专题02 二次函数的应用重难点题型专训（原卷版）

专题02二次函数的应用重难点题型专训【题型目录】题型一图形面积与周长问题题型二图形运动问题题型三拱桥问题题型四销售问题题型五投球问题题型六喷水问题题型七增长率问题题型八其他问题【知识梳理】知识点：二次函数的应用1.审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)。2.设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确。3.列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数。4.按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。5.检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案。6.写出答案。【经典例题一图形面积与周长问题】【例1】（2022·浙江温州·统考二模）已知抛物线与轴交于A，B两点，P为抛物线顶点，且当时，y随的增大而减小，若△ABP为等边三角形，则的值为（

）A． B． C． D．【变式训练】1．（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）如图，利用一个直角墙角修建一个的四边形储料场，其中．若新建墙与总长为，则该储料场的最大面积是（

）

A． B． C． D．2．（2023·吉林长春·统考二模）如图，某活动板房由矩形和抛物线构成，矩形的边长，，抛物线的最高点E到BC的距离为．在该抛物线与之间的区域内装有一扇矩形窗户，点G、H在边上，点F、K在该抛物线上．按如图所示建立平面直角坐标系．若，则矩形窗户的宽的长为______m．

3．（2023·湖北武汉·统考二模）某开发商计划对某商业街一面米米的正方形墙面进行如图所示的设计装修．四周是由八个全等的矩形拼接而成，用甲类材料装修，每平方米550元；中心区是正方形，用乙类材料装修．每平方米500元．设小矩形的较短边的长为x米，装修材料的总费用为y元．(1)写出总费用y关于x的函数解析式；(2)开发商打算花费34400元全部用来购买甲、乙两类材料，求甲类材料中矩形的长和宽；(3)在（2）的花费前提下．设计中心区作为广告区域，其边长不小于2米时，开发商的费用是否足够？请结合函数增减性说明理由．【经典例题二图形运动问题】【例2】（2023·浙江温州·统考三模）如图，正方形的边长为，点P，Q同时从点A出发，速度均为，若点P沿向点C运动，点Q沿向点C运动，则的面积与运动时间之间函数关系的大致图象是（

）A． B． C． D．【变式训练】1．（2022·浙江宁波·校考模拟预测）已知抛物线：顶点为D，将抛物线向上平移，使得新的抛物线的顶点落在直线l：上，设直线l与y轴的交点为，原抛物线上的点P平移后的对应点为Q，若，则点Q的纵坐标为（）A． B． C．4 D．2．（2021秋·浙江衢州·九年级统考阶段练习）如图，矩形中，，，点从点出发，沿边向点以1cm/s的速度移动；点从点出发，沿边向点以2cm/s的速度移动．，同时出发，分别到，后停止移动，则的最小面积是______．3．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图，已知二次函数y＝x2﹣2mx﹣2＋m2的顶点为P，矩形OABC的边OA落在x轴上，点B的坐标是（6，2）．(1)求点P的坐标，并说明随着m值的变化，点P的运动轨迹是什么？(2)若该二次函数的图象与矩形OABC的边恰好有2个交点，请直接写出此时m的取值范围．【经典例题三拱桥问题】【例3】（2021秋·浙江绍兴·九年级校联考期中）一座拱桥的示意图如图所示，当水面宽为12m时，桥洞顶部离水面4m．已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴（向右为正向），若A为原点建立坐标系时，该抛物线的表达式为则B为原点建立坐标系时，该抛物线的表达式为（）A． B． C． D．【变式训练】1．（2022秋·浙江嘉兴·九年级校联考期中）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（）A．4米 B．5米 C．2米 D．7米2．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）图1是一座三拱悬索桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，三条抛物线的形状相同，分别交于桥墩点，处．从桥头点处的碑文得知桥面长为270米，小张从桥头点出发到桥尾点的微信步数（步长视为定值）统计如下表：计数位置点点点点点点步数/步0140180360400540根据上述数据信息得小张的步长为______米，中间两桥墩的距离______米．3．（2022秋·浙江温州·九年级统考期中）如何确定隧道中警示灯带的安装方案？素材12022年10月，温州市府东路过江通道工程正式开工，建成后将成为温州瓯江第一条超大直径江底行车隧道．隧道顶部横截面可视为抛物线，如图1，隧道底部宽为，高OC为．素材2货车司机长时间在隧道内行车容易疲劳驾驶，为了安全，拟在隧道顶部安装上下长度为的警示灯带，沿抛物线安装．（如图2）．为了实效，相邻两条灯带的水平间距均为（灯带宽度可忽略）;普通货车的高度大约为（载货后高度），货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于．灯带安装好后成轴对称分布．问题解决任务1确定隧道形状在图1中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．任务2探究安装范围在你建立的坐标系中，在安全的前提下，确定灯带安装点的横、纵坐标的取值范围．任务3拟定设计方案求出同一个横截面下，最多能安装几条灯带，并根据你所建立的坐标系，求出最右边一条灯带安装点的横坐标．【经典例题四销售问题】【例4】（2023秋·贵州遵义·九年级统考期末）某商店销售一种进价为40元/千克的海鲜产品，据调查发现，月销售量（千克）与售价（元/千克）之间满足一次函数关系，部分信息如下表，下列说法错误的是（

）售价（元/千克）50607080…销售量（千克）250240230220…A．与之间的函数关系式为B．当售价为72元时，月销售利润为7296元C．当每月购进这种海鲜的总进价不超过5000元时，最大利润可达到16900元D．销售这种海鲜产品，每月最高可获得利润16900元【变式训练】1．（2023秋·云南临沧·九年级统考期末）为庆祝第五个中国农民丰收节，宣传玉龙县特色农产品，“迎盛会·庆丰收·促振兴”农特产品展销推荐会在白华生态农贸市场举行．某农户销售一种商品，成本价为每千克40元，按规定，该商品每千克的售价不低于成本价，且不高于60元．经调查每天的销售量（千克）与每千克售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：售价（元/千克）405060销售量（千克）12010080设销售该商品每天的利润为（元），则的最大值为（

）A．1800 B．1600 C．1400 D．12002．（2022秋·九年级单元测试）某超市销售一款洗手液，其成本价为每瓶元，当销售单价定为元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款的销售单价为x（元），每天的销售量为（瓶）．（1）每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式为_____；（2）销售这款“洗手液”每天的最大利润为_____．3．（2023·湖北荆门·校联考模拟预测）某公司生产的某种时令商品每件成本为22元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与x（天）的关系如表：时间x（天）1361036…日销售量m(件)9490847624…未来40天内，前20天每天的价格(且x为整数)，后20天每天的价格（且x为整数）(1)请利用一次函数，二次函数，反比例函数的知识，直接写出日销售量m与时间x（天）之间的关系式；(2)请预测示来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？(3)在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x（天）的增大而增大，求a的取值范围．【经典例题五投球问题】【例5】（2022秋·浙江台州·九年级统考期末）一位运动员在离篮筐水平距离4m处起跳投篮，球运行路线可看作抛物线，当球离开运动员的水平距离为1m时，它与篮筐同高，球运行中的最大高度为3.5m，最后准确落入篮筐，已知篮筐到地面的距离为3.05m，该运动员投篮出手点距离地面的高度为（

）A．1.5m B．2m C．2.25m D．2.5m【变式训练】1．（2023秋·浙江温州·九年级期末）把一个距离地面1米的小球竖直向上抛出，该小球距离地面的高度h（米）与所经过的时间t（秒）之间的关系为，若存在两个不同的t的值，使足球离地面的高度均为a（米），则a的取值范围（

）A． B． C． D．2．（2022秋·浙江金华·九年级浙江省兰溪市第二中学校考阶段练习）如图所示，从高为2m的点A处向右上抛一个小球P，小球飞行路线呈抛物线L形状，小球飞行的水平距离2m时达到最大高度6m，然后落在下方台阶上弹起，已知m，m，m，若小球弹起形成一条与L形状相同的抛物线，落下时落点Q与B，D在同一直线上，则小球在台阶弹起时的最大高度是_____m．3．（2023春·浙江台州·九年级台州市书生中学校考期中）原地正面掷实心球是中招体育考试项目之一．受测者站在起掷线后，被掷出的实心球进行斜抛运动，实心球着陆点到起掷线的距离即为此项目成绩．实心球的运动轨迹可看作抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系，实心球从出手到着陆的过程中，竖直高度与水平距离近似满足函数关系．小明使用内置传感器的智能实心球进行掷实心球训练．(1)第一次训练时，智能实心球回传的水平距离与竖直高度的几组对应数据如下：水平距离x/m01234567竖直高度y/m1.82.32.62.72.62.31.81.1则：①抛物线顶点的坐标是______，顶点坐标的实际意义是________；②求y与x近似满足的函数关系式，并直接写出本次训练的成绩．(2)第二次训练时，y与x近似满足函数关系，则第二次训练成绩与第一次相比是否有提高？为什么？(3)实心球的抛物线轨迹是影响成绩的重要因素，可以通过多种方法调整实心球的轨迹．小明掷实心球的出手高度不变，即抛物线中c的值不变，要提高成绩应使a，b的值做怎样的调整?【经典例题六喷水问题】【例6】（2022秋·浙江绍兴·九年级新昌县七星中学校考期中）学校组织学生去绍兴进行研学实践活动，小王同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）．于是好奇的小王同学进行了实地测量研究．当小王用一定的力按住顶部下压如图②位置时，洗手液从喷口B流出，路线近似呈抛物线状，且喷口B为该抛物线的顶点．洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形．小王同学测得∶洗手液瓶子的底面直径，喷嘴位置点距台面的距离为，且三点共线．小王在距离台面处接洗手液时，手心到直线的水平距离为，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距的水平面是（

）A． B． C． D．【变式训练】1．（2020秋·浙江湖州·九年级统考期末）同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）．于是好奇的小王同学进行了实地测量研究．当小王用一定的力按住顶部A下压如图②位置时，洗手液从喷口B流出，路线近似呈抛物线状，且a＝﹣．洗手液瓶子的截面图下部分是矩形CGHD．小王同学测得：洗手液瓶子的底面直径GH＝12cm，喷嘴位置点B距台面的距离为16cm，且B、D、H三点共线．小王在距离台面15.5cm处接洗手液时，手心Q到直线DH的水平距离为3cm，若学校组织学生去南京进行研学实践活动，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距DH的水平距离是（）cm．A．12 B．12 C．6 D．62．（2022秋·浙江温州·九年级校考阶段练习）某民房发生火灾．两幢大楼的部分截面及相关数据如图，小明在甲楼A处透过窗户E发现乙楼F处出现火灾，此时A，E，F在同一直线上．跑到一楼时，消防员正在进行喷水灭火，水流路线呈抛物线，在1.2m高的D处喷出，水流正好经过E，F．若点B和点E、点C和点F的离地高度分别相同，现消防员将水流抛物线向上平移5m，再向左后退_____m，恰好把水喷到F处进行灭火．3．（2023·浙江台州·统考一模）为了有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛．如图，在一个废弃高楼距地面的点A和的点B处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分（水流出口与地面的距离忽略不计）．第一次灭火时站在水平地面的点C处，水流恰好到达点A处，且水流的最大高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度y（）与到高楼的水平距离x（）之间的函数关系式为：．(1)求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式；(2)待A处火熄灭后，消防员前进2m到点D处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，请判断水流是否到达点B处，并说明理由；(3)若消防员站在到高楼的水平距离为11m~12m的地方，调整水枪，使喷出的水流形状发生变化，水流的最高点到高楼的水平距高始终是4m，当时，求水流到达墙面高度的取值范围．【经典例题七增长率问题】【例7】（2022秋·广西梧州·九年级统考期中）某市为解决当地教育“大班额”问题，计划用三年时间完成对相关学校的扩建，年市政府已投资亿人民币，若每年投资的增长率相同，预计年投资额达到亿元人民币，设每年投资的增长率为，则可得（

）A． B． C． D．【变式训练】1．（2022秋·安徽淮北·九年级淮北市第二中学校联考阶段练习）进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价，设平均每次降价的百分率为，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x的函数关系为（

）A． B． C． D．2．（2022·上海·九年级专题练习）某商场四月份的营业额是200万元，如果该商场第二季度每个月营业额的增长率相同，都为，六月份的营业额为万元，那么关于的函数解式是______．3．（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件．(1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率；(2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件．①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？【经典例题八其他问题】【例8】（2023·山东临沂·统考一模）如图，一个滑道由滑坡（段）和缓冲带（段）组成，如图所示，滑雪者在滑坡上滑行的距离（单位：m）和滑行的时间（单位：s）满足二次函数关系，并测得相关数据：滑雪者在缓冲带上滑行的距离（单位：m），和在缓冲带上滑行时间（单位：s）满足：，滑雪者从A出发在缓冲带上停止，一共用了24s，则滑坡的长度为（

）滑行时间01234滑行距离04.51428.548A．275米 B．384米 C．375米 D．270米【变式训练】1．（2023·陕西·模拟预测）如图，使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）近似满足函数关系

．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）A．18° B．28° C．37° D．58°2．（2022秋·天津西青·九年级校考期中）行驶中的汽车刹车后，由于惯性的作用，还会继续向前滑行一段距离，这段距离我们将它称为“刹车距离”．某车的刹车距离s（m）与车速x（km/h）之间的函数关系是，现在该车在限速120km/h的高速公路上出了交通事故，事后测得刹车距离为46．5m，请推测该车刹车时是否超速______（填“是”或“否”），车速为______km/h．3．（2023·北京石景山·统考二模）2023年4月16日，世界泳联跳水世界杯首站比赛在西安圆满落幕，中国队共收获9金2银，位列奖牌榜第一．赛场上运动员优美的翻腾、漂亮的入水令人赞叹不已．在10米跳台跳水训练时，运动员起跳后在空中的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系．

某跳水运动员进行了两次训练．(1)第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下：水平距离0竖直高度①根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系；②运动员必须在距水面前完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势，否则就会出现失误．在这次训练中，测得运动员在空中调整好入水姿势时，水平距离为，判断此次跳水会不会出现失误，并说明理由；(2)第二次训练时，该运动员的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．如图，记该运动员第一次训练的入水点为A，若运动员在区域内（含A，B）入水能达到压水花的要求，则第二次训练__________达到要求（填“能”或“不能”）．【重难点训练】1．（2023·陕西榆林·统考二模）廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座下方为抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是（

）A．米 B．10米 C．米 D．米2．（2023·浙江台州·统考一模）游乐园里的大摆锤如图1所示，它的简化模型如图2，当摆锤第一次到达左侧最高点A点时开始计时，摆锤相对地面的高度y随时间t变化的图象如图3所示．摆锤从A点出发再次回到A点需要（

）秒．

A．2 B．4 C．6 D．83．（2023秋·浙江温州·九年级期末）洗手盘台面上有一瓶洗手液．当同学用一定的力按住顶部下压如图位置时，洗手液从喷口流出，路线近似呈抛物线状，且喷口为该抛物线的顶点．洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形．同学测得：洗手液瓶子的底面直径，喷嘴位置点距台面的距离为，且、、三点共线．在距离台面处接洗手液时，手心到直线的水平距离为，不去接则洗手液落在台面的位置距的水平面是（

）A． B． C． D．4．（2022秋·浙江舟山·九年级校考阶段练习）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为（）A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟5．（2023秋·浙江宁波·九年级校考期末）如图是王叔叔晩饭后步行的路程（单位：）与时间（单位：）的函数图像，其中曲线段是以为顶点的抛物线的一部分．下列说法正确的是（

）A．线段的函数表达式为B．，王叔叔步行的路程为C．曲线段的函数表达式为D．，王叔叔步行的速度由慢到快6．（2021·浙江湖州·模拟预测）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝a1x2（a1≠0）与抛物线C2：y＝a2x2+bx（a2≠0）的交点P在第三象限，过点P作x轴的平行线，与物线C1，C2分别交于点M，N．若＝，则的值是（

）A． B．n﹣1 C．n D．7．（2022秋·浙江温州·九年级统考阶段练习）如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为（

）A．6 B． C． D．8．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）如图，抛物线与轴交于点和点两点，与轴交于点，点为抛物线上第三象限内一动点，当时，点的坐标为（

）A． B． C． D．9．（2020秋·浙江温州·九年级期末）一名男生参加抛实心球测试，已知球的高度与水平距离之间的关系是，则这名男生抛实心球的成绩是_____．10．（2023秋·浙江湖州·九年级统考期末）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，建立平面直角坐标系（如图），发现铅球与地面的高度和运动员出手点的水平距离之间的函数关系为，由此可知铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是________m．11．（2022秋·浙江温州·九年级乐清外国语学校校考阶段练习）图1为水壶给圆柱形玻璃杯加水的情景，水流呈抛物线状流出．水流从出水口A流出，落在玻璃杯内底部边缘点B处，矩形是该玻璃杯的截面，与该水流所在的抛物线在同一平面内，其示意图如图2所示．此抛物线与边交于点F，经过连接点G，且A，G两点到直线的铅直高度相等，都为2分米．已知该玻璃杯底面直径分米，高分米（玻璃厚度忽略不计），分米，点A到直线的水平距离为分米．则出水口A到连接点G的距离是______分米；随着该玻璃杯内水面的上升，当水流的落点恰好在水面中心时，该玻璃杯离加满水还差______分米（假设该水壶的位置、水流的抛物线形状均保持不变，水量足够）．12．（2022秋·浙江温州·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴的负半轴上，顶点在第四象限，已知点坐标为，以为顶点的抛物线恰好经过点，则的值为______．13．（2022秋·浙江丽水·九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，在第一象限内取一点C，使得，且，抛物线的图象过点C．（1）该抛物线的表达式为：______；（2）当该抛物线的对称轴直线l平移至直线后，恰好将的面积分成相等的两部分，m的值为______．14．（2022秋·浙江绍兴·九年级校联考期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．点D是抛物线上的一个点，作交抛物线于D、E两点，以线段为对角线作菱形，点P在x轴上，若时，则菱形对角线的长为________．三、解答题15．（2023春·浙江杭州·八年级校联考期中）对于向上抛的物体，如果空气阻力忽略不计，有下面的关系式：（h是物体离起点的高度，v0是初速度，g是重力系数，取，t是抛出后经过的时间）．杂技演员抛球表演时，以的初速度把球向上抛出，球的起点离开地面．(1)秒时球离起点的高度是多少？(2)几秒后球离起点的高度达到？(3)球经过多少时间才落地？16．（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）某扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相比，今年这种水果每千克的平均批发价降低了元，产品比去年增加了，批发销售总额比去年增加了．已知去年这种水果批发销售总额为万元．(1)设这种水果去年的产量是千克，请列方程求这种水果去年的产量是多少千克？并求出这种水果今年每千克的平均批发价？(2)某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调研发现，若每千克的平均销售价为元，则每天可售出千克；若每千克的平均销售价每降低元，每天可多卖出千克，设水果店一天的利润为元，求：①若该水果店采取降价催销的方式销售水果，水果店一天的利润为元，则降价多少元？②当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大？最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计）17．（2023·浙江台州·统考二模）酶是一种