概率与分布列大题归类-高考数学一轮复习热点题型专项训练（解析版）

专题11-2概率与分布列大题归类

目录

【题型一】两人比赛型............................................................................1

【题型二】三人比赛型............................................................................3

【题型三】图表型................................................................................4

【题型四】摸球型................................................................................7

【题型五】放球型................................................................................8

【题型六】药物分组型............................................................................9

【题型七】设备购销型...........................................................................11

【题型八】“数列”型...........................................................................13

【题型九】传球与游走型.........................................................................16

【题型十】“导数应用”型.......................................................................19

真题再现.......................................................................................22

模拟检测.......................................................................................26

热点题型归纳

【题型一】两人比赛型

【典例分析】

11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获

胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分

的概率为04各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结

束.

(1)求尸(X=2)；

(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.

【答案】(1)0.5；(2)0.1

【分析】⑴本题首先可以通过题意推导出P(X=2)所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”，然后计

算出每种事件的概率并求和即可得出结果；

(2)本题首先可以通过题意推导出尸(X=4)所包含的事件为“前两球甲乙各得1分，后两球均为甲得分”，

然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果.

【详解】(1)由题意可知，P(X=2)所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”

所以尸(X=2)=0.5?0.40.5?0.60.5

⑵由题意可知，尸”=4)包含的事件为“前两球甲乙各得1分，后两球均为甲得分”

所以尸(X=4)=0.5仓就60.5仓。.4+0.50.4仓蚁50.4=0.1

【点睛】本题考查古典概型的相关性质，能否通过题意得出P(X=2)以及P(X=4)所包含的事件是解

决本题的关键，考查推理能力，考查学生从题目中获取所需信息的能力，是中档题.

【提分秘籍】

基本规律

两人比赛型多涉及到独立事件互斥事件的识别与概率运算、离散型随机变量的分布列和期望，要注意

对不同事件的合理表述，便于书写过程.X服从于二项分布，可用概率公式进行运算，也可以采用罗

列方式进行，是对运算能力的常规考查.

【变式演练】

甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概

率是士外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是二.假设各局比赛结果相互独立.

（I）分别求甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率；

（II）若比赛结果为求3:0或3:1,则胜利方得3分，对方得。分；若比赛结果为3:2,则胜利方得2分、

对方得1分.求乙队得分X的分布列及数学期望.

QQ47

【答案】（I）上（II）-

2727279

【详解】解法一（I）设甲胜局次分别为A氏C2耳负局次分别为反反。,力.

P（3:0）=F（ABC）=-x-x-=—;

‘''733327

P（3:l）=P（ABCD]+P[ABCD]+P[ABCD]

1222212222128

二—X—X—X——I——X—X—X——I——X—X—X—=——；

33333333333327

P（3:2）=P（ABCZ）E）x3+P（ABCr>E）x2+P（ABCDE）

1122121121221114

=-x—x—x—x—x3+—x—x—x—x—x2+—x—x—x—x—=——.

33332333323333227

（II）根据题意乙队得分分别为0」,2,3.

P（X=0）=P（0:3）+JP（1:3）=A+A=11;

P（X=1）=P（2:3）=^;

4

P（X=2）=P（3:2）=-;

171

P（X=3）=P（3:0）+P（3:l）=-+-=-

所以乙队得分X的分布列为

X0123

P1644J_

27

27279

164417

EX=0x——+lx——+2x——+3x—=—.

27272799

解法二（I）记“甲队以3：0胜利”为事件4,“甲队以3：1胜利”为事件为,“甲队以3：2胜利”为事件

4，由题意，各局比赛结果相互独立，

故尸⑷=（家吟,

92292228

P（4）=C3（-）（I--）X-=—,

QQJ

所以，甲队以3：0,3:l,3:2胜利的概率分别是白，白，三；

272727

(II)设“乙队以3:2胜利”为事件由题意，各局比赛结果相互独立，所以

0714

由题意，随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3,,根据事件的互斥性得

P(x=0)=P(A+A)=p(4)+p(4)=*

4

尸(X=1)=尸(4)=方，

4

P(X=2)=P(A4)=—,

3

P(X=3)=1-P(X=0)—P(X=1)—P(X=2)=—

27

故X的分布列为

X0123

P16443

27272727

164437

—+lx—+2x—+3x—

272727279

【题型二】三人比赛型

【典例分析】

2021年7月24日，在奥运会女子个人重剑决赛中，中国选手孙一文在最后关头一剑封喉，斩获金牌，

掀起了新一轮“击剑热潮”.甲、乙、丙三位重剑爱好者决定进行一场比赛，每局两人对战，没有平局，

已知每局比赛甲赢乙的概率为j，甲赢丙的概率为:，丙赢乙的概率为2.因为甲是最弱的，所以让他

决定第一局的两个比赛者(甲可以选定自己比赛，也可以选定另外两个人比赛)，每局获胜者与此局未

比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中某人首先获胜两局就成为整个比赛的冠军，比赛结束.

(1)若甲指定第一局由乙丙对战，求“只进行三局甲就成为冠军”的概率；

(2)请帮助甲进行第一局的决策(甲乙、甲丙或乙丙比赛)，使得甲最终获得冠军的概率最大.

【答案】⑴[⑵甲第一局选择和丙比赛

【分析】(1)分①乙丙比乙胜，甲乙比甲胜，甲丙比甲胜和②乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜两

种情况求解即可

(2)根据题意，分析首局三种情况所有甲能首先胜两局的情况，再比较概率的大小判断即可

(1)

若甲指定第一局由乙丙对战，“只进行三局甲就成为冠军”共有两种情况：

2111

①乙丙比乙胜，甲乙比甲胜，甲丙比甲胜，其概率为耳XgX1=而；

②乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜，其概率为《义!'!=4.

所以“只进行三局甲就成为冠军”的概率为，，=，.

(2)

若第一局甲乙比，甲获得冠军的情况有三种：甲乙比甲胜，甲丙比甲胜；甲乙比甲胜，甲丙比丙胜，乙

丙比乙胜，甲乙比甲胜；甲乙比乙胜，乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜，

所以甲能获得冠军的概率为911；+91:3*2竟1=+43191?1：==1

545435534512

若第一局为甲丙比，则同上可得甲获得冠军的概率为:

若第一局为乙丙比，那么甲获得冠军只能是连赢两局，则甲获得冠军的概率即第（1）问的结果金.

1111

--->-->--

因为12。1220,所以甲第一局选择和丙比赛，最终获得冠军的概率最大.

【变式演练】

2021年7月24日，在奥运会女子个人重剑决赛中，中国选手孙一文在最后关头一剑封喉，斩获金牌，

掀起了新一轮“击剑热潮”.甲、乙、丙三位重剑爱好者决定进行一场比赛，每局两人对战，没有平局，已

知每局比赛甲赢乙的概率为g,甲赢丙的概率为:，丙赢乙的概率为，因为甲是最弱的，所以让他决定

第一局的两个比赛者（甲可以选定自己比赛，也可以选定另外两个人比赛），每局获胜者与此局未比赛

的人进行下一局的比赛，在比赛中某人首先获胜两局就成为整个比赛的冠军，比赛结束.

（1）若甲指定第一局由乙丙对战，求“只进行三局甲就成为冠军”的概率；

（2）为使甲最终获得冠军的概率最大，请帮助甲进行第一局的决策（甲乙、甲丙或乙丙比赛），并说明理

由.

【答案】⑴鼻⑵第一局甲丙比赛甲获得冠军的概率最大.

【分析】（1）分①乙丙比乙胜，甲乙比甲胜，甲丙比甲胜和②乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜两

种情况求解即可；

（2）根据题意，分析首局三种情况所有甲能首先胜两局的情况，再比较概率的大小判断即可.

（1）

若甲指定第一局由乙丙对战，“只进行三局甲就成为冠军”共有两种情况：

2111

①乙丙比乙胜，甲乙比甲胜，甲丙比甲胜，=—:

②乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜，其概率为

3456。

所以“只进行三局甲就成为冠军”的概率为々+3=上.

306020

⑵

若第一局甲乙比，甲获得冠军的情况有三种：甲乙比甲胜，甲丙比甲胜；甲乙比甲胜，甲丙比丙胜，乙

丙比乙胜，甲乙比甲胜；甲乙比乙胜，乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜，

所以甲能获得冠军的概率为9；+：><9裂！+$33:=;

111411321111

若第一局为甲丙比，则同上可得甲获得冠军的概率为三+1X三X3Xi+zX^X与X'=诋.

tTJJJtTJJtT_L41/

若第一局为乙丙比，那么甲获得冠军只能是连赢两局，则甲获得冠军的概率即第（1）问的结果上.

所以甲第一局选择和丙比赛，最终甲获得冠军的概率最大.

【题型三】图表型

【典例分析】

本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租时

间不超过两小时免费，超过两个小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、

乙两人独立来该租车点车租骑游（各租一车一次）.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为一；两

42

小时以上且不超过三小时还车的概率分别为工,工；两人租车时间都不会超过四小时.（1）求甲、乙两人

24

所付租车费用相同的概率；

（2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量求J的分布列.

402468

1531

P

【答案】（1）—（2）S161616

16：

试题解析：（1）由题意得，甲，乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为!」.

44

记甲、乙两人所付得租车费用相同为事件A,则。（4）=」义工+工＞＜工+1＞＜工=9.

42244416

所以，甲、乙两人所付得租车费用相同的概率为』.

16

(2)设甲、乙两个所付的费用之和为J,J可能取得值为0,2,4,6,8

“小12c、11115”八1111115

P(4=0)=一,尸(4=2)=------1-------=—,尸(4=4)=------1--------1------=—,

8442216744242416

=6)--------1-----------,尸=8)=-----------,

4424164416

分布列

202458

15531

P一____

816161616

【提分秘籍】

基本规律

图表型有两类：

1.“时间轴”型。如【典例分析】

2、“区域链”型，如【变式演练】

【变式演练】

乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分，如图,

甲上有两个不相交的区域A,3,乙被划分为两个不相交的区域C,D.某次测试要求队员接到落点在甲上

的来球后向乙回球,规定：回球一次，落点在。上记3分，在。上记1分，其它情况记。分.对落点在A

上的来球，队员小明回球的落点在C上的概率为在。上的概率为工；对落点在8上的来球，小明

23

回球的落点在。上的概率为一1，在。上的概率为3三.假设共有两次来球且落在A3上各一次，小明的两

55

次回球互不影响.求：

（I）小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；

（II）两次回球结束后，小明得分之和J的分布列与数学期望.

【答案】（I）小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为士3.（II）数学期望后自=9二1

1030

试题解析：（I）记A为事件“小明对落点在A上的来球的得分为，分”（Z=0,1,3）

则P（A）=4,P（A）4P（4）=1；口，

2323。

记用为事件“小明对落点在B上的来球的得分为，分”（，=0,1,3）贝I

13131

改）=丁"）=/（稣）=1-/鼻，

记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”,由题意，D=4稣+4稣+4g+4&，

由事件的独立性和互斥性，+&耳+四）

P（D）=P（A3B0+4

=P（A3B0）+尸（4稣）+尸（A4）+尸（44）

Zjjjbjbj1U

3

所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为一.

10

（II）由题意，随机变量&可能的取值为0,123,4,6,由事件的独立性和互斥性，得

P『）=…）=炭吗

p（^=i）=p（4B0+4JB1）=P（A50）+P（A）51）=|x|+|xj=l

35656

131

P（^=2）=P（AB1）=-x-=-,

）（W=）（）

=3=PAB0++P4B3=1X1+1X1=^,

2JJo13

P（^=4）=P（?I3B1+AB3）=P（A51）+P（A53）=|X|+|X1=H,

乙JJJ

。6=6）=2（4四）=；><"'

可得随机变量4的分布列为:

012346

12111

j_j_

P30153010

65

【题型四】摸球型

【典例分析】

试卷从一批有10个合格品与3个次品的产品中，一件一件地抽取产品，设各个产品被抽取到的可能性

相同。在下列三种情况下，分别求出直到取出合格品为止时所需抽取次数x的分布列。

(1)每次取出的产品都不放回此批产品中；

(2)每次取出的产品都立即放回此批产品中，然后再取出一件产品；

(3)每次取出一件产品后总以一件合格品放回此批产品中。

【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析(3)答案见解析.

只取一次就取到合格品，，P(&=1)=3；当

试题解析：(1)g的取值为1,2,3,4o当时,

13

&=2时，即第一次取到次品，而第二次取取到合格品,，P(&=2)=—X—=—；类似地有

131226

32105321101

P(g=3)=——x—x—=---，P(&=4)=——x—x——x—=----,，C的分布列为(略)

13121114313121110286

(2)C的取值为1,2,3,…，n,…。当&=1时，只取一次就取到合格品，；.P(€=1)=—；

13

310

当&=2时，即第一次取到次品，而第二次取取到合格品，，P(g=2)=—X—；

1313

3310

当g=3时，即第一、二次均取到次品，而第三次取取到合格品，.•♦(&=2)=—X—X—；

131313

类似地当&=n时，即前n-1次均取到次品，而第n次取到合格品，

310

.,.P(』)=(一)-X—,n=l,2,3,-€的分布列为(略)

1313

(3)&的取值为1,2,3,4o当&=1时，只取一次就取到合格品，；.P(C=l)=—；当&=2时，

13

即第一次取到次品，而第二次取取到合格品，注意第二次取时，这批产品有11个合格品，2个次品，.・.P

,31133

(C-2)--x—=——；

1313132

321272321136

类似地，P(2=3)—__x___x__—___P(C=4)=—X—X—X—=-------,C的分布列为(略)

13131313313131313133

【变式演练】

一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为1,2,3,4,5,4个白球编号分别为

1,2,3,4,从袋中任意取出3个球.(I)求取出的3个球编号都不相同的概率；

(II)记X为取出的3个球中编号的最小值，求X的分布列与数学期望.

【答案】(I)(II)期望为竺.

342

试题解析：(I)设“取出的3个球编号都不相同”为事件A,“取出的3个球中恰有两个球编号相同”

921O

这事件8,则P(3)=^/=—=—,.•.尸(A)=l—P(3)=—.

CQ8433

(II)X的取值为"3,4"=生「裳…户C；C；+C；C；2

C；3

打乂:用这产"=4)=**所以X的分布列为:

X1234

492591

P

84848484

49259113065

X的数学期望石(X)=lx空+2x3+3x二+4X2=分=&

848484848442

【题型五】放球型

【典例分析】

某市公租房的房源位于A,B,C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一

个片区的房源是等可能的求该市的任4位申请人中：

(I)恰有2人申请A片区房源的概率；

(II)申请的房源所在片区的个数J的分布列与期望

114465

【答案】(I)盘于8B；(II)E4=lx—+2x—+3x-=—.

kF2727927

解：(I)解法一：所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A片区房源的申请方式种，从

C2-22_8

而恰有2人申请A片区房源的概率为

3427

解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验.

记“申请A片区房源”为事件A,则P(A)=(.从而，由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率

计算公式知，恰有2人申请A片区房源的概率为巴(2)=

II)的所有可能值为23.又

尸

6=1)一17’

PC=2)=鼻3=HM=2)=型2=另

P抬=3)=|(或尸E=3)=[4=1).综上知,&有分布列

123

P1144

27279

【变式演练】

为喜迎马年新春佳节，怀化某商场在正月初六进行抽奖促销活动，当日在该店消费满500元的顾客可参

加抽奖.抽奖箱中有大小完全相同的4个小球,分别标有字"马""上""有""钱".顾客从中任意取出1个球，

记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出"钱"字球，

则停止取球.获奖规则如下：依次取到标有"马""上""有""钱"字的球为一等奖；不分顺序取到标有

"马""上""有""钱"字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有"马""上""有"三个字的球为三等奖.(I)求

分别获得一、二、三等奖的概率；

(II)设摸球次数为求J的分布列和数学期望

解：(I)设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件A,B,C.

则P(A)=』XLX』X』=L(列式正确，计算错误，扣1分)…2分

4444256

p(8)=生」=工(列式正确，计算错误，扣1分)…4分

44256

三等奖的情况有：“马，马，上，有”；“马，上，上，有”；“马，上，有，有”三种情况.

—/I111,2、/111,2、/11142、9八

P(C)=(-X-X--X-XA；)+(-X--X-X-XA)+(-X--X-X-XA)=—……6分

4444444444444464

(II)设摸球的次数为则酣勺可能取值为1、2、3、4.

尸(&=4)=1—PC=1)—PC=2)-PC=3)=—…10分故取球次数J的分布列为

64

1234

£3927

P

4166464

~1,3c9c27,175

鳄=—xl+—x2+—x3+—x4=.......…“12分

416646464

【题型六】药物分组型

【典例分析】

春季气温逐渐攀升，病菌滋生传播快，为了确保安全开学，学校按30名学生一批，组织学生进行某种

传染病毒的筛查，学生先到医务室进行血检，检呈阳性者需到防疫部门］做进一步检测.学校综合考虑

了组织管理、医学检验能力等多万面的因素，根据经验，采用分组检测法可有效减少工作量，具体操作

如下：将待检学生随机等分成若干组，先将每组的血样混在一起化验，若结果呈阴性，则可断定本组血

样合格，不必再做进一步的检测；若结果呈阳性，则本组中的每名学生再逐个进行检测.现有两个分组

方案：方案一：将30人分成5组，每组6人；方案二：将30人分成6组，每组5人.已知随机抽一人

血检呈阳性的概率为0.5%,且每个人血检是否呈阳性相互独立.

(I)请帮学校计算一下哪一个分组方案的工作量较少？

(II)已知该传染疾病的患病率为0.45%,且患该传染疾病者血检呈阳性的概率为99.9%,若检测

中有一人血检呈阳性，求其确实患该传染疾病的概率.(参考数据：(0.9955=0.975,0.9956=0.970)

【答案】(I)方案一工作量更少.(II)0.8991

解：（1）设方案一中每组的化验次数为X,则X的取值为1,7,

P（X=1）=0.9956=0.970,P（X=7）=1-0.9956=0.030AX的分布列为:

X17

p0.9700.030

E（X）=1x0.970+7x0.030=1.18.故方案一的化验总次数的期望值为：5E（X）=5x1.18=5.9次.

设方案二中每组的化验次数为Y,则y的取值为1，6,

p（x=1）=0.9955=0.975,p（y=6）=l—0.995=0.030,的分布列为：

Y16

P0.9750.025

E(r)=1x0.975+6x0.025=1.125.方案二的化验总次数的期望为6xE(F)=6x1.125=6.75次.

〈6.75〉5.9,•••方案一工作量更少.

（2）设事件A：血检呈阳性，事件B：患疾病,

则由题意得P(A)=0.005,P(B)=0.0045,P(A|B)=0.999,

P(AB)

由条件概率公式尸（A|5）=可得尸(AB)=P(B)尸(A15)=0.0045x0.999,

该职工确实患该疾病的概率P（B\A）==。累北，999=0.8991.

【变式演练】

冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS）和严重急性呼吸综合征

CSARS）等较严重疾病.而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒（nCoV）是以前从未在人体中发现的冠

状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等，在

较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡.医院为筛查冠状病毒，需

要检验血液是否为阳性，现有〃（〃eN*）份血液样本，有以下两种检验方式：

方式一：逐份检验，则需要检验〃次.

方式二：混合检验，将其中％（左eN*且左22）份血液样本分别取样混合在一起检验.

若检验结果为阴性，这左份的血液全为阴性，因而这％份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果

为阳性，为了明确这左份血液究竟哪几份为阳性，就要对这左份再逐份检验，此时这大份血液的检验次

数总共为k+1.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每

份样本是阳性结果的概率为。（0＜。＜1）.

（1）现有4份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经2次检验就能把

阳性样本全部检验出来的概率.

（2）现取其中左（左eN*且左之2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为。，

采用混合检验方式，样本需要检验的总次为5.

（力若E《=E乙,试求P关于左的函数关系式〃=/（左）；

,1

（»）若P=l-2=,且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次

%

数期望值更少，求大的最大值.

参考数据：In2®0.6931,ln3®1.0986,In5al.6094.

【答案】（1）（2）（i）i-；(ii)8.

61p=

【详解】（1）设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来为事件A，则P（A）=&=!

所以，恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为一；

6

(2)⑴由已知得右。=左，乙的所有可能取值为1、左+1，尸(△=1)=(1—〃)”，

尸(4=左+1)=1一(1—P?，

£*(42)=1x(1-/?)"+(左+1)[1—(1一.)"=k+l-k(l-p^k,

由EJI=，得左=左+1—左（1一夕y,化简得p=/（左）=i_

1/、卜

（ii）由题意知七《＞石2，则一＜（1一2），p='一既'即

k

Y][4—Y

构造函数g(x)=lnx——(%>0),则g'(x)=------=------,

4x44%

当0<光<4时，g'(x)>0,此时函数y=g(x)单调递增；当％>4时，g'(x)<0,此时函数y=g(x)

单调递减.

g(8)=ln8-2=31n2-2>0,g⑼=ln9—；=21n3—2.25<0,所以人的最大值为8.

【题型七】设备购销型

【典例分析】

某商场以分期付款方式销售某种商品，根据以往资料统计，顾客购买该商品选择分期付款的期数X

的分布列为：

其中0＜。＜1,0＜/?＜1

（I）求购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率；

（II）商场销售一件该商品，若顾客选择分2期付款，则商场获得利润100元，若顾客选择分3期付款，

则商场获得利润150元，若顾客选择分4期付款，则商场获得利润200元.商场销售两件该商品所获的利

润记为F（单位：元）

（i）求F的分布列；

（ii）若P（F（300）20.8,求F的数学期望石（丫）的最大值.

【答案】（I）0.288（II）（i）见解析（ii）数学期望E（V）的最大值为280

【解析】

【分析】

（I）根据题意，设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为〃，由独立重复事件的特点得

出〃5（3,0.4）,利用二项分布的概率公式，即可求出结果；

（II）（i）依题意，F的取值为200,250,300,350,400,根据离散型分布求出概率和F的分布歹U；

（ii）由题意知Q4+a+Z?=l,P（K<300）=0.16+0.48+a2>0.8,解得a<0.6,根据Y的分布

列，得出F的数学期望石”），结合。目0.4,0.6）,即可算出现丫）的最大值.

【详解】

解：（I）设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为〃，则〃5（3,0.4）,

贝UP（〃=2）=含义（1—04）x0.42=0.288,

故购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率为0.288.

（II）（i）依题意，F的取值为200,250,300,350,400,

P（Y=200）=04x0.4=0.16,P（K=250）=2x0.4。=0.8a,

P（Y=300）=2x0Ab+a2=0.8b+a2,P（F=350）=2赤P（r=400）=Z?2

的分布列为：

Y200250300350400

P0.160.8〃0.8Z?+42abb2

（ii）P（Y<300）=P（Y=200）+P（Y=250）+P（Y=300）=0.16+0.8（a+〃）+〃，

由题意知0.4+a+b=l，.•.a+b=0.6,."=0.6-a,P（K<300）=0.16+0.48+a2>0.8,

.,.a>0.4,又-b>0,即0.6—。>0，解得a<0.6,ae［0.4,0.6）,

E（y）=200x0.16+250x0.8«+300x（^0.8Z?+«2）+350x2ab+400b2=320-100a,

当a=0.4时，E（Y）的最大值为280,所以F的数学期望石（丫）的最大值为280.

［变式演练］

某公司打板引进一台设备使用一年，现有甲、乙两种设备可供选择.甲设备每台10000元，乙设备每台

9000元.此外设备使用期间还需维修，对于每台设备，一年间三次及三次以内免费维修，三次以外的维

修费用均为每次1000元.该公司统计了曾使用过的甲、乙各50台设备在一年间的维修次数，得到下面的

频数分布表，以这两种设备分别在50台中的维修次数频率代替维修次数发生的概率.

维修次数23456

甲设备5103050

乙设备05151515

（I）设甲、乙两种设备每台购买和一年间维修的花费总额分别为x和y,求x和y的分布列；

（2）若以数学期望为决策依据，希望设备购买和一年间维修的花费总额尽量低，且维修次数尽量少，

则需要购买哪种设备？请说明理由.

【答案】（1）x分布列见解析，y分布列见解析；（2）甲设备，理由见解析

【详解】（1）X的可能取值为10000，11000,12000

P（X=10000）=,P（X=11000）=—=P（X=12000）=9=,因此X的分布如

50105055010

下

X100001100012000

331

P

10510

y的可能取值为9000,10000,11000,12000

51153153

p(y=9ooo)=—=—,p(y=10000)=—=—,p(y=11000)=—=—,

501050105010

p(y=12000)=—=—

5010

因此y的分布列为如下

Y9000100001100012000

1333

P

io101010

331

(2)E(X)=10000X—+11000X-+12000x—=10800

10510

1333

E(y)=9000X—+10000X—+11000X—+12000x—=10800

10101010

设甲、乙两设备一年内的维修次数分别为J,的可能取值为2,3,4,5

P(J=2)=京=4,pc=3)=1=g,尸«=4)=|^=|,pq=5)=1=4则J的分布列为

2345

1131

P

105510

1131

E(J)=2x—+3x—+4义一+5x—=3.7〃的可能取值为3,4,5,6

105510

51153153153

P(7=3)=—=—,P(7=4)=—=—,P(77=5)=—=—,=6)=上=上则〃的分布列

5010501050105010

为

n