高考数学模拟大题规范训练九（含答案及解析）

高三数学大题规范训练（9）

15.已知函数/（x）=«xTnx,且/（%）在x=l处的切线方程是x—y+b=O.

（1）求实数4，6的值；

（2）求函数/（%）的单调区间和极值.

16.甲、乙两个班级之间组织乒乓球友谊赛，比赛规则如下：①两个班级进行3场单打比

赛，每场单打比赛获胜一方积2分，失败一方积。分；②若其中一队累计分达到6分，则

赢得比赛的最终胜利，比赛结束；③若单打比赛结束后还未能决出最终胜负，则进行一场

双打比赛，双打比赛获胜一方积2分，失败一方积0分.已知每场单打比赛甲班获胜的概

率为工，每场比赛无平局，不同场次比赛之间相互独立.

3

（1）求进行双打比赛的概率；

（2）设随机变量X为比赛场次，求X分布列及数学期望.

17.如图，在四棱锥尸―ABCD中，平面平面且

AB=2CD=2AD=2BC=2AP=2.

（1）证明：平面平面P3C；

（2）求平面？AD与平面P3C夹角的正弦值.

18.在平面直角坐标系xQy中，已知点尸（L。），点、p（不位于y轴左侧）到y轴的距离

为6?,|PF|=+1.

（1）求点尸的轨迹方程c；

（2）若圆心（％-加了+尸=/（加>o）与点P的轨迹有且仅有一个公共点，求加的最大

值；

（3）在（2）的条件下，当m取最大值，且d>4时，过尸作圆河的两条切线，分别交

y轴于A3两点，求，K4B面积的最小值.

19.已知｛。“｝为单调递增的正整数数列，给定整数左，若存在不全为。的

=,使得再%*+…+=t，则称/为左阶〃维表示数.

（1）若%=2,%=4,4什1=4-1+4（及22）,求｛%｝的通项公式，判断2024是否为3阶

3维表示数，并说明理由；

（2）已知4=1,是否存在石,々,…,，使得f同时是。阶〃维表示数，1阶〃维表示

数，…，”―1阶〃维表示数.若存在，求出八百,须,…,土；若不存在，请说明理由.

高三数学大题规范训练(9)

15.已知函数/(%)=«%Tnx,且/(%)在x=l处的切线方程是x—y+b=O.

(1)求实数"，匕的值；

(2)求函数/(%)的单调区间和极值.

【答案】(1)a=2,Z?=1

(2)单调递减区间为单调递增区间为,极小值为l+ln2,无极大值

【解答】

【分析】(1)求出函数的导函数，根据导数的几何意义得到方程组，解得即可；

(2)由(1)可得/(x)=2x—lnx,利用导数求出函数的单调区间，从而求出极值.

【小问1详解】

因为/(x)=a%Tnx,所以/=a—

又/(幻在X=1处的切线方程为y=x+b,

所以/'(l)=a—1=1,/(l)=a=l+b,

解得。=2,b=1.

【小问2详解】

由(1)可得/(%)=2%-111%定义域为(0,+8),则/，(x)=2——=-----,

XX

当时，/'(x)<0,此时函数/(x)单调递减，

当xe］g,+oo］时，f\x)>0,此时函数/(x)单调递增，

则/(%)在1=工处取得极小值，

2

所以/(%)的单调递减区间为［0,g),单调递增区间为［g,+8］,

因此极小值为/|g)=l+ln2,无极大值.

16.甲、乙两个班级之间组织乒乓球友谊赛，比赛规则如下：①两个班级进行3场单打比

赛，每场单打比赛获胜一方积2分，失败一方积0分；②若其中一队累计分达到6分，则

赢得比赛的最终胜利，比赛结束；③若单打比赛结束后还未能决出最终胜负，则进行一场

双打比赛，双打比赛获胜一方积2分，失败一方积0分.已知每场单打比赛甲班获胜的概

率为工，每场比赛无平局，不同场次比赛之间相互独立.

3

(1)求进行双打比赛的概率；

(2)设随机变量X为比赛场次，求X的分布列及数学期望.

【答案】⑴-

3

(2)分布列见解答，E(X)=&l

【解答】

【分析】(1)利用独立事件的乘法公式计算即可求解；

(2)X的可能取值为3,4,求出对应的概率，列出分布列，求出数学期望即可.

【小问1详解】

设进行双打比赛为事件A,甲班前3场获胜2场为事件4,乙班前3场获胜2场为事件

^2，

所以*4)=戢出1|=|,

所以p(4)=qijx»

2

所以P(A)=P(AU4)=P(A)+P(4)=§.

所以进行双打比赛的概率为工；

3

小问2详解】

X的可能取值为3,4,

P(X=3)=[|)+[；)=1,由(1)可知,P(X=4)=|,

X的分布列为:

X34

12

P

3

E（X）=|x3+|x4=y,所以X的数学期望为，.

17.如图，在四棱锥尸―ABCD中，平面K45,平面且

AB=2CD=2AD=2BC=2AP=2.

（1）证明：平面平面P3C；

（2）求平面B4D与平面P3C夹角的正弦值.

【答案】（1）证明见解答

（2）

4

【解答】

【分析】（1）先由线段关系证ACL3C，结合面面垂直的性质判定线线垂直，利用线线垂

直证线面垂直；

（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算面面角即可.

【小问1详解】

由题意AB=2CD=2AD=2,BC=2,则/ARC=60，

因为BC=1,AB=2,所以NACB=90,AC，5C,

因为平面K钻，平面ABCD,平面Q46c平面ABCD=AB,

且PA_LAB,PAu平面上钻，

所以24_L平面ABC。，

因为BCu平面ABC。，所以

且ACPA=A,AC,R4u平面PAC,所以3C_L平面PAC,

又3Cu平面P3C,所以平面QAC,平面P3C；

【小问2详解】

如图，以A为原点，ARAB分别为*轴，丁轴正方向，在平面ABCD内过点A作平面

ABC的垂线为z轴，

建立空间直角坐标系,

(1/7>(1/?■>

所以AP=(1,0,0),AD=0,-,^-,PB=(-l,2,0),BC=0,--,^-

设平面PAD的一个法向量q=(x,y,z),

n1•AP=x=0

则<vJ2z，令z=—1,得々=(0,后,一1),

n,•AD=-H----=0

["22

设平面PBC的法向量%=(m,n,p),

n2-PB=—m+2〃=0

则n也p，令P=l，得%=(2百,百,1),

%-BC=---1----=0

I222

々・%21

设平面PAD与平面PBC的夹角为3,则cos6=,,'=——=-

2周2x44

所以平面PAD与平面PBC夹角的正弦值为Vl-cos2

18.在平面直角坐标系中，已知点尸（L。），点P（不位于y轴左侧）到y轴的距离

^）d,\PF\=d+l.

（1）求点尸的轨迹方程C；

（2）若圆M：（x-加y+j?=加2（加〉0）与点p的轨迹有且仅有一个公共点，求加的最大

值；

(3)在(2)的条件下，当相取最大值，且d>4时，过尸作圆〃的两条切线，分别交

y轴于A3两点，求_巴43面积的最小值.

【答案】(1)V=4%

(2)2(3)32

【解答】

【分析】(1)设PXy),利用两点距离公式及点线距离计算即可；

(2)联立圆与C方程计算即可；

(3)设AB,P坐标，含参表示圆的切线方程，利用直线与圆的位置关系及同解方程得

,—4维)%,一4温

a+b=°—,ab=———,利用三角形面积公式结合基本不等式计算最小值即可.

%9—4%尤0—4尤°

【小问1详解】

设P(羽y),x»O,则|Pb|=J(x_l)2+y2,d=%,

所以+y?=x+l»

两边平方可得(％—1)2+y2=%2+2%+1,

整理得y2=4x,所以点尸的轨迹方程C为y2=4x；

【小问2详解】

fY—_|_丫2_^^2

依题意，联立圆〃与C,\\''可得％2+(4—2加)％=0,

』=4x,

解得x=O或九=2根一4,由于仅有一个公共点，

所以2机一4<0,解得加<2,

所以加最大值为2；

【小问3详解】

不妨设A(OM),B(O,圾网%为),%>4,显然第=4x0,

则直线尸4：0=%/x+a,直线"x+b,

九0九0

|2%+a（xo_2）_2

依题意直线必与圆M：(X-2)2+y2=4相切，所以

&+（%-4

整理可得（x；—4x0^a~+4x0y0a—4xg=0,同理可得（x；—4x0+4-xoyob—4x^=0,

显然-4)>0,

所以a,b为关于x一元二次方程(无;-4/卜2+4%为］一4寸=。的两根,

所以a+匕=,ab=

龙o—4尤04%'

则

n_4b{16尤0%+16x0（X。-4尤0）J16%%+16%（%一％）

ABqa+4a琮—缶-4xn

、

JA16

则LPAB面积为TAB]xd=-x——方—x%=2%—4+——-+8

22x-4xI%—4

、007

+8=32,

7

当且仅当飞=8时等号成立，所以,K4B面积的最小值为32.

【小结】思路小结：第三间设点AB,P坐标，利用斜截式表

示圆的切线方程，根据直线与圆的位置关系得出同解方程，消元转化再结合基本不等式计

算即可.

19.己知｛4｝为单调递增的正整数数列，给定整数左，若存在不全为0的

x;,z=l,2,,n,使得再aj++-+xna^=t,则称/为左阶〃维表示数.

(1)若%=2,%=4,4m=4T+4(〃22),求｛4｝的通项公式，判断2024是否为3阶

3维表示数，并说明理由;

(2)已知％=1,是否存在石,々，…,天,使得『同时是。阶〃维表示数，1阶〃维表示

数，…，〃—1阶〃维表示数.若存在，求出/鹏,％2,…，七；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)。“=2〃，2024是3阶3维表示数，理由见解答

(2)当1=0时，不存在不全为0的石,々,・，x”使结论成立，当t^O时，

xx=/■,x,=x3==xn=0

【解答】

【分析】(1)利用给定递推关系求出4=2”，在利用给定定义判断3阶3维表示数即可.

(2)利用给定定义结合分类讨论思想求解/，再,须，•，%即可.

【小问1详解】

由于4什1=4T+4,"»2,因此｛%｝的奇数项与偶数项都是等差数歹I],

且公差均为4,又因为4=2,%=4,

因此｛4｝是2为首项，2为公差的等差数列，即。“=2〃,

当”=3时，设玉x2^+x,x型+鼻x6，=2024,

贝|]占+尤2乂23+玉乂33=253,此时取西=2,%=1,%3=9即可(取法不唯一);

【小问2详解】

%+%2+…+Z=%，

玉4+x2a2+-+xnan=t.

由题意可知％,々，-，工"满足方程组，

石《i+大2。々i++i

从最后一行开始，分别用前一行的一q倍加到下一行，对后n-1行的A进行消元,

玉+%2++%"=%，

0+%2(〃2-Z)=/(1-%),

到《0+x2a2(a2-t/j)++x〃a“一。1)=《1—。1),

o+9出"，%)