高考数学一轮复习考点总结-函数的概念及其表示（含解析）

函数的概念及其表示(3种核心题型+基础保分练+综合提升

练+拓展冲刺练)

m【考试提醒】

1.了解函数的含义2在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、

解析法)表示函数3了解简单的分段函数，并会简单的应用.

111【知识点】

1.函数的概念

一般地，设3是非空的实数集,如果对于集合/中的任意一个数x,按照某种确定的对

应关系了,在集合3中都有唯二确定的数y和它对应，那么就称人2为从集合/到集合

8的一个函数，记作x^A.

2.函数的三要素

(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域.

(2)如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则这两个函数为同一个函数.

3.函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.

4.分段函数

若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函

数称为分段函数.

【常用结论】

1.直线x=a与函数y=/(x)的图象至多有1个交点.

2.在函数的定义中，非空数集4B,/即为函数的定义域，值域为3的子集.

3.分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数

的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集.

弱【核心题型】

题型一函数的定义域

(1)无论抽象函数的形式如何，已知定义域还是求定义域，均是指其中的x的取值集合；

(2)若已知函数{x)的定义域为[a,b],则复合函数Hg(x))的定义域由不等式aWg(x)Wb求出；

(3)若复合函数义g(x))的定义域为[a,b],则函数於)的定义域为g(x)在口，句上的值域.

【例题11(2024高三•全国・专题练习)已知集合/={x,=—7),B=1x|<01,则/=

()

A.[-1,0]B.(-1,0]C.(0,1)D.(-叫1)

【答案】B

【分析】分别求解集合45,再求/cB即可.

【详解】因为y=口的定义域为(--0],所以N=(-s,0],

由口40得产解得-1<E,所以8=(-15，

故如5=(-1,0],

故选：B.

【变式1】(2023,河北衡水•模拟预测)已知函数y=f(x)的定义域为[0,4],则函数

了=/"?+(X-2)°的定义域是()

yjx-l

A.(1,5]B.(1,2)0(2,5)C.(I,2)u(2,3]D.(1,3]

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用函数有意义并结合复合函数的意义列出不等式组，求解不等式

组作答.

【详解】因为函数了=/(x)的定义域为[0,4],又函数丁=与学+(》-2)°有意义，

yjx-l

0<X+l<4

则有1>0,解得1<%<2或2<x«3,

x-2w0

所以函数y=牛萼+(》一2)。的定义域是(1,2)“2,3].

yJX-1

故选：C

【变式2](2024•全国•模拟预测)若集合/=卜€叫了=67},5={0,1},则集合/C3的

真子集的个数为()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】先求集合/，确定/C5即可求解.

【详解】因为/={xeN|3-xN0}={0』,2,3},5={0,1},所以/08={0,1},

所以集合/C3的真子集的个数为2?-1=3.

故选:D.

【变式3]（2023•江苏镇江•模拟预测）若函数＞=/（2x）的定义域为[-2,4],则

y=）的定义域为（）

A.[-2,2]B.[-2,4]

C.[-4,4]D.[-8,8]

【答案】C

【分析】利用抽象函数定义域的求解原则可求出函数/（x）的定义域，对于函数

y=/（x）--X），可列出关于X的不等式组，由此可得出函数了=/卜）-/（-》）的定义域.

【详解】因为函数了=/（2x）的定义域为[-2,4],则-2VX44,可得-4V2尤V8,

所以，函数了=/（尤）的定义域为[-4,8],

-4<x<8

对于函数＞=/（x）-/（f）,则有解得一44xW4,

-4<-x<8'

因此，函数V=/（x）-/（-x）的定义域为[7,4].

故选：C.

题型二函数的解析式

函数解析式的求法

（1）配凑法；（2）待定系数法；（3）换元法；（4）解方程组法.

【例题2】（2023•重庆•模拟预测）已知函数/■（1一力=彳;（无*0）,贝！|/（无）=（）

1144

A.7-^T-l（xwO）B.；_^-1（尤片1）C.7-D.；~^一1（》/1）

（x-l）（X—1）（x—l）（X—1）

【答案】B

【分析】利用换元法令f=l-x,运算求解即可.

【详解】令，=1一x,贝=且xwO,贝Ijf/l,

可得-3=7一不一或丰1）'

。一）（I）

所以f(x)=(

故选：B.

【变式1】(2023•河南•模拟预测)已知函数〃x)对定义域｛xlx片0｝内的任意实数x满足

〃2x)-2/0=4x,则〃x)=.

[答案]^~x~~

33x

【分析】先把x都化为2x,进行化简得到/⑴-2/11=2x,再把x替换为:得到

/f-V2/(x)=-,最后联立方程组求解即可.

【详解】由〃2x)-2d[=4x,得〃2乃一2/1()=2-(2外，即〃x)-24£[=2x①，

将X换为？4，,得/4-、—2/(x)=2x4—②，由①+2②，得-3/(x)=2尤+1上6，故

XyxJXX

“、216

33x

故答案为：一；X—丁.

33x

【变式2】(2023•山东•模拟预测)已知二次函数"X)的最大值是/且它的图像过

点(2,4),求函数/⑴的解析式.

【答案】〃x)TT+y

【分析】由二次函数性质与待定系数法求解.

【详解】解：根据题意设/(》)=小惠+/，

又过点(2,4),贝|」0(2-；；+1=4

解得〃=-1,

故/'(x)=_(x-£j+y

【变式3](2024■山东济南一模)已知集合/="，(尤),3=4炉-3+6,+6口。©耳，函

数/(耳=--1.若函数g(x)满足：对任意“(x)eZ,存在4〃eR,使得

"(x)=/l/(x)+Mg(x),则g(x)的解析式可以是.(写出一个满足条件的函数解析式

即可)

【答案】g(x)=x-l(满足g⑴=0,且一次项系数不为零的所有一次或者二次函数解析式

均正确)

【分析】根据"(1)=0,求得g⑴=0,则满足g⑴=。的一次函数或二次函数均可.

[详解]u(<x)=ax2~(a+b)x+b,f(x)=x2-1,

“⑴=a-(a+6)+b=0,/(l)=0,

w(x)=A/(x)+/zg(x),=(1)=0,

所以g⑴=0,则g(x)的解析式可以为g(x)=x-l.

经检验，g(x)=xT满足题意.

故答案为：g(x)=xT(答案不唯一).

【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据函数的形式，确定函数的关键特征和条件.

题型三分段函数

分段函数求值问题的解题思路

(1)求函数值：当出现烦。))的形式时，应从内到外依次求值.

(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的

值，切记要代入检验.

(AxX<0

【例题3】(2024•四川广安•二模)已知函数/，则/的值

Ilog2〉u

为.

【答案】-4

【分析】先求/(-2)的值，结合所求结果的符号，再代入/(x)解析式求得.

【详解】Q/(-2)=4-2=-l>0,

16

24

•­•f[/(-)]=/^]=kg2'=I"22-=-4.

故答案为：-4.

【变式1】(2024•广东深圳•模拟预测)已知函数/(》)=若玉…火，使得

/(尤。)410机+4/成立，则实数%的取值范围为()

B.-训

-8，彳卜[0，+8)

D.

【答案】C

【分析】先求出分段函数的最小值；再求解不等式的解集即可.

【详解】因为函数y=/-3x在区间18t上单调递减，在区间(|，3]上单调递增,

3Q

所以当尤=万时，函数y=x2-3x,x43取得最小值

又因为函数夕=logs》在区间(3,+8)上单调递增,

所以当x>3时，log3x>1.

[,3x,x；3的最小值为一]

综上可得函数f(x)=

[log3x,x>34

因为西eR,使得/伉)V10加+4加2成立，

aQ1

所以——<10m+4m2,解得：m<——或加2——.

444

故选：C.

[f(x+Y),x<4/、

【变式2】(2024•陕西西安・三模)已知函数/\x)=,则/(2+log23)=()

A.8B.12C.16D.24

【答案】D

【分析】根据给定条件，判断并代入计算函数值即得.

【详解】由1<1吗3<2,得3<2+log23<4,

+lo&3

所以/(2+log23)=/(3+log23)=^=tx2唯3=24

故选：D

x2+ax,x<0

【变式3](23-24高三下•内蒙古赤峰•开学考试)已知函数/(x)=x的最小值为

-----,x>0

、x+1

-1?贝!J〃=.

【答案】2

【分析】由题意得出函数了在(-巩0)上取得最小值-1,由此即可列出式子求解.

x1

【详解】当xNO时，>=——-

X+lX+1

因为/（X）的最小值为-1,所以函数了=/+亦在（-8,0）上取得最小值一1,

a八

——<0

2

则{2，解得。=2.

--

14

故答案为：2.

口【课后强化】

基础保分练

一、单选题

1.（2024•陕西西安•一模）已知全集。=1<,集合/={x|y=VTM},N={-72,0,1,2,73})

则”）rw=（）.

A.{-&,0,1}B.{2,6}C.{1,2,拘D.N={2}

【答案】B

【分析】先求集合然后由集合的运算可得.

【详解】由1-转0解得M=（-

所以dM=（l,+”），所以（务M）CN={2,6}.

故选：B

l,x>0,

2.（2024•山西运城•一模）已知符号函数sgn（x）=0,x=0,则函数

-1,x<0.

/（无）=$811（力111卜+4711）的图象大致为（）

【答案】D

【分析】先得到〃x)为偶函数，排除AB,再计算出了⑴=ln2>0,得到正确答案.

【详解】sgn(x)定义域为R,且为奇函数，故sgn(-x)=-sgn(x),

故/0)=$以力111卜+正77)的定义域为R,

且f(-x)=sgn(-x)-In卜x++])=-sgn(x)-ln卜x+Jx2+1)

=-sgn(x)-In/,---=sgn(x>ln(Jx，+1+x)=/(x),

IVX+1+Xy

故/(》)=5§11(》>111(尤+正11)为偶函数，AB错误；

当x=l时，/(l)=sgn(l)-ln2=ln2>0,c错误，D正确.

故选：D

3.(2023・四川成都•模拟预测)给出下列4个函数，其中对于任意xeR均成立的是()

A.f(sin3x)=sinxB./(sin3x)=x3+/+x

C.f[x2+2)=|x+2|D.f^x2+4x)=|x+2|

【答案】D

【分析】根据函数定义逐项判断ABC,采用换元的方法求解D中函数的解析式并进行判断.

【详解】对于A,当x=0时，/(0)=0；当xj时，〃0)=弓，与函数定义矛盾，不符合;

对于B,当x=0时，/(0)=0；当x=1时，/(O)=f^j+W+p与函数定义矛盾，不

符合；

对于C,当x=-2时，/(6)=0；当x=2时,/⑹=4,与函数定义矛盾，不符合;

对于D,令x+2=，，贝！Jx=，-2

令广一4=机目-4,+<»),所以t=±J〃z+4，

所以/(m)=|±Vw+41=而+4(m>-4),

所以/(x)=Jx+4(x»-4),符合.

故选：D.

4.(2024•全国•模拟预测)已知集合/，8=卜,=卜则/口3=()

A.{x|0<x<1|B.{x|0<x<1|C.{x|0<x<2|D,{x|0<x<21

【答案】A

【分析】先解不等式，再利用集合的交集即可求解.

【详解】因为集合/=&|?40}="回。-1)40且xwO},所以/={x|0<xVl}.

又集合8=1疝一/\0},所以B={x|0VxV2},则NcB={x[0<xVl}.

故选：A.

二、多选题

5.(23-24高三下•河南•阶段练习)已知非常数函数/(x)的定义域为R,且

/(x)/(y)=/(M+xy(x+y),则()

A./(o)=oB.〃1)=-2或/⑴=1

C.工⑴是{x|xeR且力0}上的增函数D.〃尤)是R上的增函数

X

【答案】AC

【分析】A.令y=0判断；B.令g(x)=",/0,分别令x=y=-l,x=y=l判断；CD.由

g(x)=",xH0,令y=l判断.

【详解】解：在/(x)/(y)=/(xy)+xy(尤+y)中，

令y=0,得/(o)〃x)=/(o)，即VxeR,/(O)"(x)-l]=O.

因为函数/(x)为非常数函数，所以/(0)=0,A正确.

令g(x)=^^,xR0,贝|18(》)8(夕)=8(孙)+龙+了.

X

令x=y=T,则[g(T)?=g⑴-2,①

令x=y=l,则[g(l)，=g(l)+2,②

由①②，解得g(l)=2,g(—1)=0,从而/(1)=2,B错误.

令y=l，贝!lg(x)g(l)=g(x)+x+l,即g(x)=x+l,

因为"0)=0,所以/(x)=x(x+l),所以C正确，D错误.

故选：AC

/、hx-l|,x<2/、

6.(2023•江苏连云港•模拟预测)已知函数/(x)=l1，若关于x的方程/(x)-加=0

-x+5,x>2

恰有两个不同的实数解，则下列选项中可以作为实数机取值范围的有()

A.(0,3)B.(1,2)

C.(2,3)D.{0}

【答案】BCD

【分析】将方程「(X)-加=。有根转化为曲线，=/(x)和直线y=%的交点个数问题，根据

函数图像分析运算即可得解.

【详解】解：因为关于X的方程/(X)-机=0恰有两个不同的实数解，

所以函数了=/(x)的图象与直线y=m的图象有两个交点，作出函数图象，如下图所示，

所以当加e［l,3)U{0}时，函数了=/(尤)与>=〃?的图象有两个交点，

所以实数m的取值范围是［1,3)U{。}.

四个选项中只要是［l,3)U{0}的子集就满足要求.

故选：BCD.

三、填空题

7.(2024・北京怀柔•模拟预测)函数/(工1)+=7炫Y丫子的定义域是.

【答案】(-%-；)U(0,+8)

【分析】利用对数函数的定义，列出不等式求解即得.

【详解】函数〃x)=lgH^有意义，则叶生>0ox(2x+l)>0,解得x<-1或x>0,

xx2

所以函数/⑴=1g匕I的定义域是U(0,+OO).

故答案为：(-8,-g)U(0,+8)

8.(23-24高三上•河北保定•阶段练习)已知函数“X)在R上可导，且〃2x+3)=4f-1,

则(⑴=.

【答案】-4

【分析】利用换元法求得/(x)解析式，求导，求/'⑴即可.

【详解】令1=2尤+3,则x=9，贝!]/«)=/-6/+8,即/(无)=x?-6x+8,

r(x)=2x-6,所以“l)=-4.

故答案为：-4

四、解答题

9.(2023•江西九江•模拟预测)若的定义域为14,4],求g(x)=〃2x+l)+/(巧的定

义域.

「31

【答案】-2,-.

【分析】由题意列出不等式组解之即得.

【详解】由函数了=/(X)的定义域为[-4,4],则要使函数g(x)=〃2x+l)+/(f)有意义，

贝kf-4<2x-+l<4

3

函数g(x)=/(2x+l)+/(巧的定义域为-2,-.

10.(2023•河南信阳，一模)已知函数3(力=卜-2|+卜+2|.

⑴求不等式/'(x"x+3的解集；

(2)若g(x)=|x_3|+|x+3|,歹(x)=/(x)+g(x),且厂(/一3。+2)=尸(。一2),求满足条件的

整数。的所有取值的和.

[答案]⑴(_8/M3，+°°)

(2)6

【分析】（1）分x4-2,-2<xV2和x>2三种情况讨论，去绝对值符号，解不等式即可；

（2）先判断函数的奇偶性，再去绝对值符号，作出函数图象，结合图象分类讨论即可得解.

【详解】(1)解：当x«-2时，/(x)=2-尤-2-x=-2x,

—2x2x+3,x—1,x—2；

当一2<xW2时，/(x)=2-x+x+2=4,4>x+3,x<l,・・—2<xW1；

当x〉2时，/(x)=x-2+x+2=2x,/.2x>x+3,x>3,x>3,

综上，不等式/(x)"+3的解集为(-8川D[3,+8);

(2)尚军：因为歹(一x)=\—x—2|+\—x+2|+1—%—3|+1—x+3]二卜+2|+|x-2|+|x+3|+|x-3|=F(x),

・•・万(%)为偶函数,

当0Vx<2日寸,尸(x)=2—x+3—x+x+2+x+3=10,

当2«x<3时，尸(x)=x—2+3—x+x+2+x+3=2x+6,

当x23日寸，尸(x)=x—2+x—3+x+2+x+3=4x,

①/一3〃+2=〃-2,a=2；

-3。+2=--2),・，.。=0或a=2；

③-2«〃2_34+2<2,-2<tz-2<2,：.0<a<3f

综上整数。的取值为0,1,2,3,故和为6.

11.（2024•陕西•模拟预测）已知函数/（x）=|x—-.

⑴求“X)的最小值;

(2)若/(x)>|2x-4恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】(吗3

r,5]

(2)1,-

【分析】(1)利用分类讨论，去掉绝对值，结合一次函数的单调性即可得解；

(2)结合(1)中结论，作出/㈤与力(x)的大致图象,求得〃x)=2x-a|恒成立的临界情

况对应的。值，从而得解.

【详解】⑴因为/(力=卜-2|+|21|,

当xN2时,f(x)-3x-3,此时23x2-3=3；

ii3

当5Vx<2时，/(x)=x+l,止匕时万+1</(%)<2+1,gp-</(x)<3；

iiQ

当时，/(x)=3-3x,止匕时/(X)23—3X/=5；

a

综上，f(x)的最小值为半

(2)记〃(x)=|2x-a|,作出/(x)与，(x)的大致图象，

要使〃x)212x-a|恒成立，

则只需当函数〃(X)的图象过点或5(2,3)时，为临界情况(如图),

由力=得〃=|■或〃=一1(舍去)，

{2J11222

由力(2)=|4—。|=3,得。=1或a=7(舍去)，

所以IWaw],即实数。的取值范围为1,1.

jr37r

12.(2023•浙江温州•三模)已知函数〃x)=sin(s-：)在区间[0,彳]上恰有3个零点，其中

42

。为正整数.

⑴求函数“X）的解析式；

（2）将函数〃x）的图象向左平移二个单位得到函数g（x）的图象，求函数尸卜）=*的单调

区间.

【答案】（l）"x）=sin（2x-。；

4

【分析】（1）根据给定条件，求出。X-5的范围，再结合正弦函数的零点情况列出不等式求

解作答.

（2）由（1）求出函数g（x）的解析式，进而求出尸（x）,再利用正切函数的单调性求解作答.

・、4E■zX.「八371r/口71713兀。TI-,

【详解】（1）由、注0,了］,倚0-彳€r“了〒一R'

JrTT

因为函数〃尤）=sin（ox-7）在区间［0,胃S］上恰有3个零点，

42

于是2兀《幽-二＜3兀，解得＜股，而。为正整数，因此。=2,

2426

所以/（x）=sin（2%-；）.

(2)由(1)知,g(x)=/(x+—)=sin[2(x+-)--]=sin(2x+—),

4

TTkit

由。0，得2x—w%兀,左£Z,即有％wT

sin(2x+—)sin(2x+。

因此/(x)=”

/（，）sin［（2x+；）一m-cos（2x+4

由防1一4＜2、+工＜左兀+工，左£2,解得包一史＜%＜—+—,A；GZ,

42

所以函数/（X）=警的单调减区间为（"-萼,"+?）/eZ）.

/（X）2828

综合提升练

一、单选题

flog,＞01

1.（2024•陕西西安•一模）已知函数〃尤）=/，则〃/5））=（）

【答案】A

【分析】根据给定的分段函数，依次代入计算即得.

flog,x.x>011

【详解】函数〃X)=丁,则〃)=bg3<0,

所以/(/(1))=/(logs1)=1=­•

故选：A

2.(2023•吉林长春•模拟预测)已知函数/(x)满足2/(x)+/(-X)=3/+2X+6,则()

2x2+4x+3

A./W的最小值为2B.dxeR,-----———<2

/W

公艮2一+/4：+5

C.f(x)的最大值为2D.<2

【答案】B

【分析】首先根据题意得到/(x)=/+2x+2,再结合二次函数的性质依次判断选项即可.

【详解】因为2/(x)+/(-无)=3/+2x+6,2/(-x)+/(无)=3X2-2X+6,

所以/(%)=无2+2x+2.

所以=+所以〃x)的最小值1,无最大值，为故A,C错误.

小、小岳c2%2+4%+3八1

对选项B,-................=2---------------

x+2x+2x+2x+2

9I2厂+4x+3

因为—+2尤+2=(x+iy+121,所以2——z-----------<2,即——--------<2,

''X2+2X+2“X)

故B正确.

_.■TH2X~+4x+5-1

对选项D,—-----------=2+------------

x+2x+2x+2x+2

,12-+4x+5

因为f+2x+2=(x+l]+1N1,所以2+—----------->2,即>2,

v'x2+2x+2〃尤)

故D错误.

故选：B

3.(2023•浙江•二模)已知函数4%)满足〃2x)=/(x+l),则/(尤)可能是().

A.f(x)=xB./(x)=log2x

1,XGQ

c./(x)=2,D.心)=

O,x^Q

【答案】D

【分析】根据函数满足/(2x)=/(x+l),1—验证各选项中的函数是否满足该性质,

即可得答案.

【详解】对于A,f(x)=x,则/(2x)=2x,/(x+l)=x+l,不满足/(2x)=/(x+l)；

对于B,/(x)=log2x,则/(2x)=log22x=l+log2X,/(x+l)=log2(x+l),

不满足〃2x)=〃x+l)；

对于C/(x)=2\则〃2X)=22X=4)〃X+1)=2㈤=2X2"不满足/(2x)=〃x+l)；

/\fl.XGQ,,

对于D,/(》)=：当xeQ时，2xeQM+leQ,故/(2x)=〃x+l)=1；

当xeQ时，2xeQx+leQ,故/(2x)=/(x+l)=0,

/\\\,XGQ/、/、

即此时f(x)=：、满足f(2x)=f(x+l),D正确，

I0,X任Q

故选：D

4.(2024•山东枣庄•一模)已知集合M={x|log3x<0},N=^xy=4x+，贝U"U时N)=

()

A.(-oo,l)B.(-oo,l]C.(-oo,0)u(0,l)D.(-oo,0)U(0,l]

【答案】D

【分析】首先解对数不等式求出集合M,再根据函数的定义求出集合N,最后根据补集、

并集的定义计算可得.

【详解】由bg3X<0,可得k^xvlogjl,所以0cx<1,

即W=|x|log3x<0}=|x|0<x<1},

L1IX>0

对于函数y=Vx+--,则｛,八，解得ov尤<1或x>l,

x-1X-17^0

所以N=1尤卜=五+^^:=[O,lp（1,+­»）,

所以<N=（-8,0）U{1},

所以Mu晶N）=（-8,0）30』.

故选：D

/、flO2X+l,X>1/、

5.（2023•全国•模拟预测）已知函数/（x）=2?'，若/（。）=2,则。的值为（）

IX,X<1

A.2或一收B.2或&C.血或一0D.1或收

【答案】A

【分析】根据分段函数的解析式，讨论。的范围，明确方程，解出即可.

【详解】当时，皿2。+1=2,解得<2=2,

当a<1时，a2=2,得a=-6，

所以。的值是2或一逝.

故选：A.

6.（2024・全国•模拟预测）已知函数/（x）=尸'""x+l'E是R上的减函

1-a,x>l

数，则。的取值范围是（）

A.（1,3]B.[2,3]C.[2,+功D.[3,+s）

【答案】B

【分析】根据分段函数的单调性和指数函数的单调性列出不等式组，解之即可直接得出结果.

【详解】因为函数y=1-优（。>0,。*1）是减函数，所以。>1.

又因为函数了=/+（。-5）x+1图像的对称轴是直线x=1,

所以函数V=/+仅-5）x+1在1-8，一）上单调递减，在（宁，+"上单调递增.

a>\

5—CL

又函数“X）是R上的减函数，所以亍,解得24OW3,

a—321—a

所以。的取值范围是[2,3].

故选:B.

7.(23-24高三上•四川遂宁•期中)函数＞=1。8.(2彳-1)+3(。＞0,。31)的图象恒过点(见")，

函数/。)=(己『的定义域为[0,2],g(x)=/(2x)+/。)，则函数g(x)的值域为()

m

A.[2,90]B.[2,6]C.[2,12]D.[2,20]

【答案】C

【分析】由题可知，当2x-l=l时，即可求出定点坐标。",”)，即可求得Ax)的解析式，进

而可得g(x)的解析式，再结合抽象函数的定义域求得g(x)的定义域，结合函数的单调性即

可求解.

【详解】当2x-l=l时，HPx=1,则y=l0gli1+3=3,

所以V=log.(2x-1)+3(。＞0,aw1)恒过定点(1,3),

则"x)=3"定义域为[0,2],由042xW2,得04x41,

则g(x)=f(2x)+/(x)的定义域为[0,1],

贝IJg。)=/(2x)+=32,+3"，xe[0,l]

又＞==32,在[0,1]上单调递增，则g(x)=32工+3,在[0,1]上单调递增，

则g(x)min=g(0)=3°+3°=2,

gOOmax=g(l)=32+31=12,

所以函数g(x)的值域为[2,12].

故选：C

8.(2024•浙江温州•二模)已知定义在(0,1)上的函数

，/、口,x是有理数巴仇”是互质的正整数)川大利任、人工侬,曰,、

nv7,则下列结论正确的是()

13是无理数

A.“X)的图象关于x=g对称B.的图象关于对称

C.〃x)在(0,1)单调递增D.〃x)有最小值

【答案】A

【分析】利用特殊值可排除B、C,利用函数的性质可确定A、D.

【详解】对于BC,由题意可知：亚=+=

显然〃x）的图象不关于O对称，而一行+|<收_g,故B、C错误；

对于D,若x为有理数，则/卜）=,，显然函数无最小值，故D错误；

n

对于A,若x=%是有理数，即私〃（加<"）互质，则〃一加，〃也互质，即

nynJn\n

若X为无理数，贝也—X也为无理数，即/（无）=/（1-力=1,

所以/（X）的图象关于X=g对称，故A正确.

下证：加〃互质，则〃-加〃也互质.

反证法：若加，〃互质，〃-冽〃不互质，不妨设几-冽二3,〃=/，

贝|]加=左9-。）,"=粕，此时与假设矛盾，所以"也互质.

故选：A

【点睛】思路点睛：根据抽象函数的对称性结合互质的定义去判定A、B,而作为抽象函数

可以适当选取特殊值验证选项，提高正确率.

二、多选题

9.（2022•安徽合肥•模拟预测）下列说法不正确的是（）

A.函数=：在定义域内是减函数

B.若g（x）是奇函数，则一定有g（0）=0

-%2_ax_5（xW]）

C.已知函数/（%）=〃/、在R上是增函数，则实数。的取值范围是

[-3,一1]

r1Q-

D.若〃x）的定义域为卜2,2],则/（2x-l）的定义域为-点;

【答案】ABC

【分析】对于AB,取g（x）=/（x）=J-1<1即可说明；对于C,分段讨论，但要注意结合

-l2-axl-5<1,由此即可判断；对于D,由-242X-142即可判断.

【详解】对于AB,若g（尤）=〃x）=J,因为-1<1,g（x）是奇函数，但==

x=0时，g（x）无意义，故AB描述不正确，符合题意;

_/—ax-5(xV1)

对于C,已知函数〃无)=，在R上是增函数,

首先当x>l时，=£单调递增，则。<0,

其次当xVl时，f(x)=-x2-ax-5(对称轴为x=-£)单调递增，贝即aV-2,

一%?—dx—5(%(1)

但若要保证函数/(%)=<S在R上是增函数，还需满―5针,

即4>-3,

所以实数。的取值范围是卜3,-2],故C描述不正确，符合题意；

对于D,若/'(X)的定义域为-2,2],则/(2x-l)的定义域满足一2<2x-l<2，M-1<x<j,

故D描述正确，不符合题意.

故选：ABC.

10.(2024•湖南•模拟预测)己知函数“X)是定义域为R的偶函数，g(x)是定义域为R的奇

函数，且/(x)+g(x)=2e*.函数B(x)=/(2x)-2切'(X)在(,+纺)上的最小值为T1,则下列

结论正确的是()

A.=B.g@)在实数集R单调递减

C.m=3D.冽二一3.3或一

4

【答案】AC

【分析】根据函数的奇偶性可得出关于/(x),g(x)的方程组，即可得/(x),g(x)的解析式，

从而得选项A；结合函数的单调性，可判断选项B；根据/(尤)的解析式，求出产(X)的解析

式，利用换元法，将所求函数转化为二次函数的最值问题，结合二次函数的对称轴和二次函

数的定义域，即可求出其最小值，从而解得加=3,即可判断选项C与选项D.

【详解】A,因为/(x)为偶函数，所以/(f)=/(x),又g(x)为奇函数，所以g(-x)=-g(x),

因为/(%)+g(x)=2e工①,所以/(-x)+g(-x)=2ef,即/(x)-g(x)=2eT②,

由①②得：/(x)=ex+e-\g(x)=e，-尸，所以选项A正确；

B,因为函数〉=e*,y=在R上均为增函数,

故g（无）=e，-b在R上单调递增，所以选项B错误;

C、D,因为/(2x)=e2*+e3=(e*+eTj-2,

所以尸(x)=(e，+e-')-2m(eJ+e^)-2,

又[卜)=3+片，22后厂=2,当e*=e-"即尤=0时等号成立，/=e'+仁工e[2,+s),

设〃«)=/-2mt-2=(/-zw)2-m2-2(Z>2),对称轴t=m,

当冽>2时，函数〃⑺在［2,勿）上为减函数，在（加,+8）上为增函数，

则〃«濡=〃（加）=-疗-2=-11,解得%=3或加=-3（舍）；

13

当加V2时，在［2,+00）上单调递增，〃⑺血n=〃⑵=2-4刃=-11,解得：m=—>2,

不符合题意.

综上皿=3,所以选项C正确，D错误.

故选：AC.

sin7ix,xe［0,2］

IL（23-24高三上嘿龙江大庆•阶段练习）对于函数〃x）=1、.下列结

-/（x-2）,xe（2,+OO）

论正确的是（）

A.任取士,尤2©［2,+00）,都有|/（再）-/（々）归1

B.函数N=/（x）-ln（x-l）有2个零点

C.函数了=/3在［4,5］上单调递增

D.若关于x的方程/（x）=7〃（m<0）有且只有两个不同的实根三户2，则占+%=3.

【答案】AD

【分析】利用分段函数及三角函数的图象与性质一一判定选项即可.

V=1

J

二=0.5

8=0.25

少

二=-0.5

一-^=m

J=-1

根据分段函数的性质可知：尤e(2,4]时，/(x)=|sin[n(x-2)]=|sin7u,

当xe(4,6]时，/(x)=1sin7LX,…可作出函数了=/(x)的部分图象，如上所示,

对于选项A,易知转2时,/(x)e-1,1,

故任取不，Ze[2,+oo),都有|/(西)-/(戈2)归1,

当/(占)=；,/仁)=-；或=时取得等号,故A正确;

对于选项B,V=/(x)-ln(x-l)的零点即y=ln(x-l)与了=〃x)的交点横坐标，

易知了=ln(x-l)在(1,+s)上单调递增，

1-5兀1，一r

sm——=-1=In—<In—sin-=—=In-^e>ln|

e

/(2)=0=ln(2-l),

利用零点存在性定理及三角函数的单调性结合图象可知,

y=「(x)Tn(x-l)在[I,]大3上分别各一个零点,

又x=2也是其一个零点，故B错误；

对于C项，易知》6[4,5]=>/卜)=$11口，此时了=/(x)在4,|上单调递增，故C错误；

对于D项，由图象可知加e1-1,-/1时满足题意，由三角函数的对称性可知%=3,故D

正确.

故选：AD

【点睛】方法点睛：本题利用函数的“类周期"性质，作出函数草图，根据数形结合及三角函

数的性质、函数与方程的关系一一判定选项即可.

三、填空题

12.(2024•北京平谷•模拟预测)函数〃x)=±+ln(l-x)的定义域是

【答案】(-吟-2)。(-2.1)

【分析】根据分数和对数有意义的条件即可求解.

/、1/、fx+2w0

【详解】函数/(x)=—+ln(l-x)有意义的条件是।C，解得尤<1且g2,

x+2