复合函数以及嵌套函数的零点问题-2025年高考数学复习（含答案）

复合函数以及嵌套函数的零点问题-2025年高考数学

复合善撤以及城杰篇剧的零点同题

---------------------------------------------------------------0°---------------------------------------------------------------

题型探析................................................................................1

题型01复合函数的应用..................................................................1

题型02内外自复合型，(/3)).....................................................................................................................4

题型03内外双函数复合型f(g(c))..............................................................................................................6

题型04二次型因式分解型a[/3)『+">(£)+c........................................................................................9

题型通关...............................................................................13

----------------------------------------------------------O(题型探析O

题型01复合函数的应用

【解题规律•提分快招】

1.复合函数定义:两个或两个以上的基本初等函数经过嵌套式复合成一个函数叫做复合函数。

复合函数形式：g=/[g(a：)]，令：力=g(c)，则g=/(g(c))转化为y=/(£)”=g(rr)其中t叫作中间变量.

g(%)叫作内层函数，沙=/(。叫作外层函数.

2.求复合函数单调性的步骤：

①确定函数的定义域

②将复合函数分解成两个基本函数g=/[g(，)]分解成9==g(aj)

③分别确定这两个函数在定义域的单调性

④再利用复合函数的“同增异减”来确定复合函数的单调性。

y=f(g(x))在(a,b)上的单调性如下表所示,简记为“同增异减”

【典例训练】

一、单选题

1.(24—25高三上•江苏常州•期中)已知函数/(2)=loga(2—ac)(a>0,且a1).BxE[1,2],使得/(c)

>1成立,则实数a的取值范围是()

A.B.[-1,1)U(1,2]C.(1,2]D,[1<2]

2.(24-25高三上•山西•期中)已知函数/(乃=a^-2x(a>0,且a21)在区间[4,7]上单调递增，则实数

a的取值范围为()•M

A.(0,y]U(1,4]B.["，十]U(1,+oo)

C.(。,"[久学+⑹D.(0,y]U(1,+<»)

3.(2024.河北.模拟预测)已知函数/(c)=ln(c+Va?2+1)+炉—2,若/(log3a)+/(logLa)4—4,则实数

a的取值范围为()

A.[y,3]B.(0,y]u[3,+co)C.[y,l)U(l,3]D.(0,+oo)

(-azv»Q

4.(2024.湖北武汉.模拟预测)已知a>0且a/1,若函数/Q)=,'、、的值域为凡则

[loga(£c+a)+l,x>a

a的取值范围是()

A.(o,y]B.C.(1,2]D.[2,+8)

5.(24-25高三上•甘肃白银•阶段练习)在人工智能神经网络理论中，根据不同的需要，设置不同激活神

经单元的函数，其中函数tanhQ)是比较常用的一种，其解析式为tanhQ)=之二二.关于函数

e^+e-^

tanhQ),则下列结论正确的是()

A.tanh(a?)的值域为_RB.tanhQ)是偶函数

C.tanh(c)不是周期函数D.tanh(rr)是单调递减函数

c2i—4_1

6.(2024•陕西榆林•模拟预测)已知函数/(为=~甘+力一1在区间［a,切上的值域为若a+

ex~z

b=4,则?n+V的值为()

A.8B.6C.4D.2

题型02内外自复合型f(/Q))

【解题规律•提分快招］

对于嵌套型复合函数沙=/肉3)］的零点个数问题，求解思路如下：

⑴确定内层函数〃=gQ)和外层函数沙=/(〃)；

⑵确定外层函数沙=/(〃)的零点〃=%(i=1,2,3,....n)；

⑶确定直线〃=M(i=1,2,3,....九)与内层函数a=g(2；)图象的交点个数分别为，aisg.

....，册则函数沙=/［gQ)］的零点个数为的+a2+(Z3.........+an.

注意:抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质.

【典例训练】

一、单选题

，二:，若方程川⑺）=.有且仅有一根，则

7.（24—25高三上•广东•期中）已知函数/Q）=

2",x<02

实数人的取值范围是（）

A.（一,，。）B.[一年,。）C.[0,+00）D.（一争+8）

2—3/>0

8.（24—25高三上•江苏无锡•阶段练习）已知函数/Q）='?，若函数g=/（/Q））—k有3个

[―N+1,rc<0

不同的零点，则实数卜的取值范围是（）

A.（1,4）B.（1,4]C.[1,4）D.[1,4]

（।2/T*—3T0

9.（24—25高三上•福建泉州•阶段练习）已知函数〃乃=,'，则方程/（/（为）=人的实

[log2ir—2,力>0

数解的个数至多是（）

A.5B.6C.7D.8

题型03内外双函数复合型/SQ））

【典例训练】

一、单选题

fQX-4-IJ?40

10.（24—25高三上•天津武清•阶段练习）已知函数/（力）=（‘，9（2）=/2-。%+1,若夕=

U2—4/+3],3>0

g（/（M）有6个零点，则Q的取值范围为（）

A.（2>）B.C.（3,+co）D.（1,3]

二、填空题

工d―2/rc>0

11.（24—25高三上•福建莆田•阶段练习）已知函数/（为=2'，若函数0=/（/3）—小）+

21,x<0

!■有3个不同的零点，则实数m的取值范围为.

12.（24—25高三上・福建宁德•期中）已知/（/）=ex—ax（a£R）,g（x）=，若函数.=/（g（t））—a恰

有三个零点，则a的取值范围为.

题型04二次型因式分解型a[f（x）f+kf（x）+c

【典例训练】

一、单选题

13.（24-25高三上・江苏南京•期中）已知/（力）——X1+2\x\，若关于力的方程［/（rr）］2+mf（x）+n—

恰好有三个互不相等的实根，则实数小的取值范围为（）

A.m<—1B.m&UC.nzV—1或?n>0D.m=0或mV—1

14.（24-25高三上•福建泉州•阶段练习）已知函数/（久）=矶,若关于x的方程严0）—

［一方一43+1,/40

2时侬）+a2—1=0有8个不相等的实数根,则实数a的取值范围为（）

A.[2,4]B.[2,4)C.(2,4)D.(2,4]

15.（24—25高三上•宁夏石嘴山•阶段练习）已知函数/（乃=卫，且关于力的方程"（为『+时（乃+小=

ex

0有3个不等实数根，则下列说法不正确的是（）

A.函数/（1）的最大值是eB.f（x）在（1,+8）上单调递减

C.巾的取值范围是（―4,0）D.小的取值范围是（—一二,0）

\2'\e+e7

二、填空题

r

21nxX>Q

16.（24—25高三上•天津河西•期中）已知函数/（乃='若2产（宓）—3/（支）+1

sin（0：r+寺），一兀WrrWO,

=0恰有6个不同的实数解,则正实数3的取值范围是.

一、填空题

17.（23-24高三上•上海静安•开学考试）若函数/（0=（lg|X-m1,”>1在区间［0,+8）上严格增，则

［力2—2,

实数项的取值范围为.

18.（24-25高三上•浙江•期中）若函数/（久）=ax+^,（a>0,且a/1）在区间（］,2）上单调递增，则a的

取值范围是

（zy>22T/T,0fP/70

19.（24—25高三上•广东广州•阶段练习）已知函数/（乃=L,；、gQ）=」则

［//一4力+3,%>0l|ln矶①>0

函数八（力）=g（/Q））—1的零点个数为个.

20.（24-25高三上•广东深圳•阶段练习）已知函数/（力）=〈：，则函数g⑸=产（力）—3/Q）+

（Jin矶x>0

2零点的个数是.

21.（24—25高三上•天津•阶段练习）设山是不为0的实数，已知函数"，若函

廿2-10立+24,x>2

数尸（①）=2[/（必）『—何（⑼有7个零点，则m的取值范围是.

22.（24-25高三上•广东惠州•阶段练习）已知函数,为=。⑺=[/⑺

[lOg?（—Xj）XVIU

（2a+2）/O）+a2+2a有3个不同的零点如电,必3,则实数a的取值范围是.

’—+4Q2

23.（24—25高三上・福建福州•阶段练习）已知函数/⑸=/,，若对任意的[2,+8）,

〔2人司x<2

都存在唯一的（―8,2）,满足/（电）=/（曲），则实数a的取值范围是.

24.（24-25高三上•广西•阶段练习）设aCR,函数/（必）=<'，当a=l时，函数0=

（—x+ax,x<0

f（f（x））有个零点;若函数夕=/（/（/））恰有3个零点，则实数a的取值范围为.

‘5—2f（心0）

25.（24—25高三上•天津•阶段练习）已知函数〃乃=2,+3,、，若函数。（乃=产（乃—

[却，"0）

（巾+2）70）|+2小有9个不同的零点，则实数m的取值范围为

26.（2024.北京通州.三模）已知函数/（切=孱的值域是[—1,1],若"G0,々，则

他2一3」-3,n<x<mL27

馆的取值范围是.

（2x-l,xE[0,l）

27.（2023•湖南长沙•模拟预测）已知函数/Q）的定义域为[0,+8）,且/（宓）=log（3-T）,T6[1,2）,函

12/Q—22）,[2,+8）

z-1

数gGc）=/（c）—2M在区间[0,a]内的所有零点的和为16,则实数a的取值范围是

复含占率4A或套占率的东JL网发

-----------------------°(KES°-----------------------

题型«#................................................................................1

题型01复合函数的应用..................................................................1

题型02内外白复合型f(/Q))...............................................................................................................4

题型03内外双图数复合型,3劝).........................................................6

题型04二次型因式分解型aHM+WQHc...................................................................................9

慝型通关

O(题型探析)

题型01复合函数的应用

01题规律•提分快招]

1.复合函数定义:两个或两个以上的基本初等函数经过嵌套式复合成一个函数叫做复合函数。

复合函数形式：g=/[g(a：)]，令：力=g(c)，则g=/(g(c))转化为y=/«),、=g)其中t叫作中间变量.

9(力)叫作内层函数，y=/(t)叫作外层函数.

2.求复合函数单调性的步骤：

①确定函数的定义域

②将复合函数分解成两个基本函数g=/[g(，)]分解成9=/(£),£=g(aj)

③分别确定这两个函数在定义域的单调性

④再利用复合函数的“同增异减”来确定复合函数的单调性。

y=f(g⑸)在(a,b)上的单调性如下表所示,简记为“同增异减”

【典例训练】

一、单选题

1.(24—25高三上•江苏常州•期中)已知函数/(立)=10go(2—ac)(a>0,且a1).BxE[1,2],使得/(c)

>1成立,则实数a的取值范围是()

A.B.[-1,1)U(1,2]C.(1,2]D,[1<2]

【答案】A

【分析】根据复合函数的单调性以及函数的最值进行分析，从而确定正确答案.

【详解】夕=2—az在[1,2]单调递减，.,.,=2时，2-2a>0,即a<l,

另外，0<a<l时，y=logat单调递减，.•./(：!：)在[1,2]单调递增，•M

9

=10^(2-2^>1,/.2-2a<a,：.a>—.

o

综上所述，a的取值范围是序1).

故选：A

2.(24-25高三上•山西・期中)已知函数/Q)=a金融(a>0,且a¥1)在区间[4,7]上单调递增，则实数

a的取值范围为()

A.(0,"]U(1,4]B.[",[]U(1,+co)

C.(0,y]U[^，+°°)D.(o,y]U(1,+co)

【答案】。

【分析】分两种情况讨论，当OVaVl和Q>1分别对函数的单调性进行讨论.

【详解】由题意可知，该函数为指数型复合函数，

当OVaVl时，令g(力)=a4—2力，对称轴为力=工，则要使/(力)=aax2~2x(a>0,且aW1)在区间[4,7]上

单调递增，则工>7,则0<aW5；

a7

当a>l时，要使/(力)=Qa/-23Q>0,且QW1)在区间[4,7]上单调递增，

则--&4,则a>--，综上，a>1.

a4

综上，实数a的取值范围为(O,：]U(l,+oo).

故选：D

3.(2024.河北.模拟预测)已知函数/(非)=ln(cc+Vs2+1)+炉一2,若/(log3a)+/(logj_a)W—4,则实数

a的取值范围为()

A.[y,3]B.(0,|]”3,+8)C.[y,l)U(l,3]D.(0,+8)

【答案】D

【分析】构造g(i)=/(力)+2并研究其奇偶性和单调性，由/(log3a)+/pog±a^<-4等价于^(log3a)+g(

-log3a)40,结合对数的性质即可确定参数范围.

【详解】令g(力)=/(C)+2=ln(T+A/存+1)+x3,易知其定义域为R,

g(一=ln[—a;+^/(―re)24-1]—x3=1II(VT2+1—X)—=—ln(Vx2+l+x)—x3——g[x),

所以g(G为奇函数,且在(0,+oo)上g=6+Vrr2+1、y=In力、g=炉均递增，

所以gQ)在(0,+oo)上单调递增，且函数在7?上连续，故g(x)在定义域上递增，

由y(log3a)+f(log.)<-4^>/(log3a)+2+/(-log3a)+240,

所以^(log3a)+^(—log3a)&0,显然该式在aE(0,+oo)上恒成立，

所以aG(0,+oo).

故选：。

ax-a,

4.(2024.湖北武汉.模拟预测)已知a>0且aW1,若函数/(①)=的值域为五，则

logaQ+a)+l,x>a

a的取值范围是()

A.(o,y]B.e,1)C.(1,2]D.2+8)

【答案】A

【分析】利用对数函数和指数函数的单调性，对a进行分类讨论，可得答案.

(n^~ax<a

【详解】•."3)=:、的值域为R,

UogJ>+a)+l,x>a

当a>1时，

则cWa,/(①)=ax~a为增函数，/(①)&/(a)=1,

而立>a时，，(①)=loga(c+a)+1为增函数，

此时，/(⑼>/(a)=loga2a+1=loga2+2>2,不符题意;

当0<a<1时，

则2Wa,/(2)=ax~a为减函数，/(rc)>/(a)=1,

而a;>a时，/(c)=loga(z+a)+1为减函数，

此时，/(c)</(a)=loga2a+1=loga2+2,

因为/(①)的值域为欠，当且仅当log“2+2>l时，满足题意，

此时，log7>-1,则界>一1,整理得，ln2<-lna,解得aW《；

ma2

综上，0<z~~时满足题意.

故选：A

5.(24—25高三上・甘肃白银•阶段练习)在人工智能神经网络理论中，根据不同的需要，设置不同激活神

经单元的函数，其中函数tanhQ)是比较常用的一种，其解析式为tanhQ)=更二^二.关于函数

e^+ex

tanhQ),则下列结论正确的是()

A.tanh(为)的值域为AB.tanhQ)是偶函数

C.tanh(力)不是周期函数D.tanhQ)是单调递减函数

【答案】。

【分析】tanh(6)=1---—，求函数tanhQ)的值域可判断A;由tanh(—力)与tanh(x)的关系可判断

e2x+l

B;由e2|+1是增函数且恒为正数，知tanh(力)的单调性,可判断。，进而可判断。.

【详解】由tanh(%)=ei-=1_2b=1——

6宓+e-*e^+e-^e2:r+l

因为e2*+l>l,所以OV2劣j]<2,可得一1<1---VI,即tanh(力)E(―1,1),故4项错误；

因为tanh(力)的定义域为凡且tanh(—力)=J————=—tanhQ),所以tanh(力)是奇函数，

ex+e~x

故B项错误；

tanhQ)=-=i——，因为e2。是增函数，e?。+1是增函数且恒为正数,所以-^―是减函数，

e^+e^e2x+le2x+l

故tanh(力)是增函数，故。项错误；

由。项可知函数tanh(x)在H上单调递增，所以当TW0时，tanhQ+T)丰tanh(力)，所以函数tanh(a?)

不是周期函数，故。项正确.

故选：c.

c2oi—4_1

6.(2024.陕西榆林.模拟预测)已知函数/(①)=~9+工一1在区间［a,b］上的值域为［砚河］.若a+

ex

b=4,则7n+Al的值为()

A.8B.6C.4D.2

【答案】。

【分析】根据题意可得函数/(力)在［。向上递增，利用a+b=4可得馆+M的值.

_.,「2/一4—1

【详解】解法1：因为/(力)=-------Fa;-1=ex~2—e2~x+x—1,

ex~2

所以/(4一力)+/(i)=2,

所以/(宏)关于(2,1)对称.

因为a+b=4,函数/(力)在区间［a,b］上的值域为［m,M］，所以m+M=2.

Q2C—4_i

解法2:因为f⑸=----------\-x—l=ex~2—e2~x+x—1在［a,b］上递增，

呼一2

所以7n+7W=/(a)+f(b)=/(4—a)+/(a)=2.

2/—4i

解法3:取a=0,b=4,因为f(x)=————----FT—1=ex~2—e2~x+x—1在［0,4］上递增，

ex~2

所以nz+M=/(0)+/(4)=2.

故选D.

题型02内外自复合型f(73))

【解题规律•提分快招]

对于嵌套型复合函数y=/[gQ)]的零点个数问题，求解思路如下：

⑴确定内层函数a=g(c)和外层函数g=/(〃)；

⑵确定外层函数沙=/(〃)的零点〃=W(i=1,2,3,....n)；

⑶确定直线〃=%(i=1,2,3,....n)与内层函数〃=g(2)图象的交点个数分别为，o1,&2,&3.

....,®则函数y=/[gQ)]的零点个数为的+电+(I3.........+an.

注意:抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质.

【典例训练】

一、单34s

7.(24-25高三上•广东•期中)已知函数/(*)=[y+2，，若方程/(/(乃)=J有且仅有一根，则

x<0N

实数R的取值范围是()

A.(-j,0)B.[-1,0)C,[0,+co)D.(一卷,+8)

【答案】A

【分析】分别讨论k>0及％V0,根据/(，)的值，确定实数k的取值范围.

【详解】若后)0,则/(/(2))=<O/Q)=-1,

而当力>0时/(力)>2,当力V0时/(力)>0,所以于(x)=—1无解；

若k<0,则/(/(2))=]0/3)=-1或/(2)=—表，

其中于(x)——1有一根为一7"，则由题意知/(。)—~~^r无解，

k2k

而当220时/(M42,当cVO时/(2)VI,所以/Q)的值域为(-00,2],

从而--\>2,解得左〉一3,所以-与<&<0.

2k44

综上，k的取值范围是(号,0),

故选：A.

f2_o7>0

8.(24-25高三上•江苏无锡•阶段练习)已知函数/(2)=T'?，若函数g=/(/(/))—k有3个

[―re+1,rc<0

不同的零点,则实数A;的取值范围是()

A.(1,4)B.(1,4]C.[1,4)D.[1,4]

【答案】B

【分析】先求出f(f(G)的解析式，画出函数图象，根据"=/(/(/))和g=k有3个不同的交点可得出.

【详解】当a;<0时，/(力)>0,则/(/(/))=f(—x+l)=(—X+1)2—3=X2—2X—2,

当04力<〃^时，/(力)VO,

则/(/㈤)=/(炉一3)=-x2+4,

当rc>V3时，/(力)>0,/(/("))=f(x2—3)=>—662+6,

x2—2x—2,x<0

所以/(/(/))=<—/+4,0<a?<V3,

T4—6rr2+6,

当力〉V3时，y—xA—6〃+6=(x2—3)2—3,

因为方="-3单调递增且亡>0时0="一3单调递增，

所以g=(〃—3)2—3在[通，+8)单调递增，且Umin=-3,

故画出函数g=/(70))图象如下图所示，

函数y=f(J(x))—k有3个不同的零点等价于g=/(/(力))和。=左有3个不同的交点，

所以由图象可得1VkW4.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题关键在于将函数g=/(/Q))—k有3个不同的零点转化为"=/(/(/))和y=k有

3个不同的交点的分析，树形结合简化问题的难度.

rzy»2I-370

9.(24—25高三上•福建泉州•阶段练习)已知函数/(，)=,'，则方程/(/(为)=k的实

[log2c—2,力>0

数解的个数至多是()

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【分析】根据复合方程问题,换元力=/(，)，作函数图象分别看内外层分别讨论方程/(/(，))=k根的个数情

况，即可得答案.

【详解】设力=/(2),则/(/(c))=%化为/⑴=k,

x2+2x—3,cWO

又/(土)=

log2T—2,力>0'

所以f(0)=-3=/(-2)=//)J(-L)=-4=哈),

作出函数/(力)的大致图象，如图

由图可得，当k>—3时，/⑴=k有两个根力iV—2,力2>],

即t=/(a?)<—2或t=/(力)>],此时方程/(/(力))=%最多有5个根；

当一4Vk4-3时，f(t)—k有三个根一2&t\V-1,—1V大2&。，34,

即一24力=y(rc)<—1或一1Vt=f(x)<0或1<力=f(x),

此时方程/(/(c))=A;最多有6个根；

当k=-4时，/(力)=k有两个根ti=-1,%2=?,即/(2)=-1或/(C)=；,

此时方程/(/(2))=&有4个根；

当k<—4时,/(t)=k有一个根0ctV：,即0</(x)<.,

此时方程/(/(乃)=A;有2个根；

综上，方程/(/(2))=用的实数解的个数至多是6个.

故选:B.

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

⑴直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用

数形结合的方法求解.

题型03内外双函数复合型fS3))

【典例训练】

一、单选题

QX-4-XX<0

10.(24—25高三上•天津武清•阶段练习)已知函数/(%)=((5.，9(2)=/2—。力+1,若夕=

[|力一4力+3],力>0

g(/3))有6个零点，则Q的取值范围为()

B.(y-y-)C.⑶+8)D.(-|-(3]

【答案】B

【分析】作出函数图象，进行分析，g(c)=x2—ax+1最多有两个零点，根据/(力)最多4个零点，用数形结合

讨论各种情况，根据一元二次方程根的分布即可得出结果.

【详解】由题可得函数图象，当k=0或2VkV3时，/(%)=k有两个解；

当0VkV1时，/(%)=k有4个解;

当时，/(/)=k有3个解；

当k>3时，/(力)=%有1个解；

因为g(x)=x2—ax1=0最多有两个解.

因此，要使g=g(/(力))有6个零点，则g(x)="—QN+1=0有两个解，设为k19k2.

则存在下列几种情况：

/(X)=自有2个解,/(x)=的有4个解，即自=0或2V自V3,0Vk2Vl，显然g(0)*0,

5(0)>01>0

5(1)<0即；一，解得建5_10

则此时应满足<g⑵"

5—2a<0

,5(3)>010—3a>0

/3)=自有3个解,/(°)=用有3个解,设自〈的即14自〈2,1〈饱42,

<7(1)=2—a>0

g(2)=5—2a>0

则应满足，，无解，舍去,

△=a2—4>0

l<f<2

综上所述，a的取值范围为信用.

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法:

⑴直接法:直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法:先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

(3)数形结合法:先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用

数形结合的方法求解.

二、填空题

工/2—23力＞0

11.(24—25高三上•福建莆田•阶段练习)已知函数/(为=9'，若函数"=/(/(*)—小)+

2X,x＜0

!■有3个不同的零点，则实数m的取值范围为.

【答案】{―3}U[—2,0)

【分析】令力=/(/)—小,根据函数解析式以及零点解得力=1或力=3,分析可知y=/(力)与y=m+\、y=

馆+3共有3个不同的交点，结合图象分析求解即可.

【详解】令力=/(%)一＞,则y=fS+y=0,

若力＞0,可得[■力2—2力+,=o,解得力=1或力=3;

若力＜0,可得2。+等＞得＞0,无解；

综上所述：/(力)—m=l或/(力)-771=3,即/(力)=771+1或/(力)=771+3,

由题意可知：y=f(x)与g=7n+l、g=?n+3共有3个不同的交点，

作出n=f(oc)的图象，如图所示，

显夕戈7n+1＜馆+3可得(山+1=_21-2＜m+l＜l

''十十」仔[―2＜小+3＜1双Vn+3'l'

解得nz=—3或一2V0,所以实数nz的取值范围为{-3}U[—2,0).

故答案为：{—3}U[—2,0).

12.(24—25高三上・福建宁德•期中)已知/(比)=ex—ax(aER),g(x)=，若函数:=/(g(t))—a恰

有三个零点，则a的取值范围为.

【答案】

【分析】先通过导数研究g(c)的单调性与最值，结合换元法将问题化为d=a(t+l)的零点问题，根据导数

的几何意义计算参数即可.

【详解】设g(c)=t，则/(t)=a,g'(x)=e1——野^=0,得rz：=e,

x2

当力e(0,e)O(/)＞0,g(力)单调递增，

当力e(e,+00)0(力)v0,g(%)单调递减,

当力二e时，函数g(力)取得最大值1,

如图1,画出函数t=g{x)的图象，

由f（t）=Q，即二一威=Q，则e，=o1（%+l）,g=a（力+1）恒过点（—1,0）,

如图，画出函数g=e”的图象,设过点（一1,0）的切线与g=e%相切于点（加小）,

则［=e"。,得/o=0,即切点（0,1）,所以切线方程为y-x-\-\,

力o+1

如图2,则y=a（t+l）与g=e%有2个交点，a>1,

如图可知，若函数p=/（g（力））+a恰有三个零点，则一1<力1<0,0V力2V1,

则6/>0（1+1）,所以。〈5，

综上可知，1VQV.

故答案为：（l,5）

【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点问题，通常利用换元法与数形结合的思想.

题型04二次型因式分解型a［f（x）T+VQ）+c

【典例训练】

一、单选题

13.（24-25高三上•江苏南京•期中）已知/（力）=—x2+2\x\，若关于力的方程［/（x）］2+mf（x）+n—

0（nz,7zeR）恰好有三个互不相等的实根，则实数m的取值范围为（）

A.m<—1B.m&UC.mV—1或nz>0D.7n=0或?nV—1

【答案】。

【分析】分方程廿+m1+九=0的两根是否相等，结合/（劣）的函数图象讨论即可.

【详解】记方程/+沅+n=0的两根为方1也（右力2），

当打W力2时，［/（力）『+^+口=0（馆,九ER）恰好有三个互不相等的实根，

等价于/（力）与^=力1和沙=力2共有三个不同的交点，

由图可知，此时有力1=0也>1,

9

71=力止2=0

—m=/；i+力2=力2>1,得馆V—1；

{m2—4n>0

当力1=力2时，，[/(劣)了+时(力)+九=0(m,?ie_R)恰好有三个互不相等的实根,

等价于/(x)与g=11有三个不同的交点，

n=力止2=0

—772=力1+力=20，得m=0.

{m2-4n=0

综上，实数m的取值范围为M=0或772V—1.

故选：。

【点睛】方法点睛：一般地，判断形如/(gQ))的嵌套函数的零点个数或根据函数的零点求参数的取值范围

时，可采用换元法，先令gQ)=力，求解当f(t)=0时力的值，然后根据函数g(x)的图象及性质确定当g(力)=

t时，x的值的个数即为/(g(6))的零点个数.解答时注意数形结合，侧重对函数/(力)与gQ)图象性质的分

析.

14.(24-25高三上.福建泉州.阶段练习)已知函数小)=匕二+],7>>Q

，若关于工的方程产(为一

力40

24Q)+a2—1=0有8个不相等的实数根,则实数a的取值范围为()

A.[2,4]B.[2,4)C.(2,4)D.(2,4]

【答案】B

【分析】设/(，)=£，将方程产⑸—2a/(a?)+a?—1=0有8个不相等的实数根,转化为关于t的方程乎一

2at+/—1=0有两个不相等的实根1V5,设g(t)=£2—2at+a2—1,根据二次函数图象的性质,

g⑴川

)〉?，解不等式组即可求出实数的取值范围.

得出k5a

l<a<5

4=(-2a)2-4(a2-l)>0

【详解】作出f{x}的图象如下,

•M

设/(2)=t,则关于工的方程产(2)—2af(x)+4—1=0化为t2—2at+a2—1=0,

观察图象知，直线y