复数（七大题型+模拟练）-2025年高考数学一轮复习（新高考专用）

专题21复数（七大题型+模拟精练）

01题型归纳

目录：

♦题型01复数的有关概念

♦题型02复数的几何意义

♦题型03实系数有关的一元二次方程

♦题型04复数的四则运算

♦题型05复数与平面向量

♦题型06复数的最值、取值范围问题

♦题型07复数的三角表示

♦题型01复数的有关概念

1.（2024•新疆•三模）复数z满足匕+万|=忖，则z的虚部为（）

A.-iB.iC.-1D.1

【答案】C

【分析】设2=〃+药，根据模长公式列出方程，求出6=-1,得到答案.

【解析】设z=a+bi且,贝！Jz+2i=a+bi+2i=a+（b+2）i,

因为|z+2i|=|z|,所以/+（6+2）2=/+/,解得：b=_i,则z的虚部为T.

故选：C

2.（24-25高三上•云南•阶段练习）己知复数＞=各则下列说法正确的是（）

A.z=l-iB.|Z|=A/2C.z=l+iD.z的虚部为i

【答案】B

【分析】利用复数的除法运算求得Z=l+i,进而可判断每个选项的正确性.

【解析】由题意及图得，z=12i”i)

1T=l+i

(l+i)(l-i)

所以|z|=y1]2+T=V2fz=l-i，z的虚部为1.

故选：B.

z—1_

3.（2024•山东青岛•三模）已知复数z满足丁一=i,则三的虚部为（）

1-1

A.iB.-iC.1D.-1

【答案】D

【分析】根据复数的乘法运算求出复数z,再根据共辗复数及复数虚部的定义即可得解.

【解析】由—=i,

1-1

得z-l=i（l-i）=l+i,所以z=2+i,

所以z=2-i，其虚部为-L

故选：D.

4.（2024•内蒙古呼伦贝尔•二模）若a,beR,纯虚数z满足z-a=（2z-b）i,则:=（）

b

11

A.2B.-2C.-D.——

22

【答案】B

【分析】利用纯虚线的定义假设2=加，再利用复数的四则运算与复数相等的条件得到6关于加的表示,

从而得解.

【解析】设Z=771i（加GR,且加。0）,

贝U-a+mi=(2mi-b)i=-2m-bi,

所以a=2m，b=-m,则@=-2.

b

故选：B.

♦题型02复数的几何意义

5.（23-24高三下•湖北•开学考试）已知复数z满足目＜=2后-2i,则复数z在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】设复数z=a+6i（a,6eR）,代入目-z=26-2i,根据复数相等和复数的几何意义可得答案.

【解析】设复数z=a+历（a,6eR）,

因为|z|-z=2坞-2i,

所以，/+万.(a+bi)=ada2+方+1>荷+b，=26-2i,

ay/a2+b~=2->/3CI—J3LLII-

可得,-----，解得1所以z=A/3—i,

by/a2+b2=-2b=-\

则复数z在复平面内对应的点位于第四象限.

故选：D.

6.（23-24高三上•湖北,期中）已知i为虚数单位，。为实数，复数z=2i«+ai）在复平面内对应的点为”,

则"。>1"是"点M在第二象限”的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

【答案】A

【分析】根据复数的运算将复数化简，然后根据复数几何意义求出复平面中的点，根据点在第二象限要求

确定。的值，然后根据条件判断进行判断即可.

【解析】复数z=2i-(l+ai)=2i+2ai2=-2a+2i,

所以在复平面点为则M（-2凡2）,

当点M在第二象限时，-2a<0,即。>0,

因为4>1=>Q>O,Q〉0》4>1,

所以>1〃是〃点M在第二象限〃的充分不必要条件.

故选：A.

7.（23-24高一下•广东江门•期末）已知复数2=工+我国”R）,则复平面内点Z满足|z-（2+3i）|=2的图

形的面积是（）

A.2B.4C.2%D.4万

【答案】D

【分析】利用复数的几何意义，在复平面中求出复数z的所有点构成的轨迹方程，再计算面积即可

【解析】因为z=x+yi（x,yeR）,

所以z_（2+3i）=（x+.yi）-（2+3i）=（x_2）+（y-3）i

因为|z-（2+3i）|=2,

所以|z_（2+3i）|=J（x_2y+（广3）2=2,即（x_2『+（y_3『=4,

所以复平面内点2满足卜-（2+3可=2的图形是以（2,3）为圆心，以2为半径的圆，

所以它的面积为71x2?=4兀，

故选：D.

8.（2024・宁夏,二模）已知复数z满足|z-4+5i|=l,贝Uz在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】设出复数的代数形式，利用复数模的意义列出方程即可判断得解.

【解析】々z=x+yi,x,yeR,

因为|z-4+5i|=l,所以（x-4）2+（y+5）2=l,

即点（xj）在以（4,-5）为圆心，1为半径的圆上，该圆在第四象限内，

所以z在复平面内对应的点位于第四象限，

故选：D

9.（23-24高一下•辽宁•期中）在复平面内，复数4,z?对应的点关于直线V=x对称，若4=2+i,则悔+1-3i|=

（）

A.V29B.5C.V5D.1

【答案】C

【分析】由z”Z2关于直线y=x对称求出Z2,再根据复数模的定义计算即可.

【解析】因为句=2+i,所以其对应点为（2,1）,

（2,1）关于直线＞=X对称的点为（1,2）,则Z2=1+2i,

所以k+l-3i|m|l+2i+l-3i|=|2-i|=A/F7F，=6,

故选：C.

♦题型03实系数有关的一元二次方程

10.(2024,湖南岳阳•三模)若虚数单位i是关于x的方程加+6x2+2x+l=0(a,6eR)的一个根，则|。+历|=

()

A.V2B.2C.V5D.5

【答案】C

【分析】利用方程根的意义，结合复数为。的充要条件求出。再求出复数的模.

【解析】依题意，ai3+M2+2i+l=0,即(2-a)i+(l-6)=0,又a,bcR,

则a=2,6=1,所以,+历|=12+i|=也：+F=石.

故选：C

11.(23-24高三上•湖北武汉•期末)已知i是关于x的方程2x2+px+q=0(p,qeR)的一个根，则P+q=

()

A.0B.-2C.2D.1

【答案】C

【分析】把根代入方程，利用复数的相等求出。，4即可

【解析】i是关于X的方程2Y+px+g=0的一个根，

把i代入方程，有一2+pi+g=0,则有p=0,4=2,所以p+q=2.

故选：C

12.(2024・全国•模拟预测)已知(l+i)b=a(i-l)+2i,其中a,6eR,i为虚数单位，则以。力为根的一个一

元二次方程是()

A.x2-1=0B.x2+x=2C.x2-x=0D.x2+x=0

【答案】A

【分析】先根据复数相等求解出凡以然后再判断出能满足条件的方程即可.

【解析】因为(l+i)b=a(i-l)+2i,所以6+bi=-a+(a+2)i,

b=-aa=­l

所以,所以

b=a+2b=\

因此所选方程的两根为±1,仅有1=0符合要求,

故选：A.

♦题型04复数的四则运算

13-(25•陕西榆林•模拟预测)已知复数z满足■会(〃R)(其中।为虚数单位)，且比日则”

()

A.2B.±2C.2加D.+242

【答案】B

【分析】先对复数化简，然后由忖=加列方程可求出。

a_a-aiaa.

【解析】----------=----------1

T+T-(l+i)(l-i)222

化简得Y=4,解得a=±2.

故选：B

14.(2024•安徽芜湖•模拟预测)已知复数z满足z(3-4i)=|3+4i],则2=()

【答案】C

【分析】利用复数的四则运算及模长公式即可求得z.

【解析】因为z(3-4i)=|3+4i|,

环展」3+制5(3+旬5(3+旬3+4i

所以3-4i(3-4i)(3+4i)255,

故选：C

15.(2024・四川宜宾•模拟预测)已知虚数z满足z'-1=0,且彳是z的共物复数，则下列结论错误的是

()

A.z2+z+1=0B.|z|=l

C.z2=zD.z+z2+z3H------Fz""=0

【答案】D

【分析】对A,根据立方差公式判断即可；对B,由A可解得z=土"i,结合复数的模长即可判断；对

22

C,根据z=-L±1i求解即可；对D,根据等比数列的求和公式结合z3=l，z2+z+l=0求解即可.

22

【解析】对A,因为z3-1=0,故(2-1)卜2+2+1)=0,因为z为虚数，故z2+z+l=0,故A正确；

对B,由z?+z+l=0可得z=士母4,故月二1,故B正确；

对C,当2=—工+且i时，Z2=---^i,此时％2=亍成立，

2222

当Z=」-且i时，z2=」+且i,此时z2一成立，故C正确；

2222

Z/I_Z2024\

2320242

对D,z+z+zH---Fz=—......L,因为z'=l，z+z+l=0,

1-z

故z(l-z"")=z(l-Z?)=故D错误.

1-z1-z'7

故选：D

16.(24-25高三上•山西大同•期末)已知复数4/2，下列说法正确的是()

A.若同=匐,则z；=z；B.匕必』=阂㈤

C.[z]-zJW㈤+㈤D.k+z?归㈤+团

【答案】BCD

【分析】举出反例即可判断A；根据复数的乘法运算及复数的模的公式即可判断B；根据复数加减法的几何

意义及坐标表示即可判断CD.

【解析】对于A,设z1=l+2i,Z2=2+i,显然㈤=㈤，

但z：=-3+4i/z；=3+4i,故A错；

对于B,设3二。+句/2=c+di,

贝UZjZ2-ac-bd+(^ad+be)i,

匕E|=ac-bd『+(ad+be)2=y/a2c2+a2d2+b2c2+d2d2，

㈤,21=yla2+b2•J。〉+屋=-Ja2c2-\-a2d2+b2c2+d2d2,

所以匕后卜㈤㈤，故B对；

对于CD,根据复数的几何意义可知，复数4在复平面内对应向量百，

复数Z2对应向量ON2,复数加减法对应向量加减法,

故|z「Zz|和区+z?|分别为西和区为邻边构成平行四边形的两条对角线的长度,

所以|百~22|41|+博|*匕1+22区团+团,故C对，D对.

故选：BCD.

17.（2024・山东•模拟预测）已知Z1,z?为复数，则（）

A.IZJ+ZJI=IZJ+IZJB.若Z]=Z2，则匕,上匕/

C.若㈤=1,则k-2|的最小值为2D.若44=0,则句=0或4=0

【答案】BD

【分析】通过列举特殊复数验证A；设Z1="+6i,（a,beR）,则z?=a-历,（。/eR）,通过复数计算即可判断

B；设句=。+历,（a,6eR）,由复数的几何意义计算模长判断C；由44=0得㈤㈤=0,即可判断D.

【解析】对于A,若均=1+%=1-i,则B+z2|=|l+i+l-i|=2,团+阂=|1+4+|1-4=2五,贝|

L+Z2国句|+"|,故A错误；

对于B设Z]=〃+bi,（〃,b曾R）,则Z2=〃一玩（。,6£R）,

所以|斗2|=|（。+历历）=/+/,而㈤2=/+/,

所以匕闵=匕/，故B正确；

对于C,设句=a+6i,（a,6eR）,因为㈤=1,所以/+〃=1,

所以匕I-2]=|（/_2）+同=2y+尸=y/a2+b2-4a+4=y/5-4a,

因为-IWaVl,所以145-4czW9,所以匕1-2|的最小值为1,故C错误；

对于D,若4,=0,所以匕「刍卜。，所以㈤"|=0,

所以团=0或㈤=。，所以40至少有一个为0,故D正确.

故选：BD

18.（2024・广西贵港•模拟预测）己知复数4，z2,Z3,则下列说法中正确的有（）

A.若2必2=乎3，则Z]=0或Z2=Z3B.^z.—i,则z；°"

2222

C.若z；+z；=o,则4=22=0D.^zizi=z2z2,则I41=1Z21

【答案】ABD

【分析】根据复数的运算法则可判断A；先计算z；=l,再求z产，判断B；用特例验证C；利用2.[=讨说

明D正确.

【解析】对于A,左2=ZRU>Z]（Z2-Z3）=OOZ]=0或Z2=Z3,故A正确.

对于B,方法：z；=」_Yli,z；=l,z：=」+^i,所以z；以3为周期，所以

122122

2024=3x674+2=2=_L_2,故B正确.

11122

方法二（复数的三角表示）：Z^COSy+isiny,所以4的模为1,辐角为羊，则Z严”的模为1,辐角为

—X2024=2KX674+—,

33

所以琛24=cos色+isin"=」-且i.故B正确.

13322

对于C,取Z]=l,z2=i,则z；+z；=0,此时4HZ2，故C错误.

2

对于D,Z[Z]=|zF，z2z2=|z21,所以ZE=z?Z20匕|=匕I，故D正确.

故选：ABD

♦题型05复数与平面向量

19.（2024•江苏南通•模拟预测）复数2-3i与-l+i分别表示向量次与赤，记表示向量血的复数为z,则

ZZ=.

【答案】25

【分析】根据题意，由向量的减法可得z=^=砺-厉，再由复数的乘法运算，代入计算，即可求解.

【解析】由题意可知，z=ZB=05-04=（-l+i）-（2-3i）=-3+4i,

贝匹=一3-4i，所以厉=（-3+4i）（-3-4i）=9+16=25.

故答案为：25

20.（2024•全国,模拟预测）如图，复数z对应的向量为反，且|z-i|=5,则向量应在向量而上的投影向

量的坐标为（）

【分析】首先根据复数的几何意义设出复数Z=-加+7疝（加>0）,再根据复数模的公式，即可求解加，再代

入向量的投影公式，即可求解.

【解析】由题图可知，z=-m+im（m>0）,则|z-i|=|-m+（m-l）i|+（m-l）2=5,

解得机=4（小=-3舍去），

应击OP

所以应=（-4,4）,历=（2,4）,则向量应在向量而上的投影向量为

w阿

（一4,4卜（2,4））（2,4）=8＞仅,4）/4力

所以其坐标为A/22+42A/22+42V20V20U,iJ

故选：D

21.（22-23高三下,重庆•阶段练习）向量反对应的复数为一当+由4,把无绕点。按逆时针方向旋转

165°,得到西，则鬲对应的复数为（用代数形式表示）.

【答案】J__"i

22

【分析】依题意可得z,，设角口（0°<。<360。）的终边过点2,即可求出夕，再求出

sin（a+165°）,cos（a+165°）,即可求出旋转后对应的Z1，即可求出国对应的复数.

【解析】因为向量应对应的复数为-乎+*4,则在复平面内复数-冷+乎i对应的点为Z

2222

设角a（0°<a<360。）的终边过点Z,则sina=X^,cosa=,

、ZZ）22

所以a=135。,

由a+165。=300。，所以sin(a+165。)=sin300°=-sin60°=-

2

cos(0+165。)=cos300°=cos60°=—,

将把反绕点。按逆时针方向旋转165。得到鬲，则Z]

所以两对应的复数为g-gi.

故答案为：--^i

22

♦题型06复数的最值、取值范围问题

1—2-73+2]

22.（23-24高三下•全国・强基计划）复数列耳+1

1+（1—2耳，且加z】Vl，则"T|的最大值是

18

[安1-----------------------

口水’71653-90073+1073-18

【分析】对递推式进行处理，求出Z7的表达式，然后使用几何意义及圆的方程求解最大值.

1-273+z„_t[_1-26+z“_1-1-(1-2百)z“_]

【解析】由已知有Z”i

1+(1-20)*一1+(1-26)Z.T1+(1-2@Z,T

1-20+*+1=1-2百+*+1+(1一2碎“­=(2一29(*+1)

1+(1一2百)z--1+(1-2码*-1+(1-273)^

2-2g*+1=g]z“_]+1,z+1V3?Zj+1

故7

2月z,i-l一13伶"

z“+iTJR

/I-、3.

设马=Q+bi(a,b£R/Wl),则z7+1=_1--."十步+1

Zq—1、3,a+bi-1

a+bi+1

-----;-----]

Q+bi—I

解得Z7n

a+bi+11

---------+l

a+bi-\

a+bi+1a2+b2-l-2bi2(Q-1)2b

由于对c>0,有----:——+。+Cl+c+2i

a+bi-1(tz-l)2+b2(Q-l)2+b2

、2\2

2(tz-l)2b4_22b2b

而由+<2-可知，复数在复平面上位

(a-1『+匕g—1)2+〃-b(Q—(6Z-l)2+&2

于区域，+/42〉内，即圆/+(y-l)2=1内部或其边界上.

a+bi+12(a-1)2b.

从而------:-----Hel+c+--------5------1

a+bi-1(a-l)2+b2(a-

3、

2(a-1)2b'(J7Y

位于圆上，且在圆心与的连线

而当b=l,且复数22i=0-1-1---,0

(«-l)+^I1>)

上时，等号成立.

18

所以"一”的最大值是J1653-9。。6+1。6-E

18

故答案为：Ji653-900g+10百一18.

23.(23-24高一下•重庆璧山•阶段练习)已知复数2=。+历(a,beR),且匕=2,则2+2-幺-的最小值

是.

【答案】1

【分析】由目=2,得.2+62=4,-2<a<2,则z+±=”+6i+("叫2a,所以

za+bi

(a+3)8

z+l,£z|=2fl_-,变形后利用基本不等式可求得结果.

za+3Q+3

【解析】因为复数z=a+6i(a,beR),且目=2,

所以/+/=4,所以144,^-2<a<2,

由I、I4a+b.(a+bi)(a-bi).

所以2+—=a+bi+------=a+bri+--------———-=2a，

za+bira+bi

।4a—5("+3)—8

所以z+--------7=2”1———

za+3a+3

c8I

=2clH---------1

Q+3

o

=2(a+3)+--------7,

Q+3

Q

因为一2<a(2,所以a+3>0,------>0,

Q+3

QIQ

所以2(a+3)+--------7>2J2(6Z+3)----------7=8-7=l,

a+3Va+3

Q

当且仅当2(Q+3)=-即Q=-l或Q=-5(舍去)时取等号，

a+3

所以Z+24-QX—5的最小值是1.

故答案为：1

【点睛】关键点点睛：此题考查复数的运算，考查基本不等式的应用，解题的关键是化简

z+3=q+6i+如土丝也=2a,考查数学转化思想，属于较难题.

24.(23-24高三下•安徽合肥•阶段练习)已知复数z满足|z-2-司=1,贝U|z+l+i|的最小值为

【答案】4

【分析】由复数的几何意义，数形结合得出|z+l+i|的最小值并求出即可.

如图：|z-2-3i|=|z-（2+3）i|=l,

则z的几何意义是复平面内的动点(招力到定点4(2,3)的距离等于1,

对应的轨迹为以A为圆心，半径为1的圆.

|z+l+i|=|z-(-l-i)|的几何意义为动点(3)到定点2(T，T)的距离,

由图形可知：当点位于C时，|z+l+i|取的最小值,

由|/凶二^(-1-2)2+(-1-3)2=5,

所以|z+l+i|的最小值为：\AB\-\=A,

故答案为：4

2

25.(2024•湖南永州三模)已知复数句=苏一(仅2-5机+6)i,z2=10-(m-3m)i,若z-z?G为z的共辗

复数)，则实数机的取值范围为.

【答案】｛3｝

【分析】由题意可知都是实数，且4<2,再结合共辗复数的定义列出不等式组，解出加的取值范围

即可.

22

【解析】***z?=10-(mz2=10+(m-3m)i,

Z2都是实数,且马<南

2

m—5m+6=0

<m2-3m=0，解得加=3,

m2<10

即实数加的取值范围为｛3｝.

故答案为：｛"

26.(23-24高三上・江苏•开学考试)己知复数z满足目=1,且翌=：+ai,则同=()

z+13

A1R2V2「34

3355

【答案】B

【分析】由题设々z=cose+isin。，利用复数除法化简碧，再由复数相等求同.

【解析】^z=cos+isin-1,贝！|N=cos6—isin。。一1,

m2z+1cose+l+isin。(cos^+l+isin0)22cos2<9+2cos+2sin6^(cos0+l)i

pn*—---------------------------------------------------------------------------------------------------=cos8+isin6=1+ai,

z+1cosS+l-isin。(cooss0^+1)2+sin202+2cos63

cos"4.故小心^=述

则

sin6=Q3

故选：B

♦题型07复数的三角表示

27.（20-21高三上,北京・强基计划）设45。<a<90。，把复数4=2sina+icosa在复平面上对应的向量按照

顺时针方向旋转135。后得到复数为z?=r（sin£+icos〃），那么tan^=（）

2tana+12tana-1

A.-------------

2tana-12tana+1

1]

C.-------------

2tana+12tancr-1

【答案】B

【分析】利用复数乘法的几何意义可求tan反

【解析】根据乘法的几何意义可得:

3兀371

r(sinP+icos/?)=(2sina+icosa)cos+isin

整理得到：r(sin°+icos夕)=(2sina+icosa)

=—岳ina+交cosa+i

-V2sin6Z--COS6Z

22

7

-y[2sina+^-cosa

故tan/?=-----------------j=-------2tana-1

2tana+1

-y/2sina------cosa

2

故选：B.

28.（2021・全国•三模）瑞士数学家欧拉被认为是历史上最伟大的数学家之一，他发现了欧拉公式

e-=cosx+/siiu（xeR）,它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系.特别是

当苫=万时，得到一个令人着迷的优美恒等式/+1=0,这个恒等式将数学中五个重要的数（自然对数的底

e,圆周率乃，虚数单位i,自然数的单位1和数字0）联系到了一起，若才表示的复数对应的点在第二象

限，则。可以为（）

71c2»c3冗r11%

AA.lB.-—C.■-D.------

3326

【答案】B

【分析】将选项中所给的角逐一带入，由欧拉公式把复数/化为三角形式，再化为代数形式，即可判断复

数在复平面内对应的点在第几象限，从而得到结果.

【解析1得eia=cosa+zsincr，

当a=g时，Ji=cos-+/sin-=-+^z,复数对应的点己,迫）在第一象限；

3332222

当好不时，片=3"+湎!1红=」+且，，复数对应的点（二,也）在第二象限;

3332222

当a《时,得”与+斓喏j复数对应的点（。,-1）在y轴上;

当。=中时，e竽…f+，sm7WT，复数对应的点（日

；）在第四象限;

故选：B.

【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关数学文化类问题，正确解题的关键是理解欧拉公式，并能将复数

三角形式熟练化为代数形式，确定出复数在复平面内对应的点.

一、单选题

1.（2023・陕西榆林•二模）i2020=（）

A.iB.-iC.1D.-1

【答案】C

【分析】利用复数的乘方运算计算即得.

【解析】i202°=（i4）505=l.

故选：c

2.（2024•广西柳州•模拟预测）设复数句，马在复平面内的对应点关于虚轴对称，4=2-1,贝1"逐2=

（）.

A.-5B.5C.-8D.8

【答案】A

【分析】由复数的几何意义知z?=-2-i,再由复数的四则运算，即可求解.

【解析】因为复数4，Z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且4=27,

所以马二义-"所以斗？=（2-i）（-2-i）=-5.

故选：A.

3.（2024・四川内江•模拟预测）若复数z满足Z2-2Z+4=0,则|z4（）

A.V3B.2C.V5D.V2

【答案】B

【分析】根据复数的四则运算以及复数模的计算公式即可求解.

【解析】因为z?—2z+4=(z—1『+3=0,

所以(z-Ip=-3=3i2,

解得z=1±乖4,

所以|z|=J1+3=2.

故选：B.

4.(2024•重庆九龙坡•三模)设是关于%的方程%2+0工+q=0的两根其中夕,夕£火，若马=-1+6(i

为虚数单位).则,+()

4z?

22

A.——B.-C.-2D.2

33

【答案】A

【分析】根据实系数一元二次方程在复数范围内根的关系求出另一个根，再代入求解即可.

【解析】因为关于x的方程无2+px+q=0(p,qeR)的一个根为4=-1+6,

所以另一个根z2=T-亚i,

J_1_11-1-拘-1+"_2

所以录+[--1+V2i+-1-V2i-(-l+72i)(-l-V2i)一一§.

故选：A.

5.(2024,浙江杭州•模拟预测)已知方程/+土+1=0(其中i为虚数单位)的两根分别为Z-z2,则有

()

A.z；=z：＞0B.+z2=ZjZ2C.|l+zj=|l+z2|D.=i

Z]+z2

【答案】D

【分析】设方程/+比+1=0的根为z=a+6i,将其代入方程中的x中，根据复数相等的条件，构造方程组,

解出。,6.则两根4,z?知道了，再逐项代入验证即可.

【解析】设方程，+4+1=0的根为z=“+6i(a,beR),

代入方程，(a+bi)?+i(a+6i)+1=0,整理得(a2-b2-b+l)+(a+2ab)x=0,

a=0

a2-b2-b+l=0

则、-1±V5>

a+2ab=0b=---------

I2

不妨令4=±且小

对于A：因为z；=A口,z；=-七衿

即Z；WZ；,故A错误;

对于B：Z]+z2=-iwzv=1,故B错误.

因此，|1+4国l+z?|,故C错误.

Z\Z、1.

对于D：=1=1,故口正确.

Z]+z2—1

故选:D.

6.（2024・山东烟台三模）若复数z满足月=|z-2-2i|,则目的最小值为（）

A.1B.V2C.V3D.2

【答案】B

【分析】由复数的几何意义即可求解.

【解析】若复数z满足|z|=|z-2-2i|,则由复数的几何意义可知复数z对应的点集是线段04的垂直平分线,

其中0(0,0),/(2,2),

所以目的最小值为:|。/|=:"万=也.

故选：B.

7.（2023•山西•模拟预测）设非零复数4和Z2在复平面内对应的向量分别为丽和丽，其中。为原点，若

卬=五为纯虚数，贝I（）

Z2

A.OP//OQB.|o?|=|oe|

C.（历+阕“历-物D.^OP+OQ\=^OP-C）Q\

【答案】D

【分析】设4=a+bi,z2=c+di,w=ld,根据题意结合复数的乘除法运算求出。，4Gd,左的关系，再根据

复数的向量表示逐一判断即可.

【解析】设4=。+万，z2=c+di.,w=Ai,

其中Q,b,c,d,kwR,且a,b不同时为0,c,d不同时为0,kwO,

由题意a+bi=ki^c+di)=-kd+cki,

所以。尸OQ=(a,b)-(c,d)=ac+bd=-kdc+kcd=0,

所以历，而，故A错误；

同=〃2+62悯2+屋,无法比较同，园的大小，故B错误；

(OP+OQ^^OP-OQ^OP2-OQ2,

由B选项得，无法判断(而+而),(赤-丽)的关系，故C错误；

回+可_阿_弧=4赤.丽=0,

所以府+闻=|历-丽故D正确.

故选：D.

8.(2024・云南曲靖•模拟预测)若复数z=x+负(x,yeR)且|z-5+i|=&,则满足|2x-y-l|=M的复数z

的个数为()

A.0B.2C.1D.4

【答案】A

【分析】由|z-5+i卜后可得复数z对应的点在圆心为半径为行的圆上，

又|2x-y-1|=丽的几何意义为复数z在复平面内的点到直线2x-y-1=0的距离为后，则由圆心(5,-1)到

直线2x-y-1=0的距离为2后，即可得到复数z的个数.

【解析】因为z=x+ji,所以z-5+i=(x-5)+(y+l)i,

X|z-5+i|=V2,所以(x-5『+(y+l)2=2,

即复数z对应的点在圆心为(5,-1),半径为行的圆上，

又|2x-y-l|=W可以变形为伍一”=力,

即其几何意义为复数z在复平面内的点到直线2X-y-1=0的距离为亚,

|2x5-（-l）-l|「

又圆心（5,-1）到直线2x-y-l=0的距离为1加2（if"IS,

而26-血>血,所以满足条件的z不存在.

故选：A.

二、多选题

9.（2024•江苏南通•模拟预测）已知4，4都是复数，下列正确的是（）

A.若Z]=Z2，贝！JZRWRB.若平2eR,则Z]=Z2

C.若㈤=团,则z；=z；D.若z；+z；=0,则㈤=团

【答案】AD

【分析】根据共软复数的定义及复数的乘法运算即可判断A；举出反例即可判断BC；根据复数的乘法运算

及复数的模的计算公式即可判断D.

【解析】设Z]-a+bi,z2—c+d\,{^a,b,c,deR）,

对于A,若Z]=Z2，则句=。一小，故ZE=<?+/eR,故A正确；

对于B,当Z[=Z2=i时，ZjZ2=-leR,z2=-\^zx,故B错误；

对于C,当Z]=1/2=i时，z；=l,z；=-l,故C错误；

对于D,若—,则所以忖|=Y卜团,

222222222

6\=\a-b+2例=yl（a-b）+4ab=/a+bf=/+〃=%『，

同理团=%『,所以㈤2=艮「，所以㈤="|,故D正确.

故选：AD.

10.（2024•河北沧州•模拟预测）复数z=a-3i（aN0）,则下列说法正确的有（）

A.z在复平面内对应的点都位于第四象限

B.z在复平面内对应的点在直线了=-3上

C.z-z=-6i

D.|z+i帕勺最小值为4

【答案】BC

【分析】由复数的几何意义，即可判断A和B；根据共轨复数的概念及复数的加减运算法则判断C；由复数

的模即可判断D.

【解析】对于AB,因为z="3i,所以z在复平面内对应的点为(a,-3)(aN0),故A错误，B正确；

对于C,7=a+3i,z-3=(a-3i)-(a+3i)=-6i,故C正确；

对于D,|z+i|=|a-2i|=J/+422,当a=0时，|z+i|取最小值为2,故D错误；

故选：BC.

11.(2025•江苏苏州•模拟预测)1843年，Hamilton在爱尔兰发现四元数.当时他正研究扩展复数到更高的

维次(复数可视为平面上的点).他不能做到三维空间的例子，但四维则造出四元数.根据哈密顿记述，他

于10月16日跟妻子在都柏林的皇家运河上散步时突然想到的方程解.之后哈密顿立刻将此方程刻在

222

BroughantBridge.对四元数瓦=a+bi+cj+dk,a,b,c9dGR的单位i,,其运算满足：i=j=k=-1,

ij=k,jk=i,ki=j,ji=-k,kj=-i,ik=-j；igiZ=a-bi-cj-dk,N^=uu=a1+b2+C1+d2,

\u\^^a2+b2+c2+d2,定义，记所有四元数构成的集合为「，则以下说法中正确的有()

A.集合｛l,i,j,k｝的元素按乘法得到一个八元集合

B.若非零元",veP,则有：

C.若",则有