高考数学模拟大题规范训练25（含答案及解析）

高三数学大题规范训练(25)

15.已知4、b、c分别为VA3C的三个内角A、B、C的对边长，a=2,且

(b+2)(sinA—sinB)—c(sinB+sinC).

(1)求角A的值；

(2)求VABC面积的取值范围.

16.已知等差数列｛4｝的公差为2,记数列也｝的前〃项和为［=0也=2且满足

b"+i=2S*+a,.

(1)证明：数列出+1｝是等比数列；

(2)求数列｛%2｝的前n项和T,.

17.如图，在斜三棱柱ABC-中，平面ABC,平面ACFD,AB±BC,四边形

7T

ACED是边长为2的菱形，ZDAC=~,BC=1,M，N分别为AC,DE的中点.

3

(1)证明：BC±MN.

(2)求直线MN与平面BCD所成角的正弦值.

22

18.已知椭圆C：=+与=l(a〉6〉0)的左、右焦点分别为我1，尸2，点A在C上，当

ab

i27r

轴时，34|=5；当|4耳|=2时，ZfJAF,=y.

(1)求C的方程；

(2)已知斜率为-1的直线/与椭圆C交于M,N两点，与直线x=l交于点。，且点M,N

在直线x=l的两侧，点P(l/)Q>0).^\MP\-\NQ\=\MQ\-\NP\,是否存在到直线/

高三数学大题规范训练(25)

15.已知4、b、c分别为VA3C的三个内角A、B、C的对边长，a=2,且

(b+2)(sinA—sinB)—c(sinB+sinC).

(1)求角A的值；

(2)求VABC面积的取值范围.

【答案】(1)§

⑵日

【解答】

【分析】(1)根据条件，用正弦定理进行化简，再结合余弦定理即可得到结果；

(2)由正弦定理，结合三角形的面积公式可得S=▲•述sinB延sinCsinA，再结合

233

三角函数的性质即可得到结果.

【小问1详解】

由条件，可得偿+Q)(sinA—sin5)=c(sin5+sinC),

由正弦定理，得(b+Q)(a—b)=cS+c),所以〃+。2—4=—A，

所以cosA="+广_"一=_工，因为Ae(0,兀)，所以A==.

【小问2详解】

由正弦定理，可知一^―=—^=—匕=生8,

sinBsinCsinA3

5=-&csinA=---sinB■—sinCsinA=—sinBsinC

22333

2sin8cos8—空sit?8

3

sin2B-^-(l-cos2B)

八兀、兀「兀5兀、「।A/3

'['3）’%七不J'.•.['H-

16.已知等差数列｛4｝的公差为2,记数列也｝的前〃项和为S”,4=0也=2且满足

%=2S“+a〃.

（1）证明：数列也+1｝是等比数列；

（2）求数列｛%2｝的前〃项和北.

【答案】（1）证明见解答；

（2）工,=\~1----+

【解答】

【分析】（1）根据通项与前〃项和之间的关系，作差可得2+i=3么+2,即可利用等比数列

的定义求解，

（2）根据错位相减法求和以及分组求解，结合等差等比数列求和求解.

【小问1详解】

〃22时，d+i=2（Sn-S,1_1）+an-%=2bn+2,即b,l+l=3d+2.

又4=0,a=2,也符合％=3々+2,

所以〃21时，2-i=32+2,即仅M+1=3(〃+1).

又4+l=lw0,所以2+lw0,

b+1

所以常订=3,所以数列｛2+1｝成等比数歹!J.

【小问2详解】

由(1)易得a=3"J1.由d=2仇+。1可得4=2,所以a,=2〃.

所以anbn=2"(3"T—1)=2"•3"T—2n,

所以T=2(L3°+2-3i+3・32+…+〃.3"-1)-4(九+1).

令M=l-3°+2?+3-32+—+"-3"T，

则3M=L3i+2+32+3+33+…+〃・3"，

所以2M=—(3°+3+3?+…+3"-')+"•3"=〃•3"—=⑶一丁+1,

./、(2/7—11-3,!+1/、

所cc以7；=2Af—"("+1)=^------1----------/2(«+1).

17.如图，在斜三棱柱ABC-D£F中，平面ABC,平面AC£D,AB±BC,四边形

7T

ACED是边长为2的菱形，ZDAC=~,BC=1,M，N分别为AC,DE的中点.

3

（1）证明：BCLMN.

（2）求直线MN与平面5QD所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解答

5

【解答】

【分析】（1）根据题干,先证明DM，平面ABC，从而得到。加，3C，又因为，5C，

再得到平面MWO,进而得到5CLMN；

（2）在点3建立空间直角坐标系，求出直线MN与平面BCD中各点的坐标，再利用线面

夹角公式代入求解即可得到.

【小问1详解】

证明：如图，连接DM.

JT

因为四边形ACED是边长为2的菱形，ZDAC=~,

所以△ADC为等边三角形，则。

又平面ABC_L平面,平面ABC。平面AGED=AC,DMu平面4CFD,

所以DM,平面ABC，

因为BCu平面ABC,所以/)・拉，3C.

因为AB±BC,所以。EJ_BC.

因为ZWcQE：。，。〃,。£<=平面附〃)，所以3CL平面NMD.

又MNu平面NMD,所以BCLMN.

【小问2详解】

如图，过3作DM的平行线为z轴，结合(1)知z轴，班，5c两两垂直.故可建立如

图所示的空间直角坐标系，

则3（0,0,0）,C（l,0,0）,Mg，#，0，D1与市,A（O,AO）,

则加=［；,*,⑸，反=（1,0,0）,5A=（0,A/3,0）.

（22J

设平面BCD的法向量为为=(x,y,z),

1

ft-BD=0,一X+

则一得《2

n-BC=0,

%=0,

取y=2,得z=—1，则）=（0,2,—1）.

因为N为DE的中点，所以。N=-!E£>=—1&1=0,-

22

/、

又加=(0,0,_百'所以丽=胸_/|/=0,-73，百.

7

—_MN-n-2A/34

EIcosMN,n=।/—=—T=-------=—

5

则|W||n|岳x、*-

设直线MN与平面BCD所成的角为。，则sin©=|cosM?V,«|=|,

4

即直线MN与平面BCD所成角的正弦值为y.

22

18.已知椭圆C:工+与=1(。〉6〉0)的左、右焦点分别为6，F2,点A在C上，当

ab

4耳，％轴时，3周=—；当|4周=2时，AFAF=—.

23X2

(1)求C的方程；

(2)已知斜率为-1的直线/与椭圆C交于M,N两点，与直线x=l交于点。，且点M,N

在直线x=l的两侧，点P(l/)(t＞0).^\MP\-\NQ\=\MQ\-\NP\,是否存在到直线/

的距离d=的尸点？若存在，求f的值；若不存在，请说明理由.

2

【答案】(1)—+/=1

4

(2)存在，t=-

2

【解答】

【分析】(1)利用通径公式和椭圆定义，结合余弦定理即可建立方程，从而可求解椭圆方

程；

(2)由点M,N在直线x=l的两侧可得1—走＜加＜1+走，设直线/：x+y=m,点

22

M(X，K),N(%,%)，联立椭圆方程，消元，利用韦达定理可得%+%=飞-,

p

%%=^U•根据1VHNQ=|M2卜|NP|，得到kMP+左VP=0.代入斜率公式，得到

(4m-5)f=4-m,再由d=利=1=J5,求出机的取值范围

即可.

【小问1详解】

右211

当A居J.X轴时，忆耳|=乙=；,即ku/。①，

当|AFj|=2时，|AE,|=2a—2,

在△4耳心中，归同=2c,由余弦定理可知，

\AF^+\AF2f-闺阊2=2g第A阊cosN不第,

即2+（2a-2）2-（2c）2=2x2x（2a—2）x

整理，可得4―02—a+i=o，即〃=a—i②，

由①②，解得a=2,b=1.

2

所以C的方程为土+y2=i.

4

【小问2详解】

设直线/：x+y="2,点Af（%，x）,N（%2，%），

令x=l,则］+y2=l,y=±,

42

由点M,N在直线x=l的两侧，可得1——</77<1+—

22

x+y—m

联立《X221消去无，XTW5y2-2my+m2-4-0,

—+V=1

14'

则A=4m2-20（m2—4）=16（5—扇）>0恒成立,

b”2mm2-4

所以/+%=，X%=---

因为|"?「凶。|=|"2卜|加|,所以岗=需，

smZMQPsinZNQP

由正弦定理'得sin/MPQ-sin/NPQ

而NMQP+NNQP=71,即sinNMQP=sinNNQF,

所以sinNMPQ=sinNNPQ,而/MPQ+/NPQ=/MPN〈冗,则/MPQ=/NPQ,

y-ty-t„y-t必一八

所以^MP+^NP=。，则；]3i+—?=0'即不}不1+工zr°，

即_2%%+（0+._1）（必+%）_2（0_1）r=0,

整理，得4一根一4根%+5，=0,所以（4加一5»=4-帆，

昱,所以4—根>0,

因为1—m<1+

22

又"富|>°'所以*<1+兴

|1+^—m|

所以d=0

—4m+8m—1

令1==&，

4m—5,

）3

4--[

结合3<m<1+且，解得巾="|,则,t=—/7一=-5

4224x--52

2

所以r=g时，点p到直线/的距离1=0.

【小结】关键小结：第二问中的关键是能把|〃PHNQ|=|MQHNP|转化为

晶\MP二\局|NP,|由正弦定理,si得nZM嬴Q/P=击sin流ZN,Q从P而得到"PQ="NP。,

即kMP+左稗=0，从而利用斜率公式和韦达定理求解.

19.已知函数g(x)=lnx+mx+L

(1)当机<0时，求g(x)的单调区间；

(2)当相=1时，设正项数列｛玉｝满足：石=1,%+i=g(%)，

①求证：券"1；

n(］、

②求证：£In14—-<1.

*21%)

【答案】(1)答案见解答

(2)①证明见解答；②证明见解答

【解答】

【分析】(1)对g(x)求导，结合导数符号与函数单调性的关系即可得解；

(2)①构造函数/z(x)=lnx—x+l,结合(1)中结论可证得％+i=g(x“)<2x”，而此时

函数g(x)=lnx+x+l在(0,+。)为单调递增函数，从而可得1<七+1<2%，对其变形，结

合累乘法以及不等式的性质即可得证；②通过归纳可得天〉”(▼”〉2),进一步通过放缩可

(1)11

得当“22时，In1+—<--——,由累加法结合不等式的性质即可得证.

(xn)n-1n

【小问1详解】

g(%)=lnx+twc+1的定义域为(0,+oo),

、1nvc+1

g［x)=—+m=-------,

xx

当机<0时，令g'(x)=O,可得%=—―,

m

当0<x<—工时，g'(x)〉O,g(x)单调递增；

m

当x>—"L时,g'(x)<o,g(x)单调递减,

m

当相<0时，函数g(x)在0,-'上单调递增，在［-：,+8)上单调递减.

【小问2详解】

①当初=1时，g(x)=lnr+x+l,

令/z(x)=g(x)-2x,可得〃(尤)=lux-x+1,

由⑴知，函数可尤)在(o,i)上单调递增，在a,+8)上单调递减,

所以々(X)max="(1)=。,所以人(尤)W0，

即g(H<2x,当且仅当龙=1时，等号成立，

所以x“+i=g(X")w2xn,即x„+1<2xn,

又由函数8(%)=111七+1+1在(0,+8>)为单调递增函数，

所以毛=g(%)=2>1,所以毛=g(%)=g(2)>

g(l)=2>l,...,x„+1=g(x„)>g(^)>L

得xn+l>1，

所以l<x,+i<2x“,

所以」42,」<2,上<2,…,一—<2,

石Z%X”T

相乘得，x“W2"T,即券<1得证.

②