第1-3章期中、期末复习三十八大题型（原卷版）

重难点n第1-3章期中、期末复习三十八大题型汇总

题型解读/

题型28定义法判断函数的单调性题型38函数性质与比较大小

魔薄满分技巧/

技巧一.元素与集合关系的判断

关系：元素与集合的关系为：属于(e)和不属于(时两个关系

技巧二.根据元素与集合关系求参数

1.利用属于(e)和不属于(⑥两个关系

2.检验集合元素的互异性

技巧三.根据集合中元素的个数求参数

1.注意分类讨论

2.一元二次函数使用判别式

技巧四.集合中元素的特性

特性：互异性、确定下。无序性

技巧五•集合的表示方法

表示方法：列举法，描述法，Venn图法

技巧六.子集(真子集)个数的判断

①，的子集的个数有2〃个.

②Z的真子集的个数有(2〃-1)(〃21)个.

③Z的非空子集的个数有(2"-1)(生1)个.

④，的非空真子集的个数有(2〃-2)(〃21)个

技巧七.根据集合的关系求参数

1.数轴法

2.列举法

3.注意：不能忽视空集

技巧八.根据集合的运算求参数

根据集合的运算结果，推出集合间的关系，借助数轴或者列举法求参数

技巧九.充分与必要条件的判断

注意：小范围可以推出大范围，大范围不能推出小范围

技巧十.利用充分与必要条件求参数

1.定义法

2.数轴法

技巧十一.命题的否定

方法：先否定量词部分，再否定结论部分

技巧十二.根据命题的真假求参数

常用方法：1.分离变量法，2.判别式法

技巧十三.两个代数式比较大小

常用方法：1.作差法，2.作商法

技巧十四.不等式在区间上（恒）能成立问题

常用方法：1.分离变量法，2.判别式法

技巧十五.函数的定义域

求函数定义域常见结论：

/.分式的分母不为零；

2.偶次根式的被开方数不小于零；

3.对数函数的真数必须大于零；

4.指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；

__乃

5.正切函数y=3?x,洋hr+1(keZ)；

6.零次幕的底数不能为零；

7.实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求.

技巧十六.函数解析式的求法

1.待定系数法

2.换元法

3.方程组法

4.凑配

技巧十七.函数的单调性

判断函数单调性

/.定义法：取值、作差、变形因式分解、配方、有理化、通分、定号、下结论.

2.复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数.

3.图象法：如果,段)是以图象形式给出的，或者作)的图象易作出，可由图象的直观性判断函数单调性.

技巧十八.函数的奇偶性

判断分段函数的奇偶性，可以用定义法，也可以用图象法.

定义法必须验证在每一段内都有/(-%)=/(x)或/(-%)=-/(x)成立，而不能只验证一段解析式。在判断

时，要特别注意X与-X的范围，然后选择合适的解析式代入.

府y题型提分练

题型1判断元素与集合的关系

【例题1】（2023秋・浙江台州•高一统考期末）已知集合A=3/-2x=0},则（）

A.{0}"B.2C4C.{2}eXD.0"

【变式1-1】1.（2023秋•湖南湘潭・高一校联考期末）已知集合2={x\x（x—5）<0},B={x|x>2},

M=aClB,则（）

A.4eMB.V10GMC.5GMD.6GM

【变式1-1]2.（2022秋•四川凉山•高一统考期中）下列关系中，正确的有（）.

①g6R；②&gQ；③I—3|GN；@|-V5|GQ.

A.ljB.2jC.3jD.4j

【变式1-1]3.（2023秋•上海浦东新•高一统考期中）已知集合2={%|x=3k-1,keZ},则集合A中的

元素（）

A.除以3余数为-1;B.除以3余数为1;

C.除以3余数为2;D.能被3整除.

【变式1-1】4.（2023秋•上海浦东新•高一上海南汇中学校考期中徘空集合4具有下列性质:①若x,yGA,

则2"；②若x,y"，则久+y”,下列判断一定成立的序号是

（1）-1g71（2）黑（3）若x,ye4,则x-y任4（4）若x,ye4、则孙eA

题型2根据元素与集合的关系求参数

【例题2]（2020•全国•高一期末）已知集合4={2,（a+l）2,a2+3a+3}，且1",则实数a的值

为

【变式2-1]1.（2021・全国•高一期末）已知关于x的不等式会<1的解集为S.若1eS且36S,则实

数m的取值范围为（）

A.（8,9）B.（-00,1）u[2,+00）

C.（―8,1）u（8,9]D.（8,9]

【变式2-1]2.（多选）（2023秋•辽宁沈阳•高一统考期末）设集合力={-3,x+2,/一4久}，且5”,则

x的值可以为（）

A.3B.—1C.5D.—3

【变式2-1]3.（2023秋•上海松江•高一校考期中）已知集合4=三0}，若2任2，则实数。的取

值范围是

【变式2-1]4.（2023秋•甘肃兰州•高一统考期中）已知集合4={-1,2a-,B={a-5,1-a,9}.

若9e力nB,求a的值.

题型3根据集合中元素的个数求参数

【例题3]（2021秋•福建•高一统考期末）如果集合4=（x\mx2-4%+2=0}中只有一个元素，则实数机的

值为（）

A.0B.1C.2D.0或2

【变式3-1】1.（多选）（2023秋辽宁锦州•高一统考期末）关于x的方程喜=箸的解集中只含有一个元

素，贝味的可能取值是（）

A.-4B.0C.1D.5

【变式3-1]2.（2022秋•广东广州•高一广州市第九十七中学校考期末）已知全集U=R,集合A=

{x|x2+px+12=0},集合B={x|x2—5x+q=0}.

Q）若集合A中有2个元素，求p的取值范围;

(2)若AnB={2},求4UB.

【变式3-1]3.（2021秋•河北张家口•高一统考期末）已知集合4=（x\ax2-3x+2=0,xeR,aeR}.

（1）若A是空集,求a的取值范围；

（2）若A中只有一个元素，求a的值，并求集合A;

【变式3-1J4.（2021秋•上海静安・高一上海市新中高级中学校考期末）若使集合2={x\（kx-fc2-8）（x-

1）>0,%eZ}中的元素个数最少，则实数k的取值范围是

题型4集合中元素的特征

【例题4]（2023秋•河北邢台•高一校联考期中）英文单词excellent的所有字母组成的集合共有（）

A.6个元素B.7个元素C.8个元素D.9个元素

【变式4-1】1.（2022秋•甘肃酒泉•高一校考期中）集合国因=2或/一5“+6=0}中元素的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式4-1】2.（2022秋•重庆渝中•高一重庆市第二十九中学校校考期中）已知集合4=[0,1,2},B={%|x=

ab,aeA,bEA},则集合B中有（）个元素.

A.1B.2C.3D.4

【变式4-1]3.（2020秋・山东•高一统考期中）由实数比,所组成的集合中，最多含有元素

的个数为（）

A.2B.3C.4D.5

【变式4-1J4.（2020秋•浙江金华•高一校考期中）若以集合4的四个元素a,b,c,d为边长构成一个四边形，

则这个四边形可能是（）

A.矩形B.平行四边形

C.梯形D.菱形

题型5集合的表示方法

【例题5】（2023秋广东东莞高一校考期中）集合{刈-3<2%-1<3,乂62}=（）

A.（-1,2]B.{1,2}C.{0,1,2}D.{-2,-1,0,1,2}

【变式5-1J1.（2023秋・上海静安•高一上海市新中高级中学校考期中）方程（久2+2久尸-2（/+2久）-3=

。的解集为

【变式5-1]2.（2023秋•上海徐汇•高一上海中学校考期中）集合核反eN且黑eN}可用列举法表示

为

【变式5-1]3.（2023秋•陕西榆林•高一校联考期中）如图，坐标系中矩形0aBe及其内部的点构成的集合

可表示为

【变式5-1]4.（2022秋•新疆乌鲁木齐•高一校考期中）方程组的解构成的集合为.

（乙x-iy—o

题型6子集、真子集的个数

【例题6]（2023秋・广东深圳•高一深圳市南头中学校考期中）集合力={久eZ|言<0},则集合4的子集

的个数为（）

A.3B.4C.7D.8

【变式6-1]1.（2023秋・湖北荆州•高一沙市中学校考期中）集合4={XGZ|1<X<3],B={XGZ|x2-

7x+10<0},则力UB的子集的个数为（）

A.2B.5C.6D.8

【变式6-l]2.（2022秋福建漳州•高一校考期中）已知集合力={%|X2-3X+2=0）,B={X|0<X<5,XG

N）,则满足条件AeccB的集合C的个数为（）

A.15B.16C.7D.8

【变式6-1]3.（2023秋・上海静安•高一上海市新中高级中学校考期中）集合力={幻-1<x<2},则集

合4nZ的真子集个数为

题型7集合关系的判断

【例题7】（2022秋湖南常德•高一汉寿县第一中学校考期中）下列各式中，错误的个数是（）

①{0}e{0,1,2}；@{0,1}={（0,1）}；00£[0,1,2}；©0={0}.

A.1B.2C.3D.4

【变式7-1]1.（2021秋•湖北十堰•高一校联考期中）下列集合中表示同一集合的是（）

A.M={（3,2）},N={（2,3）}

B.M={（x,y）\x+y=1},N—{y\x+y=1}

C.M={4,5},N={5,4}

D.M={1,2},N={（1,2））

【变式7-1]2.（多选）（2022秋•陕西西安•高一统考期中）下列说法中正确的是（）

A.任何集合都是它自身的真子集

B.集合{a3}共有4个子集

C.集合{x|x=3n+l,nEZ]=（x\x—3n—2,neZ]

D.集合{x|久=1+a3,a£/V*}={x\x=a2—4a+5,aEN*}

【变式7-1]3.（多选）（2023秋•重庆九龙坡•高一重庆市杨家坪中学校考期中）给出以下几组集合，其

中是相等集合的有（）

A.M={（-9,3）},N={-9,3）

B.M=0,N={0}

C.M-(—5,3)(N={x[—5<x<3}

D.M={x\x2—3%+2=0},N={y\y2—3y+2=0}

【变式7-l]4.（多选）（2022秋•陕西西安・高一高新一中校考期中）若集合力=[x\x=m+^meZ],B=

[xIx=GZ],C=[%|x=|+GZj,则4,8,C之间的关系是（）

A.A=B=CB.B=CC.AQBD.BUA

题型8根据集合关系求参数

【例题8]（2023秋•四川绵阳•高一统考期中）已知集合a={久|0<久<2},B={x|l<x<a},若Baa,

则实数a的取值范围是（）

A.a>2B.a<2

C.l<a<2D.a<2

【变式8-1】1.（2023秋•甘肃白银•高一校考期中）已知集合4={xeR|2比—3—a20},集合B=

{yeR|y=/一3久+2},若4UB,贝必的取值范围为（）

77

A-a--2B-a>-2

C.a4—77D.aV—

22

【变式8-1]2.（多选）（2023秋・安徽蚌埠•高一校考期中）集合4={1,3,标}，集合B={1,爪},若BC4,

则m的值可以是（）

A.0B.1C.V3D.3

【变式8-1]3.（2023秋•上海静安•高一上海市回民中学校考期中）集合M={x|x2+x-6=0},N=

{y|ay+1=0},NUM,则实数a的取值集合为

【变式8-1】4.（2023秋•北京海淀•高一人大附中校考期中M={y\y=«},B={x|x2-（a+1）%+a=0},

BQA,则实数a的取值集合是

题型9根据相等关系求参数

【例题9]（多选）（2022秋・广东东莞•高一东莞市东莞中学校考期中）若集合{x|a/+x+a=0）=

{x|x—6=0},贝帕的值可能为（）

A..lB.OC.|D.1

【变式9-1]1.（2023秋•上海浦东新•高一统考期中）含有三个实数的集合可表示为{a,\1},也可表示为

{a2,a+b,0},贝以2。23+。2。23=

【变式9-1]2.（2023秋・上海黄浦•高一统考期中）若{居y}={2久,2x2}，贝卜+y=

【变式9-1]3.（2023秋•广东茂名•高一茂名市第一中学校考期中）已知集合4=={4,m2},

且4=B,则m的值为

题型10集合的并交补运算

【例题10]（2023秋•黑龙江齐齐哈尔・高一齐齐哈尔市第一中学校校联考期中）已知集合4=[-1,0,1,2,3）,

B={124,8},贝必nB=（）

A.{-1,0,1,2}B.{0,1,2}C.{1,2}D.[1,2,4,8}

【变式10-1】1.（2023秋•辽宁沈阳•高一辽宁实验中学校考期中）已知集合4=（%|%2-2%<0}，集合B=

[x\y=yjx-1},贝（MUB=（）

A.[0,+oo）B.[1,2]C.[0,2]D.[l,+oo）

【变式10-1】2.（2023秋・上海徐汇・高一上海中学校考期中）已知集合4={x|yV3^=1},B=

{y|yV3—x=1},贝!MC\B=.

【变式10-1】3.（2023秋•辽宁阜新•高一阜新市高级中学校考期中）已知集合4=团-3<x<2},B=

{幅>。}・

（1）求auB；

⑵求an（cRs）.

【变式10-1】4.（2023秋・广东江门•高一校考期中）已知全集（/=44=3—4式”<2}方=

{x|0<x+l<4],P=[x\x<0或x>5}.

(IMCB,CuB

(2)(力nB)U(CuP)

题型11根据集合的运算求参数

【例题11](2023秋•山东•高一校考期中)已知全集U={-4,-l,0,l,2,4},M={%eZ|0<%<3},W=

{xIX2—x-2=0}.

⑴求集合MN；

(2)若集合{爪2,瓶一2)=Cu(MUN),求实数m的值.

【变式11-1】1.(2022秋•福建泉州•高一统考期中)函数f(x)=7f2+x+12的定义域为集合A,集合

B—[x\m—3<%<2m+5].

(1)若m=0,求集合(CRA)nB；

(2)若AnB=X,求ni的取值范围.

【变式11-1】2.(2022秋•江西赣州•高一统考期中)从①ACB=B，②AUB=4,③(CRA)nB=0三

个条件中，任选一个补充到下列横线中，并求解下列问题.

集合力={x\x2—2x—3<0},B={x\a-1<%<2a+2].

(1)当a=—1时，求4UB；

(2)若求实数a的取值范围.

【变式11-1】3.(2021秋•上海嘉定•高一上海市嘉定区第一中学校考期中)已知集合4={%|^>1],

B={x\x2—(2a+3)%+a(a+3)<0].

(1)当a=1时，求4nB；

(2)若BuA,求实数a的取值范围.

【变式11-1]4.(2022秋・辽宁•高一沈阳市第十一中学校联考期中)已知全集U={-3,-l,0,2,4},M=

{x|x2+ax=0},N={x\x2+bx+a=0],且MCN={2}.

（1）求集合M,N;

（2）若集合{/，机-1}=C„（MuN）,求实数m的值.

题型12集合的实际应用

【例题12］（2022秋•江西景德镇•高一统考期中）某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加

数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只

参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，只参加数、化两科的有5名.若该班学生共有51

名，则没有参加任何竞赛的学生共有（）名

A.7B.8C.9D.10

【变式12-1】1.（2023秋•宁夏银川•高一校考期中）中国健儿在杭州亚运会上取得傲人佳绩，获奖多多,

为丰富学生课余生活，拓宽学生视野，石室成飞中学积极开展社团活动，每人都至少报名参加一个社团，

高一（1）班参加/杜团的学生有17人，参加B杜团的学生有21人，参加C社团的学生有22人，同时参加A,B社

团的学生有3人，同时参加社团的学生有4人，同时参加4c社团的学生有7人，三个社团同时参加的学

生有1人，那么高一（1）班总共有学生人数为

【变式12-1】2.（2023秋・重庆南岸•高一重庆市第十一中学校校考期中）重庆市第十一中学校每学年分上

期、下期分别举行“大阅读"与"科技嘉年华”两项大型活动，深受学生们的喜爰.某社团经问卷调查了解

到如下数据：96%的学生喜欢这两项活动中的至少一项，78%的学生喜欢“大阅读”活动，87%的学生喜

欢”科技嘉年华”活动，则我校既喜欢"大阅读"又喜欢"科技嘉年华”活动的学生数占我校学生总数的

比例是

【变式12-1】3.（2022秋•江西赣州•高一统考期中）为丰富学生课余生活，拓宽学生视野，某校积极开展

社团活动，高一（1）班参加4社团的学生有21人，参加8社团的学生有18人，两个社团都参加的有7人，

另外还有3个人既不参加4社团也不参加B社团，那么高一（1）班总共有学生人数为

【变式12-1】4.（2022秋•上海宝山•高一上海市行知中学校考期中）行知中学高一某班学生参加物理和数

学竞赛辅导班的选拔，已知该班学生参加物理竞赛辅导选拔的人数是该班全体人数的八分之三；参加数学

竞赛辅导选拔的人数比参加物理竞赛辅导选拔的人数多3人；两个科目都参加选拔的人数比两个科目都不

参加的学生人数少7人；则该班参加数学竞赛辅导选拔的人数是

题型13充分条件、必要条件的判断

【例题13]（2023秋安徽合肥•高一校考期中）设％eR,则'<3"是"x（x-2）<0"的（）

A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【变式13-1】1.（2023秋•辽宁沈阳・高一辽宁实验中学校考期中）已知命题p：a>b,命题q：ac2>be2,

则命题P是命题q的（）条件

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式13-1】2.（2023秋・上海徐汇•高一上海中学校考期中）已知集合p：a>0,b>0-,0：/手>等；

02：半2而；03：而2鬻，则（）

A.p是qi的充要条件B.p是央的充要条件

C.p是勺3的充要条件D.以上都不对

【变式13-1】3.（2023秋・上海静安・高一上海市回民中学校考期中）设陈述句a:x<1或无>2,p-.x<

。或x>2,贝！Ja是0的（）条件

A.充分非必要B.必要非充分

C.充要D.既非充分也非必要

【变式13-1】4.（2023秋•重庆沙坪坝•高一重庆八中校考期中）已知p:-—8nl<0,q:关于x的不等

式/+（爪—4）%+9>0的解集为R,则p是4的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

题型14根据充分条件、必要条件求参数

【例题14]（2023秋•上海黄浦・高一格致中学校考期中）若"|x-l|+k+1|>4"是的充分

非必要条件，则实数a的取值范围是

【变式14-1]1.（2023秋•上海闵行•高一校联考期中）设命题p:集合4={幻-2W久W0},命题q:集

合B={x|2a+1三支式1一研，若「今9,则实数a的取值范围是

【变式14-1]2.（2023秋云南•高一校联考期中）已知集合P={x\a+1<%<2a+1},Q={%|-2<%<

5）.

（1）若a=3,求（CRP）nQ；

（2）若"xGP"是"xGQ"充分不必要条件，求实数a的取值范围.

22

【变式14-1J3.（2023秋•云南•高一校联考期中）已知集合4={幻M>1},B={x\x-2x-a-2a<0}-l

（1）当a=4时，物CB；

（2）若x”是xeB的充分条件，求实数a的取值范围.

【变式14-1]4.（2023秋•上海黄浦•高一统考期中）已知集合4=（x\\x-a\<2},B=[x^<0].

Q）若a=2,求4nB；

（2）7eB"是〃xe/〃的充分非必要条件，求实数a的取值范围.

题型15命题的否定

【例题15】（2023秋•黑龙江齐齐哈尔・高一齐齐哈尔市恒昌中学校校考期中）命题的否

定是（）

A.Vx>I,/<2B.3%<l,%2<2C.Vx<I,/>2D.3%<l,x2>2

【变式15-1】1.（2023秋•黑龙江佳木斯•高一校联考期中）已知命题p:Va>0,a+”2,则命题p

的否定是（）.

A.3a>0,a+->2B.3a<0,a+i>2

aa

C.3ct>0,ciH—a<2aD.3（z<0）CL-\—42

【变式15-1]2.（2023秋•四川成都•高一校联考期中）设命题p：VmeZ,m2>2m-3,则「p为（）

A.VmEZ,m2<2m—3B.3mGZ,m2<2m—3

C.3mg4m2>2m—3D.VmgZ,m2<2m—3

【变式15-1】3.（2023秋•宁夏银川•高一校考期中）命题p：，六2,%220〃，则巾为（）

A.VxEZ,x2<0B.Vx£Z,x2<0

C.3x0GZz%o>0D.3x0GZz%□<0

【变式15-1J4.（2023秋•重庆南岸•高一重庆市第十一中学校校考期中）全称量词命题ER,/+5%工

4〃的否定是（）

A.3%e/?,%2+5%=4B.V%e/?,%2+5%=4

C.三%eR,/+5久。4D.V%€R,/+5%。4

题型16根据命题的真假求参数

【例题16]（2023秋•四川成都•高一校联考期中）命题p：VxGR,x2-x+m>0,若p为真命题，则实数小

的取值范围为（）

11

A.m<-B.m>1C.m>0D.m>-

44

【变式16-1】L（多选）（2022秋•陕西西安•高一西北工业大学附属中学校考期中）已知命题p：3x0ER,

a诏—4比—4=0,若p为真命题，贝必的值可以为（）

A.—2B.—1C.0D.3

【变式16-1】2.（2022秋•四川攀枝花•高一攀枝花市第三高级中学校校考期中）已知集合4={x|x2-3x+

2<0},函数f0）=x2-2ax+l.若命题"存在%。64,使得f（比）<0"为假命题，则实数a的取值范

围

【变式16-1】3.（2022秋•黑龙江齐齐哈尔•高一齐齐哈尔市第八中学校校考期中）已知命题p：关于x的方

程/+x+m=。有两个相异负根；命题q：Vxe(0,+oo),x2-3mx+9>0.

（1）若命题q为真命题，求实数小的取值范围；

（2）若这两个命题同为假命题，求实数小的取值范围.

【变式16-1】4.（2023秋•北京昌平•高一昌平一中校考期中）命题PNX6（l,+8）,x+WNa为真命题，

则可以表示为，实数a的取值范围是

题型17代数式比较大小

【例题17]（2023秋•黑龙江齐齐哈尔•高一齐齐哈尔市恒昌中学校校考期中）已知4=^1,B=V5-1,

则（）

A.A<BB.A—BC.A>BD.不能确定

【变式17-1]1.（2023秋•新疆喀什•高一统考期中）若4=a?+2ab,B=4ab-b2,则4B的大小关系是

（）

A.AWBB.A>B

C.A<B斯>BD.A>B

【变式17-1]2.（2021秋•山东泰安•高一泰安一中校考期中）设「=（a?+a+1厂】，q=a?-a+1,则

（）.

A.p>qB.p<qC.p>qD.p<q

【变式17-1】3.（2023秋・甘肃白银•高一校考期中）判断（尤+3）（x-2）与（％+5）0-4）的大小：

【变式17-1]4.（2022秋•河北石家庄•高一校考期中）（1）设a>6>0,比较宾与M的大小；

a+b

（2）已知a>b>0,c<d<0,e<0求证：-^―>-^―.

la—cb—d

题型18不等式的性质

【例题18]（2023秋・上海静安・高一上海市新中高级中学校考期中）已知a>b,则下列命题中正确的是

（）

2222

A.a>hB.ac>beC.a+c>b+cD.-a<-b

【变式18-1J1.（2023秋•上海浦东新•高一上海南汇中学校考期中府四个命题-@a>b^c-a<c-b-,

②a>b,c>dac>bd；③a/>be2=>a>b；（4）a3>b3=>a>b.其中正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【变式18-1]2.（2023秋•陕西榆林•高一校联考期中）对于实数a,b,c,下列命题为真命题的是（）

A.若a>b,贝岭<|B.若a>b,贝!Jac?>be2

C.若>b3,则a>bD.若|a|>\b\,则a>b

【变式18-1]3.（多选）（2020秋•浙江温州•高一校联考期中）如果a<b<0,那么下列不等式正确的

是（）

22

A.-a<-bB.ac<be

22

C.a+-b<Z）+-aD.a>ab>b

【变式18-1】4.（2022秋•山东青岛•高一青岛二中校考期中）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智

石》一书中首先把"="作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用">"和"<"符号，并逐步

被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.已知a,b为非零实数，且a>b；则下列结论正确的

是（）

A.B.ab2>a2bC.a2>b2D.2>2

ababza^b

题型19不等式求代数式的取值范围

【例题191（2023秋•黑龙江齐齐哈尔•高一齐齐哈尔市恒昌中学校校考期中）已知0<%<1,-l<y<2,

设z=-乂+2y,贝!|z的取值范围是.

【变式19-1】1.（2023秋•上海徐汇•高一上海中学校考期中）若-1<a<3且-2<b<l,则2a-36的

取值范围是

【变式19-1]2.（2023秋•北京•高一北京市八一中学校考期中）若-2<a<3,1<6<2,贝!]a-b的取

值范围是

111

【变式】秋・重庆南岸高一重庆市第十一中学校校考期中)已知实数

19-13.(2023•ae(1,3),6e,8‘4,

则彳的取值范围是

【变式19-1]4.2023秋•安徽合肥•高一校考期中)(1)已知实数x,y满足-1<x<2,0<y<1,^x-2y

的取值范围；

已知—求的取值范围.

(2)1<a+b<3t2<a—b<4,2a+3b

题型20基本不等式求最值

【例题】秋黑龙江齐齐哈尔高一齐齐哈尔市恒昌中学校校考期中)已知正实数

202023••a,6fl+b+3=ab,

求：

(l)a+b的取值范围；

(2户+5的取值范围.

【变式20-1]1.(2023秋•四川绵阳•高一统考期中)已知a>0,6>0,且a+6=卷.

(1)求a+6的最小值，并求出相应a,b的值；

(2)是否存在实数a,b，使得5+楙=百成立，若存在求出a,6；若不存在，请说明理由.

【变式20-1]2.(2023秋辽宁大连•高一大连二十四中校考期中)已知正数居y满足/y(4比+3y)=3,

则2%+3y的最小值为

【变式20-1]3.(2023秋•重庆南岸•高一重庆市第十一中学校校考期中)已知实数a£(1,3),6eg(J),

则等的取值范围是

【变式20-1J4.(多选X2023秋•辽宁沈阳•高一辽宁实验中学校考期中)已知正实数a、b满足ab+a+b=

8,下列说法正确的是()

A.ab的最小值为4B1+念的最小值为g

C.a+9b的最小值为8D.-^―+的勺最小值为§

a(b+l)b2

题型21基本不等式的实际应用

【例题21]（2023秋•北京•高一北京市八一中学校考期中）为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入

生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润s（单位：万元）与生产线运转时间t（单

位：年，teN*）满足二次函数关系：s=-2t2+30t-98,现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行

的时间t为（）年.

A.5B.6C.7D.8

【变式21-1]1.（2023秋•新疆乌鲁木齐•高一新疆实验校考期中）某公司生产某种产品，其年产量为x

万件时利润为RO）万元.

（1）当0<xW35时，年利润为R（x）=-六2+20%+250,若公司生产量年利润不低于400万时，求生产

量x的范围；

⑵在（1）的条件下，当x>35时，年利润为RQ）=-手+520.求公司年利润R（x）的最大值

【变式21-1]2.（2023秋•上海浦东新•高一统考期中）某品牌饮料原来每瓶成本为6元，售价为8元，

月销售5万瓶.

Q）据市场调查，若售价每提高0.5元，月销售量将相应减少0.2万瓶，要使月利润不低于原来的月总利润

（月总利润=月销售总收入-月总成本），该饮料每瓶售价最多为多少元？

（2）为提高月总利润,厂家决定下月进行营销策略改革，计划每瓶售价我久>9）元，并投入-9）万元作

为营销策略改革费用，据市场调查，每瓶售价每提高0.5元，月销售量将相应减少得万瓶则当每瓶售价

X为多少时，下月的月总利润最大？

【变式21-1]3.（2023秋・上海•高一校联考期中）货车以x千米/时的速度匀速行300千米，按交通法规

则限制50<x<100（单位：千米/时），假没汽油价格是每升8元，汽车每小时耗油（4+总）升,司机的

工资是每小时50元.

（1）求这次行车总费用y（元）关于x（千米/时）的表达式；

（2）当x为何值时，这次行车的总费用y最低？求出最低费用的值.（所有结果精确到1）

【变式21-1]4.（2023秋•重庆九龙坡•高一重庆市田家炳中学校考期中）今年前8个月，我国光伏新增装

机达到4447万千瓦，同比增长2241万千瓦.某公司生产光伏发电机的全年固定成本为1000万元，每生

2%2+40%0〈％V40

O。…-ALI还乙乙。Ujjt*UvAi.UnUe，

{X

该光伏发电机年产量最大为10000台.每台发电机的售价为16000元，全年内生产的发电机当年能全部售

完.

（1）将利润P（单位：万元）表示为年产量x（单位：百台）的函数；

（2）当年产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？（总收入=总成本+利润）.

题型22不等式在非“R”区间上恒（能）成立

【例题221（2023秋•黑龙江大庆•高一大庆实验中学校考期末）已知二次函数f（久）=x2-（a+l）x+a,ae

R.

（1）若关于X的不等式/（久）<-1对VX£（2,3]恒成立，求a的取值范围；

（2）已知函数g（x）=x-1,若对VrqG[0,1],3x2G[一1,2],使不等式次的）>/（右）成立，求a的取值范围.

【变式22-1】1.（2022秋•江苏连云港•高一期末）已知爪eR命题p：V0<%<1，不等式2x-2>m2-3m

恒成立；命题q:三一1Wx<1,使得m<ax成立.

（1）若p为真命题，求小的取值范围；

（2）当a=1时，若q和p一真一假，求实数小的取值范围.

【变式22-1]2.（2021秋・湖南常德•高一临澧县第一中学校考期末）设命题p:存在实数xe[1,2],使

不等式a?一5a-3>x+2成立；命题q：对任意实数久6[1,2],使/-2ax+1<0恒成立,若p和q均为

假命题，求实数a的取值范围.

【变式22-1]3.（2021春•广东佛山・高一统考期末）设二次函数f⑺=/+mx.

（1）若对任意实数小£[0,1],/（%）>0恒成立，求实数x的取值范围；

（2）若存在软e[-3,4],使得/0。）<-4成立，求实数m的取值范围.

【变式22-1J4.（2023秋•黑龙江大庆•高一大庆实验中学校考期末）已知二次函数f0）=%2-（a+1）%+

a,a€R.

Q）若关于X的不等式f（久）<-1对Vxe（2,3]恒成立，求a的取值范围；

⑵已知函数g（x）=比-1,若对6[0,1],3X2G[-1,2],使不等式g01）>/（久2）成立，求a的取值范围.

题型23二次函数在“R”上恒（能）成立

【例题23]（2022•全国•高一期末）若不等式2k/+依—|<0对一切实数久都成立，贝心的取值范围为

O

（）

A.-3<A:<0B.-3<fc<0C.-3<fc<0D.-3<fc<0

【变式23-1]1.（多选）（2022秋•重庆巫山•高一重庆市巫山大昌中学校校考期末）已知命题p：对VxeR,

不等式（a?-142—2（a-1）%-1<0恒成立，则命题p成立的必要不充分条件可以是（）

A.0<a<1B.0<a<1

C.0<a<2D.-l<a<l

【变式23-l】2.（2023秋•江苏无锡•高一统考期末）已知关于x的不等式/+磔+aN0对VxeR恒成立.

（1）求实数a的取值集合M；

（2）已知集合N={x\m-1<久<3m},若，xeN，都有xeCRM成立"为真命题，求实数m的取值范围.

【变式23-1]3.（2022秋•江苏连云港•高一期末）已知a>b,关于x的不等式a/+2x+b>。对于一切

实数x恒成立，又存在实数&，使得ax°2+2久°+b=0成立，则可最小值为

CL—D

【变式23-1]4.（2023秋,浙江湖州•高一期末）已知函娄好（久）=X-2,g（x）=x2-2mx+4（m6R）.

（1）若对任意xeR,不等式g（久）>久）恒成立，求m的取值范围；

（2）若对任意XiG[1,2],存在比26[4,5],使得g3）=/（x2）,求m的取值范围；

⑶若m=-1,对任意九£R，总存在和£[-2,2],使得不等式|g0o）-x^+n\>k成立，求实数k的取值

范围.

题型24函数的定义域

【例题24】(2022秋•全国•高一期末)函数f(x)=V7不T-5的定义域是()

A.RB.[―1,+8)

C.(—oo/O)U(0,+8)D.[—1,0)U(0,4-oo)

【变式24-1]1.(2022秋•吉林四平•高一校考期末)函数f。)=错的定义域为

【变式24-1]2.(2023秋・上海松江•高一校考期末)函数y=岛的定义域为(用区间表示).

【变式24-1J3.(2023秋•重庆长寿•高一重庆市长寿中学校校考期末)已知函数“久+1)的定义域为[1,2],

则/(2乃的定义域为

【变式24-D4.(2023秋•陕西西安・高一长安一中校考期末)已知函数f(2x)的定义域为百2],则函数A/)

的定义域为

题型25同一函数的判断

【例题25](2022秋四11南充•高一校考期末)下列各组函数表示同一函数的是()

A./(%)=,g(%)=(V^)2B./(%)=1,g(%)=x°

C./(%)=二°。，g(t)=\t\D./(x)=%+1,5(%)=u

lJi-)人UXJ.

【变式25-1]1.(2022春•天津南开•高一统考期末)下列各组函数是同一函数的是()

①/(%)=2%3与g(%)=2%.②/(%)=%与4%)—(3)/(%)=%。与±(4)/(%)=x2—2x—

1与g(X)=t2—2t—1.

A.①②B.①③C.③④D.①④

【变式25-1]2.(2020•浙江杭州•高一期末)下列各组函数表示同一函数的是()

A.y=斗与y=1B.y=亍与丫=x

C.y=与y=xD.y=—1)2与y=x-1

【变式25-1]3.(2020•浙江杭州•高一期末)下列四组函数，表示同一函数的是()

A./(%)=,g(x)=xB./(x)=亍,g(%)=x

2

C./(%)=Vx—4,<g(x)=Vx—2•Vx+2D./(x)==%

【变式25-1]4.(多选)(2023秋•重庆九龙坡•高一统考期末)下列四组函数中，表示同一函数的一组是

()

A.y=\x\,u=Vv2B.y=%—1,s=1—1

C.y=x3,m=D.y=x2,y=(Vx)4

题型26求函数的解析式

【例题26](2020秋•陕西延安•高一校考期末)已知函数-1)=2%2+3%,则/(%)=()

A.2x2+7%+3B.2x2+%—1

C.2x2—7x+5D.2x2+7%+5

【变式26-1]1.(2023秋•浙江丽水・高一统考期末)已知f(%),g(%),以%)为一次函数，若对实数%满足

rI

2x-l,x<--

f(x)+\g(x)\-\h(x)\=6x+l,-i<x<|,则/'(x)的表达式为()

I”

A./(%)=x—2B./(%)=%+2

C.f(x)=-x—2D./(%)=—久+2

【变式26-1]2.(2023秋•重庆沙坪坝•高一重庆一中校考期末)已知定义在R上的函数/(%)满足2/(%)-

/(-X)=X+1,则/'(%)=()

A.-+1B.x+-C.—D.%+1

333

【变式26-1]3.(2023秋•山东淄博•高一山东省淄博第六中学校考期末)设定义在(。,+8)上的函数g(x)满

足gO)=2Vx•gG)-1,则g(x)=

【变式26-1]4.（2023秋・江西宜春•高一校考期末）已知二次函娄好（尤）关于直线x=1对称，/（0）=3,

且二次函数/（久）的图像经过点（1,2）.

（1）求"久）的解析式;

（2）求/⑺在[0,3]上的值域.

题型27函数的值域

【例题27]（2022秋•贵州毕节•高一统考期末）下列函数中，定义域和值域不相同的是（）

A.y=-%B.y=V%C.y=-D.y=（X1）%^^

【变式27-1]1.（2022秋•湖南长沙•高一统考期末）下列函数中，值域是（0,+8）的是（）

A.y=V%2—2x+1B.y=,xG（0,+co）