初中数学专项复习：角的旋转问题 专项训练（30道）

角的旋转问题-专题训练(30道)

1.(瑞安市期末)如图1,已知NABC=50。，有一个三角板3DE与NABC共用一个顶点3,

其中NE3D=45。.

(2)如图2,将三角板绕着点3顺时针旋转a度(0。<(1<90。)，当ABLBD时，求NEBC

的度数.

2.(温江区校级期末)已知NAO3=60。，0M平分NAOC,ON平分/BOC,求:

(1)如图1,0c为NA03内部任意一条射线，录/MON=;

(2)如图2,当OC旋转到NA03的外部时，NMON的度数会发生变化吗？请说明原因；

(3)如图3,当0c旋转到NA03(N3OCV120。)的外部且射线0C在0B的下方时，

0M平分NA0C,射线0N在N50C内部，/NOC=；/BOC,求NCOM—的值?

3.(江北区期末)将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点0.

(1)如图1,若NAOD=35。，求N30C的度数.

(2)若三角板A03保持不动，将三角板COD的边0D与边04重合，然后将其绕点0旋

转.试猜想在旋转过程中，NAOC与有何数量关系？请说明理由.

4.(镇海区期末)新定义问题

如图①，已知NA03,在NA03内部画射线。C,得到三个角，分别为NAOC、/BOC、

ZAOB.若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线0C为/AOB的“幸运

线(本题中所研究的角都是大于0。而小于180。的角.)

【阅读理解】

(1)角的平分线这个角的“幸运线”；(填“是”或“不是”)

【初步应用】

(2)如图①，ZAOB=45°,射线0c为NA03的“幸运线”，则NAOC的度数为;

【解决问题】

(3)如图②，已知NAO3=60。，射线OM从OA出发，以每秒20。的速度绕0点逆时针

旋转，同时，射线ON从出发，以每秒15。的速度绕。点逆时针旋转，设运动的时间

为。秒(0</<9).若OM、ON、三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的

角的“幸运线”，求出所有可能的/值.

5.(江岸区期末)已知如图1,ZAOB=40°.

r

(1)^-ZAOC^^ZBOC,则/BOC=

(2)如图2,ZAOC=2Q°,0M为NA03内部的一条直线，ON是NMOC四等分线，且

3ZCON=ZNOM,求4ZAON+ZCOM的值；

(3)如图3,ZAOC=20°,射线0M绕着。点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转一

周至03结束，在旋转过程中，设运动的时间为7,0N是NM0C四等分线，且3NC0N=

ZN0M,当/在某个范围内4NA0N+N30M会为定值，请直接写出定值，并指出对应/的

范围(本题中的角均为大于0。且小于180。的角).

6.(渝中区校级期末)如图1,ZAOB=40°,ZCOD=6Q°,OM、ON分别为/AOB和/BOD

的角平分线.

(1)若NMON=70。，则N30C=°；

(2)如图2,/COD从第(1)问中的位置出发，绕点。逆时针以每秒4。的速度旋转；当

OC与OA重合时，ZCOD立即反向绕点0顺时针以每秒6。的速度旋转，直到OC与OA

互为反向延长线时停止运动.整个运动过程中，NC。。的大小不变，OC旋转后的对应射

线记为OC,0。旋转后的对应射线记为。的角平分线记为。V,NA。。的角

平分线记为。尸.设运动时间为。秒.

①当OC平分N30V时，求出对应的/的值；

②请问在整个运动过程中，是否存在某个时间段使得INBOP-NMON1的值不变？若存在，

请直接写出这个定值及其对应的7的取值范围(包含运动的起止时间)；若不存在，请说明

理由.

7.(香坊区校级期末)如图1,点。为直线A3上一点，过点。作射线。C,使NAOC:ZBOC

=1:2,NMON的一边0M在射线03上，另一边ON在直线A3的下方，且/M0N=

90°.

(1)如图1,求NCON的度数；

(2)将图1中的NM0N绕点0以每秒6。的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程

中，如图2,若直线ON恰好平分锐角NAOC,求NMON所运动的时间/值；

(3)在(2)的条件下，当NAOC与NNOC互余时，求出N30C与NMOC之间的数量关

系.

图3

8.(涪城区校级期末)如图，两个形状、大小完全相同的含有30。、60。的三角板如图①放置，

以、PB与直线MN重合,且三角板以C,三角板P3D均可以绕点P逆时针旋转.

(1)试说明：ZDPC=90°;

(2)如图②，若三角板尸3。保持不动，三角板以。绕点P逆时针旋转旋转一定角度，PF

平分NAPD,PE平分NCPD,求NEPR；

(3)如图③，在图①基础上，若三角板必C开始绕点尸逆时针旋转，转速为5。/秒，同时

三角板尸3。绕点P逆时针旋转，转速为1。/秒，(当心转到与重合时，两三角板都停

止转动)，在旋转过程中，PC、PB、PD三条射线中，当其中一条射线平分另两条射线的夹

角时，请求出旋转的时间.

的“好线”，因此NA03的“好线”有两条，如图1,射线。B,。尸2都是NA03的''好线

(1)已知射线。P是NA03的“好线”，且/3。尸=30。，求NA03的度数.

(2)如图2,。是直线上的一点，OB,分别是NMOP和NPON的平分线，已知

ZMOB=300,请通过计算说明射线OP是NA03的一条“好线”.

(3)如图3,已知NMON=120。，ZNOB=40°.射线0P和。4分别从0M和同时出

发，绕点。按顺时针方向旋转，OP的速度为每秒12。，的速度为每秒4。，当射线。尸

旋转到ON上时，两条射线同时停止.在旋转过程中，射线OP能否成为NA03的“好线”.若

不能，请说明理由；若能，请求出符合条件的所有的旋转时间.

(图1)(S3)

10.(十堰期末)已知NAO3=130°,ZCOD=80°,OM,ON分别是ZAOB和ZCOD的平分

线.

(1)如图1,如果。4,0c重合，且。。在NA03的内部，求NM0N的度数;

(2)如图2,固定NA03,将图1中的NC。。绕点。顺时针旋转〃。(0V店90).

①ZMON与旋转度数相有怎样的数量关系？说明理由;

②当〃为多少时，NMON为直角？

(3)如果NA03的位置和大小不变，NCOD的边OD的位置不变,改变NCOD的大小；

将图1中的OC绕着。点顺时针旋转机。(0<m<100),如图③，请直接写出NMON与旋

转度数m°之间的数量关系：.

11.(西乡县期末)以直线A3上一点。为端点作射线OC,使N3OC=40。，将一个直角三角

板的直角顶点放在。处，即NDOE=90。.

(1)如图1,若直角三角板DOE的一边OE放在射线。4上，则NCOD=;

(2)如图2,将直角三角板。OE绕点。顺时针转动到某个位置，若OE恰好平分NAOC,

则NCOD=;

(3)将直角三角板。OE绕点。顺时针转动与03重合时为停止)的过程中，恰好

1

有ZCOD=jZAOE,求此时ZBOD的度数.

12.(香坊区期末)如图，点。为直线A3上一点，ZA0C=9Q°,在直线A3上方有射线。M、

ON分别从0A和0C开始绕点0顺时针旋转，旋转过程中始终保持NA0M=2NC0N,

0Q平分/AON.

(1)如图1,证明：ON平分/MOB;

(2)如图2,在旋转过程中，当NC0N=2NM0Q时，求NCON的度数；

(3)如图3,在旋转过程中，NAOM是锐角，射线0。在NMON内部，ZMOD=30°,

0P平分/MON,ZMOQ:ZP0D=m,ZNOB:ZQ0C=n,在A3下方有射线0T,ZAOT

=90°-(m+n)°,ZBOT+ZMOQ=UO°,求NAOM的度数

13.(历下区期末)点。为直线/上一点，射线。4、均与直线/重合，如图1所示，过点

。作射线0c和射线OD,使得N30C=100。，ZCOD=90°,作NAOC的平分线。M.

(1)求NAOC与NM0D的度数；

(2)作射线OP,使得NBOP+NAOM=90。，请在图2中画出图形，并求出NC。尸的度数；

(3)如图3,将射线03从图1位置开始，绕点。以每秒5。的速度逆时针旋转一周，作

ZCOD的平分线ON,当ZM0N=20。时，求旋转的时间.

14.(广安期末)已知，。是直线A3上一点，ZD0C=9Q°,OE平分/BOC.

(1)如图1,若NAOC=40。，则NDOE的度数为；若NAOC=a,则NDOE的

度数为(用含有a的式子表示).

(2)将图1中的NDOC绕顶点。按顺时针方向旋转至图2的位置，试探究/DOE与NAOC

的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由.

(3)将图1中的NDOC绕顶点。按逆时针方向旋转至图3的位置，其他条件不变，若

ZAOC=a,则NDOE的度数为(用含有a的式子表示)，并说明理由.

15.(南充期末)如图，把直角三角尺COD的直角顶点。放在直线A3上，作射线OE平分

ZAOD.

(1)若48。。=42。，求NAOE的度数；

(2)设N30D=x,请用x表示NCOE的大小；

(3)如果直角三角尺C。。绕点。转动，当顶点C转动到直线A3下方时，探索N30D与

NCOE的数量关系.

16.(临河区期末)点。直线A3上一点，过点。作射线。C,使得N3OC=65。，将一直角三

角板的直角顶点放在点。处.

图1

(1)如图1,将三角板WON的一边ON与射线03重合时，求NMOC的度数;

(2)如图2,将三角板MON绕点。逆时针旋转一定角度，此时OC是NM03的平分线,

求ZBON和ZCON的度数;

将三角板绕点逆时针旋转至图时，求的度数.

(3)MON03ZNOC=-4ZAOM,ZNOB

17.(济阳区期中)以直线A3上一点。为端点作射线0C,使N3OC=40。，将一个直角角板

的直角顶点放在。处，即NDOE=90。.

(2)如图2,将直角三角板DOE绕点0顺时针转动到某个位置,

①若0E恰好平分NAOC,则ZCOD=；

②若0D在/BOC内部，请直接写出ZBOD与ZCOE有怎样的数量关系；

(3)将直角三角板。0E绕点。顺时针转动(0。与03重合时为停止)的过程中，恰好

有ZC0D=|ZA0E,求此时N30D的度数.

18.(碑林区校级开学)如图1,点0为直线A3上一点，过点。作射线0C,使N3OC=120。，

将一直角三角板的直角顶点放在点。处，一边在射线上，另一边0N在直线A3

的下方.

(1)将图1中的三角板绕点。逆时针旋转至图2,使一边在N50C的内部，且恰好

平分N30C,问：直线ON是否平分NAOC?请直接写出结论：直线ON(平分或

不平分)ZAOC.

(2)将图1中的三角板绕点。按每秒6。的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，

第f秒时，直线ON恰好平分锐角ZAOC,则t的值为.(直接写出结果)

(3)将图1中的三角板绕点。顺时针旋转，请探究，当ON始终在NAOC的内部时(如

图3),NAOM与NNOC的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请举例

说明.

图1图2图3

19.（天心区期末）已知长方形纸片ABC。，E、口分别是A。、A3上的一点，点/在射线3c

上、连接ER,FI,将NA沿ER所在的直线对折，点A落在点H处，沿FZ所在的直

线对折，点3落在点G处.

（1）如图1,当板与GR重合时，则NEFZ=°;

（2）如图2,当重叠角NHFG=30。时，求/EFI的度数;

（3）如图3,当/GFI=a,NEM=B时，NGFZ绕点/进行逆时针旋转，且NGf7总有

一条边在/EFH内,PR是NGfW的角平分线，QR是NEEZ的角平分线，旋转过程中求出

NPFQ的度数（用含a,p的式子表示）.

o

图1图2图3

20.（洪山区期末）将一副直角三角板ABC,ADE,按如图1叠加放置，其中3与E重合，

ZBAC=45°,ZBAD=30°.

（1）如图1,点R在直线AC上，且位于点A的左侧，求/刚。的度数；

（2）将三角板ADE从图1位置开始绕A点顺时针旋转，并记AM,AN分别为NB4E,

NC4D的角平分线.

①当三角板ADE旋转至如图2的位置时，求NMAN的度数.

②若三角板ADE的旋转速度为每秒5。，且转动到NZMC=180。时停止，运动时间记为“单

位：秒），试根据不同的/的值，求NM4N的大小（直接写出结论）.

D

图1图2备用图1备用图2

21.（喀喇沁旗期末）如图1,点。为直线A3上一点，过点。作射线。C,使/3。。=120。，

将一直角三角板的直角顶点放在点。处，一边在射线上，另一边ON在直线A3

的下方.

(1)将图1中的三角板绕点。逆时针旋转至图2,使点N在OC的反向延长线上，请直

接写出图中ZMOB的度数；

(2)将图1中的三角板绕点。顺时针旋转至图3,使一边OM在ZBOC的内部，且恰好

平分N30C,求NCON的度数；

(3)将图1中的三角尺绕点。顺时针旋转至图4,使ON在ZAOC内部，请探究ZAOM

与NNOC之间的数量关系，并说明理由.

22.(宝安区期末)我们知道，从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的射线，叫做

这个角的平分线.类似的我们给出一些新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数

为1:2的两个角的射线，叫做这个角的三分线：从一个角的顶点出发把这个角分成度数

为1:3的两个角的射线，叫做这个角的四分线…

显然，一个角的三分线、四分线都有两条.

例如：如图1,^-ZBOC=2ZAOB,则03是NAOC的一条三分线；若NA0D=2NC0D,

则是NAOC的另一条三分线.

(1)如图2,。3是/4。。的三分线，ZBOC>ZAOB,若NAOC=60°,则NA03=;

(2)如图3,ZDOF=120°,0E是NDOF的四分线,ZDOE>ZEOF,过点。作射线

0G,当0G刚好为ZDOE的三分线时，求/GOF的度数；

(3)如图4,ZAOD=120°,射线03、0c是NAOD的两条四分线，将N30C绕点。沿

顺时针方向旋转a。(0<a<180),在旋转的过程中，若射线03、0C,中恰好有一条射

线是其它两条射线组成夹角的四分线，请直接写出a的值.

(

'BA

0

23.(饶平县校级期末)如图1,直线A3上任取一点。，过点。作射线0C(点C在直线A3

上方)，^ZB0C=2ZA0C,以。为顶点作NMON=90。，点M在射线03上，点N在直

线A3下方，点。是射线0N反向延长线上的一点.

(1)求NC。。的度数；

(2)如图2,将NM0N绕点。逆时针旋转a度(0。＜(1＜180。)，若三条射线。£＞、0C、

0A,当其中一条射线与另外两条射线所夹角的度数之比为1:2时，求N30N的度数.

24.(锦江区校级期末)平面内一定点A在直线CD的上方，点。为直线CD上一动点，作射

线。4,OE,0A',当点。在直线CD上运动时，始终保持NCOE=90°,ZAOE=ZA'OE,

将射线0A绕点0顺时针旋转75。得到射线0B.

(1)如图1,当点。运动到使点A在射线OE的左侧时，若OB平分NA,OE,求NAOE的

度数；

(2)当点0运动到使点A在射线0E的左侧时，^ZAOC=4ZA'OB时，求NAOE的度

数；

(3)当点。运动到某一时刻时，满足NA，O3=120。，求出此时N30E的度数.

(1)如图1,当NA0D=qNA03时，求NDOE;

(2)如图2,若0。在NA03内部运动，且0F是/A0D的角平分线时，求NAOE-ZDOF

的值；

(3)在(1)的条件下，若射线0P从0E出发绕。点以每秒10。的速度逆时针旋转，射线

。。从0。出发绕。点以每秒6。的速度顺时针旋转，若射线OP、OQ同时开始旋转t秒(0

V/V23.5)后得到NCOP=g/AOQ,求才的值.

26.(西山区期末)如图为两个特殊三角板A03和三角板COD,ZA=45°,ZD=60°,。为

直角顶点，两直角顶点重合，A,O,。在同一直线上，OB,0c重合，0M平分NCOD,

ON牛分/AOB.

(1)ZM0N=度；

(2)若三角板A03与三角板COD位置如图(2)所示，满足N3OC=20。，求NM0N的

的度数；

(3)在图(1)的情形下，三角板A03固定不动，若三角板C。。绕着。点旋转(旋转角

度小于45。)，ZBOC=a,求NM0N的度数(用含a的式子表示).

27.(高新区期末)已知NAO3=90°,ZCOD=60°,按如图1所示摆放，将。4、0c边重合

(1)保持NA03不动，将NC。。绕点。旋转至如图2所示的位置，则

①ZA0C+ZB0D=;

@ZB0C-ZA0D=.

(2)若/COD按每分钟5。的速度绕点0逆时针方向旋转，ZA0B按每分钟2。的速度也

绕点。逆时针方向旋转，0C旋转到射线0N上时都停止运动，设旋转f分钟，计算NMOC

-ZAOD(用/的代数式表示).

(3)保持NA03不动，将/COD绕点0逆时针方向旋转n°(彷360),若射线OE平分

ZAOC,射线OR平分N30D,求NEOR的大小.

28.(罗湖区校级期末)如图，直线ER与相交于点。，ZMOE=3Q°,将一直角三角尺的

直角顶点与。重合，直角边。4与重合，在NNOE内部.操作：将三角尺绕点。

以每秒3。的速度沿顺时针方向旋转一周，设运动时间为/(s).

(1)当。为何值时,直角边恰好平分NNOE?此时04是否平分NMOE?请说明理由；

(2)若在三角尺转动的同时，直线也绕点O以每秒9。的速度顺时针方向旋转一周，

当一■方先完成旋转一■周时，另一■方同时停止转动.

①当/为何值时，ER平分NA03?

②ER能否平分NN03?若能请直接写出f的值；若不能，请说明理由.

29.(商城县期末)如图1,直线DE上有一点。，过点。在直线DE上方作射线。C.将一

直角三角板A03(Z(9AB=30°)的直角顶点放在点。处，一条直角边。4在射线0。上，

另一边03在直线DE上方.将直角三角板绕着点。按每秒10°的速度逆时针旋转一周,

设旋转时间为/秒.

(1)当直角三角板旋转到如图2的位置时，恰好平分NCOD,此时，/BOC与/BOE

之间有何数量关系？并说明理由.

(2)若射线OC的位置保持不变，且NCOE=140。.

①则当旋转时间t=秒时，边A3所在的直线与OC平行？

②在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线。4,0c与。。中的某一条射线是另两

条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的/的取值.若不存在，请说明

理由.

③在旋转的过程中，当边A3与射线OE相交时(如图3),求NAOC-N30E的值.

30.(绵阳期末)如图1,摆放一个三角形纸板ODE,边0。在正东方向的射线上，点A,B

分别在正西，正东方向上，ZC0F=3Q°,现将三角形纸板ODE从图1位置开始绕点。以

每秒5度的速度逆时针方向匀速旋转，设旋转的时间为。秒，在旋转一周的过程中.

(图1)(图2)(备用图)

(1)当/=5时，求NAOD的度数，并写出点。的方向角；

(2)如图2,当三角形纸板ODE旋转至△时，边OEi恰好落在射线OR上，且OR

平分NAODi,ODi平分N30C,求才的值，并写出点R的方向角；

(3)当旋转至△。。2瓦时，。后2所在直线平分NAOC求才的值.

角的旋转问题-专题训练（30道）解析版

1.（瑞安市期末）如图1,已知NABC=50°,有一个三角板3DE与NA3C共用一个顶点B,

其中NE3D=45。.

（2）如图2,将三角板绕着点3顺时针旋转a度（0。<（1<90。），当ABLBD时，求NEBC

的度数.

【解题思路】（1）根据角平分线的定义可得/匿。=［乙43。=25。，再根据角的和差可得答

案；

（2）根据NA3D和NA3C可得NC3D=40。，再利用ZEBC=ZEBD-ZCBD可得答案.

【解答过程】解：（1）..•3。平分NA3C,ZABC=5Q°,

：。，

.ZCBD^-2^ABC=25

：NE皮）=45。，

ZEBC=ZEBD+ZDBC=45°+25°=70°.

（2）'：AB±BD,

：.ZABD=90°,

'：ZABC=50°,

：.ZDCB=90°-50°=40°,

：ZEBD=45°,

：.ZEBC=45°-40°=5°.

2.（温江区校级期末）已知NAO3=60。，0M平分NAOC,ON平分NBOC,求:

(1)如图1,0c为NA03内部任意一条射线，呆/M0N=30。；

(2)如图2,当0C旋转到NA03的外部时，NM0N的度数会发生变化吗？请说明原因；

(3)如图3,当0c旋转到NA03(ZBOC<120°)的外部且射线0c在的下方时，

0M平分NAOC,射线ON在NBOC内部，/NOC=：/BOC,求NCOM—的值？

【解题思路】(1)先利用角平分线的性质得到NMOC=gNAOC,/NOC=)BOC,再利

用ZM0N=ZC0M+ZCON计算；

(2)根据角平分线的性质并结合NM0N=NC0M-NCON解答即可；

(3)根据题意得到NCOM=^NAOC,ZBON^-ZBOC,再利用NCOM—々N30N计算,

243

即可解答.

【解答过程】解：(1),：OM^-^ZAOC,ON平分N30C,ZAOB=60°,

：./MOC=|ZAOC,

1

ZNOC=-2ZBOC,，

1111

ZM0N=ZMOC+ZNOC^-ZBOC+-ZAOC^-ZAOB^-x60°=30°.

2222

故答案为：30°;

(2)不变，

当OC旋转到ZAOB的外部时，

'：OM^-^ZAOC,ON平分/BOC,ZAOB=60°,

1

・

\ZM0C=-2ZAOC,，

i

・

\ZNOC=-2ZBOC,，

1111

ZM0N=ZMOC-/NOC=-ZBOC--ZAOC^-ZAOB^-x60°=30°.

2222

ZMON的度数不会发生变化;

(3)当0c旋转到NA03(ZB0C<120°)的外部且射线0c在的下方时,

,?OM平分NAOC,/NOC=-ZBOC,

4

13

AZCOM=-ZAOC,ZBON=-ZBOC,

2，4，

2123111

ZCOM--ZBON^-ZAOC--X-ZBOC^-ZAOC--ZBOC^-ZAOB=30°.

3234222

3.(江北区期末)将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O.

(1)如图1,若NAOD=35。，求N30C的度数.

(2)若三角板A03保持不动，将三角板COD的边OD与边04重合，然后将其绕点0旋

转.试猜想在旋转过程中，NA0C与有何数量关系？请说明理由.

【解题思路】(1)由于是两直角三角形板重叠，根据的度数可得NB0D,再根据

NDOC=90。可得NB0C;

(2)当分两种情况：ZA0B与/D0C有重叠部分时和当NA03与ND0C没有重叠部分

时.

【解答过程】解：(1)若NAOD=35。，

,?ZA0B=ZC0D=9Q°,

：.ZB0D=9Q°-35°=55°,

：.ZB0C=9Q°-ZB0D=9Q°-55°=35°;

(2)NAOC与N30D互补.

当ZAOB与/DOC有重叠部分时，

,?ZA0B=ZC0D=9Q°,

：.ZAOD+ZBOD+ZBOD+ZBOC=180°.

ZAOD+ZBOD+ZBOC=ZAOC,

：.ZAOC+ZBOD=180°,

当ZAOB与ZDOC没有重叠部分时，

ZAOB+ZCOD+ZAOC+ZBOD=36Q°,

又ZAOB=ZCOD=90°,

/.ZAOC+ZBOD=180°.

4.(镇海区期末)新定义问题

如图①，已知NA03,在NA03内部画射线。C,得到三个角，分别为NAOC、ZBOC,

ZAOB.若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线OC为/AOB的“幸运

线(本题中所研究的角都是大于0。而小于180。的角.)

图①图②备用图

【阅读理解】

(1)角的平分线是这个角的“幸运线(填"是”或“不是”)

【初步应用】

(2)如图①，ZAOB=45°,射线。C为NA03的“幸运线”，则NAOC的度数为15。或

22.5。或30°;

【解决问题】

(3)如图②，已知NAO3=60。，射线OM从OA出发，以每秒20。的速度绕0点逆时针

旋转，同时，射线ON从出发，以每秒15。的速度绕。点逆时针旋转，设运动的时间

为/秒(0V/V9).若OM、ON、三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的

角的“幸运线”，求出所有可能的/值.

【解题思路】(1)根据幸运线定义即可求解；

(2)分3种情况，根据幸运线定义得到方程求解即可；

(3)分3种情况，根据幸运线定义得到方程求解即可.

【解答过程】解：(1)一个角的平分线是这个角的“幸运线”；

故答案为：是；

(2)①设NAOC=x,则N3OC=2x,

由题意得，x+2x=45。，解得x=15。，

②设NAOC=x,则N30C=x,

由题意得，x+x=45°,解得x=22.5。，

③设NAOC=x,则N5OC=3，

由题意得，x+|x=45°,解得尤=30°,

故答案为:15。或22.5。或30°;

(3)当0V江4时，ZMON=60+5t,ZAON=60-15t,

若OA是射线OM与ON的幸运线，

则/AON=；NMON,即60-15仁|（60+57）,解得t=y；

/AON二三/MON,即60-15仁g（60+57）,解得t=9；

/AON=^ZMON,即60-15仁|（60+5。，解得t=营；

当4V/V9时，ZMOA=20t,ZAON=15t-60,

若ON是射线OM与OA的幸运线，

则/AON=^ZMOA即157-60=；x20/,解得t=12（舍）；

/AON=^ZMOA,即15L60=gx20t,解得t=y；

/AON=^ZMOA,即15/-60=|x20t,解得t=36（舍）；

故t的值是U或又或U或上.

75115

5.（江岸区期末）已知如图1,ZAOB=40°.

(2)如图2,ZAOC=2Q°,0M为NA03内部的一条直线，ON是NMOC四等分线，且

3ZCON=ZNOM,求4ZAON+ZCOM的值；

(3)如图3,ZAOC=20°,射线OM绕着0点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转一

周至结束，在旋转过程中，设运动的时间为/,ON是NMOC四等分线，且3NCON=

ZNOM,当/在某个范围内4NAON+N3OM会为定值，请直接写出定值，并指出对应7的

范围(本题中的角均为大于0。且小于180。的角).

【解题思路】(1)分两种情况讨论:①0c在NA03内部时，由NAOC=得到N30C=

-ZAOB；②0c在NA03外部时，由NAOC=-ZBOC得至U/BOC=-ZAOB.

432

(2)设NCON=x。，根据题意用x表示有关角的度数，最终得4NA0N+NC0M的值；

(3)按0M和ON的不同位置分五种情况分别讨论，记0M转过的角度为a,第一种情

况：当0<运60°,即0VW12时；第二种情况：当60°<运180。时，即12VW36时；第三

种情况：当180°<仁240。时，即36〈江48时；第四种情况：240°<a<340°,即48<二68

时；第五种情况：当340°<a<360°,即68〈江72时.用t表示出有关角的度数，再求

4ZA0N+ZB0M的最后结果.

【解答过程】解：(1)①C在NA03内部时,如下图,

0B

1

.-.ZBOC=-ZAO^;x40°=30°,

②0c在NA03外部时，如下图，

C

/

0B

NA0C=^ZBOC,

33

...N50C=/A03.X400=60。，

综上所述：N3OC=30°或60°;

故答案为：30。或60。.

(2)解:

0

设/CON=x,

,?ON是ZMOC的四等分点，且3NCON=ZNOM,

：.ZN0M=3x,ZC0M=4x,

又：ZAOC=20°,

：.ZA0M=4x~20°,

：.ZAON=ZNOM-ZAOM=3x-(4x-20°)=20°-x,

：.4ZAON+ZCOM=4(20°-x)+4x=80°,

.*.4ZAON+ZCOM=80°.

(3)记OM的旋转角度为a,分五种情况讨论：

第一种，当0°VaW60。，即0VE12时，如下图，

u①

射线OM绕着0点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转得NMO3=5/，

ZCOM=ZCOA+ZAOB-ZMOB=60°-5t°,

•：ON是/MOC四等分线,且3/CON=/NOM,

1

ZCON=-4ZCOM,

：.ZAON=ZCOA-ZCON=ZCOA-^ZCOM=20°-J(60°-5?°)=5°+V,

：.4ZAON+ZBOM=4-(5°+V)+5/。=20。+10/。，

...0WW12时，4ZAON+ZBOM=20°+10t°,不是定值.

第二种情况：当60°<aV180°,即12V/V36时，如下图，

：ZMOB=5t°,

：.ZCOM=ZMOB-ZB0C=5t°-60°,

/CON=-4ZCOM,

/.ZAON=ZCOA+ZCON=ZC0A+^ZC0M=2Q°+^⑸。-60。）=5。+|",

：.4ZAON+ZBOM=4-（5°+V）+5/°=10/°+20°,

.•.12V/V36时，4NAON+N3OM不是定值.

第三种情况：当180°WaW240。，即36W江48时，如下图,

由ZMOB=360°-5/得，ZCOM=5t°-60°,

'.'ON是NMOC四等分线，且3/CON=/NOM,

：.ZAON=ZCON+ZCOA^^ZCOM+ZCOA^；（5尸-60°）+20°=5°+V,

：.4ZAON+ZBOM=4-（5。+|尸）+360°-5/=380°,

・•.当36</<48时，4ZAON+ZCOM为定值380°;

第四种情况：当240°Va〈340。时，即48V/V68,如下图，

由NMO3=360°-5/°得，ZCOM=ZMOB+ZBOC=360°-5/°+60°=420。-5t°,

：.ZAON=ZCON-ZCO4=二/COM-ZCO4=-（420°-5r）-20°=85°--f,

444

：.4ZAON+ZBOM=4（85。一为）+360。-5产=700。-10产,

4

.,.48V/V68时，4NAON+NCOM不是定值；

第五种情况：当340°WaW360。，即68W/72时，如下图,

A

0B

⑤M

由NMO3=360。-5/得，ZCOM=ZMOB+ZBOC=36Q°-5/+60°=420°-5t°,

：.ZAON=ZCOA-ZCON=ZC0A--ZC0M=2Q°--（420°-5产）=-t°-85°,

444

：.4ZAON+ZBOM=4（|尸-85°）+360。-5尸=20°,

68*2时，4ZAON+ZCOM为定值20。.

综上所述：当36</<48时，4NAON+/COM为定值380。；当6822时，4ZAON+ZCOM

=20°,为定值20°.

6.（渝中区校级期末）如图1,ZAOB=40°,ZCOD=60°,OM、ON分别为/AOB和/BOD

的角平分线.

（1）若NMON=70。，则N30C=40。。;

（2）如图2,NC。。从第（1）问中的位置出发，绕点。逆时针以每秒4。的速度旋转；当

OC与OA重合时，ZCOD立即反向绕点0顺时针以每秒6。的速度旋转，直到OC与OA

互为反向延长线时停止运动.整个运动过程中，NC。。的大小不变，。。旋转后的对应射

线记为。C,旋转后的对应射线记为。的角平分线记为。V,NA。。的角

平分线记为。尸.设运动时间为r秒.

①当OC平分N3OM时，求出对应的/的值；

②请问在整个运动过程中，是否存在某个时间段使得IN30P-NMON1的值不变？若存在，

请直接写出这个定值及其对应的/的取值范围（包含运动的起止时间）；若不存在，请说明

理由.

【解题思路】(1)根据角平分线的定义结合图形根据已知条件求角的大小；

(2)①分类讨论顺时针、逆时针转两种情况，根据角平分线的定义用/表示出角的度数，

列出等量关系式求出/;

②分类讨论顺时针、逆时针转两种情况，当C在3下方时，当C在3上方时，根据角平分

线的定义用/表示出角的度数，求在某个时间段使得INBOP-NM0N1的值不变，求出这个

定值及其对应的/的取值范围.

【解答过程】解：(1):。/为NA03的角平分线、ZAOB=40°,

ZMOB=20°.

,：ZMON=70°,

：.ZBON=ZMON-ZMOB=50°.

,：ON为ZBOD的角平分线，

ZBON=ZDON=50°.

：.ZCON=ZCOD-ZDON=10°

ZBOC=ZDON-ZCON=40°.

故答案为：40°.

(2)如图①：①逆时针旋转时：

当C在3上方时，根据题意可知，ZBOC'=40°-4t,ZBOD'=ZBOD-4r=100°-4Z.

/BON'=：/BOD=j(100°-4t)=50。-It,

,：OC平分/BON,

：.ZBOC,^^BON',即40。-4/=号(50。-27),

解得：t=5(,s').

当C在B下方时，此时C也在V下方，此时不存在0C平分/BON.

顺时针旋转时：如图②，

同理当C在B下方时，此时C也在V下方，此时不存在0C平分

当C在B上方时，即0c与0B重合，

由题意可求。C与重合用的时间=NA0C+4+ZA0B^6

=(ZA0B+ZB0C)+4+NAO3+6

：.0C与0B重合之后,ZB0C=6(r-y)(s).

AZB0D'=ZBOC'+60°=6Ct-3-)+60°=6t~100°.

1i

：rf

.ZBON=-2^BOD=-2(6t~100°)=3^-50°,

,：OC平分/BON,

：

.ZBOC'^-2^BON',

：.6(/一当)=i⑶-50。)，

32

解得：t=3Q(s)

综上所述/的值为5或30.

②逆时针旋转时：当C在3上方时，如图③

根据①可知，ZBOC'=40°-At,ZBOD'=100°-At,ZBON'=5Q°-2t.

：.ZAOD'=ZAOB+ZBOD'=140°-"

NAOP=；乙40。=|z(140°-4t)=70。-It,

：.ZBOP=ZAOP-ZAOB=30°-It,

'：ZMON'=/MOB+NBON'=70°-2t,

：.\/BOP-ZMON'\=\3Q0-2t-70°+2r|=40°,

此段时间0</<105；

如图④当C在3下方时，设经过后运动时间为t2,

同理可知，ZBOC'=4t2,ZBOD'=60°-4t2,

，乙MON'=；NBON'=30-2t2，

ZAOD'=ZAOB+ZBOD'=100°-仇,

：.^AOP=|z40D,=50°-2t2，

ZBOP=ZAOP-ZAOB=10°-2t2,

'：ZMON'=ZMOB+ZBON'=50°-2t2,

：.\ZBOP-ZMON'\=\1Q0-2打-50。+2旬=40°.

此时：10</<20;

顺时针旋转时：当C在3下方时，如图⑤，

设经过03后运动时间为h,

同理可知：ZBOC=40°-6h,ZBOD'=200+6h,

,

：.^BON'=|zBOD=10°+3t1；

ZAOD'=600+6h,

ZAOP=30°+3ti,

：.ZBOP=ZAOP-ZAOB=3h-10°,

ZMON'=ZMOB+ZBON'=30°-3ti,

：.\ZBOP-ZMON'\=\3t1-10°-30°-3Al=40。，

此时：20<t<—;

当C在3上方时，如图⑥，

设经过OB后运动时间为t3,

同理可知：，ZBOC'=60°+6t3,ZB