2024-2025学年高中数学 第1章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.1 第1课时 排列与排列数公式（教师用书）教学实录 新人教A版选修2-3

2024-2025学年高中数学第1章计数原理1.2排列与组合1.2.1第1课时排列与排列数公式（教师用书）教学实录新人教A版选修2-3主备人备课成员课程基本信息1.课程名称：高中数学第1章计数原理1.2排列与组合1.2.1第1课时排列与排列数公式（教师用书）

2.教学年级和班级：高一年级全体学生

3.授课时间：2024年10月15日，星期一，上午第2节课

4.教学时数：1课时核心素养目标1.培养学生的逻辑推理能力，通过排列与组合的概念，让学生学会运用数学逻辑进行问题分析和解决。

2.提升学生的数学抽象能力，使学生能够从具体情境中抽象出排列与组合的数学模型。

3.强化学生的数学建模意识，通过实际问题引入排列与组合，让学生体会数学在现实生活中的应用价值。

4.增强学生的数学运算能力，通过排列数公式的推导和应用，提高学生的计算技能和精确度。教学难点与重点1.教学重点，

①排列与组合的概念理解：使学生能够准确区分排列和组合的定义，理解它们的区别和联系。

②排列数和组合数的计算公式掌握：确保学生能够熟练运用排列数公式和组合数公式进行计算。

③实际问题的解决：通过实例让学生学会如何将实际问题转化为排列与组合问题，并运用所学公式进行解答。

2.教学难点，

①排列与组合的灵活运用：学生能够根据不同的问题灵活选择排列或组合，并正确应用相应的公式。

②排列数和组合数公式的推导：理解排列数和组合数公式的推导过程，并能够证明其正确性。

③复杂问题的简化：在面对复杂问题时，学生能够找到合适的简化方法，将问题转化为简单易解的形式。

④排列与组合在实际情境中的应用：学生能够将排列与组合的概念应用到实际生活中，解决实际问题。学具准备Xxx课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学资源-软件资源：教学PPT、数学计算软件（如Mathematica、Geogebra等）

-课程平台：学校内部网络教学平台、教育资源共享平台

-信息化资源：在线教育视频、数学题库、互动式教学软件

-教学手段：实物教具（如排列组合模型）、多媒体教学设备（如投影仪、白板）

-教学工具：计算器、几何图形绘制软件教学过程设计一、导入环节（用时5分钟）

1.创设情境：以学校即将举办的校园文化节为例，引入排列与组合的概念。

2.提出问题：假设文化节需要选出10个节目参加开幕式，而可供选择的节目有15个，如何进行选择？

3.引导学生思考：讨论不同的选择方法，并预测可能的结果。

二、讲授新课（用时15分钟）

1.排列的定义：介绍排列的概念，解释排列数是如何计算得出的。

2.排列数公式讲解：推导排列数公式A(n,m)，并解释公式中n和m的含义。

3.排列的应用实例：通过实例讲解排列在实际问题中的应用，如人员排列、产品排列等。

三、巩固练习（用时10分钟）

1.练习题展示：展示几道排列的练习题，让学生独立完成。

2.学生展示：请学生上台展示解题过程，其他学生进行点评和补充。

3.教师点评：对学生的解答进行点评，指出错误和不足。

四、师生互动环节（用时10分钟）

1.课堂提问：针对排列数公式的推导过程进行提问，引导学生思考和回答。

2.小组讨论：将学生分成小组，讨论排列与组合在实际问题中的应用，并分享讨论结果。

3.教师总结：对学生的讨论结果进行总结，强调排列与组合在解决问题中的重要性。

五、课堂提问（用时5分钟）

1.提问排列与组合的定义，让学生复述。

2.提问排列数公式的推导过程，考察学生对公式的理解。

3.提问排列在实际问题中的应用，让学生举例说明。

六、课堂小结（用时5分钟）

1.教师总结本节课的重点内容，强调排列与组合的概念和计算方法。

2.回顾课堂练习和讨论环节，强调学生在解决问题中的思考过程。

3.布置课后作业，巩固学生对排列与组合的理解和应用。

七、拓展能力培养（用时5分钟）

1.提供一些拓展练习，让学生尝试解决更复杂的排列与组合问题。

2.引导学生思考排列与组合在其他学科中的应用，如计算机科学、统计学等。

3.鼓励学生课后查阅资料，了解更多关于排列与组合的知识。

教学过程设计总计用时45分钟。教学资源拓展1.拓展资源：

-排列与组合的实际应用案例：收集并整理一些排列与组合在实际生活中的应用案例，如建筑设计、密码学、统计学等领域。

-排列与组合的历史背景：介绍排列与组合的发展历史，包括著名的数学家及其贡献，如排列组合的起源、发展过程等。

-排列与组合的数学证明方法：探讨排列与组合的数学证明方法，如归纳法、反证法等，让学生了解数学证明的思维方式。

-排列与组合的计算机实现：介绍排列与组合在计算机科学中的应用，如算法设计、数据结构等。

2.拓展建议：

-阅读相关书籍：《离散数学》、《组合数学导论》等，深入了解排列与组合的理论知识。

-参加数学竞赛：鼓励学生参加数学竞赛，如数学建模竞赛、数学奥林匹克竞赛等，提高学生的应用能力和创新能力。

-实践项目：组织学生参与实践项目，如设计密码系统、分析统计数据等，将排列与组合的知识应用于实际问题。

-利用在线资源：引导学生使用在线教育资源，如KhanAcademy、Coursera等平台上的数学课程，进行自主学习和拓展。

-小组合作研究：鼓励学生组成学习小组，共同研究排列与组合的相关问题，培养团队合作精神和沟通能力。

-教师指导：教师可以根据学生的兴趣和需求，提供个性化的指导，帮助学生深入探索排列与组合的奥秘。

-撰写论文：鼓励学生撰写关于排列与组合的论文，通过研究和撰写，加深对知识点的理解和应用。

-实验室研究：如果条件允许，可以引导学生进行实验室研究，如使用计算机模拟排列与组合的过程，验证理论结果的正确性。教学反思今天这节课，我们学习了排列与组合，这是高中数学中一个重要的知识点。在回顾这节课的教学过程时，我想分享一下我的几点反思。

首先，我觉得导入环节的设计挺成功的。通过校园文化节的情境引入，学生们的兴趣立刻被激发起来。他们对于如何从15个节目中选出10个参加开幕式的问题表现出了浓厚的兴趣，这为接下来的教学奠定了良好的基础。

在讲授新课的过程中，我发现学生对排列数公式的理解比较吃力。我意识到，公式推导的过程需要更加清晰和简洁。因此，我在讲解时尽量用最简单的话来解释，并且通过具体的例子来帮助学生理解。

在巩固练习环节，我注意到有些学生能够迅速完成练习，而有些学生则显得有些吃力。这让我反思，可能需要针对不同层次的学生设计不同的练习题目，以便于他们都能在练习中得到提升。

师生互动环节，我尝试让学生参与到问题的解答中来，这样可以提高他们的参与度和思考能力。不过，我也发现有些学生回答问题时缺乏条理性，这说明我在今后的教学中需要更加注重培养学生的逻辑思维能力。

课堂提问环节，我提问了一些关于排列与组合定义和公式的深入问题，学生的回答不尽如人意。这让我意识到，我在教学过程中可能过于注重知识的传授，而忽视了学生对知识的应用和理解。今后，我需要更加注重培养学生的实际应用能力。

在课堂小结时，我总结了本节课的重点内容，但感觉学生们的反应并不热烈。这让我想到，可能需要在小结环节增加一些互动，比如让学生自己总结，或者通过小组讨论的方式，这样既能加深他们的记忆，也能提高他们的表达能力。

课后，我布置了一些拓展练习，希望学生能够通过这些练习来巩固所学知识。同时，我也计划在下一节课前进行一个小测验，以检查学生的学习效果。

在今后的教学中，我打算做以下几点改进：

-在讲解公式和概念时，注重用生活中的例子来帮助学生理解。

-设计更多层次性的练习题，满足不同学生的学习需求。

-加强课堂互动，鼓励学生积极参与讨论和提问。

-课后及时反馈，帮助学生巩固所学知识。

-定期进行教学反思，不断调整和优化教学方法。

我相信，通过这些努力，我能够更好地帮助学生掌握排列与组合的知识，培养他们的数学思维能力和解决问题的能力。典型例题讲解例题1：从5名男生和4名女生中选出3名学生参加比赛，求选出的3名学生中至少有1名女生的选法有多少种？

解答：首先，计算从9名学生中选出3名学生的总选法数，即组合数C(9,3)。然后，计算选出的3名学生都是男生的选法数，即从5名男生中选出3名学生的组合数C(5,3)。最后，用总的选法数减去都是男生的选法数，得到至少有1名女生的选法数。

计算过程如下：

C(9,3)=9!/(3!*(9-3)!)=84

C(5,3)=5!/(3!*(5-3)!)=10

至少有1名女生的选法数=C(9,3)-C(5,3)=84-10=74

例题2：从0、1、2、3、4这五个数字中，任取三个数字（可以重复），组成一个三位数，求这个三位数是偶数的选法有多少种？

解答：要组成一个偶数，个位数必须是0、2或4。分两种情况讨论：

（1）个位是0，则百位和十位可以从剩下的4个数字中任选，即C(4,2)。

（2）个位是2或4，则百位和十位可以从剩下的4个数字中任选，但百位不能是0，即C(3,1)*C(3,1)。

计算过程如下：

C(4,2)=4!/(2!*(4-2)!)=6

C(3,1)*C(3,1)=3*3=9

总选法数=C(4,2)+2*C(3,1)*C(3,1)=6+2*9=24

例题3：从0、1、2、3、4这五个数字中，任取三个数字（可以重复），组成的四位数中，千位上的数字大于百位上的数字的选法有多少种？

解答：分两种情况讨论：

（1）千位上的数字是0，则百位上的数字可以从1、2、3、4中任选，十位和个位可以从剩下的4个数字中任选，即C(4,3)。

（2）千位上的数字是1、2、3、4，则百位上的数字必须小于千位上的数字，十位和个位可以从剩下的4个数字中任选，即C(4,1)*C(3,2)。

计算过程如下：

C(4,3)=4!/(3!*(4-3)!)=4

C(4,1)*C(3,2)=4*3=12

总选法数=C(4,3)+4*C(4,1)*C(3,2)=4+4*12=52

例题4：从0、1、2、3、4这五个数字中，任取三个数字（可以重复），组成的四位数中，千位上的数字是偶数的选法有多少种？

解答：分两种情况讨论：

（1）千位上的数字是0，则百位、十位和个位可以从剩下的4个数字中任选，即C(4,3)。

（2）千位上的数字是2或4，则百位、十位和个位可以从剩下的4个数字中任选，即C(4,3)。

计算过程如下：

C(4,3)=4!/(3!*(4-3)!)=4

总选法数=C(4,3)+2*C(4,3)=4+2*4=12

例题5：从0、1、2、3、4这五个数字中，任取三个数字（可以重复），组成的四位数中，千位上的数字与百位上的数字不相等的选法有多少种？

解答：分两种情况讨论：

（1）千位上的数字是0，则百位上的数字可以从1、2、3、4中任选，十位和个位可以从剩下的4个数字中任选，即C(4,3)。

（2）千位上的数字是1、2、3、4，则百位上的数字不能与千位上的数字相同，十位和个位可以从剩下的4个数字中任选，即C(4,1)*C(3,2)。

计算过程如下：

C(4,3)=4!/(3!*(4-3)!)=4

C(4,1)*C(3,2)=4*3=12

总选法数=C(4,3)+4*C(4,1)*C(3,2)=4+4*12=52课堂小结，当堂检测课堂小结：

今天我们学习了排列与组合的基本概念和计算方法。通过几个具体的例子，我们了解了排列和组合在生活中的应用，以及如何使用排列数公式和组合数公式来解决实际问题。

1.排列是指从n个不同的元素中，按照一定的顺序取出m个元素的方法数，记作A(n,m)。

2.组合是指从n个不同的元素中，不考虑顺序地取出m个元素的方法数，记作C(n,m)。

3.排列数公式A(n,m)=n!/(n-m)!，组合数公式C(n,m)=n!/[m!*(n-m)!]。

在课堂练习中，我们通过实际问题的解决，加深了对这些概念的理解。以下是对今天所学内容的总结：

-排列与组合是解决实际问题的重要工具，它们在日常生活、工程设计和科学研究等领域都有广泛的应用。

-排列数和组合数的计算公式是解决排列与组合问题的核心，学生需要熟练掌握并能够灵活运用。

-在解决实际问题时，首先要明确问题的类型，然后选择合适的公式进行计算。

当堂检测：

为了检测学生对今天所学内容的掌握情况，以下是一些练习题：

1.从0、1、2、3、4这五个数字中，任取三个数字（可以重复），组成的四位数中，千位上的数字是偶数的选法有多少种？

2.从5名男生和4名女生中选出3名学生参加比赛，求选出的3名学生中至少有1名女生的选法有多少种？

3.从0、1、2、3、4这五个数字中，任取三个数字（可以重复），组成的四位数中，千位上的数字大于百位上的数字的选法有多少种？

4.一个班级有10名学生，需要从中选出3名学生代表班级参加比赛，求选法有多少种？

5.一个密码锁由4位数字组成，每位数字可以是0到9中的任意一个，求这个密码锁的总数。

学生完成练习后，教师可以收集答案并进行讲解，帮助学生巩固所学知识。通过当堂检测，教师可以了解学生对排列与组合的理解程度，并及时调整教学策略。板书设计1.重点知识点：

①排列与组合的定义

②排列数公式A(n,m)