高考数学一轮复习思维拓展之公切线问题（含解析）

高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）

思维拓展.公切线问题（精讲+精练）

考点归纳

①有一个切点的公切线问题

②有两个切点的公切线问题

③公切线中的参数问题-

一、必备知识整合

一、公切线问题一般思路

两个曲线的公切线问题，主要考查利用导数的几何意义进行解决，关键是抓住切线的斜率进行转化和过渡.

主要应用在求公切线方程，切线有关的参数，以及与函数的其他性质联系到一起.处理与切线有关的参数，

通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：

①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.

考法1:求公切线方程

已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；不知切点坐标，

则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程.

具体做法为：设公切线在y=/（x）上的切点Pig,f（xi））,在y=g（x）上的切点P2（*2,g（M））,

则以面=g，S）=皿逊.

Xi-X1

考法2：由公切线求参数的值或范围问题

由公切线求参数的值或范围问题，其关键是列出函数的导数等于切线斜率的方程.

二、考点分类精讲

【典例1】（单选题）（23-24高二下•安徽合肥・期末）若函数〃x）=¥与g（无）在处有相同的

切线，则Q+Z）=

A.-1B.0C.1D.2

【答案】D

1-a

fe=i

【分析】对/'(x),g(x)求导，根据题意得到laL,再解方程组即可得到答案.

[e-b=0

【详解】因为"x)=F，g(x)=e…-b,则r(x)=上等，g'(x)=e…，

可得/⑴=0,8⑴二卜一。，r(l)=l,g〈l)=ej,

因为〃x)，g(为在x=l处有相同的切线,即切点为(1,0),切线斜率a=1,

f=1[a=\

所以解得八「所以a+b=2.

[e-bL=0[6=]

故选：D.

【典例2】(单选题)(23-24高二下・江西吉安・期末)函数〃x)=2+lnx与函数g(x)=，公切线的斜率为()

A.1B.±eC.1或eD.1或e?

【答案】C

【分析】先设切点分别为aj(±)),(X2，g(X2))，并通过点斜式方程写出两条切线方程，根据公切线方程得

J__eX2

"^-e，最后计算占值即可.

%2

1+Inxj=(1-x2)e

【详解】设切点分别为(%J(xJ),(X2，g(X2)),玉>0,迎>0

且导数为/'(x)=Lg'(x)=e',

X

所以切斜方程为既为y-(2+lnxJ='(x-xJ,

否

也为y_e»=e*(x_x2),

所以，%e,

X2

1+ln再=(l-x2)e

且ln(一)=Ine"?=>—In芭=x2,

%]

所以l+ln%i=(l+lnxjx——=>(1+lnXjXxj-1)=0,

西

所以玉=i或玉=L

e

所以公切线的斜率为左='=1或e.

xi

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题考查求公切线问题，解题关键是分别在函数/(x),g(x)上设不同切点并求切线

方程，根据两切线方程一样来求解公切线斜率.

【典例3】(单选题)(2024•广东茂名•一模)曲线y=lnx与曲线了=尤?+2"有公切线，则实数。的取值范

围是()

A.1叫B.卜;,+1C.卜叫｝D.1

—,+00

2

【答案】B

【分析】分别求出两曲线的切线方程，再构造函数/卜)=/「2元，利用导数求得单调性和最值，即可求

得。的取值范围.

【详解】两个函数求导分别为V=±，=2x+2a,

X

设y=lnx,了=—+2办图象上的切点分别为(不』叫)，(x2,xf+2ax2),

则过这两点处的切线方程分别为y=-+ln^-l,J=(2x2+24)尤-x；,

x\

贝!I—=2X2+2a,Inxj-1=,所以2〃=e"A-2%，

x\

设〃x)=ej_2x,r(x)=2(xex21-l),1⑴=0,

令g(x)=/(无)=2(xe，j-1),所以g[x)=2(2/+1卜，=>0,

所以g(x)在R上单调递增，且广⑴=0,

则/(x)在(-叫1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

所以2a”(l)=T,«>-1.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用公切线的定义得到2a=e，A-2x2,从而构造函数

/(x)=e*T-2尤即可得解.

【题型训练-刷真题】

一、填空题

1.(2024•全国•高考真题)若曲线y=e'+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+l)+。的切线，则

a=.

【答案】ln2

【分析】先求出曲线y=e，+x在(0,1)的切线方程，再设曲线N=ln(x+l)+a的切点为(xoInN+D+a),求

出V，利用公切线斜率相等求出％,表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.

【详解】由了=e"+X得；/=e*+1,y|I=0=e°+1=2,

故曲线y=e'+尤在(0,1)处的切线方程为y=2x+l；

由^=111(》+1)+°得,=^7,

x+l

设切线与曲线V=ln(尤+l)+a相切的切点为(Xo，ln(xo+l)+a),

由两曲线有公切线得了=一二=2,解得/=-：，则切点为卜[a+ln；],

X。+1212Z)

切线方程为V=2[x+；)+q+ln；=2x+l+a-ln2,

根据两切线重合，所以a-ln2=0,解得。=ln2.

故答案为：In2

二、解答题

2.(2022•全国•高考真题)已知函数/(幻=%3一%名(%)=%2+〃，曲线y=/(x)在点(再J(xj)处的切线也是

曲线V=g(x)的切线.

(1)若X]=—1,求。；

(2)求°的取值范围.

【答案]⑴3

⑵[-1,+动

【分析】(1)先由/(X)上的切点求出切线方程，设出g(x)上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数

值求出。即可；

(2)设出g(x)上的切点坐标，分别由/(x)和g(x)及切点表示出切线方程，由切线重合表示出。，构造函数,

求导求出函数值域，即可求得。的取值范围.

【详解】(1)由题意知，/(-1)=-1-(-1)=0,八》)=3/一1,/'(-1)=3-1=2,贝独=/(x)在点(一1,0)处的

切线方程为＞=2(x+l),

即了=2x+2,设该切线与g(x)切于点(马名(工2))，g'(x)=2x,贝！|g'(X2)=2x2=2,解得％=1,贝!)

g⑴=1+。=2+2,解得a=3；

(2)r(x)=3x12-l,则尸〃X)在点(X"区))处的切线方程为y-(Mf)=(3x；T)(x-±),整理得

y=(3x；-1)龙-2x；,

设该切线与g(x)切于点(马这(尤2))，g'(x)=2x,则(&)=2七，则切线方程为了-仁+。)=,整理

得y=2X2X-xf+a,

则也3：；；/整理得"=4一2町=与一1_2X；=%J2X；―#+}'

9311

令〃(x)=-2d一3x2+—,则h\x)=9x3-6x2-3x=3x(3x+l)(x-1),令"(x)>0,解得一x<0或x〉1,

令"(x)<0,解得x<T或O<X<1,则X变化时，〃'a),〃(x)的变化情况如下表：

1

X0(0,1)1(L+OO)

1一J3d。)

h(x)-0+0-0+

5j_

h{x}/-1/

274

则〃(X)的值域为［T+S),故。的取值范围为［-1,+8).

【题型训练-刷模拟】

1.有一个切点的公切线问题

一、单选题

1.(23-24高二下•河南•阶段练习)过原点的直线/与曲线尸e、/=ln(x+a)都相切，则实数。=()

1112

A.-B.-C.-D.—

24ee

【答案】D

【分析】设出切点，利用导数的几何意义结合两点式斜率公式列式，即可求解.

【详解】由>=^得了=e',由y=ln(x+a)得j/=—L,

x+a

设过原点的直线/分别与曲线了=d/=111@+0)相切于点/(%乂),8®,%),

则由导数的几何意义得21=e\且必=9，故占=1,所以直线/的斜率为e,

所以匹=---=e,所以Infx2+。）=%，所以%=-1,即迎=-1

•^2*^2।Qe

1?

代入得一

故选：D

2.（2023•江苏南通•模拟预测）若曲线/（%）=优（〃〉1）与曲线g（x）=bgd（Q〉l）有且只有一个公共点，且在

公共点处的切线相同，则实数。的值为（）

22

A.eB.eC.e;D.Ve

【答案】C

【分析】

利用导数的几何意义得出其公切线，计算即可.

【详解】易得/'（x）=lna./,g，（x>1），设公共点为（％,%）,

lnx

*=log”X。*0

In(711

则由题意可得1，即v=^>--=x-lnx

Ina-ax000

]na-ax°]ina

x0ina

xQIn(2

1

目X0

]na-a-------=>x0-a(二「ko-lnx。)2=a』=x0-^1XOf

xQIna

=%•Ina=21n(lnx0)+lnx0=---

lnx0

令In%=%则上式可化为：21n%+%-Lo

t

记〃⑺=21n，+%—；,则/⑺=（：1）20恒成立，即M/）=21n/+”:在（0,+司上单调递增，而"1）=0,

%二e

故满足21n%+%—=0的根只有t=19即

a=ee

故选：C

【点睛】本题考察导数的综合应用,属于压轴题.由导数的几何意义建立方程组后，关键在于构造函数利用

导数求其单调性来解方程，计算量较大，也需要灵活的转化.

3.（2024•云南曲靖•一模）已知。>0,若点。为曲线G:y='+QX-加与曲线G：歹=2。21nx的交点，且两

条曲线在点尸处的切线重合，则实数加的取值范围是（）

A.-oo,e5B.-oo,e4

C.^-=o,e2^D.(-00,2e]

【答案】C

【分析】设切点P坐标，利用导数几何意义，由切线重合得导数值相等解得力=。，再由点尸为交点，则坐

标满足两曲线方程，由此建立私。等量关系加=/(。)，再利用导数研究函数的值域即可.

丫2

【详解】设点尸的横坐标为"(">0),则由y=5+QX-次可得V=X+4，

又y=2"[nx可得了=肛，

X

且两条曲线在点P处的切线重合，

02

所以切线的斜率左=〃+°="-(。>0),解得或〃=一2。(舍去)，

n

即点P的横坐标为。

丫2

由点P为曲线G：y=]+ax-机与曲线Cz：y=2a2lnx的交点，

23

所以幺+/一机=2。2山〃，即加=—2/lna+—〃2,

22

3

令f(a)=-2a2ln4Z+—a2(a>0),

贝!I/'(〃)=—4QInQ+Q=Q(1—4InQ),

令/⑷=0可得〃=)，

由Q>0知，当/时，，'(。)〉0,当〃)一时，"。)<0，

V\Lt\V

所以/(«)在(0,/)上单调递增，在(e；+8)上单调递减，

]_j_

所以/(。)皿x=/(/)=”，当“一+8,--8,

则实数加的取值范围为

故选：C.

二、填空题_

4.(2024・四川成都•模拟预测)已知函数>=«的图象与函数了=4(a>0且"1)的图象在公共点处有

相同的切线，则公共点坐标为.

【答案】(e,人)

【详解】设公共点为(%,%)(%>0),即可得至!)*=若，再由导数的几何意义得到*Ina=：%2,从而求

出％,即可求出切点坐标，从而求出。，再求出切线方程.

【分析】设公共点为(%比)(%>0),贝！J%=就,即*=，，

Jo=ax°"

所以/Ina=不In%,所以Ina=--Inx0,

i_1i_1

由必'=-x2,%'=a」na,所以％'工「寸。2，%Ina，

i_1111-L

又在公共点处有相同的切线，所以*lna=Lx02,即对.丁.1!1%=7/2,

22x02

所以出%=1,则％=e,所以%=而，

所以公共点坐标为卜,八).

故答案为：(e,五).

5.(2024•上海三模)设曲线〃x)=“e，+6和曲线g(x)=cos号+c在它们的公共点尸(0,2)处有相同的切线,

则6"+c的值为.

【答案】2

【分析】根据两曲线在P(0,2)有公切线，则尸是公共点，该点处的导数值相同，列出方程求出。也c的值,

则答案可求.

ff(0)=a+b=2

【详解】由已知得,解得C=l,b=2-a,

[g(0)=l+c=2

又_f(x)=*,g，(x)=.sin/x,

所以/'(0)=g'(0)得a=0,

所以a=0,b=2,c=l,

所以〃+c=2°+l=2.

故答案为：2

2.有两个切点的公切线问题

一、单选题

1.(23-24高二下•江西吉安・期末)函数〃x)=2+lnx与函数g(x)=/公切线的斜率为()

A.1B.±eC.1或eD.1或e?

【答案】C

【分析】先设切点分别为(%/(再)),(9名(％)),并通过点斜式方程写出两条切线方程，根据公切线方程得

<工一,，最后计算不值即可.

1+lnX]=(1-X2)产

【详解】设切点分别为(再,〃%)),每若6))，%>0,%>0

且导数为八x)=Lg'(x)=e',

X

所以切斜方程为既为y-(2+lnxJ='(xf),

xi

也为=e*"(x_x2),

所以，再e,

%2

l+]nxl=(1-x2)e

且ln(—)=Ine"2n_In七=%,

七一

所以l+ln%i=(l+lnxjx—=>(1+111再)(再一1)=0,

X]

所以玉=1或&=-,

e

所以公切线的斜率为左='=1或e.

xi

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题考查求公切线问题，解题关键是分别在函数/(x),g(x)上设不同切点并求切线

方程，根据两切线方程一样来求解公切线斜率.

2.(2024・全国•模拟预测)已知函数/■(x)=ei,g(x)=：e?,若直线/是曲线y=/(x)与曲线y=g(x)的公

切线，贝心的方程为()

A.ex—>=0B.ex-y-e=0

C.x-y=0D.x-y-l=0

【答案】B

【分析】设>=h+加与了=/(%)相切于点/(Xo/o),与y=g(x)相切于点8(西,入)，利用导数的几何意义,

得至!Je频Txo+〃z=e%T和机=再由e"T=；eX[,求得x()_]=；Xi，得至-4-ln=0,令

h[x)=x-\-\nx,利用导数求得函数的单调性与最值，求得加=-e#=e,即可求解.

【详解】设/：尸=区+旭与曲线y=/(x)相切于点/(%,%),与y=g(x)相切于点8(再,必),

由;''(x)=ei,可得/的斜率上=e'f所以物飞+能=物-。,

[]]ee

又由g'ahjex,可得左=5%,所以,叫再+冽=4%；,即加=—4%;②，

又因为e'S=ge再③,

lee]

将②③代入①中，可得5叫/-4片=耳项，由③易知，石〉。，则/-1=/再④，

将④代入③，可得e3=^X1,则上一1一1"1)=0,

令〃(x)=x-l-lnx,贝！)/(》)=土」，当0<x<l时，〃(x)<O,〃(x)单调递减;

当x>l时,/f(x)>O,〃(x)单调递增.所以力(力2%(1)=0,当且仅当x=l时取等号,

IQe

故一XI=l,可得玉=2,所以加=—x22=-e,A：=—x2=e,

242

所以/的方程为>=e(x-l),即ex-y-e=O.

故选：B.

【点睛】方法技巧：对于利用导数解决函数综合问题问题的求解策略：

1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；

2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的

新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩

法，注意恒成立与存在性问题的区别.

3.(2024•福建•模拟预测)已知直线>=履+万既是曲线y=lnx的切线，也是曲线y=-ln(-x)的切线，则()

A.k=—,b=0B.k=1,b=0

e

C.k=~,b--\D.k=1,b-~\

e

【答案】A

【分析】设出切点，写出切线方程，利用对应系数相等建立方程，解出即可.

【详解】设直线与曲线y=lnx的切点为(西,出王)且西>0,

与曲线y=-ln(-x)的切点为卜2，-111(一%))且工2<0,

,11

又y，=(lnx)/=[-ln(-x)]=--,

则直线…+b与曲线klnx的切线方程为…再=卜-再)，即尸『1+

直线〉=履+6与曲线歹=-111(-%)的切线方程为歹+111(-%2)=-1(%-%2),即名=_『x+lTn(-%2),

11r

——---M=e11

贝叶再超,解得《,故左=—=—,6=lnx-l=0,

In玉-l=l-g2)同…%e

故选：A.

4.(23-24高二下•广东佛山•期中)经过曲线＞=7x3-尤与＞=_/-5x+3的公共点，且与曲线＞=d+1和

歹=67的公切线/垂直的直线方程为()

A.8%+8〉+7=0B.8%+8〉一7=0C.8x-8j+l=0D.8x-8j-1=0

【答案】B

【分析】首先联立y=7d-x与y=-尤3-5x+3得至历程组，求出方程组的解，即可求出交点坐标，再设/与

/(x)=e*+l和g(x)=e'分别相切于国e%+l),(々©巧,利用导数的几何意义得到方程，求出芭,即可

得到切线的斜率，再由点斜式求出所求直线方程.

【详解】由卜=7弋一：消去V整理得8尤3+以-3=0,

［y=_苫3_5尤+3

令尸(x)=8/+4x-3,贝！］户'(力=24/+4＞0,所以尸(x)=8/+4x—3在R上单调递增，

又尸出=8x［；］+4x1-3=0,

1

x=—

y=7x3-x上八左r、,2

所以方程组3<,的解为

y=-x-5x+33

y=-

8

即曲线y=7%3-x^y=-x*3-5x+3的公共点的坐标为

设/与〃x)=e，+1和g(X)=尸分别相切于(玉,户+1),(%,,

而/'(X)=e"，g'a)=ex+1,

XlX2+1

:.f(xx)=Q,g\x2)=e,

.*.A0)=e0=l,即公切线/的斜率为1,

故与/垂直的直线的斜率为—1,

所以所求直线方程为y一|=一口-［，整理得8x+8y-7=0.

故选：B.

二、填空题

5.（2023•全国•模拟预测）试写出曲线y=2e工与曲线y=21n（x+2）的一条公切线方程.

24

【答案】y=—尤+—或y=2x+2（写出一个即可）

ee

【分析】设出切点坐标，根据切线斜率相等，建立等式，解出即可.

【详解】设公切线/与曲线y=2e、切于点/（再,29）,

与曲线y=21n（x+2）切于点8（々,2111（》2+2））.

2

由y=2e“，得V=2e“.由y=21n（x+2）,得了=----.

x+2

21

令21::^即p贝口2+2=。一百，

x2+2x2+2

Xlx,

gp2In(x2+2)-2e=2e(x2-xj,

化为"ef—eM=d(ef—2—,

所以(占+1)(6^-1)=0,解得西=T或不=0.

当无i=T时，k=~,

7??4

此时切线/的方程为y-4=4（x+l）,即了=今+二

eeee

当石=0时，k=2,Z（0,2）,

此时切线/的方程为y—2=2（X—0）,即y=2x+2.

24

综上可知，切线/的方程为歹或歹=2X+2,写出任意一个即可.

ee

24

故答案为：y=-x+-^y=2x+2写出任意一个即可.

ee9

3.公切线中的参数问题

一、单选题

1.（2023・四川绵阳•模拟预测）若函数/■（无）=x2-办与函数g（x）=lnx+2x的图象在公共点处有相同的切线,

则实数。=（）

A.-2B.-1C.eD.-2e

【答案】B

【分析】设出两个函数图象的公共点坐标，利用导数的几何意义建立关系求解即得.

【详解】设函数7'(力=/-依与函数8(力=111%+2》的图象公共点坐标为(%,%),

XQ-ax0=lnx0+2x0+lnxo-l=O

求导得/。)=2》-凡8'0)」+2,依题意，、1,于是＜

x2XQ—a=F2a=2x0---2

IX。、

令函数〃(x)=/+lnx-l,显然函数〃(X)在(0,+网上单调递增，且刀⑴=0,

则当〃(x)=0时，x=l,因此在x；+lnx。-1=0中，x0=l,此时。=-1,经检验。=-1符合题意，

所以a=-l.

故选：B

2.(2024•辽宁大连一模)斜率为1的直线/与曲线了=ln(x+a)和圆/+/=；都相切，则实数。的值为()

A.0或2B.-2或0C.—1或0D.0或1

【答案】A

【分析】设直线/的方程为V=x+6,先根据直线和圆相切算出6,在根据导数的几何意义算

【详解】依题意得，设直线/的方程为V=x+6,

1例V2

由直线和圆/+/=:相切可得，0=—,解得6=±1,

2在+(-1)22

当6=1时，y=x+l和y=ln(x+a)相切，

设切点为(加,〃)，根据导数的几何意义，一二=1,

m+a

n=0

[n=m+l

又切点同时在直线和曲线上，即I,、，解得m=-l

[n=\n(m+a)9

a=2

即＞=%+1和、=ln(x+2)相切，此时将直线和曲线同时向右平移两个单位，

尸x-l和y=lnx仍会保持相切状态，即b=T时，q=0,

综上所述，a=2或。=0.

故选:A

3.(2023・河南・三模)已知函数/(x)=^-x+a的图像关于原点对称，则与曲线y=/(x)和y=/+；均相

切的直线/有()

A.1条B.2条C.3条D.4条

【答案】C

【分析】设切点坐标，利用导数求两曲线的切线，当切线方程相同时，求切点坐标解的个数.

【详解】函数〃“三X3-X+Q的图像关于原点对称，则有=

即(―X)—(―X)+〃=—(工3—X+Q),解得〃=0,所以=X,

由/'（x）=3/-1,所以y=/（x）在点（wJ（再））处的切线方程为y_困_XJ=（女；-1）（X-再）,整理得

y-（3xf—l^x—2xl.

设g（x）=/+；,直线1与g（x）的图像相切于点（无2苗优）），因为g<x）=2x,

3x；-1=2X,

所以切线方程为y-卜+j=%（x-％,整理得y=2x/-君+；2

整理得-2x；-：=（x：-2x；-^-x；=；^—Rx；-8X]-6）=0,

当9x；-8X]-6=0时，A=82+4X9X6>0,方程有两个非零实数根,

西=0也满足方程，故占有3个解，

所以方程组（*）有3组解，故满足题中条件的直线1有3条.

故选：C

4.（23-24高二下•江苏•阶段练习）若曲线。]：了=2/2缶>0）与曲线Q：y=e”存在公切线，则实数”的取值

范围为（）

e〜e

C.一,2D.——,+oo

88

【答案】D

【分析】求出两个函数的导函数，由导函数相等列方程，再由方程有根转化为求最值，求得。的范围.

【详解】由V=2QX2（Q〉O）,得了二4"；由歹=e"得了=/,

因为曲线。1：歹=2批25>0）与曲线。2：y=炉存在公切线,

设公切线与曲线。切于点区,2"；）,与曲线G切于点（马，/），

x2

e2_O/yy

贝（14"]=。芍=------匚，又。〉0,贝！|%>0,

x2一再

将。电=4。石代入4。再二^---2axi,得4。石=^^―,贝[]2%2=再+2,

x2一再x2-x1一

所以。=『今令"x）=；（x>»则小）

当（0,2）时，/（x）<0,"X）单调递减;

当X£（2,+8）时，/r（x）>o,/（%）单调递增;

22e2\

所以=----=—，则。的范围是—.

mn4x28L8J

故选:D.

【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用公切线的性质得到4°占=------工，从而得到。关于4

x2-x1

的表达式，从而得解.

5.（2024・福建泉州•模拟预测）若曲线y=f与y=毋（twO）恰有两条公切线，贝！Jf的取值范围为（）

A.B.[\，+00]C.（-8,0）口]：,+8）口.（-<»,0）u

【答案】A

【分析】设曲线了=疗切点为可（"汨"），了=尤2的切点为N（”,"2）,求出切线方程，根据有两条公切线转

化为方程具有两个解，构造函数利用导数求解取值范围，判断选项.

【详解】设曲线尸渣切点为M（见梦），尸f的切点为N,叫，

mmm

则曲线y=底在点W（利4）处的切线方程为y-te=te（x-m）,即y=te-'（X-m）+te,

同理，尸尤,在点处的切线方程为y=2nx-n2,

根据V=te与y=W有两条公切线，

[te*=2n（\4"，一4

则m2,所以死皿-加fe"=-二，化简可得f=具有两个交点，

he-mte=-n[2e"'

转化为”号「有两个解，构造函数贝4'0=与学，

当x<2,r(x)>0,〃x)单调递增；当x>2,r(x)<0,〃x)单调递减,

故/'（X）在X=2时有极大值即为最大值，故〃2）=，

当X9-00时，当Xf+oo时，/(x)fO,

故f的取值范围为

故选:A

x2+x+a,x<0

6.（2024高三下•全国・专题练习）已知函数/（x）=1的图象上存在不同的两点45,使得曲

一,x>0

线y=〃x）在这两点处的切线重合，则实数。的取值范围是（）

A.B.(2,+8)

*

D.-a??4

【答案】A

【分析】解法一：设/（%,〃%）），5（X2,/（X2））,根据题意分析可知再<0<3，根据导数的几何意义分别

1

x（12

求在48两点处的切线，由题意可得2，化简可得Q=Z下+=+-+1,换元结合函数单调

22।1人2人2

—=一再+U尤2）

x2

性分析求解；解法二：根据题意结合图象分析可知/>0,运算求解即可.

【详解】解法一：当x<0时，则/（xhY+x+a,可知/'（x）=2x+l在（-8,0）内单调递增;

当x>0时，则〃x）=:，可知/'（x）=-5在（0,+“）内单调递减;

设/（再,/（再）），为该函数图象上的两点，且玉<马,

若曲线y=〃x）在48两点处的切线重合，则/'（再）=/'@2）,

结合了'（X）的单调性可知再<0<3,

则函数/（X）在点/（尤”/（%））处的切线方程为:

y-（X；+/+。）=（2七+l）（x-Xj）,即y=（2匹+l）x-x^+a；

函数"X）在点8卜2，/伉））处的切线方程为:

1、12

y—f）,即产-下+二

X?

与=2±+1

两直线重合的充要条件是

x2

112

消去王可得+一］,

X?）

令％=',则/>0,可得。二

+2/+8/+1）在（0,+8）为增函数,

%2

所以小，结合选项可知A正确;

解法二：由题意可知：/'（X）在区间（-0°,-；1（0,+8）内单调递减，在

内单调递增,

根据公切线导数值相等的原理，可知公切线只会出现在单调性一致的区间,

故只能出现在区间「和(0,+8),

由于函数在这两个区间属于凹函数，故可类比两圆相离的外公切线,

且当尤趋近于+8,/(X)趋近于0,

由图象可知：解得结合选项可知A正确;

故选：A.

7.(23-24高三上•浙江湖州•期末)已知函数/(x)=ei,g(x)=«2,若总存在两条不同的直线与函数y=/(%),

N=g(x)图象均相切，则实数。的取值范围是()

A.[2]B.C.D.H，+j

【答案】A

【分析】设函数y=/(x),y=g(x)的切点坐标分别为卜e*T),(x2，E),根据导数几何意义可得±=

结合题意可知方程:=[有两个不同的实根，则设〃(x)=5，求导确定其单调性与最值情况，即可得实数

。的取值范围.

【详解】由题意可知：a*0,

设函数/(x)=e*T上的切点坐标为(5©…)，函数g(x)=a?上的切点坐标为(和此)，

且/■'3=尸，g'(x)=2ax,则公切线的斜率e"=2"，可得x?=',

则公切线方程为了-6"=门«-再)，

代入伍,办；)得办；—e*T=9-(JC2-x；),

代入可得整理得十=禁

2a2aJ(2aj4ae

令'"7则》。

若总存在两条不同的直线与函数了=/(尤)，V=g(x)图象均相切，则方程有两个不同的实根,

4ae

设山)=，则砥力=詈，

令〃(x