第二章 圆锥曲线 单元测试（含解析）-2024-2025学年高二年级上册数学北师大版选择性必修第一册

第二章圆锥曲线单元测试A.^尸。每周长的最小值为18

学校:姓名：班级：考号：

B.四边形尸耳。鸟可能为矩形

C.若直线以斜率的取值范围是则直线尸8斜率的取值范围是卜*-1]

一、单选题

1.已知尸（%,y）是椭圆高+1=1上的点，则％+y的值可能是（）

D.朋•丽的最小值为-1

A.13B.14C.15D.168.法国著名数学家蒙日首先发现椭圆两条互相垂直的切线的交点轨迹是以椭圆的中心为圆心的圆，后来这

2.在平面直角坐标系》2y中，已知双曲线4-《=1（。>0,人>0）左、右顶点为A,B,若该双曲线上存在点个圆被称为蒙日圆.已知椭圆。:]+丁=1,其蒙日圆为圆M,过直线/：%-丁-4=0上一点P作圆M的两

ab

P,使得的斜率之和为1,则该双曲线离心率的范围为（）条切线，切点分别为A,B,则下列选项正确的是（）

A.圆M的方程为％?+y2=3B,四边形面积的最小值为4

C.西•厢的最小值为8拒—12D.当点尸为（1,一3）时，直线的方程为％-3丁一4=。

3.已知椭圆C：W+g=l（a>b>0）的左顶点为A,上顶点为3,右焦点为凡所的中点为M,

ab

AMBF=O,则椭圆C的离心率为（）三、填空题

A.5B.iC.®D,i

9.若抛物线丁2=g的准线与直线％=1间的距离为3,则抛物线的方程为__.

4422

4.已知椭圆，■+丁=1（。>1）的左、右焦点分别为耳，F,P（l,m）为椭圆上一点，若已知过点P且与椭圆

210.已知抛物线C：/=y，点尸和吊△CPD为此抛物线的两个内接三角形（即三角形的三个顶

相切的切线方程为/：4+〃"=1,所垂直于直线/且与x轴交于点M,若“为。A的中点，则该椭圆的离点均在抛物线上），且均以点P为直角顶点，则直线45与直线CD的交点坐标为_____.

a

11.设曲线C上的动点尸与定点尸（1。）的距离和点P到定直线/:%=4的距离的比为;•倾斜角为60。的直线机

心率为（）

A.-B.变C.—D.立

\AF\

3322经过点尸与曲线C交于AB两点（点A位于X轴上方），则/=____.

5.已知|£段=10,点尸满足|尸闾-|尸耳|=6,动点M,N满足I政V|=2,丽=圆，则府.两的最小值

12.已知椭圆C：5+《=l（a>b>0）的左、右焦点分别为片，F2,M是。上的动点，耳鸟的面积的最

是（）

大值为3,则C的长轴长的最小值为.

A.3B.—C.4D.—

33

6.已知双曲线C：1―£=1（。>0力>0）的左、右焦点分别为耳，F2,过片的直线与圆％2+丁="相切于

四、解答题

13.已知椭圆E，+g=l（a>"0）的离心率为手，且过点〃（3,1）.若斜率为6的直线4与椭圆石相切

点。与双曲线的右支交于点P,若线段PQ的垂直平分线恰好过右焦点歹2,则双曲线C的离心率为（）

A.姮B.叵C.好D.2\PT?

232于点T,过直线4上异于点T的一点F,作斜率为网的直线4与椭圆E交于A3两点，定义二F焉为点尸

I叫回

处的切割比，记为4.

二、多选题

7.过椭圆.+}=1的中心任作一直线交椭圆于P,。两点，K，尸2是椭圆的左、右焦点，A,8是椭圆的⑴求E的方程；

2516

左、右顶点，则下列说法正确的是（）（2）证明：（与点尸的坐标无关;

2025年

(3)若4=],且，2〃。7(。为坐标原点)，则当右<。时，求直线4的方程.

14.已知直线4，X轴，垂足为九轴负半轴上的点E,点E关于坐标原点。的对称点为尸，且|母1=4,直线

A±4,垂足为A,线段AF的垂直平分线与直线乙交于点3.记点B的轨迹为曲线C.

⑴求曲线C的方程.

⑵已知点尸(2,4),不过点P的直线/与曲线。交于M,N两点，以线段MN为直径的圆恒过点尸，试问直线/

是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由.

15.已知双曲线C：5—£=l(a>0,10)的右顶点为为，双曲线C的左、右焦点分别为片、片，且用闾=4,

双曲线C的一条渐近线方程为y=®.

⑴求双曲线C的标准方程；

(2)已知过点?(1,4)的直线与双曲线。右支交于43两点，点。在线段上，若存在实数44>0且丸。1),

UUUUUUUUULU

WAP=-APB,AQ=AQB,证明：直线4Q的斜率为定值.

16.已知椭圆C:1+¥=l(a>b>0)的左、右两个焦点分别是句，F2,焦距为2,点M在椭圆上且满足

ab

MF2.\-FIF2,\MFI\=3\MF2\.

⑴求椭圆C的标准方程；

(2)点。为坐标原点，直线/与椭圆C交于A,B两点,且。4LOB,证明:必+不’?为定值,并求出该定

值.

2025年

%=12cos8,y=5sin8,得至!J

a2-4b2

b2x2-a2-T-x2=a2b2=>x2a2

%+y=13sin(e+。)，求得%+y的取值范2

o,a7

围，即可求解.

,则要使方程有根，需使

22

【详解】由椭圆二+乙=1,可设1

2/\C

14425a>4b2=4卜2—=__

x=12cosy=5sin,其中0G[0,2TT],

则％+y=12cose+5sin6=13sin（6+0）,其故选：D

.12

中tan0=不，3.C

【分析】由椭圆的标准方程写出A、B、F

因为-IWsin（夕+0）41,所以

点的坐标，则M坐标可求，然后结合数量

—13<x+y<13,

积公式得到“，瓦c的等量关系式，结合

即x+y的取值范围为[-13,13],结合选

b2=a2-c2可得离心率的值.

项，可得A符合题意.

【详解】根据椭圆方程，可得4（-。,0）,

故选：A.

B（O,b）,F（c,O）,C，

2.D

2A2

【分析】由题可得〉=冬彳与双曲线有公利用赤•而=0,整理得

a~

共点，据此可得答案.+2ac—/=0,

【详解】易知A（-a,0）,即/,0）,设把b1=a2-c29代入得(〃-c)2=3c2.

尸(x,y)(ywO),则上+上=1,所以

x+ax—a又所以a-c=&,

2xy=x2-a2,a=(百+l)c,

227

又号r—=v=1,所以J.4啧J,即A/3-1

离心率e，c

a西+l)c2

2孙=My2(yw0),所以>=与_龙，即直

ba故选：C.

2025年

4.C为以耳（—G。）,耳（c,0）（c>0）为焦点的双曲

【分析】根据PM求出直线RW的方

线的左支，

程，令y=o,得M点的横坐标，再根据M

设双曲线的标准方程为

为。尸2的中点，求出。=1，a=垃,再根22

据离心率公式可求出结果.

贝！］2c=10,2a=6,

【详解】因为尸（LM在椭圆

c=5,a=3,Z?=4,

丫21

—+/=1（61>1）±,所以二+>=1,

aa・・・点尸的轨迹方程是

若根=0,贝!Ja=±l,不符合题意，所以

•:丽=甲,

由切线/的方程力冲=1得切线斜率

耳为M、N的中点,

k=_—

erm-------►►/►»\/——►»\»2—>2»21

PM.PN=(PF[+F]M)(PK+KN)=PF】-FXM=PF、--M

由/，PM得尸M的斜率kpM=a2m,

所以直线9的方程为y=片根,

■：^PFl\>c-a=2,

令》=。，得一根="根（%一1）,因为机。0,

:.PMPN>3,

所以％=1--,.••可乙两的最小值为3,当点尸在双曲线

a

的左顶点时取等号.

因为M为。工的中点，且鸟（c,0）,

故选:A.

所以1-3=三，又〃=02+1,联立可得

a26.A

c=lfa=^2，【分析】根据题意画出草图，由题意。为

所以该椭圆的离心率e=R2.月入的中点可得

2

\FQ\=\MQ\,\MF\=2\OQ\,求出

故选：C.12

5.A

\FtQ\=b,即可得到|MP|,|P£I,根据双

【分析】根据题意先求出点尸的轨迹方

曲线定义推得「瑞长度，在直角三角形

程，再根据丽•丽=阿-1知求

中用勾股定理即可找到a力之间

两.两的最小值即求百I的最小值.

的关系，即可求得离心率.

【详解】解：由题意知不妨设点尸的轨迹

2025年

22

【详解】设3-夫=1(〃>0,。>0)的焦距|MEF+|MP|2=|PB/，即

cib

为2c,则耳(-c,0),n(c,0)4a2+^2=(3Z?-2A)2,

由题意过目的直线与圆Y+>2=/相切于化简得助2=12她.：=±,

a2

点Q连接。。，则取3,故双曲线的离心率为

连接尸骂,设M为PQ的中点，则

故选：A

【点睛】关键点点睛：要求双曲线的离心

率，即要求出之间的关系，因而解答

本题时，根据题意推出相关线段的长，特

别是1尸引,|尸耳，继而在RMBMP中应用

勾股定理即是关键所在.

7.AC

【分析】A由椭圆对称性及定义有APQ区

周长为|PQ|+1。，根据椭圆性质即可判

点,即I煌2HM2LIM居l=2|OQ|,

断；B根据圆的性质，结合椭圆方程与已

在RtVOQ耳中,\OFl\=c,\OQ\=a,故

知判断正误；C、D设尸(七,%),利用斜率

I片Q1=Vc2-a2=b，

两点式可得kPA-kPB=-1|,进而判断C正

贝由于M为PQ的中点，所以

\MP\=b,误，应用向量数量积的坐标表示列关于七

即|尸耳1=36,的表达式，结合椭圆有界性求最值.

22

【详解】：根据椭圆的对称性，

在双曲线中，P在右支上，有A

ab

|段+|「闾+|0段=|尸&+|尸词+|「制=|尸°|+10

\PFi\-\PF2\=2a,

,当尸。为椭圆的短轴时，|尸0有最小值

所以|尸乙1=36-2”，又

8,所以4尸。工周长的最小值为18,正确；

\MF2\=2\OQ\=2a,

B：若四边形尸片。居为矩形，则点P,。必

所以在中，

在以月B为直径的圆上，但此圆与椭圆

2025年

22

工+匕=1无交点，错误;直线/"-k4=0的距离

2516

d=-j==2y/2,所以|PA|的最小值为

C：设尸(如％),则

z=2,故B正确；

,161』'

k,k二%%%一I25兀16之

PAPB

~x0+5x0-5^x1-25~x1-25~没NAPM=0,则sinO=轲，故

~2

,因为直线外斜率的范围是,所以8

-」cos20=l-2sin20=1--------z-

「821\PM\'

直线尸5斜率的范围是-y一二，正确；।।

所以

D：设尸伉,%),则

___PA-PB=IPAI-IFBIcos20=IPAI2-cos20=(\PM?-4)(1——二)=|尸

西.而=(_3_%,_%).(5_/,_%)=君_2/-15+犷.................

=片-2%-15+16|1-四

25又

9(25丫16日J一八足|PM|2+^^v-12>2732-12=8^-12

=25C°-Vj一§,因为-5，**5，所111PMl2'

以当x()=m时，最小值为--g,当且仅当=4夜取等号，

错误.而|R图的最小值2近，故|PM『的最小值

故选：AC.

8,故等号取不到，故C不正确；

8.BD

当点尸为(1,一3)时，点p,A,M,8四

【分析】利用椭圆的性质，找特殊位置容

点共以9为直径圆上，

易求得圆加的方程，结合直线与圆的位置

所以这个圆的方程为

关系，可以推出.

(x-l)x+(y+3)y=0,与圆M方程联立，

【详解】当切线的切点分别为椭圆上顶点

可得直AB的方程为x-3y-4=0,故D正

和右顶点时，可以得到两切线的交点为

确.

(A/3,1),所以蒙日圆M的方程为

故选：BD.

/+/=4,故A不正确；

【点睛】易错点睛：C选项中等号取不

四边形面积为：

到，容易出错，同时考查推理运算能力.

2S^=\P^-\AM\=2\P^,只需求出|PA|

PAM9./=-16尤或/=8x

的最小值，而|尸闾的最小值为点到

/(0,0)【分析】先求出抛物线的准线，再根据距

2025年

离列方程求解即可.48和C。的交点坐标为（-1,2）.

【详解】抛物线/=，"的准线为

故答案为：（-1,2）.

m

X-'

m

贝1J_]T=3,解得〃z=T6或MI=8,

故抛物线的方程为丁=-16尤或y2=8x.

故答案为：＞2=_16工或丁=81

10.（-1,2）

【分析】设A国引,5（孙考）,求出直线3

11.-/0.6

A3的方程，又两_L而得

【分析】根据两点距离公式以及点到直线

xx+x+x+2=0,与直线的方程作

l212A8距离公式，建立并整理可得轨迹方程，根

比较可得直线A8过定点，同理直线。过据倾斜角与已知点，写出直线方程，联立

相同定点可得答案.方程，求得交点A,8的坐标，结合图象，

【详解】设4（和引,网々芯）,则可得答案.

几:yT=&+/）（x_%）,

即如：y=（芯+吃）了一不吃,

又

PA_LPB,丽=（不—l,无；—1）,而=（%—1，考-1）

设P(x,y),则="(x-iy+y',点P到

则有直线/的距离d=|x—4],

&-1）（X?—1）+（町一1）（尤;一1）=o,1+（菁+1）（&可^^咛*多-R?=O

武丁号化简得；）1,

则对于如：而言，当％=

直线m的斜率k=tan600=百，由

—1时，y=2,即直线4B过定点

F（l,0）,则直线，"的方程为了=屈-君.

同理，/⑺也过定点（T2）,则可知直线

2025年

设4（占,%）,3（刍,%），并求|P7f,设直线4的方程为

y=yj3x-y/3y-n=k2（x-m）,联立椭圆方程结合韦达

22

'xy,消去y可得5--8%=0,

[43定理，求出|啊.|尸瓦利用

Q

解得石

=-,x2=0,（n-左间2=126+4化简,1.।,可得结

V7|PA|.|PB|

X=x[-\/3=，%=x0—=—V3

果；

（3）由（2）可知切点7（%,%）,得

3反

A尸=m=5,3=3,

BFy25/35kOT=~=~，结合已知进而可得直线

x31cl

30

故答案为:—.

OT的方程，联立椭圆方程求T点坐标，从

12.2底

而求出直线《的方程.

【分析】由椭圆得性质与基本不等式求解

【详解】（1）设椭圆E的半焦距为/由题

【详解】由题意知工x2c-b=3,所以

意知，£=半，所以匕贵=1,解得

2

a3a3

bc=3,

a2=3b2.

故C的长轴长

又椭圆E过点M（3,l）,所以2+2=1,结

2a=2-Jb2+c2>2yf2bc=246■

合Y=3那,解得/=124=4,

故答案为：2指

所以E的方程为《+上=1.

124

（2）设点尸（北小，直线4的方程为

（2）证明见解析

y-n=k^x-m）,

⑶y=x-4或y=x+4.{

【分析】（1）根据椭圆离心率得/=3〃，卜-—1

由124,消去兀得

又M（3,l）在椭圆上得_+今=1,联立可得

y-n=ki^x-rri）

结果；

（1+3左;+6勺（〃一左加）1+3（〃一Km）?-12=0

（2）设点尸（〃,,“），直线乙的方程为

y-n=k（x-m）,联立椭圆方程，由直线

lA=[6%i—4（1+3好）13（〃一七i机『—121=12[12左：

4与椭圆£相切，得（〃一勺m）2=12左；+4,

2025年

由直线4与椭圆E相切，得

+m2-12

(n—k{mf=12左；+4.

易知，点P（〃w）在椭圆E外，所以

/、3k,（n—k,m）

设切点7（、,%）,则%=一一：病）2

111”2

—+—>1,所以31+加2-12>0,

124

77n-k,m

为=Kxo+n-km=­I记,

{以卜陷=造（3层

+/n2-12).

所以

3勺（〃-3）/（1+底（小我加产即『=12^+4,得

八女；」（1+3琲+片加2_2俄耽=嘲+4,

即2mnki—n2+4=k；(m?一12).

设直线乙的方程为网（》-闻，联立

因为3蓼-(3/+小一⑵

F+Ji1+3片V>

由J124,

y-n=k2^x—m）(m+3叫旷_0+3片)0〃2+,rr-12)

-1+3G；

消去y,得

in"+9k［n~+6mllik1—3n~—nr+12—3勺~(3〃~+m~-12)

(1+3后)/+6^2(n—knm)x+3(^n—-12=0

1+3片

9kjn~+3(2m〃k1-+4)—3k1(3,广+“展—12)

设4（%,月）,8（久2，丫2），则―1+3)1;

6k^n-km)

229k"+3好［rrr-12)-3k：(3n2+/n2-12)

―1+36

3("-左2〃?)--12

3k；(3"+〃/-12)-3k；(3n2+zn2-12)

「=-Rf-'

-1+36

所以

=0.

|PA|-|PB\—\Jl+kl|尤］—机卜Jl+公|x—?n|

2所以(租+3哂)、3/

+nr-n,

*以阿=醇（3/

3(九—晨机126k(n—kjin)+m2-12).

=(1+©0

1+3片m1+3%―+

2025年

|PT「_（1+引（1+3硝【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线

所以(=

因一。+引（硝'-

1PAH31+相交问题，往往需联立直线与圆锥曲线方

点尸的坐标无关.程，消元并结合韦达定理，运用弦长公

式、点到直线距离公式、斜率公式、向量

数量积公式进行转化变形，结合已知条件

得出结果.

14.(l)y2=8.r

(2)定点为(10,T),理由见解析

3k,（n—k.m）

⑶由⑵得【分析】(1)根据垂直平分线性质，结合

抛物线定义可解；

n-k,m,y1

所以%n(2)设直线/:x=my+〃，联立抛物线方

程消去x,由府.西=0结合韦达定理可

因为4〃。7,所以&=-3①,

得相，”的关系，代入直线方程即可判断.

3（1+引。+34）3【详解】(1)由题意可得|/q=忸耳，即点

又所以

（1+3的（1+片1

8到点歹的距离等于点B到直线人的距离.

%=1区=—1

由①②解得，,1或＜,1（舍去）.

Kr.=------化0——因为|EF|=4,所以《的方程为x=-2,

323

所以直线07的方程为＞=X,由尸(2,0),

尤2/1则点3的轨迹C是以歹为焦点，直线

——+—=1

12:,解得x=3,x=-3,

I或

y=l,丸”=-2为准线的抛物线，

故点B的轨迹C的方程为/=8%.

故切点T的坐标为(3,-1)或(-3,1).

所以直线4的方程为y=x-4或y=x+4.

(2)由题意可知直线/的斜率不为0,则

2025年

设直线/：x=my+〃，当〃=4/篦+10时，

A=64/+32〃=64[（租+1）?+4]>0,且直

N（w，%）.

I:x=my+4m+10,即

\x=my+n,.

联立｛2o整理得y-8加>-8〃=°，

[y=8x,x-10=m（y+4）,过定点（10,-4）,满足题

A.

从而%+%=8根，%%=-8«.忌、,

直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如

（%%）2才+回

+X%一4（%+%）+20=0

644下:

（1）设直线方程，设交点坐标为

即（”），（%，%）；

（必％）2（乂+%）2-2yly2,

_4（%+%）+20乳联立直线与圆锥曲线的方程，得到关

------------------------yy?

64412

于了（或、）的一元二次方程，必要时计

f

算A;

所以〃2一16机2—12〃-326+20=0,即

（3）列出韦达定理；

—12〃+36=16m2+32m+16,BP

（4）将所求问题或题中的关系转化为

（〃-6尸=16（加+1>,所以

占+%、Xi%（或％+%、％%）的形式；

^-6=±4（m+l）,即n=4m+10^