试验统计方法 4.第四章理论分布和抽样分布学习资料

第四节抽样分布试验结果只是某个样本，我们的试验目的是通过样本得到总体的有关信息。总体的参数是确定的、但往往未知；样本的统计量是变化的，但是必然受总体参数限制。总体和从中抽取的样本之间的关系是统计学的中心内容。从总体到样本，抽样分布(samplingdistribution)从样本到总体，统计推断(statisticalinference)一、统计数的抽样及其分布参数

从总体中随机地抽取若干个体组成样本，即使每次抽取的样本容量相等，其统计量(如，平均数)也会随样本的不同而有所不同，因此样本统计量也就变成了一个新的随机变量，也有其分布规律。我们把样本统计量的分布称为抽样分布。

抽样分布与理论分布中的二项分布、泊松分布、正态分布等范畴上有区别。

从总体中抽样必须符合随机的原则，即保证总体中的每一个体在每一次抽样中都有相同的概率被抽取为样本。抽样的方法有复置抽样和不复置抽样两种。复置抽样指每次抽出一个个体后，这个个体应返回原总体。不复置抽样指每次抽出的个体不再返回原总体。对于无限总体，复置与否都可保证各个体被抽到的机会仍会相等。对于有限总体，就应该采取复置抽样，否则各个体被抽到的机会就不相等。

从理论上讲，若能从一个总体中抽取所有可能的样本，就能获得有关统计数变异的全部信息。设总体的容量为N，每个样本的容量为n，则所有可能的样本数为：Nn

下面我们以一个很小的有限总体为例，采用抽样试验的方法，研究样本统计数组成的新总体与原总体参数的关系。（一）样本平均数的抽样及其分布参数

由于从总体中抽出的每一个样本，都可以计算出一个平均数，每个随机样本的平均数可能会有差异，所有可能的样本平均数就构成一个新的总体。所以，样本的平均数就成为新总体的随机变量，它也形成一定的分布规律，这种分布称为样本平均数的抽样分布。1、抽样试验设有一个N＝3的总体，具有变量3，4，5，可以求得该总体的相关参数μ＝4σ2＝0.6667σ＝0.8165现以n＝2作随机的复置抽样，总共可得Nn＝32＝9个样本，其抽样结果列于表3-6。

表4.4.1N=3，n=2时所有样本的基本情况样本编号样本值

13，33.09.0023，43.512.2533，54.016.0044，33.512.2554，44.016.0064，54.520.2575，34.016.0085，44.520.2595，55.025.00Σ

36.0147.00n=2时样本平均数的次数分布表

f(次数）fxfx23.0139.03.52724.54.031248.04.52940.55.01525.0Σ936147.0样本平均数的分布情况样本平均数分布的特征数即：样本平均数的平均数样本平均数的方差根据上表，当n=2时再次抽样试验：如果对这个3，4，5组成的总体，再进行n＝4的抽样试验，则共可得Nn＝34＝81个样本平均数，可列出其平均数的次数分布表。n=4时样本平均数的次数分布表

f(次数）fxfx23.0139.03.341342.33.51035122.53.81660225.04.01976304.04.31668289.04.51045202.54.841990.35.01525.0Σ813241309.5同样，可求得n=4时，平均数分布的特征数2、样本平均数分布的基本性质（1）样本平均数分布的平均数等于总体平均数。（2）样本平均数分布的方差等于总体方差除以样本容量。进而，样本平均数分布的标准差（标准误）（简称平均数的标准误）（二）样本总和数的抽样及其分布参数从总体中以容量为n抽出的每一个样本，其平均数与总和数的关系为：样本总和数分布的参数与原始总体参数的关系（1）样本总和数分布的平均数等于总体平均数。（2）样本总和数分布的方差等于总体方差除以样本容量。进而，样本总和数分布的标准差（标准误）（简称总和数的标准误）（三）两个独立随机样本平均数差数的抽样及其分布参数

从一个平均数μ1方差δ12的总体抽取一个容量为n1样本，从另一个平均数μ2方差δ22的总体抽取一个容量为n2样本。这两个样本平均数的差数为。

从两个不同总体分别抽取所有可能的样本，它们之间的差数构成一个新的总体，也会形成一个分布，这个分布称为两个样本平均数差数的抽样分布。假设有两个不同的总体：第一个总体的容量为N1=2，具有变量3、6，其平均数为μ1=4.5，方差δ12=2.25；当以n1=3进行所有可能的抽样，共得样本23=8个。第二个总体的容量为N2=3，具有变量2、4、6，其平均数μ2=4，方差δ22=2.67，当以n2=2进行所有可能的抽样，共得32=9个样本。将来自两个总体的样本平均数进行所有可能的比较。共有差值：23×32=72（个）可以得出72个样本平均数差数的次数分布表（P65）。两个样本平均数差数分布的特征数：两个样本平均数差数分布的基本性质（1）样本平均数差数的平均数等于两个总体平均数的差数。（2）样本平均数差数的方差等于两个总体方差除以各自的样本容量。样本平均数差数的标准误为：当n1=n2=n时当且n1=n2=n时

当二、正态总体的统计数抽样分布

如果从一个已知正态总体N(μ,σ2)进行抽样，其样本平均数形成的新变量也呈现正态分布。记为：如果被抽样的总体不是正态总体，随着样本容量n的不断增大，样本平均数的分布也越来越接近正态分布：中心极限定理无论变量X服从何种分布，随着样本容量n的增大，其样本平均数的抽样分布都服从或逼近正态分布。这个性质对连续性变量和离散性变量都适用。一般来说，当n≥30时，即可应用中心极限定理。从两个独立的已知正态总体N1（μ1，σ12），N2（μ2，σ22）抽样时，抽出的样本平均数差数的分布也是正态分布。其平均数差数的抽样分布可记为样本标准差与样本标准误

样本标准差:

s是反映样本中各观测值变异程度大小的一个指标，它的大小说明的是对该样本代表性的强弱。

样本标准误：是样本平均数的标准差，它是抽样误差的估计值，其大小说明的是不同样本间变异程度的大小。由于

的大小与原总体的标准差σ成正比，与样本容量n的平方根成反比。从某特定总体抽样，因为σ是一常数，所以增大样本容量可以降低样本平均数的标准误。样本标准差s与样本标准误

有什么关系？总体的标准差σ已知时，样本标准误决定于样本容量n，样本标准差取决于实际的观察值。总体的标准差σ未知时，σ由s近似代替，此时，例题1：假定一棉花株高服从N（110，36）的正态分布。从该总体按n=9抽样，问：抽出样本平均数的概率是多少？解：抽样分布服从N（110，36/9），则株高平均数分布的标准差为P（u>1)=1-F(1)=1-0.84134=0.15866在计算某个样本平均数的标准化变量（标准正态离差），可按下式计算，得到任意区间(u1,u2)内的概率。例2：某春小麦良种的千粒重μ0＝34g，今自外地引入这一高产品种，在8个小区种植，得其千粒重（g）为：35.6、37.6、33.4、35.1、32.7、36.8、35.9、34.6。问样本平均数抽样总体的平均数和标准差？试验结果(n=8的一个样本)的平均数试验结果(n=8的一个样本)的平方和试验结果(n=8的一个样本)的标准差计算样本平均数抽样总体的参数，必须知道原始总体的相应参数。原始总体的平均数：原始总体的方差未知，只能用样本的方差代替：抽样总体的平均数：抽样总体的方差：练习1.已知普通水稻单株产量服从正态分布，μ0=250g，δ0=2.78g。现测得10株该水稻单株产量分别为：272,200,268,247,267,246,363,216,206,256(g)。计算抽样总体的平均数和方差。抽样总体的平均数和方差分别为：练习2.现测得某玉米品种自交一代25穗每穗粒重的平均数为13.3g，样本标准差为356.8g；自交二代30穗每穗粒重的平均数为20.1g，样本标准差为338.9g。先以n1=16、n2=25分别从两总体进行抽样。计算两个平均数抽样总体的平均数和方差、平均数差数总体的平均数和方差。两个原始总体的平均数和方差分别为：平均数抽样总体的平均数和方差分别为：平均数差数总体的平均数和方差分别为：为什么学习抽样分布？计算某一样本出现的概率！！！练习3：20-39岁的男子每天卡路里的吸收量为μ=2716，δ=72.8。先假设一个营养学家以n=35调查20-39岁的男子每天卡路里的吸收量，所得样本的平均数为2750。问（1）大于等于2750的概率？（2）这一结果是否正常？为什么？很显然，知道了样本平均数的抽样分布，才能计算某一样本平均数出现的概率。原始总体不一定为正态分布，但μ=2716，δ=72.8，样本容量n=35，为大样本，因此利用中心极限定律，抽样总体近似为正态分布。将转化为u值极端事件发生了。!!!所得样本不是来自μ=2716，δ=72.8的原始总体1、二项总体的分布参数

二项总体（0,1），通常“1”事件的概率记为p，“0”事件的