高考数学一轮复习考点总结-复数（含解析）

复数(3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练)

m【考试提醒】

1.通过方程的解，认识复数.

2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.

3.掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.

E1【知识点】

i.复数的有关概念

(1)复数的定义：形如a+6i(a,6GR)的数叫做复数，其中且是复数z的实部，上是复数z的

虚部，i为虚数单位.

(2)复数的分类：

复数z=a+bi(a,Z>GR)

［实数(6三0),

I®数S差0)(当。三o时为纯虚数).

(3)复数相等:

a+Z?i=c+diO。=cb=d(a,b,c,dR).

(4)共朝复数：

a+6i与c+di互为共辗复数0a=c,b=—d(a,b,c,dGR).

⑸复数的模：

向量方的模叫做复数z=a+6i的模或绝对值，记作/+历I或出,即|z|=|a+6i尸标行(。，

6GR).

2.复数的几何意义

⑴复数z=a+6i(a,6GR)对应复平面内的点Z(a,b).

(2)复数z=a+6i(a,6GR)对平面向量。k

3.复数的四则运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则：

设zi=〃+bi,Z2=c+di(a,b,c,d£R),则

①力口法：zi+Z2=(。+历)+(c+di)=(a+c)+(b+(/)i；

②减法：zi-Z2=(q+6i)-(c+di)=(Q—c)+(7?-%i；

③乘法：zpZ2=(Q+bi)-(c+di)=(ac—bd)+(ad+bc)i；

④除法：z1=a+bi=(a+b^^=ac+M+b^.(c+d^

Z2c-\-di(c+di)(c—di)c2+J2c2+6p

(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行.

如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即方=次+

OZ2,Z1Z2=OZ2—0Z\.

【常用结论】

1I,

211-i

1.(l±i)=±2i；=i；1.

1—i1+i

2.—b+ai=i(a-\-bi)(a,b£R).

3.i4w=l,i4w+1=i,i4w+2=-l,i4w+3=-i(«eN).

4.i4n+i4w+1+i4«+2+i4w+3=0(weN).

5.复数z的方程在复平面上表示的图形

(l)aW|z|Wb表示以原点O为圆心，以〃和6为半径的两圆所夹的圆环；

(2)匕一(4+历)|=升0>0)表示以(4,6)为圆心，尸为半径的圆

国【核心题型】

题型一复数的概念

解决复数概念问题的方法及注意事项

(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,

只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.

⑵解题时一定要先看复数是否为。+历(a,6GR)的形式，以确定实部和虚部.

【例题1】(2024•四川•模拟预测)已知复数z=2-12024(1为虚数单位)，则7的虚部为()

1+1

A.B.gC.——iD.—i

2222

【答案】A

【分析】先利用i的性质化简]2。24,再利用复数的四则运算与共舸复数的定义，结合复数的

概念即可得解.

【详解】因为r=1,所以12。24=。4广6=],

-1；2024i(-i)1J+11」i

1+1(l+i)(l-i)222

其虚部为q.

故选：A

【变式1】（2024・辽宁・三模）已知复数z在复平面上对应的点为（根,1）,若匕＞一2,则实数冽

的值为（）

A.0B.-1C.1D.1或-1

【答案】A

【分析】由条件结合复数的几何意义，得到z=〃?+i,根据匕＞-2可得iz为实数，列方程可

求加的值.

【详解】因为复数z在复平面上对应的点为（加,1）,

所以z=%+i,

因为iz＞-2,

因为b=1（加+。=-1+而为实数，

得〃?=0.

故选：A.

【变式2］（2023•江苏•三模）设z为复数（i为虚数单位），下列命题正确的有（）

A.若zeR,则z=WB.若z^eR，贝!JzeR

C.若（l+i）z=l-i,则目=1D.若#+1=0,则z=i

【答案】AC

【分析】利用共辗复数的定义可判断A选项；利用特殊值法可判断B选项；利用复数的除

法化简复数z,利用复数的模长公式可判断C选项；解方程z2+1=0,可判断D选项.

【详解】对于A选项，若zeR,则z=lA对；

对于B选项，若ieR，不妨取z=i,则z?=-1eR，但z£R,B错；

对于C选项，若（l+i）z=l-i,则z=3（：：）=»故目=1,C对；

1+1+

对于D选项，若？2+i=o,则z?=—1,解得z=±i,D错.

故选：AC.

【变式3］（2024・山东日照•二模）设“eR,i为虚数单位.若集合/={1,2/+（%-l）i},

5={0,1,2},且4=8,贝1］刃=.

【答案】1

【分析】根据题意，利用集合的包含关系，列出方程组，即可求解.

【详解】由集合/={1,2加+（〃Ll）i},5-{0,1,2）,因为/《8,

C2/72—0

当2加+（加-l）i=0时，此时方程组无解；

［加一1=0

f—2

当2加+b〃-l）i=2时，此时1,解得皿=1,

［"7-1=0

综上可得，实数机的值为1.

故答案为：1

题型二复数的四则运算

（1）复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算.（2）复数的除法：除法的关键是分子分

母同乘以分母的共朝复数.

【例题2】（2024・湖北•模拟预测）已知复数z=a+6i（a,6eR,i为虚数单位），若忖=1且

|z-i|=l,贝U|z_2i卜（）

A.2B.5/3C.-^2D.1

【答案】B

【分析】根据复数的模求出生6,再根据复数的模的计算公式即可得解.

1

a2+b2=1

【详解】由目=1且z-i=l,得，解得《2

矿=1

则|z_2i|=y/a2+(b-2)2=,：+；=技

故选：B.

【变式1］（2024•山东•模拟预测）已知复数z满足目=1,且|z-l|=|z+i|,则/=（）

A.1B.-1C.iD.-i

【答案】D

【分析】设z=a+bi（a/£R）,然后由已知条件列方程组可求出。+6=0,2仍=-1,从而可

求出z2

【详解】设2=a+6i(a/£R),则由目=1,得/+〃=i,

由=|z+i],得卜+bi-1卜,+6i+i|,即+叫=|a+(6+l)i|,

所以(a-l)2+〃=/+s+l)2,化简整理得。+6=0,得。=一6,

所以。°+。2+2浦=0,得2ab=-1,

Jpfrl^z2=(a+bi)2=a2+2abi-b2=-i,

故选：D

【变式2](2024•福建福州•三模)已知复数句/2满足：「百卜4,七-2i|=l,

则()

A.㈤的最小值是1B.同的最大值是2

C.三的最大值是3D.归-4的最大值是4

Z1

【答案】ABC

【分析】对于A,设Z1=a+6i/2=c+di,依题意可得c2+(d-2『=l,可知复数的的对应

点P在以C(0,2)为圆心，1为半径的圆上，根据复数几何意义可判断A；对于B,根据题意

可得J(a+省『+/+"=4,表示复数4的对应点。在以上石,0)为焦点，长

轴长为4的椭圆上，根据图形和,卜可判断B；对于C,根据复数除法运算和复数模公式

证明&=三，结合图形求得14阂42,14"|43,然后可判断C；对于D,根据复数减法

Z%

的几何意义可知,12|=归0],结合图形转化为求|CQ|+1的最值，根据点P在椭圆

—+/=1±，利用二次函数性质求解可得.

4

【详解】设Z]=a+历,z2=c+di,a,b,c,deR,

对于A,因为R-2i|=|c+(d-2)i|=l,所以c2+(d-2)2=l,

所以，复数Z2的对应点尸在以C(0,2)为圆心，1为半径的圆上，

由图可知，点P到原点的最小距离为1,即匕21的最小值是1，A正确；

对于B,因为卜[+百|+k_石卜+6)+6?+—6)+62=4,

所以，复数句的对应点。在以(土省,0)为焦点，长轴长为4的椭圆上，

由椭圆几何性质可知，点。到原点的最大距离为2,即|句|的最大值为2,

又同=团,所以同的最大值是2,B正确;

c+diac+bdad-be.

对于C,因为三二----=------1------i

zia+b\a2+b2a2+b2'

kac+bd丫~~(ad-bcy\_

所心

(4+/)92+/)722

'c+d_z2

⑷+47N+b24

由图可知，14㈤42,14㈤43,所以当㈤=1,㈤=3时，立取得最大值3,C正确;

Z1

对于D,因为归―Z2|=|("C)+(b—d)i|=J("C『+0—d)2表示P,0的距离,

2

所以,一4的最大值为|CQ|+1,设。(x,y),则,+/=i,即*2=4一4y2,

所以幽+]=6+(广2)2+1=^4-4y2+y2-4y+4+1=^/-3/-47+8+1,

由二次函数性质可知，当了=-1时，|C0|+1取得最大值组+1,D错误.

33

故选：ABC

【变式3］（2024糊南•模拟预测）已知i是复数的虚数单位，且\二=。+为（。力eR）,则。+6

的值为.

【答案】-5

【分析】计算出三丑，从而求出。，b以及6的值.

1

【详解】因为上2=0学===-2-3i,

11-1

所以〃=—2,b=—3,

所以a+6=—5,

故答案为：-5

题型三复数的几何意义

由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一

起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观

【例题3】（2024•全国•模拟预测）如图，复数z对应的向量为应，且|z-i|=5,则向量反

在向量而上的投影向量的坐标为（

【分析】首先根据复数的几何意义设出复数z=-加+，比（%>0）,再根据复数模的公式，即

可求解加，再代入向量的投影公式，即可求解.

【详解】由题图可知，z=-m+nn[m>0）,则匕-i]=卜〃1+（〃1一1*=,疗+（加一1）-=5，

解得m=4（〃？=一3舍去），

一，、一，、__OZOPOP

所以OZ=（-4,4）,O尸=（2,4）,则向量OZ在向量O尸上的投影向量为,布同，

(-44)04)(2,4)-8/2,4)_

所以其坐标为

V22+42-A/22+42V20V20

故选：D

【变式1](2024•海南海口•二模)在复平面内，匕回对应的点位于()

2+i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】利用复数的模长公式、除法运算法则及几何意义计算即可.

【详解】易知所以•一事'

对应的点为[与位于第四象限.

即

2+iI55J

故选：D

【变式2](2024•湖南长沙•二模)在复平面内，复数句和z?对应的点分别为42,则

【分析】根据条件，利用复数的运算，即可求出结果.

【详解】由题意可知，Z1=-2-i,z2=l+i,

则Zz=(-2-i)(l+i)--2-i-2i-i2=-2+1-3i=-l-3i,

故答案为：-1-3i

【变式3](23-24高三上•江苏盐城•阶段练习)已知函数/'(x)=asin2x+cos2无，且

⑴求函数的解析式；

(2)。为坐标原点，复数Zj=-2-4i,Z2=-2+/«)i在复平面内对应的点分别为A,B,求

△048面积的取值范围.

【答案】(l)〃x)=-2sin(2xq

⑵26].

【分析】（1）根据-｝是/（尤）的对称轴，结合对称轴处/（x）取得最值，计算即可；

6

（2）根据复数的几何意义，建立三角形面积关于，的三角函数关系，求函数值域即可.

【详解】⑴即当时函数“X)取到最值，

又f(x)=6/sin2x+cos2x=Ja2+Isin(2x+^>)<+1»

其中tan^?=—(d!^0),

=a2+\,代入得Qsin2(-"^]+cos2(=a2+l,

([\1V2L

2

即----aT—=a+1f解得(Q+A/^)=0,**•a=-5/3

f(x)=-V3sin2x+cos2x=-2sin-力

(2)由(1)可得：f(.^)——2sin^2x——

由复数的几何意义知：^(-2,-4),可-21(。)

•e•S^ABC=1x2x|^|=\AB\=\f)+4|=-2sinR—,

当2方一^=2左兀一g,左EZ,即/=左兀—二，左EZ时，SAONB有最大值6；

626

ITTT7T

当2%—二247iH—,左EZ,即/=ATTH—，左EZ时，有最小值2；

623

•^^OABE[26]

••?

【课后强化】

【基础保分练】

一、单选题

1.（2024•湖南衡阳•模拟预测）已知复数4=1-历伍eR）在复平面内对应的点在直线

x+y-l=0上，则复数z2=6+i在复平面对应的点在（）

A.实轴正半轴B.实轴负半轴C.虚轴正半轴D.虚轴负半轴

【答案】C

【分析】根据复数的几何意义，由复数4=1-历(6eR)对应点代入直线方程可求得6,即可

得出结果.

【详解】复数*=1-历伍eR)在复平面内对应的点为(1,-6),

代入直线x+y-1=0,可得1-6-1=0,即6=0,

则Z2=6+i=i,在复平面内对应的点为(0,1).

故选：C

(1+i)3

2.(2024•河南•三模)已知i为虚数单位，()

(1-0

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

【答案】D

【分析】根据复数乘法、除法运算化简即可.

【详解】曾=国2

(1-i)-21-21

故选：D

3.(2024•黑龙江双鸭山•模拟预测)已知复数z在复平面内对应的点的坐标为(-1,1),则三=()

Z

A.2iB.iC.-iD.-2i

【答案】B

【分析】利用复数的坐标表示，共粗复数的定义以及复数除法运算计算可得答案.

【详解】由题意可知，z=-l+i,则彳=一1一i,所以二=±L(TT)2=i.

z-1+i2

故选：B

4.(2024•吉林长春•模拟预测)已知？=(1+i)',贝IJz的虚部为()

1-i

A.2iB.-2iC.-2D.2

【答案】C

【分析】根据复数代数形式的乘除法运算化简，再判断其虚部.

【详解】因为z=上『二］(1+广(2i厂一41+)

=2(14i)=22,

-1-i1-i1-i(1-典1+)

所以z的虚部为-2.

故选：C

二、多选题

5.（2024・湖南•二模）已知i为虚数单位，下列说法正确的是（）

A.若复数z=弃，贝葭3。=一1

1-1

B.若㈤＞卜|，则z；＞z；

C.若Z2^0,则三=刍・

-2Z2

D.复数z在复平面内对应的点为Z,若|z+i|+|z-i|=2,则点Z的轨迹是一个椭圆

【答案】AC

【分析】利用复数的四则运算与i的乘方性质判断A,举反例排除B,利用复数的四则运算

与模的运算判断C,利用复数的几何意义，结合两点距离公式判断D.

2

【详解】对于A,因为z=£(1+i)t

(l-i)(l+i)-

所以23°=[3。才'7+2=i2=_],故A正确;

对于B令4=2i,Z2=l,满足团＞值21,但Z；＜z；,故B错误;

对于C,设4=4+bi（Q,b£R）,22=c+di（c,dER且不同时为。），

则Ua+bi_(a+bi)(c-di)ac+bd+(be-ad)

c+龙(c+M)(c—应)i+d

—相J(oc+bd)2+(be—ad)2=——^2+b2)^2+d1

clcId

yla2+b2_4

故C正确;

yjc2+d2Z2

对于D,设复数z=x+yi,则点Z(xj),

由|z+i|+|zT|=2,得，x2+(y+l)2+/2+(了-1)2=2,

则点Z到点(0,-1)与点(0,1)的距离和为2,

故点Z的轨迹是线段，故D错误.

故选：AC.

6.（2024•广东广州•模拟预测）已知复数4，z2,下列结论正确的有（）

A.忸—归阂+闯B.若4一＞0,则团〉匕2I

C.若k12]=匕]+2』，则Z「Z2=OD.若Z]=l+i,z2=l-i,则口为纯虚数

Z2

【答案】AD

【分析】由复数的向量表示结合向量知识即可验证A,通过一些举例可以排除B、C选项,

由复数的除法运算集合复数的概念即可验证D.

【详解】对于A,设马,与对应的向量分别为西，区，则由向量三角不等式得

|西-区闫西卜库

所以匕1-22归团+㈤恒成立，故A正确；

对于B,取Z[=-l+i,z2=-2+z,但㈤=&,㈤=石，故B错误;

对于C,当z=l+i,22=1-1时，匕]一22卜2=区+22|,而句0=2,故c错误;

Z11+i(1+i)2

对于D,-=i,故D正确;

3===(1)(1+02

故选：AD

三、填空题

7.（2024•山西三模）已知复数（l+2i）-43-i）在复平面内对应的点位于第四象限，则实数

m的取值范围是.

【答案】（-8,-2）

【分析】整理得到不等式组，解出即可.

【详解】由于（l+2i）-加（3-i）=（l-3%）+（2+/M）i,

..11~3m＞0

故点（1-3%2+间位于第四象限，因此，解得加＜-2,

[2+加＜0

即加的取值范围是（-8,-2）.

故答案为：（-叫-2）.

8.（2。24.四川成都.模拟预测）设Z=2T,则《的虚部为------------

4

【答案】-/0.8

【分析】利用复数的乘法法则，除法法则和模长公式求出答案.

222

【详解】z=（2-i）=4-4i+i=3-4i,

其中国=J4+1=y/~5,

则心工=5（3+旬

z23-4i（3-4i）（3+4i）55

故畛的虚部为

一,4

故答案为：—

9.（2024・甘肃张掖•模拟预测）已知复数2=1+2?+38+-+202312侬,贝＞]z的虚部

为.

【答案】-1012

【分析】根据i"的值的周期性特点，将原式化简并重新按照四项为一组进行分组求和即得.

【详解】i+2i2+3i?+---+2023i2023=（i-2-3i+4）+（5i-6-7i+8）+---

+（2017i-2018-2019i+2020）+（202li-2022-2023i）

=505（2-2i）+（-2022-2i）=-1012-1012i,

则z的虚部为-1012.

故答案为：-1012.

四、解答题

10.（2022・湖南•模拟预测）国际数学教育大会（ICME）是世界数学教育规模最大、水平最

高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含若许多数学元素，主画面

是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME-14下

方的"===="是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744,也可以读出

其二进制码（0）11111100100,换算成十进制的数是〃，求（1+厅"及（卑]的值.

【答案】(l+i)2,,=22020,=-l.

【分析】利用进位制求出〃的值，然后利用复数代数形式的乘除运算化简即可求出结果.

【详解】

V11111100100=1X210+1X29+1X28+1X27+1X26

+1X25+0X24+0X23+1X22+0X21+0X2°=2020.

n=2020,

：.(1+i)2"=[(1+i)2]z，=(2i)2020=22020i2020=22020,

71

11.(2023•安徽芜湖•模拟预测)已知函数/'(x)=asin2x+cos2/且

⑴求/(X)的最大值；

(2)从①②中任选一个作答.若选择多个分别作答.按第一个解答计分.

①A为函数/(x)图象与x轴的交点，点B,C为函数/(x)图象的最高点或者最低点，求

“BC面积的最小值.

②。为坐标原点，复数z=-2-4i,Z2=-2+/(t)i在复平面内对应的点分别为A,B,求

△048面积的取值范围.

【答案】(1)2

(2)①无;②[2,6].

【分析】(1)由已知可得，当x=时函数“X)取到最值，列方程解出。，代入/(无)，进

6

而可得/(尤)的最大值；

(2)若选①：分B,C对应的/(x)同为最大值或最小值和B,C对应的/(x)一个为最大

值，另一个为最小值两种情况讨论，分别利用三角形的面积公式求解，可得。面积的最

小值；若选②：由复数的几何意义，得出/(-2,-4),5(-2,/(^)),再由三角形的面积公式

结合正弦函数的性质求解.

【详解】(l)・.•/■(“</•(一%)，即当X=-£时函数/(X)取到最值，

又f(x)=«sin2x+cos2x=yla2+lsin(2x+(p)<>Ja2+1,其中tan。=—(<2w0),

(巧iV2

即----Q+-=a2+1,解得(〃+G)=0,a=-V3,

、22J

/(x)=—V§sin2x+cos2x=-2sin一弓)，

当2x—=2knH—,kEZJ,即％=EH—，左EZ时，/(%)取到最大值2；

623

(2)由(1)可得：—2sin^2x——,

选①：可得丁吟=兀，

当B,C对应的/(%)同为最大值或最小值时,

得•左下2；/1=；＞2＞＜兀=兀；

当8,。对应的/(%)一个为最大值，另一个为最小值时,

1T11

得S叱=--2A-k->-A-T=-x2xTi=Ti；

4AABe2222

综上：段BC面积的最小值为兀

选②：由复数的几何意义知：/(-2,-4),4-2,/(3，

''S^OAB=^X2x\AB\=\4B\=\f1-4卜—2sinbx-,

jrjrjr_..

当2x—7=2E—7,左EZ,即x=左兀—左£Z时，有最大值6；

626

TTTTTT.

当2%-二=2后1+7，左£2,即％=左兀+；,左£2时，3皿8有最小值2；

623

S^OABe[2,6]

【综合提升练】

一、单选题

•2•

1.(2024•湖北武汉,模拟预测)设复数z=±1,则1的虚部是()

-1-1

A.1B.-1C.iD.-i

【答案】A

【分析】由i?=_1对式子进行化简，再根据除法规则，分母实数化即可.

1+i(l+i)(l+i)

【详解】2==।.=T,则”i,虚部是1.

故选:A.

2.(2024•河北•模拟预测)若(l+ai)(“-i)>0,aeR,则()

A.a=\B.Q=±1

C.a<-\^a>\D.a>1

【答案】A

【分析】利用复数的乘法运算计算，再根据所得结果为实数求出0.

、.工[2a>0

【详解】显然(1+ai)(Q-i)=2q+(a-l)i,依题意，2〃+(。-l)i是正实数，因此，21

a-1=A0

所以。=1.

故选：A

3.(2024•全国•模拟预测)已知z=二，则z+z3+z$=()

1-1

A.iB.-iC.1+iD.1-i

【答案】A

【分析】运用复数的代数形式的乘除运算法则求得z=i,代入所求式计算即得.

【详解】因为z==(1+i)2_2i

1-1(l-i)(l+i)~I

所以z+z^+z，=i+F+F=i-i+i=i.

故选：A.

4.(2024•江西•模拟预测)在复平面内，复数z对应的点的坐标为(1,T),则二=()

42.24.42.24.

A.------1B.------1C.—I—1D.—I—1

55555555

【答案】A

【分析】根据复数的几何意义，由复平面内复数z对应的点的坐标可以得出对应复数的代数

形式，再结合复数的四则运算法则，即可得解.

【详解】因为复数z对应的点的坐标为(1,T),所以z=l-i,

12*2i(l+2i)42.

所以Z2=(l-if=-2i,所以=z=-1三------------------1

(1—2i)Q+2i)55

故选：A.

5.(2024・四川成都•模拟预测)复数z=本丝在复平面上对应的点位于虚轴上，则实数。的

1-1

值为()

A.1B.2C.-1D.-2

【答案】D

【分析】利用复数除法法则得到2=-2-。+("2)1,从而得到方程，求出答案.

2

—2+cti(—2+ai)(l+i)—2—a+(〃—2、

【详解】•■-z=——-----9—2在复平面上对应的点位于虚轴上，

1-1(1-1)(1+1j2

f—2—a=0

\，即〃二一2.

[〃一2。0

故选：D

6.(2024•山西运城•三模)设z=,1丁,5,贝!15=()

1+1+1

A.1—iB.1+iC.—1—iD.—1+i

【答案】B

【分析】根据复数代数形式的除法、乘方运算化简，再求出其共辄复数.

【详解】因为i2=-l,i5=i4xi=i，

1+i_1+i_(l+i)i

所以Z=25=1-i，

l+i+i-l-l+i-

所以z=l+i.

故选：B

-7

7.(2024•陕西西安•模拟预测)已知i是虚数单位，若z=」是纯虚数，则实数。=()

2+i

11

A.-2B.2C.——D.-

22

【答案】D

【分析】根据虚数性质结合复数的除法运算可得2=--8"，再根据Z是纯虚数列式

求解.

i•7+Q—i•+Q(-i+a)(2-2+a.

【详解】z=k­=\一=-----]

2+12+i(2+i)(2-i)---5-----5

Bzl=o

-7

又因为2是纯虚数，所以5所以"I

2+i—^0

15

故选：D.

8.(2024•黑龙江齐齐哈尔•三模)复平面内4瓦。三点所对应的复数分别为17,2-i,3+i,

若四边形/BCD为平行四边形，则点。对应的复数为()

A.2B.2+iC.1D.1+i

【答案】B

【分析】根据复数的几何意义，利用向量相等即可求解.

【详解】由题意知4民。三点的坐标为/(1,-1),B(2,-1),C(3,1),

设复平面内点D(x,y),0IJAB=(1,O),5C=(3-x,l-y),

—_3-x=lx=2

又四边形/BCD是复平面内的平行四边形，则48=OC，贝叶，八，解得一则。(2,1).

[1-7=0卜=1

故选:B.

二、多选题

9.(2024•江苏南通•模拟预测)已知马，z?都是复数，下列正确的是()

A.若Z]=Z2，贝！JzveRB.若z—eR,则ZLZ2

C.若团=%|,则z；=z；D.若z：+z；=0,则㈤=团

【答案】AD

【分析】根据共辄复数的定义及复数的乘法运算即可判断A；举出反例即可判断BC；根据

复数的乘法运算及复数的模的计算公式即可判断D.

【详解】设Z]=a+bi,z2=c+di,(a,b,c,〃eR),

对于A,若Z]=Z2，贝!]Z[=c-/i,故z/2=/+/eR,故A正确；

对于B,当Z]=Zz=i时，Ze=-1eR,Z2=-i片4,故B错误；

对于C,当4=1/2=i时，zf=1,zf=-1,故C错误;

对于D,若z；+z；=O,则z；=-z3所以团斗剧=归|,

|z12|=|a2-b2+2aZ>i|=^a2-b2^+4a2b2=//+/）=a2+b2=|zj2,

同理团所以㈤2=忤『,所以团=㈤,故D正确.

故选：AD.

10.（2024•广东江门•一模）下列说法正确的是（）

A.z-z=|z|2,zeC

B.i2024=-l

C.若n=1,zeC,则|z-2|的最小值为1

D.若T+3i是关于x的方程/+川+夕=0（0应eR）的根，则。=8

【答案】ACD

【分析】根据复数的乘法运算结合复数的模的计算，可判断A；根据虚数单位的性质可判断

B；设2=》+戊（彳/€1<）,根据复数的模的计算公式，可得f+/=i,以及|z一2|=J-4x+5,

结合x的范围可判断C；将-4+3i代入方程，结合复数的相等，求出p,即可判断D.

22

【详解】对于A,ZGC,设复数z=a+6i,Q6eR）,贝”=a-6i,于,6eR）,|z|=^a+b>

故z•彳=（a+Z>i）（a-bi）=a2+b2=|z|2,A正确；

对于B,由于i2=-l,i4=l,故产24=04）506=1,R错误；

对于C,z&C,设2=丫+戊（招”咫，由于目=1,则G+vY+r=1,

故|z一2|=7（x-2）2+y2=7（X-2）2+1-X2=J-4x+5,

由一+「=1,得-IVxVl,贝U-4x+521,

故当x=l时，|z-2］的最小值为1,C正确；

对于D,-4+3i是关于x的方程》2+川+4=0（°，4€2的根，

故(-4+3i)2+p(-4+3i)+q=0(p,geR),^7-4p+q+(3p-24)i=0,

7-4p+q=0])=8

D正确,

3P-24=0"'[q=25

故选：ACD

U.（2024•河南•三模）在复平面内，设。为坐标原点，复数z2,7对应的点分别为A,B,

若刀_L赤，贝化可能是（）

A.2iB.1-V3iC.73+iD.百-i

【答案】ACD

【分析】设2=“+历,。,6eR,根据复数的四则运算以及几何意义可得

A（a2-b2,2ab）,B（a,-]j）,再结合向量垂直的坐标表示分析求解.

【详解】^z=a+bi,a,beR,则z?=/一〃+2〃牝z=。一万,

,\U.UJLU.ULU

可知/(,2仍)，3(a,-6),即GM=(02-62,2a方),05=3,_6),

若如_L方，贝!]0(/-〃)+2而(-6)=。(。2-362)=0,

整理得所以。=0或/=3b3

对比选项可知ACD正确，B错误.

故选：ACD.

三、填空题

12.（2023•天津南开•一模）i是虚数单位，复数2+洛4i=___________.

3-1

【答案】1+7/+1

【分析】根据虚数的性质，先计算i3=i2.i=—i，然后代入原式，利用复数的四则运算法则

计算求解.

【详解】已知i3=i2.i=一

2+4i2+4i(2+旬(3-i)10+10i

所以=1-ri.

3-i33+i32-i2-io-

故答案为：1+i

13.（2024•辽宁葫芦岛•二模）已知复数z满足（=-i）（l-i）=2,则目的值为.

【答案】V5

【分析】由条件根据复数的运算求出z的代数形式，再利用复数模的公式计算.

2nl.2.20+i)

【详解】由题意可得z-i—,贝＞Jz=i+「=i+=l+2i,

l-il-i(T(l+i)

所以目=，产+22=6.

故答案为：V5.

14.(2024・福建厦门•三模)复数z满足z+3=2,zz=4,则|z-7|=.

【答案】273

【分析】根据复数的运算以及模长公式求解即可.

【详解】设2=a+〃(a，beR),贝丘=“一历，

由z+7=2,zz=4,

[2a=2{a=1

得＜2,2A,解得|/~，

[a2+b2^4,=±J3

所以|z-司二|2历卜2月,

故答案为：2道.

四、解答题

15.(2021•上海浦东新•模拟预测)已知关于x得二次方程：

x2+(2+i)jc+4ab+(2a-Z?)i=0(a,beR).

⑴当方程有实数根时，求点(。*)的轨迹方程；

(2)求方程实数根的取值范围.

【答案】(1心-1)?+(6+1)2=2；

(2)[-4.0].

【分析】(1)根据复数相等结合条件可列出关于6的方程，整理即可求得点(。/)的轨迹方

程；

(2)由题可得8/+4办。+(焉+2%)=0,然后根据判别式大于等于零即得.

【详解】(1)设方程的实数根为%,则有

2

x0+(2+i)x0+4ab+(2a-b)i=0,

即(x；+2x0+4ab)+(x0+2a-Z?)i=0,

所以/+2/+4"=0

[%+2。-b=0

两式消去年可得(6-2a)2+2(b-2a)+4ab=0,

整理可得(2a-I)2+(b+Ip=2,

即点(a，b)的轨迹方程是(2。-Ip+0+1)2=2；

(2)由《可得x；+2XO+4〃(XO+2Q)=O,

x0+2a-b=0

整理得8Q2+4办。+(XQ+2x0)=0,

,/(2GR,

A=16x；-32(%Q+2x0)>0,

解得-4«x°W0,

方程的实数根的取值范围是[-4,0].

16.(2022・浙江•模拟预测)在正三棱台0/5-CM圈中，△045是边长为4的等边三角形，

\AB\.兀

且立方=2.已知|。。卜5,ZOCH=-,D,，分别是线段05,的中点，当直线期上

一动点C在射线。。1上时，|。0=1,tan/C44=VI.

(1)证明：OCL平面44C；

⑵求直线GH与平面ABB.A,所成角的正弦值；

⑶连接C4,CB,已知点C在平面048投影是。，平面048是一个分别以D4,DO作为x,

V轴的复平面，2=00.当CCB时，请直接写出z的虚部(不要求写出过程).

【答案】（1）证明见解析

（2）历

24

⑶-1土立

2

【分析】（1）过点Q作，面。,过点C作CH'l.4星，证明481面COH,可得4瓦!

面CO",进而可得481。0，求出口0、I。©、口闭的长，由勾股定理逆定理可证明

O.CLCH',再由线面垂直的判定定理即可求证；

（2）过点C作CNL面48g4，由对称性可得点N在直线田r上，/CW即为G”与平面

/3片4所成角，在△o〃c中，由正弦定理求得NO»c=g,