高考数学总复习《二次函数及指、对、幂数函数的问题的探究》专项测试卷（含答案）

高考数学总复习《二次函数及指、对、塞数函数的问题的探究》专项

测试卷（含答案）

学校:.,班级:.姓名:考号:

真题在线

1、（2023年新课标全国回卷）1.设函数/（力=2小甸在区间（0,1）上单调递减，贝U〃的取值范围是（）

A.(-oo,-2]B.[-2,0)

C.(0,2]D.[2,+8)

2

2、（2023年全国甲卷数学（文））5.已知函数〃x）=e-g）.记。=/,6=㈤2，则（）

27IJ

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

3、【2022年全国甲卷】已知9巾=10,a=IO771—=8771—9,则（

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

4、（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测

量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据£和小数记录表的数据V的满足

L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据为（)

（啊。1.259）

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

5、（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设a=21nl.01,Z?=lnl.O2,C=A/L04-1.则

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

6、（2020北京卷】已知函数/（%）=2%—%—1,则不等式/（％）＞。的解集是)

A.B.-co,-l)U(l,+°o)c.(0,1)D.(~°O,0)U(l，+8)

7、(2020全国I理12)若2"+log2a=4"+210g4人，贝U)

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a<b2

8、(2020全国H文12理11)若2"-2>则)

A.ln(y-x+l)>0B.ln(y-x+l)<0C.Inj.r-y|>0D.ln|x-y|<0

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9、（2020全国III文理4）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据

K

建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数/（/）的单位：天）的Logisic模型：/（?）=-023（一53）,其中K

为最大确诊病例数.当/，*）=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则f*约为（lnl9M3）（）

A.60B.63c.66D.69

2

10、(2020全国III文10)设〃=log32,b=log53,C=y,则()

A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

11、(2020全国III理12)已知55<8,134V85.设〃=log53,力=log85,c=logi38,则()

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

题［型］痢完

题组一指、对数的比较大小

1-1、（2022•湖南娄底•高三期末）若a=log?石，b=2log4"，c=24;则a,b,c的大小关系为（）.

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.b>c>a

1-2、（2023•安徽铜陵•统考三模）已知。=叫75,Z?=log97,c=logn9,则（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<b<a

1-3、（2023•吉林白山•统考三模）设〃=10853,、=「,。=108169108278,则的大小关系为（）

A.c<a<bB.b<a<c

C.c<b<aD.b<c<a

1-4、（2023•江苏徐州・徐州市第七中学校考一模）已知。=&，b=2册，©=咚（其中e为自然常数），

则。、b、c的大小关系为（）

A.a<c<bB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

题组二一元二次、指、对、暮数的运算与性质

2-1、（2023・安徽安庆•校考一模）函数〃x）=log22x与g（x）=2-1］在同一直角坐标系下的图象大致是（）

A.B.

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c.D.

2-1、（2022年深圳市高三月考模拟试卷）“幕函数/（%）=（病+根在（0,+”）上为增函数”是“函数

晨司=2一相2.2-、为奇函数,，的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分必要D.既不充分也不必要

2\x<l

2-3、.（2022年闽江学院附中高三月考模拟试卷）已知函数〃x）=log]%%〉]，则函数y=41-x）的

、2

2-4、（2022•江苏通州•高三期末）函数y=印广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中印为不超过实

数尤的最大整数，例如：[-2.1]=-3,[3.1]=3.已知函数於）=[log词,则11）+人3）+八5）+…+式21。+1）=

（）

A.4097B.4107C.5119D.5129

题组三指、对数函数的情景问题

3-1、（2023•江苏・统考三模）星载激光束与潜艇通信传输中会发生信号能量衰减.已知一星载激光通信系统

在近海水下某深度的能量估算公式为4=1与x10々，其中E尸是激光器输出的单脉冲能量，切是水下潜艇

接收到的光脉冲能量，s为光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积（单位：km2,光斑面积与卫星高度有关）.若

水下潜艇光学天线接收到信号能量衰减T满足「=10馆争（单位：dB）.当卫星达到一定高度时，该激光

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器光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积为75km2,则此时「大小约为（）（参考数据：lg2=0.301）

A.-76.02B.-83.98C.-93.01D.-96.02

3-2、（2023,福建漳州•统考三模）英国物理学家和数学家牛顿曾提出物体在常温环境下温度变化的冷却模型.

如果物体的初始温度是4,环境温度是％,则经过fmin物体的温度e将满足e=%+（a-q）e”,其中上是

一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数.现有9（FC的物体，若放在10P的空气中冷却，经过lOmin物

体的温度为5（rc,则若使物体的温度为2（rc,需要冷却（）

A.17.5minB.25.5minC.30minD.32.5min

3-3、（2023•安徽合肥•校联考三模）"学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收"（明•《增广贤

文》）是勉励人们专心学习的.如果每天的"进步”率都是1%,那么一年后是0+1%产5=1.01365；如果每天的

“退步”率都是1%,那么一年后是a-l%严=0.99365.一年后“进步”的是“退步”的匕鼻=（匕巴严。1481倍.

0.993650.99

如果每天的"进步"率和"退步"率都是20%,那么大约经过（）天后“进步"的是"退步"的一万倍.

（lg2»0.3010,lg3«0.4771）

A.20B.21C.22D.23

3-4、（2022•山东枣庄•高三期末）良渚遗址位于浙江省杭州市余杭区瓶窑镇、良渚街道境内.1936年浙江省立

西湖博物馆的施昕更先生首先在浙江省杭州市良渚镇一带发现.这里的巨型城址，面积近63。万平方米，

包括古城、水坝和多处高等级建筑.国际学术界曾长期认为中华文明只始于距今3500年前后的殷商时期，

2019年7月6日，中国良渚古城遗址被列入世界遗产名录，这意味着中国文明起源形成于距今五千年前，

终于得到了国际承认！2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料（草裹泥）上提取的

草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%.已知经过龙年后，碳14的残

余量y=k（l-pY（keR,k>O,O<p<l;x..O）,碳14的半衰期为5730年，则以此推断此水坝大概的建成年代

是（）.（参考数据：log20.552«-0.8573）

A.公元前2893年B.公元前2903年

C.公元前2913年D.公元前2923年

题组四指对数函数的综合性问题

4-1、（2023•江苏南京•南京市秦淮中学校考模拟预测）设函数〃x）=l°g!X,下列四个命题正确的是（）

2

A.函数川x|）为偶函数

B.若〃"）=/他其中a>0,b>0,a'b,则ab=l

C.函数/（-炉+2*在（1,3）上为单调递增函数

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D.若0<a<l,则V(l+a)|<|"l-a)|

4-2、（2022年河北高三月考模拟试卷）已知函数/（x）=ln(J(j_l)2+]-x+1),g(x)=；，则下列

说法正确的是（）

A./（无）是奇函数

B.g（x）的图象关于点（1,2）对称

C.若函数尸（幻=/（尤）+g（尤）在xe[l—肛1+词上的最大值、最小值分别为/、N,则4+N=4

D.若函数尸（%）=/（尤）+g。）满足尸（a）+F（—2a+1）>4,则实数。的取值范围是（—2,+8）

固[提升

1、（2023.江苏南通・统考一模）己知函数〃尤）=[：：的；一"）'龙（1,则〃〃-2））=__________.

[2,%>1

2、（2022•江苏海门•高三期末）已知Q=log328/=*°2,c=sinL则a,2c的大小关系是（）

A.c〈b〈aB.c〈a〈bC.a〈b〈cD.a〈c〈b

3、（淮安、南通部分学校2023-2024学年高三上学期11月期中监测数学试题）咖啡适度饮用可以提神醒脑、

消除疲劳，让人精神振奋.冲咖啡对水温也有一定的要求，把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度

是。空气的温度是％℃,经过，分钟后物体的温度为满足e=q+（a—q）e4°8’.研究表明，咖

啡的最佳饮用口感会出现在65c.现有一杯85℃的热水用来冲咖啡，经测量室温为25C,那么为了获得

最佳饮用口感，从冲咖啡开始大约需要等待分钟.（结果保留整数）（参考数据：

ln2«0.7,ln3«l.l,lnll®2.4）

4.（2023•江苏,统考三模）已知log?"=log?6,log2b=log3c（b>l），则I（）

A.2a+1>2b+2cB.2b+1>2a+2c

C.210g5b<logsa+log4cD.log5b>log4a+log5c

5、（2023•黑龙江牡丹江•牡丹江市第三高级中学校考三模）血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的

血氧饱和度正常范围是95%~100%,当血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段

时间内，可以用指数模型：S«）=S°e”描述血氧饱和度S⑺随给氧时间/（单位：时）的变化规律，其中S。

为初始血氧饱和度,K为参数.已知S。=60%,给氧1小时后，血氧饱和度为80%.若使得血氧饱和度达到90%,

则至少还需要给氧时间（单位：时）为（）

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（精确到0.1，参考数据：hl2。0.69,In3。1.10）

A.0.3B.0.5C.0.7D.0.9

6、（2022.山东泰安・高三期末）若函数/（x）="-尸（。＞0且aH1）在R上为减函数，则函数y=logo（|x|-l）

的图象可以是（）

7、（2023・全国校联考三模）已知”“是定义在区上的奇函数,且满足“2-司-"2+力=0,又当彳目-2,0）

（1、

时，/（x）=2r+2,贝厅log,—=.

参考答案

1、（2023年新课标全国回卷）1.设函数/（*）=2中旬在区间（0,1）上单调递减，则”的取值范围是（）

A.（Y,-2]B.[-2,0）

C.（0,2]D.[2,+8）

【答案】D

【详解】函数y=2，R上单调递增，而函数〃元）=22“）在区间（0,1）上单调递减，

2

则有函数^=》（》-°）=（彳-@）2-幺在区间（0,1）上单调递减，因此解得。22,

242

所以。的取值范围是[2,+oo）.

故选：D

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2、（2023年全国甲卷数学（文））5.已知函数/（力=。3）2.记〃=/三,b=f千,c=f三，则（）

I2JI2JI2J

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【答案】A

【详解】令g（x）=-（%T）2,则g（X）开口向下，对称轴为1=1,

而（遥+后-42=9+6后-16=6后-7>0,

而［“痛1fi指+04A/6A/3

所以----1-1----=------------>0,g0Np^——1>1-2L_

2（2）2222

由二次函数性质知g（2）<g吟）,

因为,FFI（A/6+A/2）2—42=8+4A/3—16=4^/3—8=4（\/3—2）<0,

即日-1<1-孝，所以g（日）>g（¥）,

综上'g《）<g（§<g（#）,

又>=6'为增函数，故a<c<>，即力>C>4.

故选：A.

3、【2022年全国甲卷】已知9帆=10,a=10机一ll,b=8机一9,则（）

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

【答案】A

2

【解析】由9m=10可得爪=log910=置>1，而lg91gli<（吧罗?=（等丫<1=（IglO）,所以詈>

黑，即?n>lglL所以a=107n-11>10311—11=0.

又lg81gio<（38膏。）2=（啜2<（幽2,所以盘>需，gpiog89>m,

所以b=8m—9<8MgB9-9=0.综上，a>0>b.

故选：A.

4、（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测

量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足

L=5+lgV.己知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据为（）

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(<0»1.259)

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

【答案】C

【解析】由L=5+lgV,当L=4.9时，lgV=-0」，

11

则v=IO-01=10*0q0.8.

1.259

故选：c.

5、（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设a=21nl.01,/?=lnl.O2,0=而正—1.则（

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

【答案】B

【解析】a=21nl.01=lnl.012=ln(l+0.01)2=ln(l+2x0.01+0.012)>lnl.02=/7,

所以

下面比较。与风。的大小关系.

t己/(x)=21n(l+x)-Vl+4x+l贝!]/(。)=0,=22

1+xJl+4x(1+x)J1+4%

由于1+4龙一(1+尤)2-2x-x2=%(2—％)

所以当0a<2时，l+4x—(l+x)2>0,即J1+4%>(1+尤)，/'(十)>0,

所以〃龙）在［。，2］上单调递增,

所以/(0.01)>/(O)=0,即21nl.01>—1，即a>c；

22(Vl+4x-l-2x

令g(x)=ln(l+2x)-Jl+4x+l,则g(0)=O,g，(%)=2

l+2xJ'l+4x(1+2x)Jl+4%

由于1+4x—(1+2x)~=—4x?,在x>0时,1+4x—(1+2x)<0.

所以g'G)<0,即函数g(x)在[0,+8)上单调递减,所以g(0.01)<g(0)=0,BPIn1,02<T，即b<c;

综上，b<c<a,

故选：B.

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6、(2020北京卷】已知函数/(X)=2'-X-1,则不等式/(x)>0的解集是()

A.(—1,1)B.(―co,—1)U(1,+8)C.(0,1)D.(^o,0)U(l,+8)

【答案】C

【解析】不等式/(X)>0化为2、>x+l,在同一直角坐标系下作出y=2x,y=x+l的图象(如图)，得不等式

/。)>0的解集是(0,1),故选C.

7、(2020全国I理12)若2"+log2a=4"+210g涉，则()

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a<b2

【答案】B

2b

【解析】设/(x)=2'+log2X,则f(x)为增函数，•••2a+log,。=4"+2log4b=2+log2b,

2b2b2fe

：./(«)-f(2b)=2°+log,a-(2+log22b)=2+log2b-(2+log22Z?)=log21=-l<0,

/.于(a)</(2Z?),a<2b.

222b22b

•••f(a)~f(b)=2“+log2a-(2*+log2b)=2+log2b—(2庐+log2b)=2-2^-log,b，

当1=1时,/(a)—/(/)=2〉0,此时/(a)>/(/),有口>/；当b=2时，/(a)-/(Z?2)=-1<0,

此时/(a)</(/),有，C、D错误，故选B.

8、(2020全国II文12理11)若2*-2了<3T-37，则()

A.ln(y-x+l)>0B.ln(y-x+l)<0C.ln|x-y|>0D.ln|x-y|<0

【答案】A

【解析】由2*—2><3T—37得：2*-3-*<2>—3->，令/。)=2'-3—'，

•.•丁=2工为R上的增函数，>=3-工为R上的减函数，.,./(1)为H上的增函数，二x<y,

Qy-x>0,y-x+l>l,.\ln(_y-x+l)>0,则A正确，B错误；Qk-y|与1的大小不确定，故

CD无法确定，故选A.

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9、（2020全国III文理4）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据

K

建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数a的单位：天）的Logisic模型：/«）=—《23（一53），其

中K为最大确诊病例数.当/，*）=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则/*约为（Ini9n3）（

A.60B.63c.66D.69

【答案】c

【解析】•♦•()=J…•.・W)=i+e2f=895K,则户…=9

：.0.23(f-53)=lnl9«3,解得/*它上-+53土66,故选C.

170.23

2

10>(2020全国111文10)设。=10832,。=10853,。=1,则)

A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

3325==c

【解析】因为口=g1。8323＜；k）g39=g=c,b=^°g5＞f,

所以a＜c＜》，故选：A.

11、(2020全国III理12)己知55<8=134<85.设口=10853,/?=10885,。=108138,贝!!()

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

【解析】解法一：由题意可知。、b、ce(O,l),

t/_log53^1g3lg81_fIg3+lg8V=(Ig3+lg8Y=(lg24V<

2

blog85lg5lg5(lg5)12J121g5)^lg25j'

4

由〃=log85,得歙=5，由55<8’，得85”<8匕可得

4

由C=logi38,得13c=8，由134<85,得134<135°,「.5。>4,可得c〉］.

综上所述，a<b<c.故选A.

解法二易知由广修|=心38＜（仁产8）、电富广"知

bc4e45445

a<b.,.,Z?=logg5,c=log138,：，S=5>13=8,即8%=55,13=8XV5<8-13<8>

：,134C=84>55=85fe>134*，即T<c.综上所述：a<b<c,故选A.

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题组一指、对数的比较大小

1-1、（2022•湖南娄底•高三期末）若£1=104百,c=2±则。，b,c的大小关系为（）.

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.b>c>a

【答案】B

【解析】由题意：.=2*=2%孝=gc=/=显,故b>c.

22

又评<2；20<3，即26<3，所以k^Z点<log43,BP<log43,

因为a=log2>/3=log43,所以c<〃.

因为28=256>243=35,S^log23<|<^,即评〉3,

所以log42白>log43,所以乎>k）g43,

所以&>a,所以6>4>C,

故选：B.

1-2、（2023•安徽铜陵・统考三模）已知a=log75,&=log97,c=logu9,则（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<b<a

【答案】A

因为log75m7聿-旦…

【详解】解:

lg7lg9Ig71g9

又因为1g51g9W，g5；lg9）=［等）<［等）=lg27;

^fl^log75-logg7<0,即q<6；

lg7lg9lg71gll-lg29

S^log7-log9=

9nlg9IglTlglllg9

又因为等:〈管

所以log97-log“9<0,即6<C,

所以。<b<c,

故选：A

1-3>（2023•吉林白山・统考三模）设。=10853,6=0,。=逆169-108278,则"c的大小关系为（）

第11页共22页

A.c<a<bB.b<a<c

C.c<b<aD.b<c<a

【答案】D

11

【详解】a=log53>log5A/5=1,Z?=e=-<|,c=log1691og278=-^-^-=|^|-|^|=|

2e2lgl6lg2741g231g32

所以bVC<Q.

故选：D.

1-4、(2023•江苏徐州・徐州市第七中学校考一模)已知。=1nb=20c=^~(其中e为自然常数),

则〃、b、。的大小关系为()

A.a<c<bB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

【答案】D

i4

1n2

e2,ec=+构造函数/(x)=£(x>0),利用导数得/(X)在(0,1)上

【分析】将。，"C变形，得。=J°］，

In2_X

23

为减函数，在(1,+⑹上为增函数，根据单调性可得〃g)>/(ln2),/(ln4)>/(1),再根据/(In2)=/(In4)可

得答案.

1［Cc］n2____—

11Ze_2oIAe3

［详解］〃=启=不=而=而，6=2五=T，c=也=W，

—inz_4—

223

设〃x)=M(x>0),则:(x)=e*.无je*

XXX

令广㈤>0,得X>1,令/'(x)<0,得0<尤<1,

所以一(X)在(0,1)上为减函数，在(1,")上为增函数，

1e?In2

因为0<—<ln2<l,所以>/(ln2),即6=不〉J=〃

2_LIn2

2

224

因为8〉e2,所以2>/，所以1口2〉彳，所以ln4〉彳〉1,

/X33

所以/(In4)>/(1),即/(In4)>/(1)=c,

ln442

因为/(In4)=-e----=--------=-~—=a,所以4>0,

In42In2In2

综上所述：b>a>c.

第12页共22页

故选：D.

题组二一元二次、指、对、基数的运算与性质

2-1、（2023•安徽安庆•校考一模）函数〃x）=log22x与g（x）=2j；j在同一直角坐标系下的图象大致是（）

0/12%

【答案】B

【分析】根据/⑴=1，g（O）=l,结合对数函数与指数函数的单调性判断即可.

【详解】•••/■（x）=log22元=l+log2^,为定义域上的单调递增函数

=故A不成立;

•.•g（x）=2-1g],为定义域上的单调递增函数,

故C和D不成立.

故选：B.

2-k（2022年深圳市高三月考模拟试卷）“幕函数/（X）=（疗+"L1）x'n在（0,+8）上为增函数”是“函数

g（x）=2'—m2为奇函数”的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分必要D.既不充分也不必要

【答案】A

【解析】

【详解】要使函数/（%）=（加+7徨-1."是暴函数，且在（0,+8）上为增函数，

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-2

-fYi+772—2—1

则《，解得：m-1,当根=1时，g(x)=2x-2Tx,x£R,

则g(—x)=2——2工=—(2，—2-*)=—g(x),所以函数g(x)为奇函数，即充分性成立；

“函数g(x)=2*—m2-2T为奇函数”，

贝!Ig(x)=-g(-x),即2X-nr-Tx=-(2-m2-2X)=m2-2V-2T,

解得：m=±l,故必要性不成立，

故选：A.

2\x<l

2-3、.(2022年闽江学院附中高三月考模拟试卷)已知函数〃x)=log]%%〉]，则函数y=41-x)的

大致图象是()

【答案】C

【解析】

【详解】当1—xVLxNO时，y=f（l-x）=21-x,此时21T>0；

当1—x>l,x<0时，y=/（l—力=1。8』（1一九），此时log!。—九）<0.

22

f2'"\x>0

所以y=/（l—x）=log/i-x）,x<0，

所以C选项的图象符合.

故选：C

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2-4、(2022•江苏通州•高三期末)函数y=印广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中国为不超过实

数x的最大整数，例如：[―2.1]=—3,[3.1]=3.已知函数式x)=[log2%],则共1)+八3)+八5)+…+式21。+1)=

)

A.4097B.4107C.5119D.5129

【答案】B

【解析】由题意2'+1WXW2'M-1时，f(x)=i,ZGN*,在⑵+1,2川一1]上奇数共有2T个,

/(1)=0,〃3)=1,

/(1)+/(3)+/(5)+---+/(2100+1)=0+1+2X2+3X22+..-+9X28+10,

设7=1+2x2+3x22+…+9x28,则2T=2+2x2?+3x23+…+8x2'+9x29,

相减得：-T=l+2+22+---+28-9x29=29-l-9x29=-l-8x29,

所以7=1+8x29=4097,

所以/(D+/(3)+/(5)+…+/(210+1)=4097+10=4107.

故选：B.

题组三指、对数函数的情景问题

3-1、(2023•江苏•统考三模)星载激光束与潜艇通信传输中会发生信号能量衰减.已知一星载激光通信系统

在近海水下某深度的能量估算公式为耳=?EpX10-7,其中砂是激光器输出的单脉冲能量，Er是水下潜艇

接收到的光脉冲能量，s为光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积(单位：km2,光斑面积与卫星高度有关).若

水下潜艇光学天线接收到信号能量衰减T满足「=1。3去(单位：dB).当卫星达到一定高度时，该激光

器光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积为75km2,则此时「大小约为()(参考数据：lg2=0,301)

A.-76.02B.-83.98C.-93.01D.-96.02

【答案】B

【详解】因为耳二下与乂10-7,该激光器光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积为75km2,

3

所以‘-=3x1。-7=—xlO7=4x10-9

iEPS75

贝I]r=101g4xl0-9=101g4-90=10x0.602-90=-83.98,

故选：B.

3-2、(2023•福建漳州・统考三模)英国物理学家和数学家牛顿曾提出物体在常温环境下温度变化的冷却模型.

如果物体的初始温度是4,环境温度是为，则经过/min物体的温度e将满足e=4+(a-q)e",其中％是

一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数.现有9CTC的物体，若放在10°C的空气中冷却，经过lOmin物

体的温度为5(FC,则若使物体的温度为2(TC,需要冷却()

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A.17.5minB.25.5minC.30minD.32.5min

【答案】C

【详解】由题意得：5O=lO+（9O-lO）e-lo\即eT0*=g,.•"='ln2,

10

.-.6>=6»）+（<91-6>0）e，

由20=10+（90-10）得：e10=g,即-Rln2=In"=-31n2,解得：1=30,

二.若使物体的温度为2（yc,需要冷却30min.

故选：C.

3-3,（2023•安徽合肥•校联考三模）"学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收"（明•《增广贤

文》）是勉励人们专心学习的.如果每天的"进步"率都是1%,那么一年后是a+l%）365=L0F65；如果每天的

“退步”率都是1%,那么一年后是（1-1%严=0.99365.一年后"进步"的是"退步"的"^=（31严”1481倍.

0.99365099

如果每天的"进步"率和"退步”率都是20%,那么大约经过（）天后“进步"的是"退步"的一万倍.

（lg2»0.3010,lg3»0.4771）

A.20B.21C.22D.23

【答案】D

【详解】设经过x天"进步"的值是"退步"的值的10000倍，

贝I]10000x（1-0.2），=1.2,，

19

即（一），=10000,

.IglOOOO444

x=log.10000=•,丁=--=-----------x---------«23

92

装IgL近3]g3-lg20.1761

0.82

故选：D.

3-4,（2022•山东枣庄.高三期末）良渚遗址位于浙江省杭州市余杭区瓶窑镇、良渚街道境内.1936年浙江省立

西湖博物馆的施昕更先生首先在浙江省杭州市良渚镇一带发现.这里的巨型城址，面积近630万平方米，

包括古城、水坝和多处高等级建筑.国际学术界曾长期认为中华文明只始于距今3500年前后的殷商时期，

2019年7月6日，中国良渚古城遗址被列入世界遗产名录，这意味着中国文明起源形成于距今五千年前，

终于得到了国际承认！2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料（草裹泥）上提取的

草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%.已知经过尤年后，碳14的残

余量y=-1-p『（左eR,k>0,0<p<1;工.0）,碳14的半衰期为5730年,则以此推断此水坝大概的建成年代

是（）.（参考数据：log20.552«-0.8573）

A.公元前2893年B.公元前2903年

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C.公元前2913年D.公元前2923年

【答案】B

1X

【解析】•••碳14的半衰期为5730年，.•.2=封1_°严=（1_°）=出嬴=》=广，当y=55.2%%时,

(1A?73OX

=log10.552=-log0.552,x=-5730log0.552«4912,

k\-\=55.2%左,22•••2010年之前的4912

年是公元前2902年，以此推断此水坝大概的建成年代是公元前2903年.

故选：B.

题组四指对数函数的综合性问题

4-1、（2023•江苏南京•南京市秦淮中学校考模拟预测）设函数/（力=1°81工，下列四个命题正确的是（）

2

A.函数/（N）为偶函数

B.若/⑷=，（留，其中。＞0,b＞0,a'b,则而=[

C.函数/'（-f+Zx）在（1,3）上为单调递增函数

D.若。则+

【答案】ABD

【分析】A选项，由川-尤|）=/（胤，即可得出了（国）为偶函数；

3选项，由已知可得〃。）=|/伍）|=-/伍），利用对数的运算性质可得：bgjbn。，可得而=1；

C选项，由-尤2+2尤＞o,解出可得函数的定义域为（0,2）,即可判断出正误；

°选项，由0<a<1,可得l