北师大版中考数学专项复习：解直角三角形与几何综合（压轴题）含答案及解析

解直角三角形与几何综合

典例精析

【典例1］如图，在RtAAEB中，^AEB=90°,点C在线段BE的延长线上，过点C作CDII4B,连接4D,

再过点A作4F1CD于点F；

(1)如图1,连接EF,若NB4E=30。，ND=45。，DF=6,AE=4,求线段EF的长;

(2)如图2,在线段CE上取一点H,连接2”、DH,当4H平分乙ABH=ND4H时，求证：DH=HC+

2HE.

(3)如图3,在(2)的条件下，连接ED,若4E=12,BE=4,当(ED+DF)取得最小值时，请直接写出

线段47的长.

【思路点拨】

(1)过点E作EM1AF于M,利用勾股定理可得EM=VAE2-AM2=2b，EF=VfM2+MF2=277;

(2)连接AC,过4作4W1HD^-W,则有=/.AWD=90°,可证RtAAHE=RtA4HW(HL),则HE=

HW,然后可得4、H、C、。四点共圆，则可证AaEC三△a〃D(AAS),进而问题可求证；

(3)在线段EB上截取EG=EH,延长2F交8C的延长线于M,连接4G,AC,DM,可证得△AEG三△4EH(SAS),

AAGC三△AHD(SAS),设NB4E=a,则tana=利用解直角三角形可得EM=36,再由勾股定理可得4M=

y/AE2+EM2=12V10,作点E关于。M的对称点E',连接EE',DE',EE'交。M于P,则DE=DE',由于ED+

DF=DE'+DF>EF,故当且仅当E'、D、F三点共线时，ED+。尸=EF为最小值，过点E'作E'N_LBC于

N,过点。作DK_LCM于K,应用解直角三角形即可求得答案.

【解题过程】

(1)解：过点E作EM14F于M,如图1,

D

图1

则24ME=乙EMF=90°,

vAFVCD,CD||AB,

・•・乙BAF=Z.AFD=90°,

•・•ABAE=30°,

・•・/,EAM=60°,

・•・乙AEM=30°,

•・,AE—4,

：.AM=-AE=2,

2

在RtAAEM中，EM=yjAE2-AM2=V42-22=2次,

^RtAADF中，ND=45。，DF=6,

AF=DF=6,

MF=AF-AM=6-2=4,

在中，

EF=VFM2+MF2=J(2曲)2+42=2夕，

••・线段EF的长为2e；

(2)证明：连接AC,过4作2勿1”。于W,如图2,

•••Z-AEB=90°,

・•・乙AEH=90°,

•••4”平分48”0,AE1AW1HDf

・•.AE=AW,

在Rt△AHE和Rt△AHW中，

(AH=AH

VAE=AW'

・•・Rt△AHE=RtAAHW(HL),

・•.HE=HW,

•・•CD||AB,

・••乙ABH+4BCD=180°,

•・•乙ABH=^DAH,

・•.Z,DAH+乙BCD=180°,

•・•与4BCD在DH异侧，

・・・/、H、C、。四点共圆，

・•.AACH=^ADWf

乙

•・•AE=AWfAEC=/LAWD=90°,

/.△AEC=AT4W(AAS),

EC=WD,

DH=HW+WD=HE+EC=HE+HEHC,

即。"=HC+2HE；

(3)解：如图3,在线段EB上截取EG=EH,延长AF交BC的延长线于M,连接AG,AC,DM,

贝l」CG=HC+2HE,

由(2)得DH=HC+2HE,

・•.CG=DH,

在△AEG和△ZE”中，

'EG=EH

/-AEG=AAEH=90°，

AE=AE

.*.△AEG三△AEH(SAS),

AG=AH,Z.AGC=Z.AHE,

•・•AH平分NBH。，

・•.AAHE=乙AHD,

・•.AAGC=乙4”D,

・•.△AGC三△A”O(SAS),

AC=AD,

•・•AF1CD,

・•.DF=CF,

・•.DM=CM,

设z_R4E=a,则tana=^|=^=|,

•••/-BAE+Z-MAE=Z-AME+乙MAE=90°,

••・Z-AME=Z-BAE=a,

AE1

**•—=tanM=—,

EM3

EM=3AE=3x12=36,

AM=-JAE2+EM2=V122+362=12V10,

如图4,作点E关于DM的对称点？，连接EE，，DE',EO交OM于P,

贝l]DE=DE',

ED+DF=DE'+DF>E'F,当且仅当E'、D、F三点共线时，ED+DF=EF为最小值,

过点E'作E'N_LBC于N,过点。作。K_LCM于K,

则乙4MD=ME'E=乙CE'N=乙CDK=^AME=a,

设CF=DF=x,则FM=—=3x,

CM=VCF2+FM2=Q+(3%)2=^/iQx,

一

sin^DCK=—=FM即竺3x

CDCM'2x一V10x，

n”3V10

L/i\—A.j

5

CKCF_X

cos乙DCK=—=即竺

CDCM'2xV10xf

**•C2K=—VlOx,

5

MK=CM-CK=VlOx--x=—

55

3V10

+QDK-X3

tan2a=—=-T==-=

MK4国4

~5~X

PE」c3

：•—=tan2a=一,

PM4

设PE=3y,贝1|PM=4y,

•••PE2+PM2=EM2,

；•(3y)2+(4y)2=362,

y=y（负值舍去），

：.PCEL=3cx—36=—108,PM=4.x—36=—144

5555

•'”'=2PE号

108

•・•si.nc2a=­EN；=—PE即墨七

EE'EM

5

・•・EN=—648

25

：，MN=EM-EN=36-64-8=—252

2525

・・田'=彘=吾=等

4

8641288

CN=E'N-tana=X-=

25325

288।252__108

・•.CM=CN+MN=1

2525一5

1083V1054VlU

••・FM=CM-coscz=X-------=出"CF=-FM=

51025325

・A•.LAF=AnA,M-FM=1m2\V10-1-6-2V-10=—138—V10,

2525

在RtZkAD尸中，AD=V4F2+DF2=J（嘿码2+（嘤与2=1?咨,

•・•^DAH=乙ABH=£.MAE,

・•・"AH-乙MAH=乙MAE-乙MAH,

即4DZF=^LHAE,

cosZ-DAF=cos乙HAE,

138V10

...竺=变即^^=三，

ADAH.闹AH

5

12V6W

学霸必刷

1.(2023•辽宁•中考真题)△ABC是等边三角形，点E是射线BC上的一点(不与点B,C重合)，连接AE,

在4E的左侧作等边三角形ZED,将线段EC绕点E逆时针旋转120。，得到线段EF,连接BF.交DE于点M.

图2备用图

(1)如图1,当点E为BC中点时，请直接写出线段。M与EM的数量关系；

(2)如图2.当点E在线段BC的延长线上时，请判断(1)中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程;

若不成立，请说明理由；

(3)当BC=6,CE=2时，请直接写出4M的长.

2.(22・23下•安徽•专题练习)在AABC中，乙4cB=90。，—=m,D是边BC上一点，将△ABD沿4D折叠

得至以AED,连接BE.

E

图2

(1)特例发现：如图1,当m=l,2E落在直线4C上时.

①求证：ADAC=乙EBC；

②填空：等勺值为

CE

(2)类比探究：如图2,当血中1,2E与边BC相交时，在4。上取一点G,使乙4CG=NBCE,CG交4E于点

H.探究为的值(用含小的式子表示)，并写出探究过程;

CE

(3)拓展运用：在(2)的条件下，当爪=白，。是BC的中点时，若EB•EH=6,求CG的长.

3.（2223・濮阳・一模）数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“正方形折叠”为主题开展数学活动.

【动手实践】

（1）如图（1），已知正方形纸片4BCD,数学小组将正方形纸片沿过点N的直线折叠，使点8落在正方形

48CD的内部，点2的对应点为点折痕为4E,再将纸片沿过点/的直线折叠使4D与4M重合，折痕为4F,

易知点AM、尸共线，则4及1尸=_。，EF、BE、DF三条线段的关系为「

【拓展应用】

（2）解决下面问题：

①如图（2）作FN_L4E于点N,交AM于点尸，求证：XANP三4FNE；

②如图（3）,数学小组在图（1）的基础上进行如下操作：将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为

点、N,他们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，若点N恰好落在AAEF边上，AB=3,请直

接写出此时BE的长度.

4.(22・23下•泉州•模拟预测)已知：如图1,在矩形4BCD中，AB=4,AD=6,点P是4D的中点，点F是

上的动点，连接FP并延长交CD的延长线于点M,过点P作PEJ.FM,交直线BC于点E,连接EF.

(1)求tanNPEF的值；

(2)如图2,连接EM,点Q是EM的中点.

①当N4FP=时，求PQ的长；

②点尸从A点运动到B点的过程中，求点Q经过的路径长.

5.(2023•江苏镇江・中考真题)【发现】如图1,有一张三角形纸片ABC,小宏做如下操作:

(1)取AB,4c的中点。，E,在边BC上作MN=DE；

(2)连接EM,分别过点。，N作DG1EM,NH1EM,垂足为G,H；

(3)将四边形BDGM剪下，绕点。旋转180。至四边形4DPQ的位置，将四边形CEHN剪下，绕点E旋转180。

至四边形4EST的位置；

(4)延长PQ,ST交于点尸.

小宏发现并证明了以下几个结论是正确的：

①点。，A,T在一条直线上；

②四边形FPGS是矩形；

③AFQT三4HMN；

④四边形尸「65与44BC的面积相等.

【任务1】请你对结论①进行证明.

【任务2］如图2,在四边形ABC。中，4。IIBC,尸,Q分别是48,CD的中点，连接PQ.求证：PQ=|(X£)+BC).

【任务3］如图3,有一张四边形纸ABC。，ADWBC,AD=2,BC=8,CD=9,sinADCB=£小丽分别

取48,CD的中点尸，。，在边BC上作MN=PQ,连接MQ,她仿照小宏的操作，将四边形4BCD分割、拼成

了矩形.若她拼成的矩形恰好是正方形，求BM的长.

6.（2324九年级上•江苏无锡•阶段练习）【基本图形】（1）如图1,在矩形4BCD中，CE1BD于点”，

交4。于点E.求证：^-=~

BDBC

【类比探究】（2）如图2,在四边形48CD中，乙4=乙8=90。,4。=4,BC=9,CD=7.E是边4B上的

一动点，过点C作CG1ED,交ED的延长线于点G,交4。的延长线于点尸.试探究品是否为定值?若是，请

DE

求出黑的值；若不是，请说明理由；

DE

【拓展延伸】（3）如图3,在RtAABD中，/.BAD=90°,将△ABD沿BD翻折得至CBD,点E,F分别在边

AB,AD±.,连接CF,DE.若乙4ED="FC,且生=三，则处的值为（直接写出结果）.

DE5AB------

图1图2图3

7.(21-22九年级下•辽宁盘锦•期中)如图，在矩形4BCD中，AB=3,BC=5,BE平分乙4BC交4D于点E.连

接CE,点尸是BE上一动点，过点尸作FG||CE交BC于点G.将△BFG绕点3旋转得到△BFG,

(1)如图1,连接CG',EF',求证：KBEF'-ABCG'；

(2)当点G'恰好落在直线4E上时，若BF=3,求EG'的值;

(3)如图3,连接GG',当GG，与BE交于点尸时，猜想FG与FG，的数量关系，并证明.

8.(2卜22下•沧州•二模)如图1,在一平面内，线段48=20,M,N是线段4B上两点，且4M=BN=2,

点C从点”开始向终点N运动,分别以AC,BC为边在线段4B同侧作等边AACD和等边ABCE,设AC=x.

图1图2

图3图4

(1)直接写出CD和BE位置关系:

(2)如图2,连接4E,BD,求证：AE=BD；

(3)如图3,点G,点H分别是CD,8E的中点,

①求当x为何值时，线段GH取得最小值？最小值是多少？

②当线段GH取得最小值此时，求AACE的面积;

(4)如图4,设DE的中点为P,则点P移动路径的长为

9.(23-24九年级上•吉林长春•阶段练习)如图①，在O4BCD中，乙4=60。，AB=4,4D=6,点E在边

BC上，且BE=2,动点P从点E出发，沿折线EB-BA-AD以每秒2个单位长度的速度运动.作NPEQ=60°,

EQ交边4D或边OC于点Q,连接PQ.当点Q与点C重合时，点P停止运动.设点P的运动时间为t秒.(t>0)

(1)当点P和点B重合时，线段PQ的长为；

(2)当点Q和点。重合时，求tan/PQE.

(3)如图②，当点Q在边DC上运动时，证明：PD=CQ.

(4)作点E关于直线PQ的对称点F,连接PF、QF,当四边形EPFQ和68CD重叠部分图形为轴对称四边形

时，直接写出t的值.

10.（2卜22•武汉•模拟预测）问题背景：如图（1）,在四边形ABCD中，P是BC上一点，乙4BC=乙BCD=Z.APD,

求证：4ABPFPCD；

尝试运用：如图（2）,D,E,F三点分别在等边AABC边BC,4B,4c上，AABC=乙EDF,BD=CD.已知BC=4,

设EF=%,△DEF的面积为y,求y关于x的函数关系式（不求自变量工的取值范围）；

拓展创新：如图（3）,D是等边AABC边BC上一点,连接2D,E是4。上一点，CD=2BD,^BEC=120°,

请用一个等式直接写出BE与CE的数量关系.

BD

11.(22-23•信阳•三模)综合与实践

【问题情境】

在△ABC中，AB=AC,NB4C=a，点。为BC边上一动点(不与B,C重合)，连接4D,以AD为始边顺时

针作N4DE=S(a+S=180°),DF平分N4DE.

【初步探究】

(1)如图1,DE与AC的延长线交于点E,若a=60。，0=120。，CD=2BD,则胃的值为,

CF

NCDF与NE的数量关系是.

【类比探究】

(2)如图2,DE与4C的延长线交于点E,若a=0=90。，CD=2BD,求出差的值及NCDF与NE的数量关

CF

系.

【拓展应用】

(3)如图3,DE与AC交于点E,a=0=90。，zCXD=15°,AB=6近,将△尸绕点在平面内自由旋转,

当B,A,尸三点共线时，直接写出黄的值.

12.(2324九年级上•辽宁沈阳•阶段练习)在平面直角坐标系中，已知点4(0,6),点2在线段4。上，且

AB=2BO,若点尸在x轴的正半轴上，连接BP,过点P作PQ1PB.

(1)如图1,点£是射线PQ上一点，过点E作ECLx轴，垂足为点C.

①点B的坐标.

②求证：4BOP〜4PCE；

(2)在(1)的条件下，如图2,若点。坐标为(8,0).过点/作轴，且和CE的延长线交于点D.若

点C关于直线PQ的对称点C'正好落在线段4。上.连接PC,则点尸的坐标.

(3)如图3,若4BP。=6。。,点E在直线PQ上，轴，垂足为点C.若以点E,P,C为顶点的三角

形和ABPE相似，请直接写出点E的坐标

13.(2324•全国•专题练习)(1)如图①，在矩形4BCD的4B边上取一点£,将AADE沿DE翻折，使点/

落在8C上4处，若AB=6,BC=10,求生的值；

EB

(2)如图②，在矩形48CD的8C边上取一点区将四边形ABED沿DE翻折，使点8落在。C的延长线上夕处,

若BC•CE=24,AB=6,求BE的值；

(3)如图③，在△ABC中，ABAC=45°,ADLBC,垂足为点D,AD=10,AE=6,过点£作EFl2。交

AC于点R连接DF,且满足ADFE=2AEMC,直接写出BD+的值.

14.(2023•湖北襄阳・模拟预测)几何综合：

已知：点。是ABAC边BC上一动点，作△DAEsABAC,点M、点N分另ij是边4B、AC的中点，连接MD、NE；

设有=k(常数k>0).

若k=1.如图①，当ZB4C==60。时,

①求证：三△瓦4N；

②推断：当MD_LBC时，篝

(2)类比探究:

若k#l.如图②，当MD1BC时，试写出线段。B2、EH、ON?与常数k之间一个相等关系，并证明;

(3)拓展应用:

若k#1.如图③，设乙B4C=乙04£=90。，MD1BC,当NE=4,08=2时，求常数k的值和线段ZM的

4

长度.

15.(2021下•武汉•期中)如图1,已知正方形4BCD的顶点4、B分别在y轴和x轴上，边CD交x轴的正半

轴于点E,边BC交y轴的负半轴于点F.

图1图2

(1)若点4(0,4),8(—2,0),则点。的坐标为.

(2)若点E、F分别为边C。、的中点，连接4E、DF交于点P.连CP,若PF=6,PE=2,求BC的长.

(3)如图2.M为边上一点.将AABM沿射线BC方向平移至ADCG,以AM为斜边作等腰直角△2NM,

直角顶点N恰好落在BO上，T为DG中点，连NT,若CG=2,ND=&BM,求NT的长.

16.(2223上•济南•期末)(1)【问题发现】如图1所示，AABC和AADE均为正三角形，B、D、E三点

共线.猜想线段BD、CE之间的数量关系为；乙BEC=°；

(2)【类比探究】

如图2所示，AABC和△ADE均为等腰直角三角形，ZXCS=^AED=90°,AC=BC,AE=DE,B、D、E三

点共线，线段8E、4C交于点F.止匕时，线段BD、CE之间的数量关系是什么？请写出证明过程并求出NBEC的

度数；

(3)【拓展延伸】

如图3所示，在AZBC中，/.BAC=90°,ZB=30°,BC=8,DE为△ABC的中位线，将△?!£)£■绕点4顺时

针方向旋转，当DE所在直线经过点B时，请直接写出CE的长.

A

BC

图3

17.(2324上•成都•阶段练习)【问题发现】

(1)如图1,将正方形4BCD和正方形4EFG按如图所示的位置摆放，连接BE和DG,延长DG交BE的延长线

于点〃，求BE与DG的数量关系和位置关系.

【类比探究】

(2)若将“正方形4BCD和正方形4EFG改成”矩形48C。和矩形4EFG,且矩形-矩形&EFG,AE=

3.AG=4,如图2,点、E、D、G三点共线，点G在线段DE上时，若2。=工再，求BE的长.

图2

【拓展延伸】

(3)若将“正方形ZBCO和正方形AEFG改成"菱形ABCD和菱形AEFG,且菱形〜菱形AEFG,如图

3.AD=5,AC=6.2G平分ND4c.点尸在射线4G上，在射线4F上截取4Q,使得4Q=|aP,连接PQ,

QC,当tan"QC=1时，直接写出4P的长.

18.(2223九年级下•辽宁葫芦岛•阶段练习)如图，A/IBC为等边三角形，点。是边BC上一点，点E是射线

(1)若BD=CD.

①如图1,当点E在边4B上时，请直接写出线段DE与。F的数量关系：；

②当点E,点F落在如图2所示位置时，①中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由;

(2)如图3,BD—CD,当4£=工43时，直接写出丝的值.

22CF

19.（22-23下•保定•一模）如图1,四边形4BCD为边长为8的正方形，RQGEF中，NGEF=90。且EF=4旧.如

图1所示放置，点E与4重合，F在4B边上，4G=60。将AGEF沿边4。方向平移，平移距离为x个单位长度

后，绕点E逆时针旋转，旋转过程中点F始终在四边形4BCD内部（含点F落在正方形4BCD边上）.点K为GF

图4

(1)当x=0时，△GEF旋转.度时，点G到BC的距离最小，最小值为

（2）如图2,当8-475<%<8时，AGEF经过旋转后，点F落在CD边上，请求出此时点G到8C边的距离

（用含x的代数式表示）.

（3）如图3,当x=4时，AGEF经过旋转后，使点F落在CD边上，求平移和旋转过程中边EF扫过的面积,

并直接写出此过程中d的取值范围.

（4）如图4,保持图1中RtAGEF的形状不变，改变它的大小，使EF=6,并将其沿4B边翻折后向下平移,

使点尸与点B重合，若将AGEF在正方形内部绕点E逆时针方向旋转（顶点G可以落在正方形2BCD的边上），

请直接写出的d的最大值.

20.(2324上•九龙坡•阶段练习)在等边△4BC中，点。在AC上，点E在BC上，连接BD、AE相交于点尸.

(1)如图1,AB=4,AE1BC,过点C作CN||4B交BD的延长线于点N.若CN=CE,求ABDC的面积；

(2)如图2,AC=CE,点G在BE上，连接FG,点"在FG上，连接HE,乙FEH=LBFG=2乙ABD,点、M

是4E延长线上一点，连接GM,若4M=60。，猜想线段GH、HE、EM之间的数量关系，并证明你的猜想；

(3)如图3,点E是8c的中点，且四边形4ECP是矩形，点M是线段4E上一个动点，将线段8M绕点2顺

时针方向旋转60。得线段BN,当BN+EN的值最小时，连接PN,点K是PN上一个动点，连接4K,将△2PK

沿4K翻折得△4QK,当QKLPK时，连接PQ,求瞿的值.

解直角三角形与几何综合

典例精析

【典例1］如图，在RtAAEB中，^AEB=90°,点C在线段BE的延长线上，过点C作CDII4B,连接4D,

再过点A作4F1CD于点F；

(1)如图1,连接EF,若NBAE=30。，ZD=45°,DF=6,AE=4,求线段EF的长；

(2)如图2,在线段CE上取一点〃，连接4"、DH,当AH平分N8HD,AABH=NiMH时，求证：DH=HC+

2HE.

(3)如图3,在(2)的条件下，连接ED,若4E=12,BE=4,当(ED+DF)取得最小值时，请直接写出

线段的长.

【思路点拨】

(1)过点E作EM12F于M,利用勾股定理可得EM=VAE2-AM2=2^3,EF=VfM2+MF2=2近；

(2)连接AC,过4作AW1HD^-W,则有=/.AWD=90°,可证RtAAHE=RtAAH加(HL),则HE=

HW,然后可得4、H、C、。四点共圆，则可证AaEC三△2〃D(AAS),进而问题可求证；

(3)在线段EB上截取EG=EH,延长4F交8C的延长线于M,连接4G,AC,DM,可证得△AEG三△AEH(SAS),

AAGC三△AHD(SAS),设NB4E=a,则tana=利用解直角三角形可得EM=36,再由勾股定理可得4M=

ylAE2+EM2=12V10,作点E关于。M的对称点E',连接EE',DE',EE'交。M于P,则DE=DE',由于ED+

DF=DE'+DF>EF,故当且仅当E'、D、F三点共线时，ED+DF=EF为最小值，过点E'作E'N_LBC于

N,过点。作。K_LCM于K,应用解直角三角形即可求得答案.

【解题过程】

(1)解：过点E作EM，4尸于M,如图1,

D

图1

则24ME=乙EMF=90°,

vAFVCD,CD||AB,

・•・乙BAF=Z.AFD=90°,

•・•ABAE=30°,

・•・/,EAM=60°,

・•・乙AEM=30°,

•・,AE—4,

：.AM=-AE=2,

2

在RtAAEM中，EM=yjAE2-AM2=V42-22=2次,

^RtAADF中，ND=45。，DF=6,

AF=DF=6,

MF=AF-AM=6-2=4,

在中，

EF=VFM2+MF2=J(2曲)2+42=2夕，

••・线段EF的长为2e；

(2)证明：连接AC,过4作2勿1”。于W,如图2,

•••Z-AEB=90°,

・•・乙AEH=90°,

•••4”平分48”0,AE1AW1HDf

・•.AE=AW,

在Rt△AHE和Rt△AHW中，

(AH=AH

VAE=AW'

・•・Rt△AHE=RtAAHW(HL),

・•.HE=HW,

•・•CD||AB,

・••乙ABH+4BCD=180°,

•・•乙ABH=^DAH,

・•.Z,DAH+乙BCD=180°,

•・•与4BCD在DH异侧，

・・・/、H、C、。四点共圆，

・•.AACH=^ADWf

乙

•・•AE=AWfAEC=/LAWD=90°,

/.△AEC=AT4W(AAS),

EC=WD,

DH=HW+WD=HE+EC=HE+HEHC,

即。"=HC+2HE；

(3)解：如图3,在线段EB上截取EG=EH,延长AF交BC的延长线于M,连接AG,AC,DM,

贝l」CG=HC+2HE,

由(2)得DH=HC+2HE,

・•.CG=DH,

在△AEG和△ZE”中，

'EG=EH

/-AEG=AAEH=90°，

AE=AE

.*.△AEG三△AEH(SAS),

AG=AH,Z.AGC=Z.AHE,

•・•AH平分NBH。，

・•.AAHE=乙AHD,

・•.AAGC=乙4”D,

・•.△AGC三△A”O(SAS),

AC=AD,

•・•AF1CD,

・•.DF=CF,

・•.DM=CM,

设z_R4E=a,则tana=^|=^=|,

•••/-BAE+Z-MAE=Z-AME+乙MAE=90°,

••・Z-AME=Z-BAE=a,

AE1

**•—=tanM=—,

EM3

EM=3AE=3x12=36,

AM=-JAE2+EM2=V122+362=12V10,

如图4,作点E关于DM的对称点？，连接EE，，DE',EO交OM于P,

贝l]DE=DE',

ED+DF=DE'+DF>E'F,当且仅当E'、D、F三点共线时，ED+DF=EF为最小值,

过点E'作E'N_LBC于N,过点。作。K_LCM于K,

则乙4MD=ME'E=乙CE'N=乙CDK=^AME=a,

设CF=DF=x,则FM=—=3x,

CM=VCF2+FM2=Q+(3%)2=^/iQx,

一

sin^DCK=—=FM即竺3x

CDCM'2x一V10x，

n”3V10

L/i\—A.j

5

CKCF_X

cos乙DCK=—=即竺

CDCM'2xV10xf

**•C2K=—VlOx,

5

MK=CM-CK=VlOx--x=—

55

3V10

+QDK-X3

tan2a=—=-T==-=

MK4国4

~5~X

PE」c3

：•—=tan2a=一,

PM4

设PE=3y,贝1|PM=4y,

•••PE2+PM2=EM2,

；•(3y)2+(4y)2=362,

y=y（负值舍去），

：.PCEL=3cx—36=—108,PM=4.x—36=—144

5555

•'”'=2PE号

108

•・•si.nc2a=­EN；=—PE即墨七

EE'EM

5

・•・EN=—648

25

：，MN=EM-EN=36-64-8=—252

2525

・・田'=彘=吾=等

4

8641288

CN=E'N-tana=X-=

25325

288।252__108

・•.CM=CN+MN=1

2525一5

1083V1054VlU

••・FM=CM-coscz=X-------=出"CF=-FM=

51025325

・A•.LAF=AnA,M-FM=1m2\V10-1-6-2V-10=—138—V10,

2525

在RtZkAD尸中，AD=V4F2+DF2=J（嘿码2+（嘤与2=1?咨,

•・•^DAH=乙ABH=£.MAE,

・•・"AH-乙MAH=乙MAE-乙MAH,

即4DZF=^LHAE,

cosZ-DAF=cos乙HAE,

138V10

...竺=变即^^=三，

ADAH.闹AH

5

12V6W

学霸必刷

1.(2023•辽宁•中考真题)△ABC是等边三角形，点E是射线BC上的一点(不与点B,C重合)，连接AE,

在4E的左侧作等边三角形ZED,将线段EC绕点E逆时针旋转120。，得到线段EF,连接BF.交DE于点M.

图2备用图

(1)如图1,当点E为BC中点时，请直接写出线段。M与EM的数量关系；

(2)如图2.当点E在线段BC的延长线上时，请判断(1)中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程;

若不成立，请说明理由；

(3)当BC=6,CE=2时，请直接写出4M的长.

【思路点拨】

(1)可证得4比4。=NB4E=30。，进一步利用等腰三角形的三线合一得出结果；

(2)连接B。、DF,可证明ABADSACAE,从而UBD=Z.ACE=120°,BD=CE,进而得出4DBE=60°,

从而得出乙OBE+乙BEF=60。+120。=180。，从而BO||EF,结合BO=EF得出四边形BDFE是平行四边

形，从而得出。M=EM；

(3)分为两种情形:当点E在BC的延长线上时，作4G1BC于G,可得出CG=3,AG=3百，从而EG=CG+

CE=3+2=5,进而得出4E=2V13,进一步得出结果；当点E在上时，作4G1BC于G,可得出EG=1,

AE=2V7,进一步得出结果.

【解题过程】

(1)解:ABC是等边三角形，点E是BC的中点，

■.ABAC=60°,4BAE=-乙BAC,

2

^BAE=30°,

・•・△ZDE是等边三角形，

：.Z.DAE=60°,AD=AE,

.ZBAD=乙DAE-乙BAE=60°-30°=30°,

•'-Z-DAE=Z-BAE,

••.DM=EM；

(2)解：如图Z,DM=EM仍然成立，理由如下:连接B。、OF,

：.2LABC=A.BAC=Z-DAE=LACB=60°,AB=AC,AD=AE,

••Z.BAC-Z..DAC=乙DAE—Z-DAC,

.ZBAD=Z-CAE,

.*.△BAD=△CAE(SAS),

：.Z.ABD=Z.ACE=180°-Z.ACB=120°,BD=CE,

"DBE=乙ABD-^ABC=120°-60°=60°,

:/DBE+乙BEF=60°+120°=180°,

；.BD||EF,

-：CE=EF,

：.BD=EF,

••・四边形BDFE是平行四边形,

■■.DM=EM；

(3)解：如图2,当点E在BC的延长线上时，作AG_LBC于G,

A

：.CG=AC-cos60°=-AC=3,AG=AC-sin60°=—AC=373,

22

••.EG=CG+CE=3+2=5,

：.AE=>JAC2+EC2=J（3圾2+52=2g.

由（2）知:DM=EM,

.,-AM1DE,

：.Z.AME=90°,

•-Z-AED=60°,

：.AM=AE-sin60°=2^13Xy=V39>

如图3,当点E在BC上时，作4GJ.BC于G,

■■.EG=CG—CE=3—2=1,

：.AE=y/AG2+EG2=（3V3）2+l2=2V7

■■.AM=2。x曰=V21,

综上所述：4M=闻或VIT.

2.(22-23下•安徽•专题练习)在AABC中，乙4cB=90。，—=m,D是边BC上一点，将△4BD沿AD折叠

BC

得到△4ED,连接

C

图2

(1)特例发现：如图1,当?n=l,4E落在直线AC上时.

①求证：4DAC=乙EBC；

②填空：?的值为______________;

CE

(2)类比探究：如图2,当rnAl,4E与边8c相交时，在4。上取一点G,使乙4CG=NBCE,CG交4E于点

H.探究装的值(用含小的式子表示)，并写出探究过程；

CE

(3)拓展运用：在⑵的条件下，当爪=/，。是8c的中点时，若EB-EH=6,求CG的长.

【思路点拨】

(1)①由折叠知，Z.AFB=90°=^ACB,再由等角的余角相等，即可得出结论；

②由①知，乙DAC=LEBC,再判断出4C=BC,进而用ASA判断出，&ACDm2BCE,即可得出结论；

(2)同(1)①的方法，即可得出结论；

(3)先判断出DF是ABCE的中位线，得出。尸||CE,进而得出NBEC=Z.BFD=90°,zXGC=^ECG,Z.GAH=

NC瓦4,再判断出4G=CE,设CG=x,则=BE=lx,得出4G=CE进而用AAS判断出△4GH三

LECH,得出GH=1x,再用勾股定理求出AH=|x,即可得出结论.

【解题过程】

(1)如图1,延长4。交8E于F,

・•・乙DAC+乙ADC=乙BDF+乙EBC=90°,

•・•Z-ADC=乙BDF,

Z.DAC=Z-EBC；

②由①知，/.DAC=乙EBC,

•••m=1,

••・AC—BC,

•・•Z-ACD=乙BCE,

.*.△ACD三△BCE(ASA),

.・.CD=CE,

故答案为1.

(2)如图2,延长4)交BE于尸,

B

•••Z-ACG=Z.BCE,

ACGBCE,

一CG=—AC=m；

CEBC

（3）由折叠知，AAFB=90°,BF=FE,

•••点。是BC的中点,

BD=CD,

DF是ABCE的中位线,

DF||CE,

:.乙BEC=ABFD=90°,乙AGC=LECG,AGAH=^CEA,

由（2）知，AXCGBCE,

ACACr—

AAGC=乙BEC=90°,—=—=2m=V2,

CD-BC

2

S=tan""DC_1

AC.回

设CG=x,则4G=V2x,BE=lx,

AG=CE,

.-.AAGH三AECH（AAS）,

•••AH=EH,GH=CH,

1

在RtAAGH中，根据勾股定理得，AH=yjAG2+GH2=|x,

EB-EH=6,

C3,

・••2x'-x=6,

2

x=/或％=—V2（舍）,

即CG=V2.

3.（2223•濮阳・一模）数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“正方形折叠”为主题开展数学活动.

图⑴图（2）图⑴

【动手实践】

（1）如图（1）,已知正方形纸片4BCD,数学小组将正方形纸片沿过点/的直线折叠，使点8落在正方形

4BCD的内部，点B的对应点为点折痕为4E,再将纸片沿过点/的直线折叠使4D与2M重合，折痕为4F,

易知点£、M、尸共线，则NEAF=°,EF、BE、DF三条线段的关系为；

【拓展应用】

（2）解决下面问题：

①如图（2）作FN_L4E于点N,交AM于点P,求证：AANP三AFNE；

②如图（3）,数学小组在图（1）的基础上进行如下操作：将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为

点N,他们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，若点N恰好落在A4EF边上，AB=3,请直

接写出此时8E的长度.

【思路点拨】

（1）根据折叠的性质可得NE4M=Z.EAB,/.FAM=/.FAD,由此可得NE4F==45°.由NAME=

ZB=90°,^AMF=ND=90。可得E、M.尸三点共线.又由ME=BE,MF=DF可得EF=BE+DF.

（2）①由乙4NF=90。，2瓦4尸=45。可得乙4FN=45。，于是可得用V=FN,由“同角的余角相等''可得

/.EAM=乙NFE,最后根据角边角即可证明A4VPmAFNE.

②分两种情况：当点N落在AE上时，当点N落在AF上时，分别利用三角函数解直角三角形即可求得BE的

长.

【解题过程】

（1）•••四边形4BCD是正方形，

•・・Z-BAD=z_B=Z.D=90°,48=AD.

ABE沿4E折叠后得^AME,△4DF沿4F折叠后得4AMF,

・•.△AME=△ABE,^AMF=△ADF,

・•・/.EAM=/-EAB,Z.FAM=£.FAD,

i

・•.AEAM+/-FAM=乙EAB+Z.FAB=-Z-BAD=45°,

2

^Z.EAF=45°.

•・•LAME=Z-B=90°,Z-AMF=zZ）=90°,

・•・/.AME+/.AMF=180°.

・•・£*、M、F三点共线.

・・•ME=BE,MF=DF,

・・.ME+MF=BE+DF,

・•・EF=BE+DF.

故答案为：45,EF=BE+DF.

(2)①・・・FN_L/E,

••・乙ANF=乙FNE=90°.

・・・^EAF=45°,

・•・(AFN=4