高考数学一轮复习考点总结-一元二次方程、不等式（含解析）

元二次方程、不等式(2种核心题型+基础保分练+综合提

升练+拓展冲刺练)

D1【考试提醒】

1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.

2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.

3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法.

ill【知识点】

1.二次函数y=aN+bx+c(a>0)与一元二次方程QN+6X+C=O(Q>0),不等式办2+6%+

c>0(a>0)的解的对应关系

判别式/=b2—4acJ>0J=0zl<0

予

二次函数的图象

O\x]=xx

2匚

有两个相等的实数根

有两个不相等的实数

方程的根32—互没有实数根

根Xl，X2(X1<X2)

2a

不等式的解集或4X2}R

2a

2.分式不等式与整式不等式

(1)^->0(<0)e/Tx)g(x)>0(<。)；

g(x)

(2世O20(W0)台〃x)g(x)NOWO)且g(x)WO.

g(x)

3.简单的绝对值不等式

lxl>a(a>0)的解集为(一8,一mug,+8),皿<。(。>0)的角犁集为(一。，

盟【核心题型】

题型一一元二次不等式的解法

对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有

(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.

(2)根据判别式/与0的关系判断根的个数.

(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论.

命题点1不含参数的不等式

【例题1】(2024•青海•一模)已知集合/=卜,=映卜1+"+3)},5={X|X2-4<0{,则

AoB=()

A.(-1,3)B.(-1,2)C.(-2,3)D.(-2,2)

【答案】C

【分析】根据对数真数大于零和一元二次不等式的解法可分别求得集合48，根据并集定义

可求得结果.

【详解】由一/+2》+3>0得：X2-2X-3=(X+1)(X-3)<0,.-.-KXO,.-.^=(-1,3)；

由12—4<o得：(%+2)(x—2)<0,-2<x<2,B=(—2,2),8=(—2,3).

故选：C.

【变式1](2024•全国•模拟预测)已知集合"={刈/_6》+8<0},"=&|1<》43},则

McN=()

A.{x|2V_rV3}B.{x\2<x<3}C.{x\2<x<4}D.{x11<x<3}

【答案】B

【分析】解一元二次不等式化简集合M,再根据交集运算求解即可.

【详解】因为M={A：|X2-6X+8<0}={X|2<X<4},N={x[l<x43},

所以wnN={x[2<xV3}.

故选：B

【变式2](2024•山东济宁•一模)设集合/={刈/一工一6<0},B^{x\-a<x<a]AB,

则实数。的取值范围是.

【答案】艮内)

【分析】求解一元二次不等式解得集合A,再根据集合的包含关系，列出不等式求解即可.

[详解]集合/=-x-6<0}={x|(x-3)(x+2)<0}={x|-2<x<3},

又3=且

<—222、

故可得，即…，解得aer3,内.

[a>33

故答案为：艮内).

【变式3］（2024•安徽合肥K一模）已知集合4=卜|/44},8={x|a-lWx4a+l},若

AcB=0,则”的取值范围是.

【答案】（-叫-3）U（3,+8）

【分析】利用一元二次不等式的解法及交集的定义即可求解.

【详解】由fv4,得（x-2）（x+2）V0,解得-2VxV2,

所以/={x|-2V尤W2}。

因为/c3=0,

所以4+1V—2或4—1>2,解得〃<—3或Q>3,

所以。的取值范围是（-叫-3）U（3,+s）.

故答案为：（-咫-3川（3,+⑹.

命题点2含参数的一元二次不等式

【例题2】（2024•云南红河•二模）已知凡6均为正实数，贝!］△>："是"/+262>3必’的（）

ab

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】运用不等式的性质，证明充分性，否定必要性即可.

【详解】因为。，6均为正实数，若工>［，贝1>。>0;

ab

若万+2b2>3ab，则（a-2b）（a-b）>0,即〃〉2b>0或b>a>0；

所以△>7"是"a?+2b2>3ab"的充分不必要条件.

ab

故选:A.

【变式1】（23-24高三下•陕西安康•阶段练习）在区间［0,5］内随机取一个实数a,则关于x的

不等式/+（2-。）》-20<0仅有2个整数解的概率为（）

2311

A.-B.—C.—D.—

510510

【答案】C

【分析】利用一元二次不等式解得xe（-2,a）,可得区间（-2,a）内仅包含-1,0两个整数，再

利用几何概型概率公式可得结果.

【详解】根据题意可得不等式，+(2-a)x-2a<0等价于(x+2)(x-a)<0；

因为ae[0,5],所以不等式的解集为(-2,a)；

依题意可得区间(-2,a)内仅有两个整数，即包含-1,0两个整数，可得0<。41；

1-01

由几何概型概率公式可得其概率为

5-05

故选：C

e“x〉0

；/'c、cz若关于X的不等式

{—X+(a-2)x+2a,x<0

/(x)20的解集为[-2,+8),则实数。的取值范围是()

A.[-2,；B.0,[C.0,-^-D.{0}U—,+℃]

I2」[2」L4JL4)

【答案】c

【分析】当x>0时，运用参数分离法，构造函数利用导数研究函数的性质即得，当xVO时

根据二次不等式的解法讨论。的范围进而即得.

【详解】由题意知，当尤e(-s,-2)时，/(x)<0；当xe[-2,0]时，/(x)>0;当尤e(0,+s)

时，/(力20.

当x>0时，/(x)=e1-ax2>0,即°与，构造函数g(x)=\g'(x)=?e，，

当x>2时，g(x)>0,g(x)单调递增，当0Vx<2时，g(x)<0,g(x)单调递减，

当xWO时，/(x)=-(x+2)(x-a),当。€(一叫一2)时，由/(x)之0,解得xe[a,-2],不合题

思；

当。=-2时，由/(x)20,得了=-2,不合题意；

当Q£(—2,0)时，由/3之0,得X£[—2,Q],x<0,所以％E[—2,可，此时

[-2,a]U(O,+8)w[-2,+8),不合题意；

当a=0时，f(x)=—x(x+2),由/(x)N0,解得一24x40,

此时当x>0时/'(x)=eX>0恒成立，所以/(x)20的解集为[-2,+可)，符合题意；

当ae(0,+oo)时，由/(x)±0,得xe[-2,a],又xWO,所以尤e[-2,0],此时

[-2,O]U(O,+<»)=卜2,+8)适合题意；

2

综上，关于X的不等式/(x"o的解集为[-2,+8),则OVaV?.

故选：C.

【变式3】.(2023・湖南•模拟预测)若关于x的不等式f+7“<(7+a)x的解集恰有50个整

数元素，则。的取值范围是,这50个整数元素之和为.

【答案】[-44,-43川(57,58]-925或1625

【分析】讨论〃的范围，解出不等式，结合题意确定。的范围及解集中的整数解，再利用等

差数列求和公式求和即可.

【详解】不等式1+7"(7+a)x等价于不等式(x-a)(x-7)<0.

当a=7时,(x-a)(x-7)<0的解集为0,不合题意；

当a<7时，(x-a)(x-7)<0的解集为(a,7),

则50个整数解为-43,-42,....5,6,

所以-44Va<口3,这50个整数元素之和为匕殳+生里=-925；

2

当a>7时，(无一a)(x-7)<0的解集为(7,a),

则50个整数解为8,9,...»56,57,所以57<aV58,

这50个整数元素之和为(8+>)X50=1625.

2

综上，a的取值范围是144,-43)U(57,58],这50个整数元素之和为-925或1625.

故答案为：[-44,-43)U(57,58]；-925或1625

题型二一元二次不等式恒成立问题

恒成立问题求参数的范围的解题策略

(1)弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范围，谁就是参数.

(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式」;一元二次不等式在给定区间上恒成立，不

能用判别式/,一般分离参数求最值或分类讨论.

命题点1在R上恒成立问题

【例题3］（2024•浙江•模拟预测）若不等式Ax?+（左一6）无+2>0的解为全体实数，则实数左的

取值范围是（）

A.2W左418B.—18<左<-2

C.2〈左<18D.0<k<2

【答案】C

【分析】分类讨论左=0与左w0两种情况，结合二次不等式恒成立问题的解决方法即可得解.

【详解】当斤=0时，不等式米？+（左一6）X+2>O可化为一6x+2>0,显然不合题意；

当上70时，因为丘2+（左一6）x+2>0的解为全体实数，

k>0

所以L/,八2C八，解得2〈人<18；

A=（左一6）-4kx2<0

综上：2〈人<18.

故选：C.

【变式1］（23-24高三上•河南,期中）“关于x的不等式（2"3）/-（2”3）x+420的解集为

3

R"是"-<a<9"的（）

2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】求出不等式（2"3）x2-（2叱3）x+4»0的解集为R的。的范围，再由必要不充分条

件的定义判断可得答案.

3

【详解】当2。-3=0即时，不等式0xx2-0xx+420的解集为R,符合题意；

2

当2a-3*0即aw］时，若不等式（2°-3》2-（2.-3卜+420的解集为R,

2a—3>0§1Q

可得\27、，解得一VQ«—，

（2tz-3）-16（2tz-3）<022

a1Q

所以不等式（2"3）/_（2a-3）x+420的解集为R可得;Va,充分性不成立，

若;<。<9,则不等式（2。-3）/-（2a-3）x+420的解集为R,必要性成立，

a

所以不等式（2。-3）/_伽-3）x+4Z0的解集为R"是"5<"9"的必要不充分条件.

故选：B.

【变式2]（2023•福建厦门二模）"be（0,4）"是"VxeR,历t"历什1>0成立”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不

充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由VxeR,6/一加;+1>0成立求出6的范围，再利用充分条件、必要条件的定义

判断作答.

【详解】由VxeR,而_阮+1>0成立，则当6=0时，1>0恒成立，即6=0,

仿>0

当6/0时，/“八八，解得0<6<4,

[b-4Z）<0

因止匕VXER,乐+1〉0成立时，0<6<4,

因为（0,4）[0,4）,所以"be（O,4）"是"VxeR,苏-云+1>0成立"的充分不必要条件.

故选：A

【变式3】（23-24高三上•河北邢台•阶段练习）"不等式"?+2办-1<0恒成立"的一个充分不

必要条件是（）

A.-1<a<0B.a<0

C.—1<aV0D.—1<a<0

【答案】D

【分析】分。=0和。片0两种情况讨论求出。的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即

可得解.

【详解】当。=0时，-1<0恒成立，

[a<0

当。/0时，贝叫…”八，解得-1<«<0,

[4a+4a<0

综上所述，不等式办2+2办一1<。恒成立时，-1<6?<0,

所以选项中"不等式a/+2ax-l<0恒成立"的一个充分不必要条件是-1<a<0.

故选：D.

命题点2在给定区间上恒成立问题

【例题4】（2023•浙江宁波•一模）已知函数/（尤）=/+如+6,若不等式|/（刈42在xe[l,5]

上恒成立，则满足要求的有序数对（。,万）有（）

A.0个B.1个C.2个D.无数个

【答案】B

-2<1+67+/?<2,（1）

【分析】由题意有，-2V9+3a+6V2,（2）,通过分析得到。=-6,6=7是满足题意的唯一

-2<25+5tz+/?<2,（3）

解，注意检验.

【详解】由题意若不等式|〃x）|V2在x«1,5］上恒成立,

-2</（1）<2-2Vl+a+6V2,⑴

则必须满足-2W〃3）W2,即,-2<9+3a+Z><2,（2）

-2</（5）<2-2<25+5a+Z><2,（3）

-2<-l-a-b<2,（1）

两式相加得-4V8+2aV4n-64。*-2,（4）,

-2<9+3G+Z><2,（2）

-2<-9-3a-Z><2,（2）

再由两式相力口得一4<16+2a<4^-10<a<-6,（5）,

—2W25+5a+b<2,（3）

-2V-5+bV2,（1）

结合（4）,（5）两式可知。=-6,代入不等式组得一2<-9+bW20）,

-2<-5+Z?<2,（3）

解得6=7,

经检验，当a=-6,6=7时，f（x）=x2-6.x+7=（x-3）i-2,

有"（"。=/（1）=/（5）=2，"（力心=［3）=-2,满足|〃x）［2在x/,5］上恒成立,

综上所述：满足要求的有序数对（。,6）为：（-6,7）,共一个.

故选：B.

-2V〃l）V2

【点睛】关键点点睛：解题的关键是首先得到-2W/（3）W2,进一步由不等式的性质通过

-2</（5）<2

分析即可求解.

【变式11（2023・陕西咸阳・模拟预测）已知命题P：任意xe1,2，使log；x-glog?x-3V0

为真命题，则实数加的取值范围为（）

A.（-°0,2]B.（-oo,-2]C.[-2,2]D.[-2,+oo）

【答案】C

【分析】设"logzx,由题意可得任意r-M-3V0恒成立，结合二次函数

性质列不等式求〃?的取值范围.

【详解】设"log?》，贝ijte[-1,1],

原命题等价于：任意使〃一加一3W0为真命题,

所以/_mt-3)iix<0,其中

设/(。=广—加—3(-14/41),则

函数[（，）=/-加-3,的最大值为-1）与/⑴中的较大者,

J〃T)W0

所以I/O)^0

Jl+m-3<0

解得一24加42,

[I-OT-3<0

故选：C.

【变式2】（2023•辽宁鞍山•二模）已知当x>0时，不等式：/-必+16>0恒成立，则实数

加的取值范围是（）

A.（-8,8）B.C.（-<»,8）D.（8,+co）

【答案】C

【分析】先由--%x+16>0得能<XH,由基本不等式得XH28,故用<8.

X尤

【详解】当x>0时，由——mx+16>0得加<无^,

X

因x>0,故尤+322、晨匝=8,当且仅当即x=4时等号成立，

X\XX

因当%>0时，加<%+3恒成立，得加<8,

故选：C

【变式3]（2024•全国•模拟预测）已知函数/（幻=/+"+人若对任意xw[1,5],|/（x）归2,

则所有满足条件的有序数对S，b）是.

【答案】（-6,7）

-2</(l)<2

【分析】由题意可得-24/(3)42,然后利用不等式的性质对不等式组变形可求得结果.

,-2</(5)<2

【详解】因为/(切=工2+办+6对任意》€口,5],|/.(》)归2,

-2</(1)<2

所以必须满足卜24/⑶W2,

-2</(5)<2

—2<\+a+b<2

Bp]-2<9+3«+6<2,

—2V25+5Q+b42

-2<-l-a-b<2

,得—4V8+2Q«4,

-2<9+3a+b<2

解得-64。42,①,

-2<-9-3a-b<2

再由，得—4W16+2〃《4,

—2«25+5〃+bW2

解得-10VaV-6,②，

由①②得a=-6,

-2<l-6+b<23<Z><7

所以卜2V9-18+6V2

即746W11,解得b=7

-2425—30+6423<Z><7

经检验，当。=一6,6=7时，/(X)=X2-6X+7=(X-3)2-2,则

/U)的最大值为/(1)=/(5)=2,/(%)的最小值为/(3)=-2,

满足任意xe[l,5],[〃x)归2,

所以满足条件的有序数对(a,b)只有一对(-6,7),

故答案为：(-6,7)

命题点3在给定参数范围内的恒成立问题

【例题5】(23-24高三上•河南信阳•阶段练习)若小2-1<0对于机目0,可恒成立，则实数x

的取值范围为.

也克)

【答案】

7

【分析】令""）=冽/r_1（加qo,2］）,则由题意可得f;（0）<0,解不等式组可得结果.

［八<u

【详解】4"f(m)=mx2-^l(me[0,2]),

因为机/-1<0对于加eea恒成立,

/(0)<0-1<41V2

所以解得-----<X<----

/(2)<02X2-1<022

所以实数x的取值范围为-彳,彳,

山林心生（V2V2

故答案为：-〒，亍.

【变式1】（2024高三•全国・专题练习）设函数〃x）是定义在（-*+W上的增函数.若不等

式/（1-办-/）</（2-°）对于任意ae［0,l］恒成立，求实数x的取值范围.

【答案】S,-l）U（0,+8）

【分析】首先利用函数的单调性，把函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，接下来把

a作为主元（变量），x作为参数，把不等式恒成立问题转化为求函数的最值解决，

【详解】：/（刈是增函数，.••/（1-办-/）<“2-°）对于任意。€［0,1］恒成立.

<^>l-ax—x2<2—a>§Px2+ax+l-a>0对于任意ae［0,1］恒成立.

令g⑷=（x-l）a+Y+l.«e［0,l］,g（a）为关于。的一次函数，在［0』］上是一条线段,

g⑼=/+1>。

由,、〃得xe（-8,-l）u（0,+s）.

g（l）=x2+x>0

【变式2］（22-23高三上•山东潍坊•阶段练习）若对于任意机«-15，任意yeR,使得不

等式f+（3-m）x-6<|y-l|+|y-3|成立，则实数x的取值范围是.

【答案】卜4,2若-2）

【分析】应用恒成立问题与最值的关系转化两个恒成立，再解不等式即可.

【详解】因为对于任意任意yeR,使得不等式一+（3-加卜-6<b-1|+b-3|成

立，

设“力=»-1|+|了-3|,则尤2+（3-加）x-6</（y）1nhi

又因为心）=2-1|+『3|2卜-1）-（夕-3）|=2,所以《力由11=2.

所以+（3-m）x-6<2gpx2+（3-m）x-8<0

设g(加)=%2+(3-m)x-8=-mx+x2+3x-8,

对于任意冽®[-l/],g(加)=一加x+f+3x—8<0,应用一次函数性质可知

g(1)=-x+x2+3x-8<0

g(-1)=x+x2+3x—8<0

即得卜：+广一：<：,解得「12如「<26-2

则实数X的取值范围是卜4,26-2).

故答案为：「4,2®-2).

【变式3](2023高三•全国•专题练习)若不等式2x-l>加(--1)对任意加«-15恒成立，

实数x的取值范围是.

【答案】(6-1,2)

【分析】把题意转化为-2x+l<0,设/(加)=加卜2-1)-2r+l,由一次函数的单

调性列不等式组，即可求解.

【详解】2]—1>加(12_1)可转化为加卜2_])_2x+l<0

设〃加)=加(？-l)-2x+l,则/("。是关于小的一次型函数.

f（l）=x2-2x<0

要使/(加)<0恒成立，只需.

/（-1）=-X2-2X+2<0

解得g-1<x<2.

故答案为：(6-1,2)

口【课后强化】

基础保分练

一、单选题

1.(2024jWj三•全国・专题练习)已知集合/=卜,—4x—52()},5={耳a—3<x<a+4，若

/UB=R,则实数。的取值范围为（）

A.\a\a>ljB.{q[l<a<2}

C.{〃卜<2}D.1«|1<«<21

【答案】D

【分析】先求出一元二次不等式的解集，依题借助于数轴得到关于〃的不等式组，解之即得.

【详解】vx2-4%-5>0,x<-1x5,={x|x<-1x>5},

又=,解得1V〃42.

[Q+425

故选:D.

2.（2024•浙江•模拟预测）若不等式版2+（左—6）x+2〉0的解为全体实数，则实数左的取值

范围是（）

A.2«k«18B.—18<左<-2

C.2〈左<18D.0<k<2

【答案】C

【分析】分类讨论左=0与左/0两种情况，结合二次不等式恒成立问题的解决方法即可得解.

【详解】当左=0时，不等式丘?+（左-6及+2>0可化为-6x+2>0,显然不合题意;

当上N0时，因为丘2+（后-6）x+2>0的解为全体实数,

k>Q

所以L/,八2C八，解得2<左<18；

A=（左一6）-4kx2<0

综上：2（人<18.

故选：C.

3.（2024•云南红河•二模）已知。,6均为正实数，则"!>?"是"〃+262>3协，，的（）

ab

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】运用不等式的性质，证明充分性，否定必要性即可.

【详解】因为“，6均为正实数，若则6>。>0；

ab

^a2+2b2>3ab,则（"26）（a-b）>0,即a>26>0或6>a>0；

所以"1>："是+2/>3仍”的充分不必要条件.

ab

故选:A.

4.（2024高三•全国・专题练习）若不等式（。-2）/+2（0-2"-4<0对一切xeR恒成立,

则实数a的取值范围是（）

A.（-℃,2]B.[—2,2]

C.(-2,2]D.(-a),-2)

【答案】C

【分析】对二次项系数进行分类讨论可得a=2符合题意，当aW2时利用判别式可求得结果.

【详解】当a-2=0,即a=2时，不等式为-4<0对一切xeR恒成立.

a—2<0

当时，需满足<

〃-2<0

解得—2<a<2.

a—2+4〉0

综上可知，实数。的取值范围是（-2,2].

故选：C

5.（23-24高三下•湖南衡阳•阶段练习）条件?是乡的充分不必要条件是（）

A.函数>=定义域为A,P：/口）20在4上成立.0：y=为增函数；

B.P：-3x+a>0成立，0：“+」一最小值为4；

a-2

C.p:函数/0）=24"2+4工一1在区间（-1,1）恰有一个零点，q：<a<J;

o4

D.p:函数/（x）=cos2xcos°+sin2xsin0为偶函数（XGR）,q'.（p=kn（kGZ）

【答案】B

【分析】对于A,D我们都可以证明。应互为充要条件，对于C,取。=-）即可判断；对于

6

Q1

B,P成立当且仅当注意到。>2时有2：“+——最小值为4成立，由此即可判断.

4a-2

【详解】对于A,不妨设〃x）=0,则函数y=定义域为全体实数，八龙）=020在实

数域上成立，但它不是增函数，故A不符合题意;

对于B,P：VxeR,x2-3x+a>0成立等价于aA-x。+3x=-fx-—+2恒成立，从而a>—,

I2)44

注意到当。>2时有，a+—-—=a-2d——1-2>2+2=4,等号成立当且仅当a=3,即。>2

a-2a-2

时有0：a+—二最小值为4成立，故B符合题意；

a-2

对于C,当。=-,时，/(尤)=2牝储+4尤-1=-4/+4X-1在区间(-1,1)恰有一个零点x，

62

但此时。不满足-故C不满足题意；

84

对于D,0:函数/'(x)=cos2xcos夕+sin2xsin。为偶函数(xeR)等价于

cos2xcos夕+sin2xsin夕=cos(-2x»os夕+sin(-2xjin夕恒成立，

也就是说2sin2xsine=0恒成立，这意味着只能sinp=0,从而当且仅当夕=hr(左eZ),故

D不满足题意.

故选：B.

6.(2024高三・全国•专题练习)已知a,6eR且"wO,若(x-a)(尤-b)(x-2a-b)»0在让0

上恒成立，则()

A.a<0B.a>0C.b<0D.b>0

【答案】C

【分析】对。力的符号分正负两种情况讨论，结合穿根法及三次函数的性质分析即可得到答

案.

【详解】由abwO得

/(X)=(X-Q)(X-Z?)(X-24-Z))=0=>X]=a,x2=b,x3=2a+b

①若。>0,6〉0,则2“+6>0,且2a+b〉〃，2a+b>b,

根据穿根法可知X£(〃,2Q+6)或x£(6,2a+»时不符合题意，舍去；

②若a>0,6<0,要满足题意则a=2a+b〉6na+6=0,符合题意，如图所示；

/[y=/（x）/

-1bq~a^2a+b

③当。<0,b>0时，同理要满足题意需2a+b=6>a=>a=0,与前提矛盾；

④当a<0,6<0,此时2a+6<0,则/（x）=（工一加（工一。）卜一2°-6）的三个零点者B是负数，

由穿根法可知符合题意；

综上可知满足（尤-<50卜-9（尤-2°-6”0在北0恒成立时，只有6<0满足题意.

故选：C.

二、多选题

1.（23-24高三上■湖南邵阳•阶段练习）已知。>0,b>0,且。+26=7,若l+s/w/恒成

立，则实数/的值可能为（）

A.20B.21C.49D.50

【答案】CD

【分析】利用。力的关系式以及其范围可得。=7-26且0<6<7:,将不等式转化为

2

79-2）,214/,利用二次函数单调性即可得此49.

【详解】由a+2b=7可得。=7-26,

7

又。〉0可得0<6〈一，

2

所以可得/+3〃=（7-26），3〃=762-286+49=70-2J+21,

7

即7仅一2）0+21V/在0<6<]时，恒成立即可，

由二次函数单调性可得7（0-2y+21Wt,即此49,可知CD满足题意；

故选：CD

2.（2024高三・全国•专题练习）（多选）下列命题正确的是（）

A.若不等式ax2+bx+cO的解集为（x/,x?）,则必有a>0

B.若方程ax2+bx+c=0（"0）没有实数根，则不等式ax2+6x+c>0的解集为R

C.不等式ax2+bx+c<0在R上恒成立的条件是a<0且/=〃一4℃40

D.若二次函数y=ox2+6x+c的图象开口向下，则不等式°/+历:+<:<0的解集一定不是

空集

【答案】AD

【解析】略

三、填空题

1.（23-24高三下•上海•阶段练习）设。>0,若关于x的不等式f-亦<0的解集是区间（0,1）

的真子集，则。的取值范围是.

【答案】（0,1）

【分析】解一元二次不等式结合真子集的概念即可得解.

【详解】因为。>0,所以％2-亦<0=>0<》<0,

又不等式尤2一办<0的解集是区间（0,1）的真子集，贝！I。€（0,1）.

故答案为：（0,1）.

2.（23-24高三下•河北保定•开学考试）已知集合A={x|log2（3-x）<2）,5={r|r（5-x）-4>0},

贝u/n8=.

【答案】[1,3）

【分析】由对数不等式和一元二次不等式化简集合48,再由交集运算即可求解.

【详解】1°§2（3—x）<2=>0<3—x<4,解得-l<x<3,故4=（-L3）；

x（5r）-420nx2_5》+440,解得1W4,故8=[1,4],故/c8=[L3）.

故答案为：口,3）

四、解答题

1.（2024•全国•模拟预测）已知函数/（无）=|2彳-M，且1（x）46的解集为

⑴求。和6的值；

（2）若/（x）v|x一|在卜1,0]上恒成立，求实数，的取值范围.

【答案】（皿=2/=4

（2）（-<»,-5]U[3,+CO）

【分析】（1）根据绝对值不等式的性质即可求解,

(2)将问题转化为3—+(2/-8)尤+4--wo在卜I,。］上恒成立，即可利用二次函数零点分布

求解.

【详解】(1)由得|2x-a|46,

易知620,贝！WW—<%<—,

22

由于〃x)4。的解集为［T,3］,则容=3,一=-1,解得°=2,6=4.

(2)由(1)知/(x)=|2x—2］,由/(X)4,―4得12x-2目X—4,

得3-+(2/-8卜+4-〃《0在［一i,o］上恒成立，

A=(2t-8)2-4x3x(4—/)=16(t-l)2>0,故”1.

令g(x)=3d+⑵-8)x+4-巴若g(x)40在［-1,0］上恒成立，

g(-i)<o即匕才”。

则解得芯-5或的3,

g(0)<0

故实数f的取值范围为(-叫-5]33,+00).

2.(2024局二•全国•专题练习)(1)解关于实数尤的不等式：x2—(a+l)x+a<0.

(2)解关于实数x的不等式：X?-"+1<0.

【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；

【分析】对不等式所对应方程的判别式进行判断，分情况讨论参数。即可求得(1)(2)中

的不等式解集.

【详解】(1)易知方程x2-(a+l)x+a=0的A=(a-W0,

由/-(a+l)x+a=0得(无一0)0—1)=0,解得X]=。,4=1,

当a>1时，尤②-(a+l)x+a<0的解集为{邓<x<a},

当。=1时，尤2-(a+l)x+a<0的解集为0,

当a<1时，x2-(a+l)x+a<0的解集为{x[a<x<l}.

(2)对方程Y-"+1=0,

当A=/-4V0时，

即-2Wa42时，不等式的解集为0

当△=/一4>0时，

即〃>2或a<—2时,

a-y/a2-4ci+Ja2—4

f一QX+1=0的根为石-----,x=-----

2222

a—Ja?_4a+J、，—4

不等式的解集为x---------<x<----------

22

综上可得，-时，不等式的解集为0,

〃--4

。〉2或Q<-2时，不等式的解集为《工-----<x<

2

3.(2024・全国•模拟预测)已知函数/(x)=|2x+l|.

⑴求不等式〃x)-"%-1)〉1的解集；

⑵若〃(x)=〃x)+/(x-1),且存在XER使不等式/+2〃-12/z(x)成立，求实数。的取值

范围.

【答案】(i)Q,+^

(2)(-OO,-3]U[1,+CO)

【分析】(1)借助零点分段法计算即可得；

(2)借助绝对值三角不等式可得〃(x)min，再解出含。的不等式即可得.

【详解】m/(x)-/(x-l)>l,Bp|2x+l|-|2x-lj>l,

当工<—时，—2x—l+2x—1>1,该方程无解；

2

当—<x<—时，2x+l+2x—l>l,解得一<x<—；

2242

当时，2x+l-2x+l>l,解得x>L

22

综上所述，x>[,

4

，不等式/(x)-/(x-l)>l的解集为',+3；

(2)由题知，/z(x)=|2x+l|+|2x—1|>|2x+1——1)|=2,

当且仅当(2x+l)(2x-1)40时等号成立，

2

/.d!+2df-l>A(x)min=2,解得4W—3或,

实数。的取值范围为(-*-3]u[l,+s).

综合提升练

一、单选题

1.(2023•辽宁鞍山•二模)若对任意的XE(0,+8),/一冽％+1〉0恒成立，则冽的取值范围是

()

A.(-2,2)B.(2,+<x>)C.(—叫2)D.(—8,2]

【答案】C

【分析】变形给定不等式，分离参数，利用均值不等式求出最小值作答.

VxG(0,+oo),x2-mx+l>0«m<x+—,而当％>0时，x+—>2jx--=2,当且仅

xx\x

当X=L,即％=1时取等号，

X

则加<2,所以机的取值范围是(-8,2).

故选：C

2.(2023高三,全国•专题练习)已知命题p"VxGR,(a+l)N—2(a+l)x+3>0"为真命题，

则实数。的取值范围是()

A.—l<a<2B.<7>1

C.a<—1D.—l<a<2

【答案】D

【分析】根据题意，利用解含参的一元二次不等式(。+1)--2(4+1卜+3〉0恒成立问题的

方法求解，即可得出答案.

【详解】当Q=-1时，3>0成立；

〃+1>0

当〃工一1时，需满足,7\2/\,

A=4(Q+1)-12(Q+1)<0

解得一l<a<2.

综上所述，-14<2.

故选：D

3.(2024•陕西西安・模拟预测)已知集合/={xeN|y=序M},5={y|y2_4vo},则集

合/C3中元素的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】分别求解集合48,根据交集的定义计算即可.

【详解】因为集合/=卜€可了=病三}={0,1,2,3},3={vly2-4<O}=M-24y42},故

/口2={0』,2}.

故选：C.

4.(23-24高三上・重庆长寿・期末)已知函数/(x)=G-2x+a,对xe1,2都有/(x)20成

立，则实数。的取值范围是()

A.［L+8)B.g，+ejC.1,1D.

【答案】A

2「1

【分析】根据不等式恒成立，分离参数，可得二T,对xeg,2恒成立，构造函数，

x+—2

x

结合函数的单调性求得其最小值，即可求得答案.

【详解】由题意知函数对xe1,2都有/(x)NO成立，

即ox之一2%+QN0对x£万,2恒成立，

2x2i-

/7〉----------1］

即d+l,对xe不2恒成立，

X十幺

X

设g(x)=x+L由于g(x)=x+，在1,1上单调递减，在［1,2］上单调递增，

x%」

2

则gmin(D=2,则二i,当且仅当X