分别为a,b,则（a+b）2的值是33.

【分析】先由拼图列出关于面积的方程，再由勾股定理列一个直角三角形三边的方程并

整理，最后把值整体代入和平方的展开式（a+b）2=a2+b2+2ab即可得出答案.

【解答】解：：由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，大

正方形的面积是17,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边分别为a,b,

1+4X—ab=172ab=16

••・2，即？2，

222

la+b=（V17）Ia2+b2=“

（a+b）2—a1+b1+2ab—l,7+16—33.

故答案为：33.

【点评】这是一道勾股定理综合题，主要考查了拼图列方程，发现各个图形的面积和a,

b的关系是解题关键.

15.（2022秋•金台区校级月考）如图是我国古代著名的'‘赵爽弦图”的示意图，它是由四个

全等的直角三角形围成的.若AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分

别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是76.

【分析】通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长.

【解答】解：设将AC延长到点。，连接BO,

根据题意，得CD=6X2=12,BC=5.

,：ZBCD=90°

：.BC2+CD2=BD2,即52+122=BD2

：.BD=13

：.AD+BD=6+13=19

.•.这个风车的外围周长是19X4=76.

故答案为：76.

【点评】本题考查勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题.

16.（2022秋•工业园区校级期中）如图，在弦图中，正方形ABC。的对角线AC与正方形

以7〃的对角线即交于点K,对角线AC交正方形屏7〃于G,J两点，记△GK8面积

为Si,△〃（？面积为S2,若AE=12,CD=4\/l0,则S1+S2的值为16.

【分析】由题意可得AP=C/,NAFG=NCIJ=90°,FH〃EI,即可证明△Af'G之△(:〃，

FG=IJ,再根据四边形EEF〃为正方形，得至UAGHK咨AJEK,从而得到点K为正方形

£尸印的中心，过点K作于点由勾股定理得。E=4,FH=8,