高等数学（第三版）课件：函数与极限

分析基础函数极限连续—研究对象—研究方法—研究桥梁函数与极限机动目录上页下页返回结束

第一节机动目录上页下页返回结束函数一、数集与邻域二、函数的概念三、函数的表示法四、函数的特性五、初等函数六、双曲函数与反双曲函数机动目录上页下页返回结束一、数集与邻域N----自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集例如：10对于数集,记──正整数集──非零实数集──正实数集20由于实数集中的元素（数）与数轴上的点一一对应，故我们也称数为“点”．

1.数集——元素都是数的集合注机动目录上页下页返回结束称为开区间,记作称为闭区间,记作称为半开区间,记作称为半开区间,记作有限区间30区间是一类特殊的数集．数集数集数集数集机动目录上页下页返回结束无限区间机动目录上页下页返回结束──一类特殊的开区间

2.邻域机动目录上页下页返回结束注机动目录上页下页返回结束定义二、函数的概念1.函数的定义机动目录上页下页返回结束30构成函数的两要素:定义域与对应法则.①自然定义域（由对应法则（解析式）自然产生）；［约定:自然定义域是使解析式有意义的自变量的一切值］②人为定义域（由人为限定）；③实际定义域（由实际意义确定）．40

定义域的分类:注机动目录上页下页返回结束解(1)不同；(2)相同；(3)不同；(4)相同；机动目录上页下页返回结束2.反函数定义注例1.海伦公式例2.如图所示,对应阴影部分的面积则在数集自身之间定义了一种映射(满射)例3.如图所示,则有(满射)

(满射）机动目录上页下页返回结束X(数集或点集

)说明:在不同数学分支中有不同X(≠

)Y(数集)机动目录上页下页返回结束f称为X上的泛函X(≠

)Xf称为X上的变换

Rf称为定义在X上的为函数映射又称为算子.的惯用名称.例如,机动目录上页下页返回结束1.解析法（公式法）20分段函数──在定义域的不同范围内，对应法则用不同的式子表示的函数．2.表格法3.图形法注10显函数与隐函数显函数──因变量由自变量的解析式直接表示出来的函数．隐函数──自变量与因变量的对应关系由一个二元方程来表示的函数．三、函数的表示法机动目录上页下页返回结束(1)符号函数1-1xyo注●几个特殊的分段函数：机动目录上页下页返回结束12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyoy=[x]([x]表示不超过

的最大整数.)(2)取整函数机动目录上页下页返回结束有理数点无理数点•1xyo(3)狄利克雷函数机动目录上页下页返回结束(4)取最值函数yxoyxo机动目录上页下页返回结束1．函数的有界性四、函数的特性定义机动目录上页下页返回结束30函数f(x)在数集上有界函数f(x)在上既有上界又有下界．10在定义域内有界的函数称为有界函数．20有界函数的图形的特征是它被夹在两条水平直线之间机动目录上页下页返回结束2．函数的单调性定义机动目录上页下页返回结束注oxyxyo机动目录上页下页返回结束3．函数的奇偶性定义机动目录上页下页返回结束偶函数xyxo-xyxox-x奇函数注机动目录上页下页返回结束4．函数的周期性10周期函数的周期通常是指其最小正周期.定义注20并非每个周期函数都有最小正周期.机动目录上页下页返回结束①幂函数1．基本初等函数下列五类函数统称为基本初等函数：定义②指数函数③对数函数④三角函数⑤反三角函数五、初等函数机动目录上页下页返回结束注在基本初等函数中，以e为底的指数函数与对数函数特别重要，分别称为基本指数函数与自然对数函数．2．复合函数定义机动目录上页下页返回结束注10并不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数.2030一个复合函数也可由两个以上的函数复合而成．复合函数的定义域为40相应于复合函数，把基本初函数以及由常数与基本初等函数经过有限次四则运算所构成的函数称为简单函数．一个基本初等函数的n次幂（即形如的函数）通常视作复合函数．机动目录上页下页返回结束3．初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.定义机动目录上页下页返回结束第二节目录上页下页返回结束解解解∴函数的定义域为：奇函数.偶函数.六、双曲函数与反双曲函数1.双曲函数奇函数,有界函数,双曲函数常用公式2.反双曲函数是奇函数,上单调增加．上单调增加．奇函数,上单调增加．▲小结数集区间邻域函数分段函数隐函数有界性单调性奇偶性周期性反函数复合函数基本初等函数初等函数基本概念函数的特性且备用题证明证:令则由消去得时其中a,b,c为常数,且为奇函数.为奇函数.1.

设机动目录上页下页返回结束2.

设函数的图形与均对称,求证是周期函数.证:由的对称性知于是故是周期函数,周期为机动目录上页下页返回结束第二节

机动目录上页下页返回结束数列的极限一、数列的概念二、极限思想概述三、数列极限的定义四、收敛数列的性质刘徽目录上页下页返回结束一、数列的概念定义注1．数列的定义机动目录上页下页返回结束定义2．有界数列的定义机动目录上页下页返回结束定义3．单调数列的定义注机动目录上页下页返回结束定义4．子数列的定义注◎割圆术：播放——刘徽二、极限思想概述极限概念是由于求某些问题的精确解答而产生的．例如，我国古代数学家刘徽（三世纪）发明的“割圆术”

利用圆的内接正多边形的面积来推算圆面积的方法，就是极限思想在几何学上的应用．“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”机动目录上页下页返回结束正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积机动目录上页下页返回结束●极限思想:极限是变量的一种变化趋势，极限是由近似过渡到精确的桥梁．机动目录上页下页返回结束三、数列极限的定义考察下列四个数列：(1)(2)(3)(4)容易看出：当n无限增大时，数列（1）的一般项也无限增大；数列（2）的始终在1和－1两点上来回跳动；它们都不趋近于一个确定的常数．而数列（3）与（4）的情形就不一样，数列（3）无限趋近于常数0；数列（4）无限趋近于常数1．我们就称常数0为数列（3）的极限；常数1为数列（4）的极限．机动目录上页下页返回结束1．数列极限的描述性定义问题:“无限趋近”的实质是什么?如何用数学语言刻画它.机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束2．数列极限的分析定义（精确定义）注机动目录上页下页返回结束3．数列极限的几何解释机动目录上页下页返回结束例1已知证明数列的极限为1.

证欲使即只要因此,取则当时,就有故机动目录上页下页返回结束证明证欲使只要即取则当时,就有故故也可取也可由N与

有关,但不唯一.不一定取最小的N.说明:

取机动目录上页下页返回结束例2已知证明等比数列证欲使只要即亦即因此,取,则当n>N时,就有故的极限为0.机动目录上页下页返回结束例3设四、收敛数列的性质性质１（数列极限的唯一性）

［简言之，收敛数列的极限是唯一的．］机动目录上页下页返回结束性质２（收敛数列的有界性）

［简言之，收敛数列必有界．］注20有界是数列收敛的必要条件而非充分条件，即：有界数列不一定收敛，无界数列一定发散.例如数列：有界，但发散．机动目录上页下页返回结束证由数列极限的定义,对于当时，于是，机动目录上页下页返回结束证从而有性质３（收敛数列的保号性）

不妨设所以对推论如果数列从某项起有因为机动目录上页下页返回结束性质４（收敛数列的子列收敛性）

［简言之，收敛数列的任一子数列也收敛．且极限相同．］注20发散的数列也可能有收敛的子数列．机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束*********************证设数列是数列的任一子数列.若则当时,有现取正整数K,使于是当时,有从而有由此证得*********************机动目录上页下页返回结束返回刘徽(约225–295年)我国古代魏末晋初的杰出数学家.他撰写的《重差》对《九章算术》中的方法和公式作了全面的评注,指出并纠正了其中的错误,在数学方法和数学理论上作出了杰出的贡献.他的“割圆术”求圆周率“割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”它包含了“用已知逼近未知,用近似逼近精确”的重要极限思想.

的方法:第三节

机动目录上页下页返回结束函数的极限一、函数极限的定义二、函数极限的性质自变量变化过程共有两类六种：对于函数第四节目录上页下页返回结束一、函数极限的定义1.自变量趋于无穷大时函数的极限第四节目录上页下页返回结束(1)定义（定义）第四节目录上页下页返回结束注第四节目录上页下页返回结束(2)的几何解释第四节目录上页下页返回结束证证第四节目录上页下页返回结束2.自变量趋向有限值时函数的极限(1)定义（定义）注(2)的几何解释例3证（3）双侧极限与单侧极限的关系例4设求：解

（1）（2）（3）（4）二、函数极限的性质（以为例）性质1(唯一性)性质2(局部有界性)性质３(局部保号性)

推论性质4(与数列极限的关联性)

性质5（保序性）例5证（反证法）若存在，设为取数列：则但由性质4知：于是，并记矛盾！思考题思考题解答若极限存在,是否一定有？不一定！

第四节机动目录上页下页返回结束无穷小与无穷大一、无穷小与无穷大的定义二、无穷小与无穷大的关系三、函数极限与无穷小的关系四、无穷小的性质一、无穷小与无穷大的定义定义1定义2例如:注10不能把无穷小理解为很小的数，也不能把无穷大理解为很大的数．无穷小（或无穷大）是一个函数，在自变量的某一变化过程中，其绝对值无限变小（或无限增大）．任何除零外的数都不是无穷小．20数零是任何趋势下的无穷小．30无穷小（或无穷大）总是与自变量的某一变化过程相联系．40“无穷大”属于极限不存在的情形．但为了便于叙述函数的这一性态，我们也说“函数的极限是无穷大”．60对于自变量的其它四种变化趋势也有类似的定义．50无穷小必是局部有界函数，无穷大必是无界函数．二、无穷小与无穷大的关系定理1三、函数极限与无穷小的关系定理2证必要性充分性例1解四、无穷小的性质性质1性质2推论1推论2有限个无穷小的和仍是无穷小．有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小．常数与无穷小的乘积仍是无穷小．有限个无穷小的乘积仍是无穷小．例2求下列极限：思考题思考题解答

第五节机动目录上页下页返回结束极限运算法则一、极限的四则运算法则二、极限的复合运算法则一、极限的四则运算法则定理1注10法则（1）、（2）可推广到有限个函数的情形．20法则对数列也适用．30使用极限四则运算法则的注意点：①参与运算的每个函数都要存在极限；②只能用于有限次运算；③在商的情形分母的极限不能为零．推论2推论1

运算法则求极限，只能用于次有限，每个函数有极限，分母不为零极限．例如：推论3当时，有无穷小化出法:以分式中自变量的最高次幂除分子与分母,化出无穷小,然后再求极限.例1求：解

无穷小化出法解商的运算法则不能用！由无穷小与无穷大的关系,得例2例3约去无穷小公因子法（约简分式法）解例4解因为所以且当时，解例5求例6求解有理化分子或分母法无穷小化出法例7设试求：解（1）所以从而（2）因为所以例8例9解解无穷小化出法和式化简法二、极限的复合运算法则定理2注例10求解令则由于于是，思考题解答不存在．假设存在，存在，故由极限运算法则可知：存在，与已知条件矛盾，故假设错误．思考题是否存在?为什么?问机动目录上页下页返回结束极限存在准则两个重要极限

第六节一、极限存在准则二、两个重要极限一、极限存在准则1.夹逼准则准则Ⅰ准则Ⅰ′例1解故由夹逼准则得：例2求解因为且故2.单调有界准则准则Ⅱ的几何解释:注10准则Ⅱ可推广为：“广义单调有界数列必有极限”.准则Ⅱ′

20准则Ⅱ可分解为：单调增且有上界数列必有极限；单调减且有下界数列必有极限．例3证明存在．设证显然数列单调增加．又即有界．据单调有界准则，存在．所以当n充分大时，数列单调减少．例4证明:证所以数列有下界．据单调有界准则，存在．因为因为令令则由两边令得，故二、两个重要极限1．在单位圆中，取圆心角故此式对于推广：例5求下列极限：2．推广：注e为无理数,例6求下列极限：思考与练习填空题第七节目录上页下页返回结束一、无穷小的比较二、等价无穷小的性质

无穷小的比较第七节一、无穷小的比较两个无穷小的和、差、积都是无穷小，但是两个无穷小的商却会出现各种不同的情形．例如,当时，都是无穷小．但两个无穷小之比的极限的不同情况，反映了不同无穷小趋于0的速度是有快有慢的，为了描述这样的现象，我们引入无穷小的阶的概念．定义例如，记作：记作：证二、等价无穷小的性质定理1例如：当时，所以，当时，有：定理２(等价无穷小代换定理)证注10等价无穷小代换定理表明：求两个无穷小之比的极限时，分子和分母都可用其等价无穷小来代替换，使计算简化．这种求极限的方法称为等价无穷小代换法．20只能对分子或分母的“无穷小因子”代换，即只能在“乘除”的情形代换．30常用的等价无穷小：例2解因为当时，例1解因为当时，例3解例4解例５解解错例6解思考题任何两个无穷小都可以比较吗？思考题解答不能．都是无穷小量但不存在且不为无穷大故当时，例：当时，一、函数连续的概念二、连续函数的运算性质三、初等函数的连续性四、函数的间断点及其分类第八节函数的连续性与间断点

机动目录上页下页返回结束一、函数连续的概念0.函数的增量(改变量)1．函数在某点连续的定义则(3)10函数在点连续必须具备下列条件:(2)极限存在；(1)在点即有定义,存在；注20函数在某点连续是局部性概念．例1讨论处的连续性．解因为从而在处不连续．例2讨论处的连续性．解因为故在处不连续．因为故在处不连续．解因为例3设处连续，求常数由在处连续得，故2．左连续与右连续的定义定理13．函数在区间内连续的定义连续函数的图形是一条连续而不断开的曲线．注

二、连续函数的运算性质定理2（连续函数的和、差、积、商的连续性）（反函数的连续性）

【简言之，单调连续函数必有单调连续的反函数.】定理3（复合函数的连续性）

（极限号与函数号换序定理）

定理4定理5例4求下列极限：一般地，则三、初等函数的连续性定理6一切初等函数在其定义区间内都是连续的．注10定义区间──包含在定义域内的区间──定义域中除去＂孤立点＂的部分．20基本初等函数的定义域中没有孤立点，故30定理6表明：初等函数的连续区间就是其定义区间．40定理6还提供了求极限的一个简单而又重要的方法：基本初等函数在其定义域内都是连续的．四、函数的间断点及其分类1．间断点的定义注2.间断点的分类:第一类间断点:及均存在,第二类间断点:及中至少一个不存在,若称为可去间断点.若称为跳跃间断点.则称若其中至少有一个为为无穷间断点.若其中至少有一个振荡,则称为振荡间断点.第一类间断点跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyx可去型oyxoyx.例5解为函数的跳跃间断点,属于第一类．例6解为函数的可去间断点,属于第一类．注意只要改变或者补充可去间断点处函数的定义,即可使其变为连续点.例7解为函数的无穷间断点,属于第二类．例8解且当时函数值在－1与1之间变动无限多次．为函数的振荡间断点,属于第二类．例9解（1）为初等函数，其定义域为是跳跃间断点，属于第一类．例10解（1）为初等函数，其定义域为思考题1思考题1解答且（夹逼准则）但反之不成立.反例:但思考题2思考题2解答一个函数的间断点是否只有是有限个？不一定．

狄利克雷函数在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.仅在x=0处连续,其余各点处处间断.例如：

在定义域R内每一点处都间断,但其绝对值处处连续.

指出下列函数的间断点的类型:思考题3。一、有界性二、最值性三、介值性四、零点存在性第九节闭区间上连续函数的性质

〇、预备知识1．函数的最值定义12．函数的零点定义2注一、有界性在闭区间上连续的函数必在上有界．定理1（有界性定理）若区间不是闭区间或区间内有间断点,则结论不一定成立．注二、最值性在闭区间上连续的函数必在上取得它的最大值和最小值．定理2（最值性定理）若不是闭区间或闭区间内有间断点,则结论不一定成立．注三、介值性定理3（介值定理）MCmabyx四、零点存在性定理4（零点定理）例1证令则在上连续，且由零点定理得：至少存在一点使得即方程至少有一个小于1的正根．例2证由零点定理,则在上连续，且至少存在一点使得上连续,且恒为正,例3

设在对任意的必存在一点证使令使故由零点定理知,存在即当时,取或,则有证明:小结目录上页下页返回结束则在上连续，且思考题1下述命题是否正确？思考题1解答不正确.例如，函数

任给一张面积为A的纸片(如图),证明必可将它一刀剪为面积相等的两片.提示:建立坐标系如图.则面积函数因故由介值定理可知:机动目录上页下页返回结束思考题2在上连续．则证明：使提示:令则易证

设至少存在一点习题课目录上页下页返回结束思考题3在上连续，且在上连续，且备用题

至少有一个不超证证明令且根据零点定理,原命题得证.内至少存在一点在开区间显然过4的正根.机动目录上页下页返回结束二、连续与间断一、函数三、极限习题课机动目录上页下页返回结束函数与极限

一、函数1.函数的概念定义:定义域值域图形:(一般为曲线)设函数为特殊的映射:其中机动目录上页下页返回结束2.函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性3.反函数设函数为单射,反函数为其逆映射4.复合函数给定函数链则复合函数为5.初等函数有限个常数及基本初等函数经有限次四则运算与复复合而成的一个表达式的函数.机动目录上页下页返回结束例1.设函数求解:机动目录上页下页返回结束解:利用函数表示与变量字母的无关的特性.代入原方程得代入上式得设其中求令即即令即画线三式联立即例2.机动目录上页下页返回结束思考与练习1.下列各组函数是否相同?为什么?相同相同相同机动目录上页下页返回结束2.下列各种关系式表示的y是否为x的函数?

为什么?不是是不是提示:(2)机动目录上页下页返回结束⑶⑵3.下列函数是否为初等函数?为什么?⑷以上各函数都是初等函数.机动目录上页下页返回结束4.设求及其定义域.5.已知,求6.设求由得4.解:机动目录上页下页返回结束5.已知,求解:6.设求解:机动目录上页下页返回结束二、连续与间断1.函数连续的等价形式有2.函数间断点第一类间断点第二类间断点可去间断点跳跃间断点无穷间断点振荡间断点机动目录上页下页返回结束有界定理;最值定理;零