高考数学专项复习练习卷：10类球体的外接及内切（含解析）

10类球体的外接及内切解题技巧

（特殊几何体、墙角、对棱相等、侧棱垂直底面、侧面垂直底面、

二面角综合、数学文化、最值、内切、球心不确定）

技法01特殊几何体外接球的应用及解题技巧技法02墙角问题的应用及解题技巧

技法03对棱相等问题的应用及解题技巧技法04侧棱垂直底面问题的应用及解题技巧

技法05侧面垂直于底面问题的应用及解题技巧技法06二面角与球体综合的应用及解题技巧

技法07数学文化与球体综合的应用及解题技巧技法08最值与球体综合的应用及解题技巧

技法09内切球综合的应用及解题技巧技法10球心不确定类型的应用及解题技巧

技法01特殊几何体外接球的应用及解题技巧

哨高年・常见题型解读

对于长方体、正方体、正棱柱、圆柱、正三棱锥、正四棱锥、圆锥、正四面体等特殊几何体，其外接球

通常可以直接求解，是高考的高频考点，常以小题形式考查，需强化训练.

知识迁移球的表面积：5=4兀/?2球的体积：K=-7t/?3

3

底面外接圆的半径『的求法

（1）正弦定理，一=2「（通用）（2）直角三角形：半径等于斜边的一半

sinZ

（3）等边三角形：半径等于三分之二高（4）长（正）方形：半径等于对角线的一半

几个与球有关的切、接常用结论

（1）正方体的棱长为。，球的半径为R,

①若球为正方体的外接球，则2R=四；

②若球为正方体的内切球，则2尺=°；

③若球与正方体的各棱相切，则2R=^2a.

（2）若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=后不再

⑶正四面体的外接球与内切球的半径之比为3：1.

正棱锥类型

(h-R)2+M=R2,解出R

02

跟我学•解题思维剖析

例1-1.（2020•天津・统考高考真题）若棱长为2月的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）

A.127rB.24%C.36〃D.144万

解题

技巧点拨

这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即在“26）2+（2行『+（2.『

所以，这个球的表面积为5=4加腔=4%x3,=36%.

例1-2.（全国•高考真题）长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5,且它的八个顶点都在一个球面上，这

个球的表面积是（）

A.20也兀B.25亚兀C.50%D.2004

技巧点拨

球的直径是长方体的体对角线，所以（242=32+42+52=50,

解得H=逑，所以球的表面积为：5=4万尺2=50万

2

例1-3.（全国•高考真题）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的

表面积为（）

27兀

万

C.9D.~T~

技巧点拨

正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高产口上,记为0,PO=AO=R,尸。1=4,OQ]=4-R,

在RtZXZOOi中，A0、=日

由勾股定理上=2+（4-夫）2得及=；,...球的表面积S=2万

唱篇i•知识迁移强化

1.（陕西・高考真题）已知底面边长为1,侧棱长为血的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的

体积为

32%c4〃

A.-----B.4"C.27rD.—

33

【答案】D

【详解】试题分析：根据正四棱柱的几何特征得：该球的直径为正四棱柱的体对角线，故

243+F+（收）2=2,即得R=l,所以该球的体积%=（万&=g力2=与，故选D.

考点：正四棱柱的几何特征；球的体积.

2.（全国•高考真题）设长方体的长、宽、高分别为2〃,a,a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为

A.3%a2B.6万a?C.12^a2D.24^a2

【答案】B

【详解】方体的长、宽、高分别为2aM。，其顶点都在一个球面上，长方体的对角线的

长就是外接球的直径，所以球直径为：痘，

所以球的半径为逅°，所以球的表面积是=6°27，故选B

212J

3.（全国•高考真题）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为。，顶点都在一个球面上，则该球的表面

积为

711

A.Tia1B.—Tta1C.—TIU1D.STTU2

33

【答案】B

【详解】试题分析：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球

心，

如图:

By

球的表面积为S球=4nx2—=3

3

故选B.

4.（四川・高考真题）如图，正四棱锥尸底面的四个顶点4瓦C,。在球。的同一个大圆上，点p在

球面上，如果噎'B=H，则求。的表面积为（）

D.16%

【答案】D

【分析】根据正四棱锥尸-/BCD的体积公式，列出方程，求得R=2,再利用球的表面积公式，即可求解.

【详解】由题意，设外接球。的半径为尺，则OP=GU=凡/3=应及，

则正四棱锥P-23。的体积为p=1x（V27?）2x7?=y,解得R=2,

所以球。的表面积为5=4;*=4]x2?=16万.

【点睛】本题主要考查了组合体的结构特征，以及锥体的体积、球的表面积的计算，其中解答中根据组合

体的结构特征，结合锥体的体积公式和球的表面积公式，准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能

力。

5.（全国•高考真题）已知正四棱锥O-ABCD的体积为逑，底面边长为百，则以。为球心，0A为半径的

2

球的表面积为.

【答案】24%

【详解】设正四棱锥的高为人则gx（百附=孚，解得高/7=芋.则底面正方形的对角线长为血、百=

y/6，所以0A=—）2+~~=A/6，S以=4兀（y/6）2=24n.

N2I"

6.（广东•高考真题）棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为.

【答案】27n

【分析】正方体的对角线就是球的直径，求出后，即可求出球的表面积.

【详解】解：正方体的体对角线就是球的直径，设其体对角线的长为/,

贝11=A/32+32+32=36，

所以＜7=36，所以7?=*^,所以S=4无甯=27兀.

2

故答案为：27n.

7.（辽宁•高考真题）若一个底面边长为无，侧棱长为痛的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此

2

球的体积为

9乃

【答案】y

【分析】作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面，设正六棱柱的上下底面中心分别为口,。2,球心为。一个

顶点为4可根据题中数据结合勾股定理算出球的半径。4再用球的体积公式即可得到外接球的体积.

作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面，如右图，则该截面矩形分别以底面外接圆直径和六棱柱高为两边,

设球心为0,正六棱柱的上下底面中心分别为

，则球心。是的中点.

•••正六棱柱底面边长为是，侧棱长为V6

2

Rt^AOfl中=，,o0=当

，可得力。=+op1=-

因止匕，该球的体积为忆/

故答案为万.

【点睛】本题给出一个正六棱柱,求它的外接球的体积，着重考查了球的内接多面体和球体积公式等知识点,

属于基础题.

8.（2023•福建泉州•校联考模拟预测）已知正四棱台的高为1,下底面边长为2百，侧棱与底面所成的角为

45°,其顶点都在同一球面上，则该球的体积为（）

A32兀20后

33

C.8面兀D.36兀

【答案】B

【分析】连接NC,过4作/C的垂线垂足为E,过。作NC的垂线垂足为尸，求得上、下底面所在圆的半

径彳=1,々=2,设球心到上下底面的距离分别为4,球的半径为R,利用球的截面圆的性质，列出方程

求得R2=5,结合球的体积公式，即可求解.

【详解】设正四棱台上下底面所在圆面的半径分别为小弓，连接ZC,

过4作ZC的垂线垂足为E，过C1作/C的垂线垂足为尸，

因为正四棱台的高为1,下底面边长为2亚，侧棱与底面所成的角为45。,

可得/E=C尸,E尸=/Q]=2,即4=1,々=2,

设球心到上下底面的距离分别为4,《，球的半径为五，

2

可得4=J/??—1，d2=ylR—4f故|&|=1或4+d2=1，

即IJ7?2—1—41=1或,&2_]+,夫2_4=],解得R2=5,符合题意,

所以球的体积为忆=4成3=3的加

33

技法02墙角问题的应用及解题技巧

喟3•常见题型解读

墙角模型（三条直线两两垂直）可直接补形为长方体，进而转化为长方体的外接球，可快速求解.

知识迁移墙角模型（三条直线两两垂直）

补形为长方体，长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为凡贝！］27?=7层+抉+。2.

02

’岗里皇掰题,段壁所

例2.（2023•广西模拟）己知三棱锥N-3CD的四个顶点4B,C,D都在球。的表面上，平

面3cD,且AC=2叵BC=CD=2,则球。的表面积为

A.4万B.8万C.16万D.2近兀

技巧点拨o

由题意可知C4CRCD两两垂直，所以补形为长方形，三棱锥与长方体共球，（2R『=（2后『+22+22=16,

求的外接球的表面积S=4万尺2=16万

叫零%i•知识迁移强化

1.（2023•天津河西•统考二模）在三棱锥P-A8C中，P/_L平面A8C,PA=40，AB=AC^4,ZCAB=90°,

则三棱锥尸-4BC外接球的表面积为（）

A.32兀B.48KC.64兀D.128兀

【答案】C

【分析】三棱锥P-ABC补成长方体ABDC-PEFG,计算出长方体ABDC-PEFG的体对角线长，即为三

棱锥尸的外接球直径长，再利用球体表面积公式可求得结果.

【详解】在三棱锥中，尸/，平面NBC,PA=4g，AB=AC=4,ZCAB=90°,

将三棱锥尸-4BC补成长方体4BDC-PEFG,如下图所示，

所以，三棱锥尸-N8C的外接球直径即为长方体48DC-P£FG的体对角线长，

设三棱锥尸-A8C的外接球直径为2R,则2R=J/Bi+NC'+N尸=8,则尺=4,

因此，三棱锥尸-/3C外接球的表面积为S=4成2=64兀.

故选：C.

2.（2023上•浙江•高二校联考期中）在三棱锥P-/3C中，以、/2、/C两两垂直，AP=3,BC=4,则

三棱锥外接球的表面积为（）

A.1271B.20兀C.2571D.36兀

【答案】C

【分析】首先三棱锥补成长方体，利用长方体的外接球的半径公式，即可求解.

【详解】如图，将三棱锥补成长方体，

三棱锥的外接球就是长方体的外接球，所以2R=AB2+AC2+AP2=^AP-+BC2=d+4?

则三棱锥外接球的表面积S=MR?=25兀.

故选：C

3.（2023•全国阶段练习）三棱锥尸-N8C的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别是1、1、逅

222

则该三棱锥的外接球的体积是（）

A.7TB.-----71C.布＞TlD.8面Tl

33

【答案】C

【分析】三棱锥尸-/8C的三条侧棱P4、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接

球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的体积.

【详解】三棱锥P-A8C的三条侧棱尸N、PB、PC两两互相垂直，

它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，

设PA=a，PB—b，PC=c,

则!M=交1V6

-ca=----,

2222

解得，a=V2，6=1,。二百.

则长方体的对角线的长为痛.

所以球的直径是指，半径长R=",

2

4厂

则球的表面积S=§位3="兀，

故选：C.

技法03对棱相等问题的应用及解题技巧

叫曾考•常见题型解读

对棱相等可直接补形为长方体，进而转化为长方体的外接球，可快速求解.

知识迁移

推导过程：通过对棱相等，可以将其补全为长方体，补全的长方体体对角线为外接球直径，设长方体的长宽

高为别为a,b,c

\f

AD=BCa2+b2BC2=A2

ABCD'b2+c2=AC2=F

AC=BD）lc2+a2—AB2=k2

,A2+//2+k2+.2+.2

a29+b2+c2=7---------------nR=----------------

11

VA-BCD=abc——abcx4=—abc

63

或者R='/+”+c2

2

02

跟我学•解题思维剖析

例3.（2023・河南・开封高中校考模拟预测）已知四面体48c£＞中,AB=CD=25AC=BD=标，

AD=BC=a，则四面体4BCD外接球的体积为（）

15

A.457rB.与C.竺叵D.24后

22

・■■■技母巧E占点卅拨A。

四面体48co在一个长宽高为6,c的长方体中，如图，

D

，则|；弋故R=2

+/745

------=------,

2

故四面体八BC。外接球的体积为厂=d兀&3=f兀*史空=今叵

3382

吃菜M•知识迁移强化

1.（2023•辽宁•鞍山一中校联考模拟预测）在三棱锥P-A8C中，PA=BC=4,PB=AC=5,PC=AB=

则三棱锥P-NBC的外接球的表面积为（）

A.26兀B.12TIC.8兀D.24兀

【答案】A

【分析】根据给定条件，构造面对角线长分别为4,5,而的长方体，求出其体对角线长即可求解作答.

【详解】三棱锥尸一48c中，PA=BC=4,PB=AC=5,PC=AB=^A,

构造长方体，使得面上的对角线长分别为4,5,VTT-则长方体的对角线长等于三棱锥尸-/3C外接球的

直径，如图，

设长方体的棱长分别为无，y>z,则/+了2=16,y2+z2=25,%2+z2=11,则x?+/+z?=26,

因此三棱锥外接球的直径为必，

所以三棱锥P-ABC外接球的表面积为4,1.（孚产=26,1.

故选：A

2.（2023•甘肃张掖・统考模拟预测）在四面体4-BCD中，AB=CD=5,AD=BC=5,AC=BD=/,

则四面体力-BCD外接球表面积是（）

256

A.64兀B.32兀C.256兀D.兀

3

【答案】B

【分析】利用割补法及勾股定理，结合长方体的体对角线是外接球的直径及球的表面积公式即可求解.

【详解】由题意可知，此四面体力-BCD可以看成一个长方体的一部分，长方体的长、宽、高分别为百，V25-

2,四面体4-BCD如图所示,

所以此四面体/-的外接球的直径为长方体的体对角线，即（2©2=（6『+（岳『+2?,解得立=2拒.

所以四面体力-BCD外接球表面积是S=4成2=4x7tx（2⑹°=323t.

故答案为：B.

3.（2023・四川成都•树德中学校考三模）已知三棱锥尸-/BC的四个顶点都在球。的球面上,

PB=PC=2>!5,AB=AC=4,PA=BC=2,则球。的表面积为（）

3167915879

A.71B.—71C.71D.—兀

151555

【答案】A

【分析】根据给定条件，证明尸平面N3C,再确定球心。的位置，求出球半径作答.

【详解】在三棱锥P-/5C中，如图，AB2+PA2=20=PB2,则尸同理尸

而n/c=/,AB,ACC平面ABC,因此尸/_L平面ABC,

在等腰“3C中，AB=AC=4,BC=2,贝l]2^_1«sinZABC=y/1-cos2ZABC=—1

COSZCZLIJCZ-------------——A

AB44

1AC

令“BC的外接圆圆心为。一则。。一平面”C,olA=-.—^

有OOJIPA,取P/中点。，连接。。，则有OZ）_LP/,又。/U平面N8C,即QN-LP/,

从而O///。。，四边形OD4Q为平行四边形，OQ=/D=1,又

22）22_

因此球O的半径K=OA=OtA+002=（+1=；

所以球。的表面积s=4而2=得兀.

故选：A

技法04侧棱垂直底面问题的应用及解题技巧

喟3・常见题型解读

侧棱垂直底面问题可直接补形为直棱柱，进而用公式直接计算，可快速求解.

知识迁移侧棱垂直与底面-垂面型

02

跟我学•解题思维剖析

例4-1.（2023•宁夏银川•宁夏育才中学校考三模）三棱锥尸-48C中，尸/，平面A8C,

NABC=90。,AB=1,BC=M,PA=2,则三棱锥尸-NBC的外接球的表面积为（）

A.32兀B.16兀C.8兀D.12兀

解题

技巧点拨

先计算底面截面圆半径/="江+'C?=1,由另=Jr2+《）2=&,表面积=8兀

例4-2.（辽宁•高考真题）已知S,48,C是球。表面上的点，5/，平面48。，/318。，SA=AB=1,BC=6，

则球。表面积等于

A.4乃B.3万C.24D.兀

技巧点拨o

球心0为SC的中点，所以球0的半径为：SC=1,所以s球=4万

雅磊福•知识迁移强化

1.（2023•山西吕梁•统考二模）在三棱锥尸-/BC中，已知产/上底面/3C,CA=CB=PA=2,AC1BC,

则三棱锥外接球的体积为（）

A.167tB.4JJ兀C.48兀D.12缶

【答案】B

【分析】设中点。'，尸工中点。，由直角三角形外接圆为斜边中点，且由题意可知。。7/尸/,所以

底面/BC,则O为三棱锥尸-/3C外接球的球心，可解.

【详解】设中点。'，P/中点。，

由C/=CB=2,AC1BC,所以AABC的外接圆直径2厂=28=20，

且圆心为。'，

由于产/上底面4BC,OO'UPA,所以。。」底面43C,

则O为三棱锥尸-48C外接球的球心，

所以外接球的直径27?=P8=26，

所以外接球的体积忆=§成3=46兀.

故选：B

2.（2023・海南・统考模拟预测）已知三棱锥P-/5C的四个顶点都在球。的球面上，尸4,平面45C,在底

面“3C中，B=[,BC^2,AB^—,若球。的体积为茄兀，则尸N=()

42

31

A.1B.-C.-D.2

42

【答案】A

【分析】由球体积公式求球体半径，正余弦定理求“BC外接圆半径，结合线面垂直模型求尸/即可.

【详解】由题意，设球。的半径为K，则33t*=痂0尺=曲,

32

由=次+-2/mBCcos8=3n/C=巫，

22

^ABC外接圆半径r=,

2sin52

根据线面垂直模型知：R2=也十户nPA=2xJ---=1.

4V24

故选：A

7T

3.（2023・四川•校联考模拟预测）在三棱锥尸中，尸4,平面45cp4=61C=3,/C45=：,则三棱

6

锥尸-45。的外接球的表面积为（）

A.72兀B.36兀C.108兀D.144兀

【答案】A

PA

【分析】先用正弦定理求出“3C外接圆的半径『，然后利用&=/+（手丫求出三棱锥尸外接球的

半径R,即可算出表面积.

【详解】设“8C外接圆的半径为「，圆心为O,

cBC3

2尸=--------=-----=n

根据正弦定理，则sinZCAB.兀，故r=3,

sin—

6

设三棱锥尸-45。外接球的半径为R,球心为O,

B

由。4=OP,可知AOP/为等腰三角形，

过。作。。_1尸4于。，则0为P/中点，由尸4_L平面48C,。。'，平面/8C,

故则尸,4。,。共面，

因为P/_L平面4BC,ONu平面/BC,所以P4_L。3,

又。。_LP4,故O0//。'/,于是四边形。。/。'为平行四边形，

因为尸/，。宜，所以四边形。"。'为为矩形，

pA

贝UR?=r+（彳）2=18,故三棱锥尸-48C的外接球的表面积为4位?2=72兀.

故选：A.

4.（2023•江西•江西师大附中校考三模）已知正方体9CD-44GA的棱长为2,E为棱CQ上的一点，且

满足平面8OE，平面4助，则四面体48CE的外接球的表面积为（）

A.9兀B.18兀C.36兀D.81兀

【答案】A

【分析】确定4”，平面5DE,得到族=1,根据勾股定理确定E为CG中点，将四面体48CE放入长

方体ABCD-EFPQ中，计算半径得到表面积.

【详解】如图所示：H为8。的中点，连接4”,A.E,EH,

。G

AtB=AD,则4H1BD,4Hu平面AXBD,平面BDEc平面A}BD=BD,

平面BZ)E_L平面4助，故4H，平面ADE,

HEu平面BDE,故&HLHE,

设CE=a,贝!14〃=6，HE=1a2+2,4E=,8+(2-〃J,

222

AXE=AXE+HE,即8+(2—〃)2=6+/+2,解得。=1,

将四面体ABCE放入长方体ABCD-EFPQ中，

._________3

设四面体4SCE的外接球半径为H,则2&=，22+22+『=3,7?=-,

9

外接球的表面积S=4成92=4兀x-=9兀.

4

故选：A.

技法05侧面垂直于底面问题的应用及解题技巧

喟;考•常见题型解读

侧面垂直于底面是切接问题中相对较难的模型，需要先确定球心位置，然后求出半径即可求解，需重点

强化练习.

知识迁移侧面垂直与底面-切瓜模型

如图：平面PAC1平面BAC,AB1BC(AC为小圆直径)

(1)由图知球心。必为△「人(7的外心，即APAC在大圆面上，先求出小圆面直径

4c的长；

(2)在aPAC中，可根据正弦定理号=2凡解出R

如图：：平面P4CJ_平面BAC,P4=PC,4B1AC

(1)确定球心。的位置,由图知P,。,“三点共线；

(2)算出小圆面半径4H=z"，算出棱锥的高PH=/i

(3)勾股定理:。口2+=OA2

今(h—R)2+「2=R2,解出R

02

跟我学•解题思维剖析

例5-1.（江西•高考真题）矩形48co中，AB=4,8c=3,沿/C将4BCD矩形折起，使面A4C，面D/C,

则四面体的外接球的体积为（）

技巧点拨

如图:

矩形N3CD中，因为48=4,BC=3,所以O8=/C=5,

设。8交NC于。，则。是RtA48c和RtVDAC的外心，

所以。到点43,C,。的距离均为：，所以。为四面体的外接球的球心，

2

所以四面体4-BCD的外接球的半径五=：,所以四面体力-BCD的外接球的体积忆=士x乃x（.

例5-2.（2023•黑龙江大庆•统考二模）如图，边长为石的正方形/BCD所在平面与矩形48跖所在的平面

2

垂直，BE=2,N为4b的中点，EM=-EF,则三棱锥”-5NC外接球的表面积为（）

25兀

~\2

技巧点拨o

由EM=—EF可知，FM=—,FN=NA=1,可求MN=，NB=2，MB=,

3333

因为平面ABCD1平面ABEF,平面ABCDc平面ABEF=AB,

又BCLAB,BCu平面48。,

所以8c4平面4S£凡BWu平面/8EF,所以8c_L8M,

由=拽，8c=6，得MC=巫,

33

又NB=2,同理可得得NC=V7,又aw=2叵，

3

2=MC

所以A£V2+NC2=孚］+(V7)=Y"，所以WNC.

所以MC为外接球直径，

在RtZkAffiC中MC=辿，即尺=述,

36

故外接球表面积为S=4nR2=—.

琦篇福•知识迁移强化

1.（2023•全国•模拟预测）如图所示，已知三棱锥S-4BC中，底面4BC为等腰直角三角形，斜边NC=2后,

侧面为正三角形，。为的中点,底面48C,则三棱锥S-43C外接球的表面积为（）

C

A.L1428

B.——兀C.7兀D.——71

333

【答案】D

【分析】设三棱锥S-n8C外接球的球心为O,确定球心的位置，即球心落在过底面外心的垂线上，利用图

形的几何性质求得外接球半径，即可求得答案.

【详解】如图，设E是NC的中点，连接DE,。为4B的中点，故DEUBC,

底面为等腰直角三角形，即故DE1AB；

设三棱锥S-/3C外接球的球心为。，

连接。4。5,。8,。£,

因为底面N8C为等腰直角三角形，£是/C的中点，

即£为“8C的外心，故OE_L平面4BC,

在等腰直角三角形A8C中，斜边/C=20，则/B=8C=2.

因为是正三角形，所以ZS=SB=2,

因为CU=O8=OS,所以三棱锥是正三棱锥，

所以。在底面&43上的射影下是的重心，

则点尸在⑼上，所以DF==SD=LXGAB=6.

3323

因为S_D_L底面48C,故OEHSD，

而DEu底面48C,故SD_LDE,

又因为DE248,AB[}SD=D,48,SDu平面£43,故」平面山8,

而OF_L平面>£48,故OFIIDE,

故四边形。成才'是矩形，所以OE=DF=g,所以。/=反+。石2=SJ=浮,

所以三棱锥S-ABC外接球的半径R=叵,其表面积为4成2=§兀，

故选：D.

2.（2023•江西九江・统考一模）三棱锥/-BCD中，△48。与△BCD均为边长为2的等边三角形，若平面

平面3cD,则该三棱锥外接球的表面积为（）

8兀20K

A.——B.------C.8兀D.2071

33

【答案】B

【分析】取助中点E,连接CE,可得ZEJ■平面，CE_L平面4皿，取的外心。1，ABCD

的外心。2,分别过。1，Q作平面4四与平面BCD的垂线交于点。，。即为球心，结合球的性质求得半径,

可得三棱锥外接球的表面积.

【详解】

解：如图，取AD中点E,连接力E,CE,则/£_LB。，CELBD,

因为平面平面C8。，所以可得/E_1_平面。3。，C£_L平面/皿,

取△48。的外心。，△BCD的外心。2,分别过《，。2作平面43。与平面3co的垂线交于点O,。即为球心,

连接OC,

易得CO2=~~，OO2=OtE=,

:.R2=OC2=COf+OO^=^,

220兀

二.S—ATIR------.

3

故选：B.

3.（2023•河南关B州•校联考二模）如图，在三棱锥Z-BCD中，AD=CD=2,AB=BC=AC=2血,平面

平面4BC,则三棱锥力-BCD外接球的表面积为（）

28

C.——71D.8兀

3

【答案】B

【分析】由题意说明△ADC为等腰直角三角形，根据面面垂直性质推出平面NCD,进而结合球的几

何性质，确定三棱锥/-BCD外接球球心位置，求出外接球半径，即可求得答案.

【详解】由于AD=CD=2,AC=2yf2,故/a+CD?=/C?,

即△3C为等腰直角三角形，

取/C的中点为河，连接。

因为48=3C=/C=2也，即"3C为正三角形，故W_LNC,

由于平面/CO_L平面4BC,平面4coPl平面48C=/C,8Mu平面48C,

故氏平面/CD,DWu平面/CD,悔BM，DM；

又加■为八4。。的外3

则三棱锥力-BCD外接球的球心必在BM±.,

设“BC的中心为。，则。在上且O/=O8=OC=2X2A/IX^=捶,

323

而（W=-BM=-x2V2x—=—,MD=-AC=6，

33232

贝1JOD=y/MD1+MCP=^|==--，

即OA=OB=OC=OD,

即O点即为三棱锥/-BCD外接球的球心，

故外接球半径为R=岖,所以外接球表面积为S=4兀叱=子兀，

33

故选：B

【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于要能根据条件，结合球的几何性质，确定出三棱锥外接球球心的

位置，进而求得半径.

技法06二面角与球体综合的应用及解题技巧

・常见题型解读

本文梳理以二面角为背景的外接球问题，这类问题难度较大，对空间想象能力要求较高，基于此本文先

给出一般结论，再对其展开详细应用，大家需重点强化复习.

知识迁移基本原理

如下图，所示为四面体P-ABC,已知二面角P-AB-C大小为a,其外接球问题的步骤如下：

⑴找出APAB和△4BC的外接圆圆心，分别记为0和外.

⑵分别过。1和02作平面PAB和平面ABC的垂线，其交点为球心，记为0.

⑶过0作AB的垂线，垂足记为D,连接02D,则出。1AB.

(4)在四棱雉4一。。1。。2中，AD垂直于平面。。1。。2,如图所示，底面四边形。。1。。2的四个顶点共

圆且。。为该圆的直径.

如图，设01、02为面PAB与面CAB的外接圆圆心，其半径分别为勺、r2,两相交面的二面

角P-AB-C记为a,公共弦为AB的弦长为，四面体P—ABC球。的半径R.两圆。八02

的弦心距：D。：=W=犬一理；

两圆。八0的圆心距：2^DOl+DOj-由于四边形D000的四个顶

20022DOXMO2-cosa,x2

点共圆且0D为该圆的直径，而sina=V1-cos^a,则由正弦定理：D。=2,于是外接球。的

sma

半径ROA2=DO2+I2可得，进一步整理：

ri+r2—2必—2—Z2）-coscr

R2=+l2

sin2a

r彳+r与一2,2-2（4_必）仁一口）•cosa

特别地，当a=］时，代入R2=+l2可得:

sm.2a

R2=rl+r1—I2

02

TT

例6-1.（2023・河南开封・河南省杞县高中校考模拟预测）在边长为6的菱形NBC®中，』/=；，现将△4瓦）

沿3。折起到的位置，当三棱锥尸-8a）的体积最大时，三棱锥P-BCD的外接球的表面积为（）

A.60nB.45nC.30nD.20n

技巧点拨

2

BD=21=601=3,面BCD,面PCD的外接圆半径分别为r1；r2,则勺=q=2次，代入公式：R-

户+日-岸，可得：R2=15,故外接球的表面积为4兀/?2=60兀

例6-2.（2023上•湖北武汉•高三武汉市第六中学校联考阶段练习）已知48,C,。是半径为火的球体表面

上的四点，AB=2,ZACB=90°,ZADB=30°,则平面C43与平面D/3的夹角的余弦值为（）

A.胃B,1

解题

2

由于设rlfr2分别为面ABC,面ABD的外接圆半径，贝ljR=*,勺=1"2=2/=2,代入：R=

rl+r1-212-2l（rl-l2）（r^-l2）•cosa

---------J-----------+12,可得:NOEF=30。，故平面CAB与平面DAB的夹角为60。，故其余弦值

片公•知识迁移强化

1.（2023上•浙江杭州•高二浙江省浦江中学校联考阶段练习）在三棱锥/-BCD中，AB=AD=BD=2C，

/ADC=150。，CD=2,二面角N-3D-C的大小为60。，则该三棱锥外接球半径是（