专题12 圆周角重难点题型专训（八大题型）（原卷版）

专题12圆周角重难点题型专训（八大题型）【题型目录】题型一圆周角的概念辨析题型二圆周角定理题型三同弧或等弧所对的圆周角相等问题题型四半圆所对的圆周角是直角问题题型五90°的圆周角所对的弦是直径问题题型六已知圆内接四边形求角度题型七求四边形外接圆的直径题型八圆周角综合问题【经典例题一圆周角的概念辨析】【例1】（2023·湖北武汉·统考一模）如图，多边形是由等腰和矩形组成，，若过，，三点，则的半径是（

）

A． B．3 C． D．4【变式训练】1．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD的顶点A，B，C在圆上，且边CD与该圆交于点E，AC，BE交于点F.下列角中，弧AE所对的圆周角是(

)A．∠ADE B．∠AFE C．∠ABE D．∠ABC2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，直线经过的圆心，且与交于两点，点在上，且，点是直线上的一个动点(与圆心不重合)，直线与相交于另一点，如果，则.3．（2023·湖南娄底·校考一模）已知点、、、在圆上，且切圆于点，于点，对于下列说法：①圆上是优弧；②圆上是优弧；③线段是弦；④和都是圆周角；⑤是圆心角，其中正确的说法是．4．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，是圆的直径，是延长线上一点，点在圆上，且，的延长线交圆于点，若，求的度数.5．（2023·甘肃酒泉·统考三模）把下面的语句还原成图形：作图区域：(1)的半径为1cm，是的一条弦（不经过M），、分别是劣弧所对应的圆心角和圆周角；(2)是中的一条弧，且．【经典例题二圆周角定理】【例2】（2023·安徽滁州·校考模拟预测）如图，是的直径，点在上，，则的大小为（）

A． B． C． D．【变式训练】1．（2023·陕西咸阳·校考一模）如图，为的直径，C、D为上的点，，若，则（

）

A． B． C． D．2．（2023秋·九年级课时练习）如图，是的直径，弦于点，则的半径是．

3．（2022秋·江苏泰州·九年级校考阶段练习）如图，已知的直径，为上一点（不与、重合），连接、．弦平分，交于点，过点作于点，交于点，连接，若，则的度数为．

4．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）如图，是的一条弦，，垂足为点，交于点，点在上．

(1)若，求的度数；(2)若，，求的长．5．（2022秋·浙江金华·九年级校考期中）【概念认识】定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．（1）如图1，已知在垂等四边形中，对角线与交于点，若，，，求的长度．【数学理解】（2）在探究如何画“圆内接垂等四边形”的活动中，小李与同学讨论出了如下方法：如图2，在中，已知是的弦，只需作、，分别交于点和点，即可得到垂等四边形，请你写出证明过程．【问题解决】（3）如图3，已知A是上一定点，为上一动点，以为一边作出的内接垂等四边形（A、不重合且A、、三点不共线），对角线与交于点，的半径为，当点到的距离为时，求弦的长度．

【经典例题三同弧或等弧所对的圆周角相等问题】【例3】（2023·广西北海·统考模拟预测）如图，点是正方形的边延长线上一点，连接，作于点，连接．则的度数为（

）

A． B． C． D．【变式训练】1．（2023·陕西西安·西安市第六中学校考模拟预测）如图，四边形是的内接四边形，连接，，其中是的直径，若，，，则的度数为（）A． B． C． D．2．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，是的外接圆，，，则的直径等于．

3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，是的直径，点，在上，且，的延长线与的延长线交于点，连接，若，则的度数是．

4．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，四边形内接于，是的直径，，延长到点E，使得．(1)若平分，求证：；(2)试探究线段与之间的数量关系．5．（2023·山东济南·校联考一模）如图1，是等腰直角三角形，，点D在的内部，连接，将线段绕点C逆时针旋转，得到线段，连接、、．

(1)判断线段与的数量关系并给出证明；(2)如图2，当B、D、E三点在同一条直线上时，写出线段、、的数量关系为______；(3)如图3，若，，点F为线段中点，当E、D、F三点在同一条直线上时，连接，求的长度．【经典例题四半圆所对的圆周角是直角问题】【例4】（2022·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考模拟预测）如图，是的直径，C是上的一点，若，于点D，则的长为（）

A． B． C． D．【变式训练】1．（2022秋·江苏南京·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，．点P是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值是（

）．

A．5 B． C． D．2．（2022春·江西九江·九年级校考期中）如图，内接于，连接，若，则的度数为．

3．（2023秋·山西阳泉·九年级统考期末）如图，在中，，以为直径的半圆交于点，点为的中点，连接．若，，则的长为．

4．（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）已知：如图，点E是边长为2的正方形中边上一点（不与A、B重合），以为直径的分别交和于点F、M，于点H．

(1)求证：(2)猜想与的大小关系，并说明理由．(3)当时，求的面积．5．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点B，C为上两定点，点A为上一动点，过点B作，交于点E，点D为射线上一动点，且平分，连接．(1)求证：；(2)连接，若，试判断四边形的形状，并说明理由．【经典例题五90°的圆周角所对的弦是直径问题】【例5】（2023春·浙江·九年级专题练习）如图，在中，，，D为线段上的动点，连接，过点B作交于点E，则在点D的运动过程中，求线段的最小值为（）A．10 B． C．5 D．【变式训练】1．（2023秋·九年级单元测试）如图，在等腰直角中，，，，点是上一动点，连接，以为直径的圆交于点，则线段长度的最小值是（）A．2 B．4 C． D．2．（2022秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，，是平面内一动点，且，取的中点，连接，则线段的最大值为．

3．（2023·山东·统考中考真题）如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为．

4．（2023·浙江·模拟预测）如图，正方形中，点是对角线上一点，连接并延长交于点，连接．(1)求证：．(2)若，求的值．5．（2021·全国·九年级专题练习）如图，正方形的边长为6，点、分别在、上，且，与交于点，连接，求的最小值．【经典例题六已知圆内接四边形求角度】【例6】（2023·湖北黄冈·校考二模）如图，四边形内接于，连接，若，则（

）

A． B． C． D．【变式训练】1．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）如图，内接于，，点D是上一点，连接OA，AD，BD，若，则的度数为（

）

A．110° B．140° C．120° D．130°2．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，E为正方形的边上一点（不与重合），将沿直线翻折到，延长交于点G，点O是过B、E、G三点的圆劣弧上一点，则．3．（2023·江苏南京·校考三模）如图，四边形内接于，它的3个外角的度数之比为1∶2∶4，则4．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在中，点D为边上的一个动点，以为直径的交于点E，过点C作，交于点F．连接，若是的切线．(1)求证：；(2)若，求直径的长．5．（2023·浙江杭州·统考二模）如图，四边形内接于，点C是弧的中点，延长到点E，使得，连结．

(1)求证：．(2)若，，，求的长【经典例题七求四边形外接圆的直径】【例7】．（2021·广西贺州·统考二模）如图，四边形ABCD内接于，，点C为的中点，延长AB、DC交于点E，且，则的面积是（

）A． B． C． D．【变式训练】1．（2023·四川德阳·统考一模）如图，半径为，正方形内接于，点E在上运动，连接作，垂足为F，连接．则长的最小值为（

）A． B．1 C． D．2．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考三模）在菱形中，，，的两边分别交边、于点E、F，且，记的外心为点P，则P、C两点间的最小距离为．3．（2022秋·广东广州·九年级校考期末）如图，线段的两个端点分别在x轴和直线l上滑动（均不与原点O重合），，，作轴，，交点为P，设P的坐标为，则．4．（2023·福建龙岩·统考一模）已知菱形中，，点分别在，上，，与交于点．(1)求证：；(2)当，时，求的长？(3)当时，求的最大值？5．（2023秋·江苏连云港·九年级统考期中）定义：能完全覆盖平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆．(1)如图①，线段，则线段的最小覆盖圆的半径为_________；(2)如图②，中，，，，请用尺规作图，作出的最小覆盖圆（保留作图痕迹，不写作法）．此最小覆盖圆的半径为_________；(3)如图③，矩形中，，，则矩形的最小覆盖圆的半径为_________；若用两个等圆完全覆盖该矩形，那么这两个等圆的最小半径为_________．【经典例题八圆周角综合问题】【例8】（2023春·重庆开州·八年级统考期末）如图，以直角三角形的斜边为边在三角形的同侧作正方形，正方形的对角线，相交于点，连接，如果，，则正方形的面积为（

）

A．20 B．22 C．24 D．26【变式训练】1．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，正方形中，，点为边上一个动点，连接，点为上一点，且，在上截取点使，交于点，连接，则的最小值为（）A． B． C． D．2．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点C、点A，直线与交于点D．与y轴交于点E．动点M在线段上，动点N在直线上，若是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐标为

3．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）在平面直角坐标系中，已知点和直线m的函数表达式为，动点在A点的右边，过点B作x轴的垂线交直线m于点C，过点B作直线m的平行