概率与统计（9题型+高分技法+限时提升练）-2025年天津高考数学复习专练（解析版）

热点15概率与统计

明考情-知方向

三年考情分析2025考向预测

2022年，第4题，考察频率分布直方图；

概率统计专题相关的知识点错综复杂又环环相扣，在

第13题条件概率

天津高考中近三年以图表信息、古典概型、条件概率，

2023年，第7题，考察正负相关性；

回归分析，独立性检验、样本估计总体等为主要考有

第13题独立事件的概率公式

内容，主要以选填形式出现。

2024年，第3题，考察根据散点图判断是否线性相

关；第13题古典概型和条件概率

热点题型解读

题型1分层抽样

题型2用样本估计总体

题型3互斥事件，对立事件，独立事件［一概率与统计

题型4条件概率，全概率公式和贝叶斯公式

题型5一元线性回归直线方程

题型1分层抽样

（1）分层随机抽样的步骤

:①根据己经掌握的信息，将总体分成互不相交的层；

；②根据总体中的个体数N和样本量〃计算抽样比k=j

\③确定第i层应该抽取的个体数目“xN,xk（N,为第i层所包含的个体数），使得各“之和为n；

:④在各个层中，按步骤③中确定的数目在各层中随机抽取个体，合在一起得到容量为九的样本.

（2）分层抽样的均值与方差

>-m一n——

X=---xH----------%2

m+n1m+n

S~=—^-[Sf+（^-x）2]+^^[^+（^-x）2]

m+nm+n

1.（2023•天津武清・模拟预测）某校对高三年级学生的数学成绩进行统计分析.全年级同学的成绩全部介于

80分与150分之间,将他们的成绩按照[80,90）,[90,100）,[100,110）,[110,120）,[120,130）,

[130,140）,[140,150]分组后得到的频率分布直方图如图所示.现从全体学生中根据成绩采用分层抽样的

方法抽取80名同学的试卷进行分析，则从成绩在[120,130）内的学生中抽取的人数为（）

频率

【答案】D

【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、频率分布直方图的实际应用

【分析】先求出成绩在[120,130）内的频率，由此能求出成绩在[120,130）内的学生中抽取的人数.

【详解】成绩在[120,130）内的频率为：

1-（0.005+0.010+0.010+0.015+0.025+0.005）xl0=0.3.

因为从全体学生中根据成绩采用分层抽样的方法抽取80名同学的试卷进行分析，则从成绩在[120,130）内

的学生中抽取的人数为80x0.3=24.

故选:D.

2.（2023•天津南开•二模）某车间从生产的一批零件中随机抽取了1000个进行一项质量指标的检测，整理

检测结果得到此项质量指标的频率分布直方图如图所示.若用分层抽样的方法从质量指标在区间[40,70）的

零件中抽取170个进行再次检测，则质量指标在区间[50,60）内的零件应抽取（）

频率

【答案】C

【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容

量、总体容量

【分析】由分层抽样按比例计算.

【详解】设质量指标在区间[50,60）内的零件应抽取X个，则

x0.3

，解得x=60,

1700.35+0.3+0.2

故选：C.

3.（2022・天津武清・二模）将某市参加高中数学建模竞赛的学生成绩分成5组:

[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100）,并整理得到频率分布直方图（如图所示）.现按成绩运用分层抽

样的方法抽取100位同学进行学习方法的问卷调查，则成绩在区间[70,80）内应抽取的人数为（）

A.10B.20C.30D.35

【答案】D

【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容

量、总体容量

【分析】首先求出[70,80）中的频率，即可得解；

【详解】解:依题意10,80）中的频率为0.035x10=0.35,

所以［70,80）中应抽取0.35x100=35（人）；

故选：D

4.（2022•天津•一模）为遏制新型冠状病毒肺炎疫情的传播，我市某区对全体居民进行核酸检测.现面向全

区招募1000名志愿者，按年龄分成5组:第一组［20,25）,第二组［25,30）,第三组［30,35）,第四组［35,40）,

第五组［40,45］,经整理得到如下的频率分布直方图.若采用分层抽样的方法从前三组志愿者中抽出39人负

责医疗物资的运输工作，则在第二组中抽出的人数为（）

【答案】D

【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容

量、总体容量

【分析】由题可得前三组志愿者的人数之比为3:6:4,进而即得.

【详解】由直方图可知前三组志愿者的人数之比为3:6:4,

所以从前三组志愿者中抽出39人负责医疗物资的运输工作，则在第二组中抽出的人数为：-^-x39=18.

故选：D.

5.（24-25高二上•上海宝山•期末）某学校为了获得该校全体高中学生的体育锻炼情况，按男、女学生的比

例分别抽样调查了48名男生和27名女生的每周锻炼时间.通过计算得到男生每周锻炼时间的平均数为7.6

小时，方差为7；女生每周锻炼时间的平均数为6.4小时，方差为8.

⑴若该校男生总数为1280,求该校学生总数；

（2）若所选27名女生每周锻炼时间从小到大排列后的第9至第13个数据依次为5、5.3、5.6、5.8、5.9,求所选

女生样本的第40百分位数；

⑶求所有样本数据的平均数和方差（精确到0.001）.

【答案】⑴2000；

(2)5.6；

(3)平均数为7.168,方差为7.692.

【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、

方差、标准差、总体百分位数的估计

【详解】(1)设该校学生总数为"，依题意，也10RO=/4三R，解得“=2000,

n48+27

所以该校学生总数为2000.

(2)由27*40%=10.8,得所选女生样本的第40百分位数为第11个数56

_48x76-i-?7x64

(3)所有样本数据的平均数/二十二=7.168；

JQ97

12

所有样本数据的方差为S=诟市口+(7.6-7.168)2]+诏节[8+(6.4-7.168)]«7.692.

6.(2024•上海青浦•一模)第七届中国国际进口博览会于2024年11月5日至10日在上海举办，某公

司生产的A.B.C三款产品在博览会上亮相，每一种产品均有普通装和精品装两种款式，该公司每天

产量如下表：(单位:个)

产品A产品B产品C

普通装n180400

精品装300420600

现采用分层抽样的方法在某一天生产的产品中抽取100个，其中B款产品有30个.

⑴求”的值;

(2)用分层抽样的方法在C款产品中抽取一个容量为5的样本，从样本中任取2个产品，求其中至少有一

个精品装产品的概率；

⑶对抽取到的B款产品样本中某种指标进行统计，普通装产品的平均数为10,方差为2,精品装产品的

平均数为12,方差为1.8,试估计这天生产的B款产品的某种指标的总体方差(精确到0.01).

【答案】(1)100；

(2)—；

10

(3)2.70.

【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、估计总体的方差、标准差、计算古典概型问

题的概率

【分析】(1)由分层随机抽样的抽样比直接计算即可；

(2)由古典概型结合组合数公式即可求解；

(3)根据分层抽样总体的方差公式求解即可.

【详解】(1)由题意可知，该工厂一天所生产的产品数为

川+300+180+420+400+600=〃+1900.

现采用分层抽样的方法在这一天生产的产品中抽取100个，其中8款产品有30个,

(2)设所抽取的样本中有。个精品装产品，则/=黑，解得。=3，

所以容量为5的样本中，有3个精品装产品，2个普通装产品.

因此从样本中任取2个产品，至少有1个精品装产品的概率为与二=，.

(3)由题意，某项指标总体的平均数为幽空警乜=114,

600

所以由分层抽样的总体方差公式可得$2=器［2+(11.4-10月+卷［1.8+(114-12月

7.(24-25高一上•辽宁沈阳•期末)某医疗单位为了迎接医师节，针对本单位不同年龄的员工举办了一次实

践技能大比拼活动，满分100分(95分及以上为优秀医师)，共有100人荣获"优秀医师”称号，将其按年

龄分成以下五组：第一组［20,30),第二组［30,40),第三组［40,50),第四组［50,60),第五组［60,70),得至IJ

如图所示的频率分布直方图.

频率/组距

0.035

0.03

0.01

0.005

O203040506070年龄/岁

(1)根据频率分布直方图，估计这些人的平均年龄元；

⑵若从第三组，第四组，第五组三组中分层抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人年龄在

不同组的概率；

⑶若第四组的年龄的平均数与方差分别为54和1,第五组的年龄的平均数与方差分别为66和4,据此计算

这100人中第四组与第五组所有人的年龄的方差.

1————

附：S2=----+(X］-于++(无2一君"}

【答案】(1)44.5岁;

(3)34.

【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、由频率分布直方图估计平均数、计算几个数

据的极差、方差、标准差、计算古典概型问题的概率

【分析】(1)根据频率分布直方图的平均值公式计算得解.

(2)利用古典概型公式，列出所有情况和满足题意的情况即可.

(3)根据分层抽样的方差公式计算即可.

【详解】(1)这些人的平均年龄元=25x0.05+35x0.35+45x0.3+55x0.2+65x0.1=44.5(岁).

(2)第三组，第四组，第五组的频率分别为0.3,0.2,0.1,

从这三组中分层抽取6人，则第三组抽3人，记为4,出，4；第四组抽2人，记为如仇；

第五组抽1人，记为c,

样本空间O={4〃2,4m3,”占，4。2，%。'02"3'"24，。2。2，。2。,"3配6/302，43。*也,4。'。2。}，共15个样本点,

设事件A为〃从6人中随机抽取两人，所抽取的2人年龄在不同组〃,

A={a}bvaxb2,a2bx,a2b2,a2c,a3bx,a3b2,a3c,bxc,b2c},共11个样本点,

所以抽取的2人年龄在不同组的概率P(A)=仁.

(3)设第四组、第五组年龄的平均数分别为•兀，方差分别为

则％=54,x2=66,s；=1,$=4,

第四组有20人，第五组有10人，设第三组和第四组所有人的年龄平均数为高，方差为

贝1」丁_20项+10x2_20x54+10x66

、“—30-30-'

S2=26716{2°国+([一京广]+10度+(兀一京)2]}

=^{20X[1+(58-54)2]+10X[4+(66-58)2]}=34.

所以这100人中第四组与第五组所有人的年龄的方差为34.

题型2用样本估计总体

GO

1、计算一组〃个数据的第P百分位数的步骤：

第1步,按从小到大排列原始数据.

第2步,计算，="Xp0/o.

第3步，若，不是整数,而大于，的比邻整数为j,则第P百分位数为第j项数据;若i是整数,则第P百分位

数为第『项与第a+1)项数据的平均数.

2、在频率分布直方图中，众数，中位数，平均数的估计值

（1）最高的小矩形底边中点的横坐标即是众数；

II

；（2）中位数左边和右边的所有小矩形的面积和是相等的；

：（3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横

；坐标之和.

一工…石6江关谭荷茜二三慢5-窠越嵩三军装军行,薮羽沆谖曩「一笄花彳而,茗翱的竞赛成绩（满分100分，

成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则估计这组数据的第85百分位数为（）

【答案】B

【知识点】总体百分位数的估计

【分析】由频率分布直方图性质求。，根据百分位数定义，结合数据求解即可.

【详解】由10x（2a+3a+3a+6a+54+4）=l,解得：a=0.005,所以前4组频率和为14x0.005x10=0.7,

前5组频率和为19x0.005x10=0.95,

设这组数据的第85百分位数为x,贝U0.7+（彳-80）x0.025=0.85,解得：%=86,

故选：B

2.（2024•天津•二模）为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办

了"学党史、育文化”的党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如

图所示的频率分布直方图，估计这组数据的第85百分位数为（）分

频率

A.84B.85C.86D.87

【答案】C

【知识点】总体百分位数的估计、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量

【分析】根据百分位数定义，结合数据求解即可.

【详解】由10x(2a+3"+3a+6a+5a+a)=1,解得：a=0.005,

所以前4组频率之和为14x0.005x10=0.7,前5组频率之和为19x0.005x10=0.95,

设这组数据的第85百分位数为x,贝0.7+（尤-80）*0.025=0.85,解得:x=86,

故选：C

3.（2024•天津•二模）为深入贯彻落实习近平总书记对天津工作"三个着力”重要要求，天津持续深化改革，

创建全国文明城区，城市文明程度显著提升，人民群众的梦想不断实现.在创建文明城区的过程中，中央文

明办对某小区居民进行了创建文明城区相关知识网络问卷调查，从本次问卷中随机抽取了50名居民的问卷

结果，统计其得分数据，将所得50份数据的得分结果分为6组：

[40,50）,[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100],并整理得到如下的频率分布直方图，则该小区居民得分

的第70百分位数为（）

「频率/组距

0.028--------------1—

0.022----------1-----------

0.018--------------------------

a-----------

0.004—I-

--------vJ~~~~~~—►

O405060708090100分数

A.89.09B.86.52C.84.55D.81.32

【答案】C

【知识点】频率分布直方图的实际应用、总体百分位数的估计

【分析】利用百分位数的概念以及频率分布直方图求解.

【详解】由题意得（0.004+a+0.018+2x0.022+0.028）x10=1,

解得a=0.006,

因为前4组数据的频率之和为0.04+0.06+0.22+0.28=0.6，

前5组数据的频率之和为004+0.06+0.22+0.28+0.22=0.82,

则70%分位数在[80,90）内，设70%分位数为x,

贝0.6+（A:—80）xQ.022=0.7,解得XQ84.55,

所以70%分位数约为84.55.

故选：C.

4.（2024•天津•二模）某校举办了数学知识竞赛，把1000名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）

按[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]分成四组，并整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确

的为（）

频率

60708090100成绩

a的值为0.015B.估计这组数据的众数为80

C.估计这组数据的第60百分位数为87D.估计成绩低于80分的有350人

【答案】C

【知识点】补全频率分布直方图、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、总体百分位

数的估计

【分析】利用频率分布直方图的性质可判定A,利用众数、百分位数的求法可判定B、C,根据频率分布直

方图计算可估计总体判定D.

【详解】易知104+0.020x10+0.050x10+0.025x10=1,解得。=0.005,所以A错误；

由频率分布直方图可知众数落在［80,90）区间，用区间中点表示众数即85,所以B错误；

由频率分布直方图可知前两组频率之和为0005x10+0.020x10=0.25,

前三组频率之和为0.005x10+0.020x10+0.050x10=0.75,

故第60百分位数落在区间［80,90）,设第60百分位数为x,

贝I］0.25+（X-80）x0.050=0.60,解得x=87,所以C正确；

成绩低于80分的频率为0.005x10+0.020x10=0.25,所以估计总体有1000*0.25=250,故D错误.

故选：C.

5.（2024,天津河北•一模）已知甲乙两组数据分别为20,21,22,23,24,25和23,24,25,26,27,28,则下列说法

中不正确的是（）

A.甲组数据中第70百分位数为23B.甲乙两组数据的极差相同

C.乙组数据的中位数为25.5D.甲乙两组数据的方差相同

【答案】A

【知识点】计算几个数的中位数、计算几个数据的极差、方差、标准差、总体百分位数的估计

【分析】根据百分位数的定义可得甲组数据中第70百分位数为24；计算可知两组数据的极差都为5；由中

位数定义可求出乙组数据的中位数为25.5；利用方差公式计算可求得甲乙两组数据的方差均为匚.

【详解】对于A,每组数据为6个，因为6x70%=4.2,

所以甲组数据中第70百分位数为第5个数，即为24,所以A错误；

对于B,甲组数据的极差为25-20=5,乙组数据的极差为28-23=5,即B正确;

对于C,乙组数据的中位数为第三个数和第四个数的平均数，即一^=25.5,所以C正确；

2

对于D,易知甲组数据的平均数为22.5,

则甲组数据的方差为

,［（20-22.5）2+（21-22.5）2+（22-22.5『+（23-22.5）2+（24-22.5）2+（25-22.5）1=1|

乙组数据的方差为'［（23-25.5）2+（24-25.5）2+（25-25.5）2+（26-25.5『+（27-25.5）2+（28-25.5）2］=1|；

因此甲乙两组数据的方差相同，即D正确.

故选：A

6.（2023•天津和平•二模）一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的中位数为（）

100

A.13B.12C.—D.——

29

【答案】D

【知识点】由频率分布直方图估计中位数

【分析】根据频率分布直方图，结合中位数公式，即可求解.

【详解】设中位数为x,则0.02x4+0.08x4+（x—10）x0.09=0.5,

100

解得：％=丁.

故选：D

7.（2023•天津滨海新•三模）为了解学生每天的体育活动时间，某市教育部门对全市高中学生进行调查，

随机抽取1000名学生每天进行体育运动的时间，按照时长（单位：分钟）分成6组：第一组［30,40）,第二

组［40,50）,第三组［50,60）,第四组［60,70）,第五组［70,80）,第六组［80,90］.对统计数据整理得到如图所

示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是（）

帧率/组距

:m

aI-♦一・•—-—・卜・・卜，

°n：n।rmr

。~3'0；()SoA)io而3)时向/分钟

A.频率分布直方图中的。=0.015

B.估计1000名学生每天体育活动不少于一个小时的学生人数为400

C.估计1000名学生每天体育活动时间的众数是55

D.估计1000名学生每天体育活动时间的第25百分位数为45.5

【答案】D

【知识点】总体百分位数的估计、根据频率分布直方图计算众数、由频率分布直方图计算频率、频数、样

本容量、总体容量

【分析】由频率之和为1可判断A；求出学生每天体育活动不少于一个小时的概率即可估计1000名学生每

天体育活动不少于一个小时的学生人数可判断B；由众数的定义可判断C；有百分位数的定义可判断D.

【详解】由频率之和为1得：10x(0.01+0.02+0.03+2a+0.01)=l,解得。=0.015,故A正确；

学生每天体育活动不少于一个小时的概率为：(0.015+0.015+0.01)x10=0.4,

则估计1000名学生每天体育活动不少于一个小时的学生人数为0.4x1000=400，故B正确；

由频率分布直方图可估计1000名学生每天体育活动时间的众数是55,故C正确；

由10X0.01=0.1<0.25,10x0.01+10x0.02=0.3>0.25,

故第25百分位数位于［40,50)内，

则第25百分位数为40+之黑?X10=47.5.

可以估计该市高中学生每天体育活动时间的第25百分位数约为47.5,故D不正确.

故选：D.

8.(2023・天津北辰・三模)少年强则国强，少年智则国智.党和政府一直重视青少年的健康成长，出台了

一系列政策和行动计划，提高学生身体素质.为了加强对学生的营养健康监测，某校在3000名学生中，抽

查了100名学生的体重数据情况.根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的

是()

A.样本的众数为65B.样本的第80百分位数为72.5

C.样本的平均值为67.5D.该校学生中低于65kg的学生大约为1000人

【答案】B

【知识点】总体百分位数的估计、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、由频率分布

直方图估计平均数、根据频率分布直方图计算众数

【分析】根据众数，百分位数，平均数的定义判断A,B,C,再求低于65kg的学生的频率，由此估计总体

中体重低于65kg的学生的人数，判断D.

【详解】由频率分布直方图可得众数为67.5,A错误；

平均数为57.5x0.15+62.5x0.25+67.5x0.3+72.5x0.2+77.5x0.1=66.75,C错误；

因为体重位于[55,60),[60,65),[65,70),[70,75)的频率分别为0.15,0.25,0.3,0.2,

因为0.15+0.25+0.3+0.2>0.8,

所以第80百分位数位于区间[70,75)内，设第80百分位数为x,

则0.15+0.25+0.3+(尤一70)x0.04=0.8,

所以*=72.5,即样本的第80百分位数为72.5,B正确；

样本中低于65kg的学生的频率为0.15+0.25=0.4,

所以该校学生中低于65kg的学生大约为3000x0.4=1200,D错误；

故选：B.

题型3互斥事件，对立事件，独立事件

1j

I00❽百

ii

事件的相互独立性

(1)事件A与事件3相互独立：对任意的两个事件A与3,如果尸(M)=P(A)尸(5)成立，则称事件A

ii

，与事件8相互独立，简称为独立.

(2)性质：若事件A与事件8相互独立，则A与耳，1与8,入与豆也都相互独立，P(B\A)=P(B),\

II

「(A|5)=P(A).

II

二「7殍五滴二羊关萍葡茉T二不质短均匀的正四面体木块的远不荷王芬前标看数字1,2,3,4.连续抛

掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为"第一次向下的数字为

2或3",事件8为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（）

A.尸（A）=：B.事件A与事件8互斥

C.事件A与事件3相互独立D.P（AoB）=-

【答案】C

【知识点】概率的基本性质、判断所给事件是否是互斥关系、计算古典概型问题的概率、独立事件的判断

【分析】对于A,根据古典概型的概率公求解判断，对于B,根据互斥事件的定义分析判断，对于C,根据

独立事件的定义分析判断，对于D,根据和事件的概率公式求解判断.

71

【详解】对于A,因为有4个数字，向下的数字为2或3的有2种，所以P（A）=：=；,错误；

对于B,由题意，事件A和事件3有可能同时发生，如第一次向下的数字为2,第二次向下的数字为1,所

以B错误，

对于C,因为两次数字和为奇数的有:（1,2）,（1,4）,（2,1）,（2,3）,（3,2）,（3,4）,（4,1）,（4,3）,共8种,所以

第一次数字为2或3,且两次数字和为奇数的有：（2,1）,（2,3）,（3,2）,（3,4）,4种，所以尸（AB）=£=；,

因为P（A）=g,所以P（A）P（8）=P（AB）,所以事件A与事件B相互独立，所以C正确，

1113

对于D,P（AuB）=P（A）+P（B）-P（AB）=^+2~4=4,所以。错误.

故选：C

2.（2024•上海嘉定•一模）假定生男生女是等可能的，设事件A：一个家庭中既有男孩又有女孩；事件比一个

家庭中最多有一个女孩.针对下列两种情形：①家庭中有2个小孩；②家庭中有3个小孩，下面说法正确是

（）.

A.①中事件A与事件B相互独立、②中的事件A与事件B相互独立

B.①中事件A与事件B不相互独立、②中的事件A与事件B相互独立

C.①中事件A与事件3相互独立、②中的事件A与事件B不相互独立

D.①中事件A与事件8不相互独立、②中的事件A与事件B不相互独立

【答案】B

【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的判断

【分析】分别写出①②对应的样本空间，再利用相互独立事件计算判断.

【详解】若家庭中有两个小孩，样本空间为G=｛（男，男），（男，女），（女,男），（女，女）｝,共4种情况，

A=｛（男，女），（女，男）｝，8=｛（男，男），（男，女），（女，男）｝，入=｛（男，女），（女，男）｝,

21321

则P（A）=7=7，P（B）=-,P（AB）=-=-^P（A）P（B）,事件A与事件3不相互独立，AC错误；

42442

若家庭中有三个小孩,样本空间为。=｛（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男,男），

（男，女,女）,（女，男，女），（女，女，男），（女，女，女）｝，共8种情况，

A=｛（男，男,女），（男，女，男），（女，男,男），（男，女,女），（女，男，女），（女，女,男）｝,

8=｛（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男）｝，钻=｛（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男）｝，

P（A）=|=|,P（B）=I=g,P（AB）=^=P（A）P（B）,事件A与事件8相互独立'B正确'D错误.

故选：B

3.（2024•上海虹口•一模）已知事件A和事件B满足43=0,则下列说法正确的是（）.

A.事件A和事件B独立B.事件A和事件B互斥

C.事件A和事件8对立D.事件彳和事件月互斥

【答案】B

【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、独立事件的判断、确定所给事件的对立关系

【分析】根据互斥事件、相互独立事件的定义判断即可.

【详解】因为事件A和事件8满足ADB=0,则一定可以得到事件A和事件B互斥，但不一定对立，故B

正确，C错误；

因为P（Afi）=0,当P（A）,P（3）不为。时，事件A和事件B不独立，故A错误；

抛掷一枚骰子，记出现1点为事件A,出现2点为事件

则无=｛2,3,4,5,6｝,月=｛1,3,4,5,6｝,显然事件•和事件月不互斥，故D错误.

故选：B

4.（2024•广东广州•模拟预测）掷出两枚质地均匀的骰子，记事件A="第一枚点数小于3",事件3="第二

枚点数大于4",则A与B关系为（）

A.互斥B.互为对立C.相互独立D.相等

【答案】C

【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的判断、独立事件的乘法公式

【分析】利用古典概型分别求出尸（A）,尸（8）,P（AB）,由尸（"）=尸（A）P（B）可得解.

【详解】由题意，掷出两枚质地均匀的骰子共有基本事件36个，

其中事件A有。,1）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,共12个,

事件B有（1,5）,（2,5）,（3,5）,（4,5）,（5,5）,（6,5）,（L6）,（2,6）,（3,6）,（4,6）,（5,6）,（6,6）,共12个，事件AB有

（1,5）,（1,6）,（2,5）,（2,6）,共4个基本事件，

12£

所以尸(A)=正

369

所以尸（A3）=P（A）P（B）,故A,3相互独立，

答选：C

5.（23-24高一下•天津•期末）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2）,

2个黑色球（标号为3和4）,采用不放回简单随机抽样的方法从袋中依次摸出2个球.设事件A="摸到的

2个球颜色不相同"，事件3="摸到的2个球的数字之和大于5".

⑴用集合的形式写出试验的样本空间，并求尸（A）,P（B）；

（2）求P（AB）,并说明事件A与8是否相互独立.

【答案】（1）答案见解析

（2）P（AB）=^,事件A与事件B不独立.

6

【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的乘法公式、写出基本事件、独立事件的判断

【分析】（1）根据古典概型概率计算公式即可求得结果；

（2）利用独立事件定义可得尸（A）P（8）WP（AS）,即可得出结论.

【详解】⑴试验的样本空间为。=｛（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,1）,（2,3）,（2,4）,（3,1）,（3,2）,（3,4）,（4,1）,（4,2）,（4,3）｝,

共12个基本事件，

而事件A包含的基本事件有（1,3）,（1,4）,（2,3）,（2,4）,（3,1）,（3,2）,（4,1）,（4,2）,共包含8个基本事

件，

Q7

则可得尸（A）=■=§,

事件B包含的基本事件有（2,4）,（3,4）,（4,2）,（4,3）,共4个基本事件;

41

则/仍）=丘=§•

（2）因为事件A与8同时发生的基本事件有（2,4）,（4,2）,

71

所以*42）===力

710

又因为尸（A）P（2）=；x：=,可得P（A）P（3）HP（AB）,

所以事件A与事件8不独立.

题型4条件概率，全概率公式和贝叶斯公式

-,返,7

P（AB）

1、条件概率：一般地，设A，3为两个随机事件，且尸（A）＞0,我们称尸（31A）=77s为在事件A

「⑷i

发生的条件下，事件8发生的条件概率，简称条件概率.

:2、全概率公式：P（B）=fp（4）P（3i4）

«=1

尸（AIB）=P（A）P⑻A）=P（A）P（例4）

『、贝叶斯公式：'P®£P（A）P@A）

k=l

二二一‘谖江关泽无藏三横5-窠箪血茄谑颛王।荏泰贰一邪薄双天被旗溟「葩吊:芝茜天为二国蠹r

比赛，每次由其中一人投篮，规则如下:若投中，则此人继续投篮，若未投中，则换为对方投篮，无论之前

投篮的情况如何，甲每次投篮的命中率均为:，乙每次投篮的命中率均为g.由抽签确定第1次投篮的人选，

第1次投篮的人是甲、乙的概率各为《•第2次投篮的人是甲的概率为—；已知在第2次投篮的人是乙的

情况下，第1次投篮的人是甲的概率为—.

119

【答案】五D

【知识点】利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率

【分析】设第ieN*次是甲投篮为事件4,投篮命中为事件8,根据已知及条件概率，应用全概率公式、条

件概率公式求尸（4）、P（4IA）-

【详解】设第ieN*次是甲投篮为事件A，投篮命中为事件8,

/一、11一1_3——2

所以尸(4)=尸(4)=]'P(B\Ai)=-,P(B\Ai)=~,则尸(月IA)="P(B\Ai)=-,

________112111

所以第2次投篮人是甲的概率为尸(4)=P(B\Al)P(Al)+P(B\Al)P(Al)=-x-+-x-=—,

在第2次投篮的人是乙的情况下，第1次投篮的人是甲的概率为

31

一X-Q

p（2IA）尸（A）=42=9

l-P（A）1,--H-13,

24

11Q

故答案为：—;—,

2.（2024•天津河西•模拟预测）甲、乙、丙三个人去做相互传球训练，训练规则是确定一人第一次将球传

出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出.如果第一次

由甲将球传出，设〃次传球后球在甲手中的概率为匕，则乙=;P„=.

【答案】

【知识点】互斥事件的概率加法公式、写出等比数列的通项公式、利用全概率公式求概率、由定义判定等

比数列

【分析】设出事件4，由题意得到A•4+「由互斥事件的概率加法公式和全概率公式得到

概率匕的递推式《+1=-3£+；,接着构造等比数列优,-5,求出其通项公式即得.

【详解】设4="经过"次传球后，球在甲的手中"，则事件4的概率即匕,“=1,2,3,,〃，则《=0,

依题意，A+i=A-k+4•AM，则/=P（A4M+A•A+J=4G+P（4•AG

——11

=p（A）.p（A+jA）+p（4）.p（A+1IA）=（i-^）x-+^xo=-（i-^）,

即匕123,,（*）

因4=o,代入解得，鸟=；,—》；+；=：；

由（*）可得，2+「!=-"+?=-1区-:），且勺-!=-9

故数列仍,-§是以-:为首项，-1为公比的等比数列，

于是，月-犷,则得，^=1-1x（-V=|x（-lr+1.

故答案为：（；­x（--）"+—■

3.（2024•天津北辰•模拟预测）甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2

个白球，乙箱中有4个红球、1个白球，从甲箱中随机抽出2个球，在已知至少抽到一个红球的条件下，则

2个球都是红球的概率为;掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4,从甲箱子中随机抽出

1个球；如果点数大于等于5,从乙箱子中随机抽出1个球，若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率

是•

【答案】|

【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率

【分析】利用条件概率公式计算摸出的2个球是红球的概率；利用全概率公式求红球的概率.

【详解】记事件A表示"至少抽到一个红球"，事件3表示"2个球都是红球"，

+02roQ「2003C2C°

P（A）=JY+"Y=2,P（B）=今=AP（AB）=*3

C|10C；10c；10

设事件c表示"从乙箱中抽球”，则事件。表示"从甲箱中抽球",

事件。表示“抽到红球"，则

21-424-3

P(C)=-=-,P(C)=-=-,P(D\C)=-,P(D\C)=-

o36355f

一--142310

所以P(D)=P(CD)+P(CD)=P(C)P(D|C)+P(C)P(r>|C)=-x-+-x-=—,

14

—x—

3542

所以小展3=沙10105

15

i0

故答案为：①@y-

4.(2024•天津河北•二模)学习小组为了研究手机对学生学习的影响，对本学校学生手机使用情况统计分

析有以下结果：若学生前一天没有玩手机，则接下来一天也不玩手机的概率为0.7,若学生前一天玩手机,

接下来一天也玩手机的概率为08已知一个学生第一天没玩手机，根据这个统计结果计算，那么他第二天

玩手机的概率为，第三天不玩手机的概率为.

【答案】0.30.55

【知识点】利用全概率公式求概率、利用对立事件的概率公式求概率

【分析】根据题意由对立事件概率公式得第二天玩手机的概率，再由全概率公式得第三天不玩手机概率即

可.

【详解】由题意，学生前一天没有玩手机，则接下来一天也不玩手机的概率为07

所以一个学生第一天没玩手机，那么他第二天玩手机的概率为1-0.7=0.3,

由全概率公式知第三天不玩手机的概率为03x(1-0.8)+(1-0.3)*0.7=0.55.

故答案为：0.3；0.55

5.(2023•天津和平•三模)抛掷两颗质地均匀的骰子，其中白色骰子与黑色骰子各一颗，记事件A为"白色

骰子的点数为4或5”,事件8为“两颗骰子点数之和大于8",则P(B|A)=；P(A|B)=.

【答案】得1/0.5

【知识点】计算条件概率、计算古典概型问题的概率

【分析】分别求出事件A,事件8和事件同时发生的概率，再由条件概率的公式计算即可.

【详解】抛掷白、黑两颗骰子，事件总数为36,事件A的基本事件数为6,

21

易知产(A))),

o3

用(X,y)中的苍V表示抛掷白、黑两颗骰子的点数，则事件B包含:(3,6),(4,5),(4,6),

(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),

所以PGB)=粤

—,P(AB)=~

□O1836

5

1

P(AB)W，尸（）P(AB)-

所以尸（邳A）=h8=3652-

P(A)P(B)

18

故答案为：->y.

12乙

6.（2024•天津滨