北京市通州区2024-2025学年高三年级上册期中质量检测数学试卷（解析版）

通州区2024-2025学年第一学期高三年级期中质量检测

数学试卷

2024年11月

本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作

答无效.考试结束后，请将答题卡交回.

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

1.已知集合A={X.3<X<3},集合5={X|X+1»0},则短8=()

A.{x|-1<x<3}B,{.r|-3<x<-l}

C.{x|x>-1}D.{x}x>-3}

【答案】D

【解析】

【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求解.

【详解】因为3={x|x+120}={x|尤2-1},又4={划—3<尤<3},

所以AU5={x|x>—3},

故选：D.

7

2.设复数z=3-i,则复数二在复平面内对应的点的坐标是()

1

A.(1,3)B.(-1,3)

C.(―1,—3)D.(―3,—1)

【答案】C

【解析】

【分析】利用复数的四则运算和复数对应点的特征求解即可.

【详解】因为z=3—i,所以三=之二=空二=世口=—3i—1,

iii2-1

故复数三在复平面内对应的点的坐标是(-L-3),故C正确.

1

故选：C

3.下列函数中，在(0,+8)上单调递增的是(

A./(x)=Vx+TB./(x)=2T

C./(%)=-lnxD.f(x)=x+—

x

【答案】A

【解析】

【分析】选项A和D,对函数求导，利用导数与函数单调性间的关系，即可判断选项A和D的正误，选

项B和C,根据常见函数的单调性即可求解.

【详解】对于选项A,由/(x)=Jx+l,得/>'(%)=—/〉。恒成立,则/(x)=Jx+1在(0,+8)上

单调递增，所以选项A正确，

对于选项B,因为/(x)=2r=(g)x在(0,+s)上单调递减，所以选项B错误，

对于选项C,因为/(x)=-Inx在(0,+8)上单调递减，所以选项C错误，

对于选项D,由7'(x)=x+L,得到,(x)=]—士==(x—1)。+1),当。<%<1时，

XXXX

ru)<o,当％>1时,/v)>o,

所以/Xx)=x+L在(0,1)单调递减，在(1,+8)上单调递增，故选项D错误，

X

故选：A.

4

4.已知角£终边经过点尸(一3,y),且tana=—,贝ijcosa=()

3

,3,34,4

A.--B.i-C.--D.土一

5555

【答案】A

【解析】

【分析】根据三角函数的定义，以及tantz,求得V,再求costz即可.

【详解】根据三角函数定义可得：tana=2v=—4,故可得y=-4,

-33

-333

故选：A.

5.设a,5为非零向量，贝是",+q=忖一目”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C,充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】a,5为非零向量，"@+q=忖-q”平方后展开，进而判断出结论.

【详解】a,5为非零向量，“忖+q=忖—q”展开为：

―►2-►—►—►—►2-►-►—►—►—►—►-►

a+2〃♦/?+b=〃-2a・b+b=a・b=00a1b

：^aLb”是“B+q=归_q”的充要条件.

故选：C.

【点睛】本题考查充分条件和必要条件的定义，属于基础题.

6.在VABC中，A=—,C=,]j=^2>则c=（）

A.73-1B.y/2C.2D.y/3+1

【答案】D

【解析】

【分析】利用三角形的性质得到B==,由正弦的和角公式得5也改=逅上受，再利用正弦定理，即可

6124

求解.

【详解】因为。=号，得至U八兀一：

„,771.，兀兀、010GV6+V2

Xsin——=sin(—+—)=----x—H-------x——=-------------，b=V2,

124322224

-U+L

bsinC

由正弦定理得二一所以c=

sinBsinCsinB

2

故选：D.

7.沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置.现有一个沙漏（如图）上方装有acn?的细沙，细沙从中间小

孔由上方慢慢漏下，经过ftnin时剩余的细沙量为yen?,且>=。—片"（6为常数），经过8min时，上方

还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的:，需经过的时间为（）

8

A.8minB.16minC.24minD.26min

【答案】C

【解析】

,1In2In2

【分析】依题意有aeQ*=—。，解得b=——，_,由此能得出结果.

28yv_ae

【详解】依题意有ae-鲂,即e*=工，

22

1ln2In2

两边取对数得—8b=ln—=—ln2,所以6=＜，得到='，

28y-ae

1-屿1—91

当容器中只有开始时一时，则有ae8=-a,所以e8=-,

888

两边取对数得—处/=ln'=—31n2,所以"24,

88

故选：C.

8.设函数/（x）=sin"-1j（0＞O）,已知/（不）=-1,/^x+-|j=l,则0的最小值为（

0)

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

JTJT5兀

【分析】根据条件，利用＞=sinx的性质，得到。/=一二+2匕兀温eZ和』（XO+V）=L+242兀，&eZ,

从而得到刃=2+4左水£Z,即可求解.

【详解】因为/（x）=sin［。龙一且=

71兀71

所以CDXQ-----=------F2左］兀,左］WZ,得到COXQ-.......F2Z］兀,Z］£Z①

326

又/（x（）+5］=1，则G/■~———=—+2左2兀,心£Z,得到G（x0+~）―+2A^2it,k2£Z②，

由①②得到，■|=l+2(%-%),%，％eZ,即。=2+4匕左eZ,又6y>0,所以。的最小值为2，

故选：B.

9.设集合A={(x,y)|x—yNl,a2x+y>3,x—ayK2},则()

A.对任意实数a,(2,1)eAB.对任意实数a,(2,1)^A

C.当且仅当a〉l时，(2,l)eAD.当且仅当。<0时，(2,1)eA

【答案】C

【解析】

【分析】利用。的取值，反例判断是否成立即可.

【详解】对A,若a=—2,则4={(乂丹上—”l,4x+y>3,x+2yW2},

将(2,1)代入不全部满足，此时可知(2,l)eA,故A错误；

对B,当。=2时，则A={(x,y)|x—y21,4x+y>3,x—2y<2},

将(2,1)代入全部满足，此时可知(2,l)eA,故B错误；

2—a«2

对C,若(2,l)eA,<2a2+l>3,解之可得a>l,所以C正确；

2-1>1

对D,当a=g，则A=1(x,y)|x—y2L；+y〉3,x-]<2},将(2,1)代入不全满足，

所以(2,1)0A,故D错误.

故选：C

10.已知G是VA3C的重心，过点G作一条直线与边A3,AC分别交于点E，F(点E,尸与所在边

____—.—.11,

的端点均不重合)，设AB=xAE，AC=yAF,则一+一的最小值是()

xy

4

A.1B.-C.2D.4

3

【答案】B

【解析】

【分析】由平面向量的基本定理得到无,y的等式，再用基本不等式求得最小值.

【详解】如图：

A

取5c中点。，则/=2诟，AD=-AB+-AC,

322

：E,G,尸三点共线，.•.)+2=1,即x+y=3,

33

(11)(\

111i2+3之｝（2+2）=，

——I——二一%+y)—+—

xy3Uy)3vxy)

3

当且仅当x=y=g时，取等号;

故选：B

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.函数〃x）=ln%+工的定义域是.

X-1

【答案】（o,i）U（i,y）

【解析】

【分析】利用具体函数的定义域的求法求解即可.

【详解】因为/（力=1皿+二7,

x-1

fx＞0

所以＜1z则尤＞°且xwl,

x-l^Q

故;■（x）=Inx+」-的定义域是（0,1）U（1,转）.

X-1

故答案为：（o,i）u（i,+8）.

12.已知向量己石在正方形网格中位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1,则小（万+石）=

【解析】

【分析】根据条件，得到同=2j5，M=2,且,石=T，再利用数积的定义及运算律，即可求解.

【详解】由图知，同=2j5，M=2,且。石=日，

所以万・(M+B)=值2+].5=8+2行“2xcos-=4,

13.已知等差数列{。列的首项为4,设其前〃项和为S“，且S2=10,则过点尸(〃,4)和Q(〃+2M”+D，且满

足“eN*,“21的直线的斜率是.

【答案】2

【解析】

【分析】利用等差数列的性质求解通项公式，再结合斜率公式求解即可.

【详解】设公差为d,因为§2=10,所以2x4+4=10,解得2=2,

所以%=4+2(〃-1)=2〃+2,a“+2=2〃+6,

,,士,4人、1e、r2〃+6—(2〃+2)4

故直线斜率为------£------===2.

n+2—n2

故答案为：2

2*—a,x<1,

14.设函数y(x)={

4(%一a)(x-2a),x>l.

①若a=l,则函数/(x)的零点个数有个.

②若函数/(%)有最小值，则实数a的取值范围是.

【答案】①.3②.a>\

【解析】

【分析】①，由/(£)=0来求得零点的个数.

②，对。进行分类讨论，结合二次函数的性质求得。的取值范围.

【详解】①，当"1时，小)x"

X<]

由1=0解得%=°；

X>1

由[外一1)62)3解得E或x=2.

综上所述，〃龙)的零点个数有3个.

②，当x<l时，/(x)=2=a在区间(―上单调递增，

值域为a),无最值.

当xNl时，/(x)=4(x-a)(j;-2a),

开口向上，对称轴为.=a+2jj.a,4|—tz-a—t?-2tz|=-o2,

2212人2J

3?

当x=时，/(x)^=/(1)=4(1_Q)(1_2Q)=8Q2_12〃+4,

则8/-12〃+4<-〃，8片-11。+4«0①，

]]2

/?(〃)=8〃2-11〃+4的开口向上，对称轴为。=一>—,

163

«|)=8、3)-llx|+4=|>0,则①不成立.

当x=|a>l，a>|时,/(x)mm=/[9。]=一/,

则一erW—a,cT—a=a(a—1)»0,解得<7>1.

综上所述，a>l.

故答案为：3；a>l

1,

15.已知无穷数列｛%｝满足勾=Q,a.一。：，给出下列四个结论:

①VzieN*，。“>°；

②数列｛4｝为单调递减数列;

③m“eN*，使得4=0；

④V〃GN*，均有a；4不工

2〃+2

其中正确结论的序号是

【答案】①②④

【解析】

【分析】根据a“+i=%（l—片）以及4=4即可得进而得叽=1一片<1,即可判断①②③,

a

2n

1111

利用襦E22,利用累加法求和即可判断④.

］133

［详解］由。1=a,%=%—。：=%（1—《）=5乂1=&£（0,1）,

进而可得。3=。2（1-。；）€（0，1），结合4+1=%（1一4），以此类推可得

故—=1一片<1,故0<a0+]<a〃<l,故①②正确，③错误,

an

11

由anl=a„-a：可得滔——2/1不,故

+%4（1-

、

1____i__j_12a：-a：_2-a：_l+l-a：11

-22~~2

4+1a,a一屋

n1-41

7

由于0<a；<L故1>1—进而可得〃=1—4」>〃之L1<十42故

222，n

11（11Y

—r+一=一+—-卜2,

：2一

bbn3-J

11c

因止匕=-----2~^，

g+i4

累加上百'J_____(11)

++>2(n-l),故二—^->2(77-1)=>—>2«+2,

~22~22

aaaa

<nn-\?Vn-\n-2J7°n%°n

1皿21

当〃=1时，a；=------,故禽v------故④正确,

2〃+22〃+2

故答案为：①②④

1111

【点睛】关键点点睛：了一—弄22,利用累加法求和.

uu+?

n+lnF4TZ

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

16.已知函数/(x)=2sin(兀一x)cosx,g(x)=cos^2x+-^-J.

(1)求/(x)的最小正周期及的值；

/r-i\

(2)直线x=fte0,g与函数/(x),g(x)的图象分别交于M,N两点，求的最大值.

\L2」,

【答案】(1)最小正周期为兀,

(2)5

【解析】

分析】(1)利用诱导公式化简三角函数，求解最小正周期和函数值即可.

(2)利用题意把线段长度表示为三角函数，利用三角函数的性质求解最值即可.

【小问1详解】

因为/(尤)—2sin(7i—x)cos尤=2sinxcosx=sin2x,

sing=l,/(x)的最小正周期为女=兀.

所以/

22

【小问2详解】

由题意可知，河,双两点的坐标为。,/(。)，&g⑺)，

贝1,gp\MN\=sin2z-cos[^t+~

Gi

故|MN|=sin2t-cos2t+—sinIt-(^-cos2^--sin2t)

I6

Isin2z-^cos2z

A/3而吟,

22

71兀715兀

因为1£0,—,所以2―，-

2666~

所以Gsin(2t-6]e-^-,73

71

所以|MN|在fe0,-时的最大值为班.

17.记VABC的内角A8,C的对边分别为名仇。，已知4+6?—/=—〃,，bsinC=2百sinB.

（1）求C及。；

（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使VA3C存在且唯一，求VA3C的

面积.

条件①：Z?=4；

条件②：bsinC=6；

条件③：cosB=-

2

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解

答计分.

【答案】（1）C=y,c=2#）

（2）6

【解析】

【分析】（1）利用余弦定理和正弦定理求解角度和边长即可.

（2）首先证明条件①不符合题意，选择条件②和条件③时利用余弦定理结合给定条件求解面积即可.

【小问1详解】

由4+〃—°2=_ab和余弦定理可得cosC=2士——=

2ab2

2兀

因为。为VA5C的内角，所以。£（0,兀），故。=——，

3

由6sinC=2GsinB变形得上=更，由正弦定理得c=2百

sinBsinC

【小问2详解】

选择条件①：》=4,

4_273

由正弦定理得sin8一73，解得sin6=l,

7T

因为5为VA5C的内角，所以5£(0,兀)，故5=—,

2

与。=会相互矛盾，故不存在这样的三角形，

所以我们不选择条件①，

选择条件②：5sinC=6，

因为6sinC=g>C=,所以匕x,

2

解得匕=2,由余弦定理得-上1=4"+96Z-~12,

22x〃x2

化简得a?+2〃­8=0,解得〃=2或a=—4（舍）,

所以S*=*inC="

选择条件③：cos5=-）

2

因为COS5=3，所以sin3=L.

22

因为bsinC=2君sinB，所以Z?=2,

V3a2+12-4

由余弦定理得化简得a?—6。+8=0.

2-2ax

解得〃=2或〃=4,当a=4时，VA5C是直角三角形，与题干不符，故排除，

所以Sx=>sinC=g.

18.已知S“为数列｛%｝的前〃项和，满足S“=2a“—1,neN,.数列｛d｝是等差数列，且4=4,

Z?2+。4=6.

(1)求数列伍“｝和｛〃｝的通项公式；

”为奇数，

(2)设「4佃.求数列｛。“｝的前2〃项和.

为偶数，

【答案】(1)%=2〃T,bn=n

,八4及21

(2)---1■”-+n——

33

【解析】

【分析】(1)先由数列｛/｝的前〃项和S“和通项氏的关系式求出相邻项之间的关系,

判断出数列｛4｝的类型，再利用等比数列和等差数列的通项公式即可求解；

(2)利用分组求和法及公式法进行求和即可.

【小问1详解】

解：因为S“=2a“—1,〃eN*，①

所以有q=l,Sn+i=2an+i-1.②

②一①得4+1=2a.(〃wN*).

所以数列｛凡｝成以1为首项，以2为公比的等比数列.

所以4=2")

又数列｛2｝是等差数列，且〃=4，b2+b4=6.

所以伪=1，d=1.

所以用=n.

【小问2详解】

田％为奇数，

因为"一】,“为偶数，

设数列｛qj的前2〃项和为《“，

ha

所以+02+。3+04-----2n-\+b2rl

-

=(%+%■)〃2/-1)+(a+4-----1b2n)

=20+2?+?+/"爰++2MQ〃

19.设函数/(%)=兀3一3姓+人，若函数/(%)在％=2处取得极小值8.

(1)求。/的值；

(2)求函数/(x)在［。,3］上的最大值和最小值，以及相应x的值；

(3)证明：曲线y=/(x)是中心对称图形.

【答案】(1)a=4,Z?=24.

(2)x=2,最小值为8,x=0,最大值为24.

(3)证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据极值点及极值可求。力的值；

(2)根据导数可得单调性，从而可求何时取何最值；

(3)可证曲线上任意点关于(0,24)的对称的点仍在曲线上，从而可得曲线的对称性.

【小问1详解】

f'(x)=3x2-3a,

由题意函数/(X)在x=2处取得极小值8得，

7'(2)=12-3a=0,

j(2)=8-6a+A=8,

解得a=4,b=24.

止匕时/'(%)=3兀2—12=3(%—2)(x+2),

当为<—2或x>2时，f'(x)>0,当一2cx<2时，尸(久)<0,

故x=2为/(%)的极小值点，故a=4,24满足条件.

【小问2详解】

由(1)分析列表得：

0(0,2)2(2,3)3

/'(X)-0+

/(X)24单调递减8单调递增15

所以当x=2时/(x)取得最小值为8,x=0时/(%)取得最大值为24.

【小问3详解】

曲线y=〃x)的对称中心为(0,24),证明如下：

设点P(m,力为曲线y=f{x}上任意一点，则点P(m,n)关于(0,24)的对称点为(-帆,48-〃)，

因为P(m,n)在y=/(x)图象上，

所以”="-121n+24.

又f(—in)=(-m)3-12(-m)+24=48-n.

所以点(-九48-a)也在y=/(尤)的图象上.

所以曲线y=/(x)是中心对称图形.

20.已知函数/(x)=(2x-a)lnx(aeR).

(1)当。=0时，求函数/(%)的单调区间；

(2)证明：当a=—1,曲线y=/(x)的切线不经过点(0,0)；

(3)当。＞0时，若曲线y=/(x)与直线丁=一改在区间(1,+8)上有两个不同的交点，求实数。的取值范

围.

【答案】(1)/(x)的单调递增区间为[：,+“],单调递减区间为

(2)证明见解析；(3)。〉44.

【解析】

【分析】(1)求导，利用导数研究单调性即可；

(2)将a=-1,利用导数求出切线方程，利用反证法证明即可；

X

(3)将问题转化为/(x)=—X在区间(1,+8)上有两个不同的解，即。=2%+「在区间(1,+8)上有两个不

Inx

X

同的解，设〃(x)=2尤+▲,利用导数求解即可.

mx

【小问1详解】

当。=0时，/(x)=2xlnx,/(x)的定义域为(0,+8).

f'(%)=21nx+2,

令/'(%)=21nx+2=0,解得x=~.

当X〉！时，f'(x)>0,/(X)单调递增，

e

当0<x<:时，f'(x)<0,/(x)单调递减.

e

所以/(X)的单调递增区间为单调递减区间为

【小问2详解】

当。=一1时，f(x)=(2x+l)ln无，/^)=2111.1-+2+-.

X

设曲线y=/(x)的切点为«,/«))«>0),

则切线方程为y—(27+1)In?=^2Int+：+21(x—7),

假设切线过原点，则有-(2/+l)lnt=121nt+]+2卜-/),

整理得：lnt-2t-l=0.

令g⑺=ln-2f-l,贝Ug«)」_2.

t

所以当f时，g'«)<0；当时，g'⑺>0；

所以g«)在上单调递减,在1o,g]上单调递增，

所以对任意f〉0,g(0<g=-In2-2<0,

所以方程Inf-2/-1=0无解.

综上可知，曲线y=/W在点的9/«))切线不过原点.

【小问3详解】

曲线V=/(x)与直线V=-x在区间(l,+oo)上有两个不同的交点,

等价于/(x)=-%在区间(1,+8)上有两个不同的解,

x

即(2x-a)lnx=-%,a=2x+——在区间(L+s)上有两个不同的解,

Inx

Ylnx-1(lnx+l)(21nx-l)

设h(