高考数学一轮复习第二次月考卷（原卷版+解析版）

高考一轮复习第二次月考卷01

（满分150分，考试用时120分钟）

测试范围：集合+不等式+函数+三角函数与解三角形+导数+复数

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

2

1.已知集合/=[尤I土=wo[,S={x|y=log3（x-9）},则（）

[x+2J

A.[-2,3]B.（-2,3]C.（-2,4]D.[3,4]

2.若复数z满足z+2彳=3+i（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.设Z,B是向量，则“,+见@-3）=0”是"L或1户的（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.+=贝l]cos（2e+1^=（）

A.--B.yC.--D.—

2222

5.设a>1,6>1.若优=〃=3,a+b=273,则一+一最大值为（）

xy

3i

A.2B.-C.1D.-

22

6.阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，

被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的

位移y（m）和时间f（s）的函数关系为y=sin（a+03>O，W<兀），如图2,若该阻尼器在摆动过程中连续三

次到达同一位置的时间分别为4,小0<%<4<%），且。+%=2,4+4=5，则在一个周期内阻尼器离

开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为（）

图1图2

、124

A.-sB.—sC.IsD.—s

333

7.已知函数〃x）在R上可导，其导函数为f（x）,若满足：（x-l）［尸（x）-/（x）］>0,

/（2-x）=/（x）e2-2\则下列判断正确的是（）

A./(l)>e/(O)B./（2）>e2/（0）

C./（3）>e3/（0）D./（4）<e4/（0）

\IAX-X2,0<x<2

（）是奇函数.记关于的方程

8.函数/（x）满足：当x>0时，/（x）=<y=/x+gx

2M+-,X>2

3

im7

/（尤）-丘+彳=0伍eR）的根为百户2,…,X",,若£/（七）=一;，则上的值可以为（）

2i=\2

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

JT

9.0<a</3<-,tana和tan/是方程/一冽％+2=0的两个根，则下列结论正确的是（）

A.tana+tanf3=mB.tan（a+^）>0

C.m>2y/2D.m+tan（7>4

10.已知。,4民c是同一平面内的四点，且|次|=|丽|=1,区|=5,万•玩=3,无•无=4jeR,贝lj（）

A.当点48在直线OC的两侧时，04-05=0

B.当点48在直线OC的同侧时，04-08=|1

C.当点42在直线0C的两侧时，|元一刀一词的最小值为3

D.当点43在直线OC的同侧时，100%=75区+7。心

pinVX

11.已知/（%）=—+-------左（左£即有三个不相等的零点玉,入2/3且再<々<工3,则下列命题正确的是（）

xelnx+x

A.存在实数上,使得项=1

B.x3>e

c.

+M为定值

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若函数/（x）=ln（e2，-a）-x（xeR）为偶函数，贝.

13.已知“BC的三个内角4SC所对的边分别为。也。，且〃+2C2=3/,则cos4的最小值为.

14.已知函数〃x）=也也匚3何€R）有四个零点a,b,c,d,且a<b<c<",且在区间（a,9和（c,d）上

各存在唯一一个整数，则实数优的取值范围为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在“8C中，内角4,B,C的对边分别为a,b,c,且的面积S=；（/一°2卜出8.

⑴求角B；

（2）若。的平分线交NC于点。，a=3,c=4,求2。的长.

16.已知函数/（无）=（尤+l）lnr-ax+2.

⑴当a=1时，求/（无）的图象在（1，/⑴）处的切线方程；

（2）若函数/（外在（1,+8）上单调递增，求实数。的取值范围.

17.已知向量玩=[cos15+gJ,cos@:J,力二卜in[勿X-TJ,COSGXJ,伍?〉0),=,y=/(x)图

象上相邻的最高点与最低点之间的距离后.

JT

(1)求。的值及/'(X)在0,-上的单调递增区间；

(2)设“3C的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,且b+c=2,/=1,求/'(a)的值域.

18.某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，

空气中释放的浓度了（单位：毫米/立方米）随着时间x（单位：小时）变化的关系如下：当0VxW4时，

了=普-1；当4<xV10时，y=5-1x.若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒

剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能

起到杀灭空气中的病毒的作用.

（1）若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？

（2）若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒V4）个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能

够持续有效消毒，试求。的最小值（精确到0」，参考数据：夜取1.4）

19.若函数/(x)在区间/上有定义，且Vxe/,/(x)e/,则称/是/(x)的一个“封闭区间”.

⑴已知函数/(x)=x+sinx,区间/=[0/]任＞0)且〃x)的一个，封闭区间”，求厂的取值集合；

⑵已知函数g(x)=ln(x+l)+,设集合P={x|g(x)=x}.

(i)求集合尸中元素的个数；

(ii)用6-a表示区间的长度，设加为集合尸中的最大元素.证明：存在唯一长度为根的闭区

间D,使得。是g(»的一个“封闭区间”.

高考一轮复习第二次月考卷01

(满分150分，考试用时120分钟)

测试范围：集合+不等式+函数+三角函数与解三角形+导数+复数

一、选择题

2

1.已知集合/=[刈t=wo],5={x|y=log3(x-9)},则2口&8)=()

Ix+2J

A.[-2,3]B.(-2,3]C.(-2,4]D.[3,4]

【答案】B

【分析】先解不等式求出两个集合，再求出备台，然后求即可.

【解析】由二=V0,得'，解得-2<xW4,

尤+2[x+2片0

所以/=(-2,4],

由一-9>0,得x<-3或x>3,

所以B=(_8,_3)U(3,+8),所以。8=[-3,3],

所以/c45=(-2,3].

故选：B

2.若复数z满足？+27=3+i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】利用复数的运算法则求出z,再根据复数的代数表示及其几何意义得出z对应的点，进而求解.

【解析】设z=a+6i,(a,6eR),贝”=a-bi,

贝(]a+6i+2—历)=3+i,即3a—历=3+i,所以3a=3,—b=—l,

解得。=1,b=~\,故z=l-i,对应的点(1,T)在第四象限.

故选：D.

3.设Z,B是向量，则",+可,1)=0"是"1/或z=y的().

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据向量数量积分析可知,+孙（"勺=0等价于同=环结合充分、必要条件分析判断.

【解析】因为（，+孙（，-彼）=>12=0,可得二=片，即同=可,

可知仁+孙（方窜）=0等价于同=网,

若2=/或£=/,可得同明，即,+孙，-町=0,可知必要性成立;

若（々+4,一可=0,即同=W，无法得出£=B或£=/,

例如万=（1,0）石=（0,1）,满足同=忖，但-HB且£工一心可知充分性不成立;

综上所述，喉+孙,-勺=0"是"力3且心的必要不充分条件.

故选：B.

4.已知c°s[2+]-K)=，贝上05126+5)=()

A,--B.1C.--D.立

2222

【答案】A

【分析】根据诱导公式和二倍角公式化简等式，在利用二倍角公式计算得到结果;

cos^20+y^=2cos2+=-g,

故选：A.

5.设x/21,a>\,6〉1.若优=*=3,a+b=2杷,则l+—最大值为()

xy

31

A.2B.-C.1D.-

22

【答案】C

【分析】先利用指、对数的关系，用凡6表示国儿再利用基本不等式求最大值.

xy

【解析】Vx,y>l,b>l,a=b=3,

i□11

y=logA3=

.2-二藐，logs6

a+b|2,/2凤.

=1

=log3a+log3b=log3ab<log3|og3(—)=1>

xyJ「一”2

当且仅当°=6=6，x=y=2时取等号.

；•污的最大值为1.

故选：c.

6.阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置,

被称为〃定楼神器〃，如图L由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的

位移y(m)和时间*s)的函数关系为y=sin(W+03>O，M|<兀)，如图2,若该阻尼器在摆动过程中连续三

次到达同一位置的时间分别为。，*4(0<%<%2<4)，且。+，2=2,%2+%3=5,则在一个周期内阻尼器离

开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为()

图1图2

124

A.—sB.一sC.1sD.—s

333

【答案】C

g2兀,再解不等式sin学+“>0.5,得到f的范围即得解.

【分析】先根据周期求出。=

3

,,•2兀2兀

［解析］因为4+%2=2,Z+Z=5,t—t=T,所以T=3,又丁=—，所以Q=-

2331co3

贝=sin(g/+°),由y>0.5可得sin(2g兀E+o)〉0.5,

3

-T兀2兀5TL

月f以2左兀H—<—t+o<--F及T71kT£Z,

636

1359+3左,k£Z,故(3左+：5一^―3。3"二夕

所以3女+-----(p<t<=1,

42兀4271I42兀42兀

所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为1s.

故选：C.

7.已知函数〃x)在R上可导，其导函数为了'(X),若/⑺满足：(x-l)[/f(x)-/(x)]>0,

/(2-x)=/(x)e2-2x,则下列判断正确的是()

A.〃l)>e/(O)B./(2)>e2/(0)

C./(3)>e3/(O)D./(4)<e4/(0)

【答案】C

【分析】根据题意令尸(x)=¥2,利用导数及题干所给条件求得/(x)的单调性，利用函数的对称性，可

得尸(1)<F(0)=尸(2)<尸(3)<F(4),对其进行比较即可判断各选项.

【解析】令尸(x)「x''、J)2XX'

eee

函数f(x)满足(X-1)[/'(X)-/(%)]>0,

当x>1时F\x)>0,F(x)在[1,+s)上单调递增，

当x<1时F\x)<0,尸(无)在(-<»,1]上单调递减，

又由〃2-尤)="产，=2fc)"尸㈠，

=、F

即函数尸(X)的图象关于X=1对称，从而尸(1)<F(0)=尸(2)<尸⑶<尸(4),

对于A,F(l)<F(0),绅〈率，41)〈叭0),A错误；

ee

对于B,F(0)=F(2),夕=率，/(2)=e7(0),B错误；

ee

对于c,F(3)>F(0),坐〉/里，/(3)>e7(0),c正确；

ee

对于D,F(4)>F(0),工磔>坐，/(4)>e4/(0),D错误.

ee

故选：c

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是构造函数尸(尤)=",利用导数法研究函数的单调性，结合函数

的对称性即可.

A/4X-x2,0<尤V2]

8.函数“X)满足：当x>0时，/(x)=M1,y=/(x)+g是奇函数.记关于x的方程

+->^>

1m7

/(龙)-丘+彳=0住eR)的根为再"2,…,x„,,若[/(%)=-；,则左的值可以为()

2z=i2

11175

A.——B.—C.-D.1

18124

【答案】C

【分析】首先判断函数/（X）关于点对称，再画出函数/（X）和了=丘-3的图象，结合函数的对称性,

判断交点的个数，利用数形结合，即可求解.

【解析】若函数V=〃x）+；是奇函数，则+；=-g,

即+=则函数/（x）关于点对称，所以/（O）=_g

而、="一g也关于点（0，一对称，恒过点（0,一£|,

方程〃x）-fcr+；=0根，即为函数.v=/（x）与y=交点的横坐标，

因为两个函数都关于点（。，-；］对称，所以交点也关于点（。，-；］对称，且其中一个交点是

如图画出两个函数的图象，

若£/（匕）=-1,根据对称性可知，了轴左侧和右侧各有3个交点，如图，

i=l2

当直线y=辰-g过点卜,£|时，了轴右侧有2个交点，此时左=?,

当直线>=辰-；过点（2,2）时，V轴右侧有3个交点，此时左=：,

所以满足条件的人的取值范围是仔,与］,选项中满足条件的只有J

［412J4

故选：C

【点睛】关键点点睛：本题的关键是正确分析出函数的图象，尤其是〃0）=-g,并且会利用数形结

合，分析临界直线，即可求解.

二、多选题

TT

9.0<a<J3<—,tana和tan"是方程/一加、+2=0的两个根，则下列结论正确的是（）

A.tana+tan/3=mB.tan(a+£)>0

C.m>2>/2D.m+tana>4

【答案】AD

【分析】由题设tan£>tana>0,利用根与系数关系及判别式有tana+tan£=%>0,tanatan/?=2,

加>2顶，再结合和角正切公式、基本不等式判断各项正误.

IT

【解析】由0<。<夕<万，则tan，>tana>0,

则tana+tanQ=冽>0,tan«tan^=2<A=m2-8>0,则加>20，

由tan(a+/)=1二-------=-m<0,A对，B、C错；

1-tancrtanp

22I2

由tan夕=----,贝!Jm+tana=2tana+------->2/2tana----------4，

tanatanaVtana

当且仅当tana=1,tan尸=2时取等号，故加+tana24,D对.

故选：AD

10.已知。,48,C是同一平面内的四点，且|次卜|砺卜1,可卜5,厉•反=3,砺•玩=4/eR,贝I]()

A.当点48在直线OC的两侧时，OA.OB=0

B.当点45在直线OC的同侧时，OA-OB=^

C.当点48在直线OC的两侧时，|灰--西的最小值为3

D.当点48在直线。。的同侧时，100砺=75a+7反

【答案】ACD

【分析】依据48在直线0C的同侧或两侧分类研究，在两侧时由数量积和模的运算计算结果，可判断A、

C；在同侧时利用数量积的三角形式求解可判断B,结合平面向量基本定理，判断答案D.

【解析】

B

加

0O

①②

设NAOC=a,NBOC=/3,由厉.反=3，\OA\=\,\pC\=5,

得cosc=|,sina=g

；由砺•无=4,|砺卜1,■卜5,得cos/?=g,sin^=|,

当点4B在直线0c的两侧时，如图①，cosa=sin〃，

7T__

所以e+/?=5，即万.赤=0，故A正确；

因为国_罚_词='（/3）2+9,

所以当f=3时，|反Ta-砺|的最小值为3,故C正确;

当点4B在直线OC的同侧时，如图②，

/、24

cos（a-/）=cosacos/?+sinasin〃=—,

—►—►24

所以。4・。5=不，故B错误；

"------►，，，-----.--------------2

一――.OBOC=WAOC^LLOC

设05=404+4。。，贝叫一一一2——.，

OBOA=AOA+©AOC

,（3

4=32+25〃2=-

—►3—►7—►

所以。3=：CU+0c,即10008=7504+7OC，故D正确.

4710707

故选：ACD.

11.已知/立）=照+1——MLeR）有三个不相等的零点再且占＜Z＜退，则下列命题正确的是（）

xelnx+x

A.存在实数左，使得玉=1

为定值

【答案】BCD

【分析】化简方程，令的=心得》+（］一幻/一斤+1=0,构造g（x）=9%,则g，（x）=e.t学，利用函数

XXX

的单调性，结合函数的图象，要使关于X的方程三个不相等的实数解再,X2，W，且再＜%＜当，结合图象可

得关于f的方程〃+（1-左”上+1=0一定有两个实根咽t2«＜0气＜1）,结合韦达定理，推出所求表达式

的关系式，然后对选项一一判断即可得出答案.

,elnx1

【解析】由方程eIn处Y+—y——左=0,可得----X-------1---e--l--n---x---口----

xeinx+x-----H1

x

elnx1

令----=t,则有，H-----------k=0,即/+(1一人"一左+1=0,

X，+1

人十生/、elnxe，/、1-lnx

令函数g(x)=---，贝ijg(x)=e----,

XX

令g<x)>0,解得0<x<e,令g'(x)<o,解得x>e,

所以g(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减,

所以g(x)mx=g(e)=巴pIn£p=1，作出图象如图所示，

e

要使关于X的方程1——左=0有三个不相等的实数解%,马,

xeInx+x

且芭<%2<%3，

结合图象可得关于f的方程》+(1-斤”方+1=0一定有两个实根。，t2,

且go,0<%<1或4=1,o<?2<1,

2

g(t)=Z+(1-k)t—k+1,若4VO,0<Z2<1,

g(0)=-A:+l<0

gjl)=3-2左>0,故1<左<|,

则

△=(-4+1)2—4(一4+1)=乃+2左一3>0

g(0)=-/c+l>0

g⑴=3-2左=0

若。=1,0<f2<1,则■A=(—左+1)2—4(-左+1)=斤？+2斤一3>0'无解，

„1-k1

0<-----<1

2

综上：左故C正确；

由图结合单调性可知X3>e,故B正确;

^f(l)-k=l-k=O,贝"左=1,又左故A不正确;

11z\11/71

e

故D正确，

故选：BCD.

【点睛】关键点点睛：本题关键点在于构造出函数8(外=胆，利用导数得出函数g(x)的单调性，结合图

X

象将也+———k=0,转化成关于/的函数即可求解.

xelnx+x

三、填空题

12.若函数/⑴二山仁一冷一.内即为偶函数，则。=.

【答案】-1

【分析】根据偶函数的定义得了(-x)=/(x)，代入化简即得。值.

【解析】因为/(X)为偶函数，所以/(-x)=/(x),即ln(e2-a)+x=ln(e2-H_x,

即In(1-ae~*)-x=In(e"'—a)—x,BP1-ae2x=e2x-a,所以a=—1,

故答案为：-1

13.己知“8C的三个内角48,C所对的边分别为。也c,且62+2o2=3/,则cosN的最小值为.

【答案】旦总6

33

【分析】由余弦定理可得cos/=：P+三)，利用基本不等式可求最小值.

3c2b

【解析】由题意可得/生，

3

22_(/+2c2)

由余弦定理可得ft2+c2-a2+CI3)12>2+C2\hc、，

cosA=---------=-----------------=---------=彳—FT"

2bc2bc32bc3c2b

因为a〉0,6>0,c>0,所以cos/>0,所以

所以根据基本不等式。0$4=」仅+白卜、2乓1=2^,

3yclb)3\c2b3

当且仅当"三，即!」时等号成立.

2

C2bc2

故答案为：正.

3

14.已知函数八月=幽日-mx(小eR)有四个零点a,b,c,d,且a<b<c<",且在区间(a㈤和(c,d)上

各存在唯一一个整数，则实数加的取值范围为

【分析】解法一；

根据/(戈)=1^忖‘-"a=0可以化为111同+1-加，=0,令Mx)=ln|x|+1-枢A易得为(x)为偶函数，所以

只需考虑x>0时Mx)=lnx+l-〃zx2有两个零点c,d,且在区间(Gd)存在唯一的整数，根据因为〃。)=0,

则更F=加，令g(x)=*l,根据导数得到g(x)单调性，根据在区间(c,d)存在唯一的整数，列出不等

书组即可；

解法二：

由〃x)=0得到幽上1=mx,令g(x)=5用，得到g(x)为奇函数，所以只需考虑x>0时g(x)=lnx+1.

-----与

Xx

力⑺=皿有两个交点(Gg(c)),(d,g(4))且在区间(c,〃)存在唯一的整数，通过求导得到g(x)单调性，根据

直线〃(x)=mx过特殊点时加的值即可得到加范围.

【解析】(解法一)

/(x)=+-mx=G<5>ln|+1-mi=0,

令"(%)=In国+1—/nr?,贝U/z(-x)=/z(x).

・,.力(1)为偶函数,

・,•只需考虑x〉0时%(x)=lnx+l-加/有两个零点①小且在区间(。4)存在唯一的整数.

八一，/\八lnx+1

x>0时=00------=m,

人(、lnx+1I./、21nx+1

令g(无)=二^，贝Ug'(x)=-一p—,

当0,e2时，gz(x)>0.

0,e4］单调递增,

g(x)在

当x£e5,+a时，g'(x)<0,

g(x)在xe[e2,+QO单调递减,

•.•在区间(c,d)存在唯一的整数,

.••加的取值范围为坦产，”.

(解法二)

“、In1x1+1

/⑴=0u>―———=mx,

令g(x)=1nW+1,则g(-x)=-g(x)，,g(x)为奇函数,

力(x)=mx也是奇函数,

.七4/Xlnx+1

..只需考虑%>0时g(%)=-----与=mx有两个交点(c,g(c)),(t/,g(t/))且在区间(c,d)存在唯一的整

X

数.

皿)=手

当xe(O,l)时，g'(x)>0,.•.g(x)xe(O,l)在单调递增,

当xe(l,+oo)时，g'(x)<0,g(x)在xe(l,+oo)单调递减，

当直线〃(x)=wtx过点(1,1)时机=1,当直线〃(x)=mx过点0产时-=，j+1,：g(x)与〃(x)有两

个交点，且在区间(c,〃)存在唯一的整数，

正』<1,

4

ln2+l]

：.m的取值范围为4，卜

In2+1]

故答案为:J"

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法:

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围;

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决;

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,

利用数形结合的方法求解.

四、解答题

15.在A/LSC中，内角B,C的对边分别为a,b,c,且的面积S=；（/十。2一^卜吊瓦

⑴求角B；

（2）若/4BC的平分线交NC于点。，。=3,c=4,求AD的长.

【答案】（I"：]

⑵8。=!^.

7

【分析】（1）由三角形面积公式可得/+'2-/=*,即可由余弦定理求解,

（2）利用等面积法即可求解.

【解析】（1）在。8c中，S=^-acsinfi=y（a2+c2-b2^sinB,而0<8<兀，

即sinB>0,a2+c2-b2=ac,

由余弦定理得cosB="十厂=L所以B=[.

lac23

(2)在^ABC中，由等面积法得S.BC=S.BAD+SBCD'

即工5。.546山8=工5%.助6由0+工5。.助6吊0,

22222

BP—x3x4x=—x4xBDx—+—x3xBDx—

222222

所以的苧

16.已知函数/(x)=(x+l)lnx-办+2.

(1)当“=1时，求〃X)的图象在(1J⑴)处的切线方程；

⑵若函数/■(》)在(1,+8)上单调递增，求实数。的取值范围.

【答案】⑴户X

(2)a<2.

【分析】(1)求出/。)=1,切点为(1」)，直接写出切线方程;

(2)转化为r(x”O对于xe(l,+8)恒成立，求实数a的取值范围.

【解析】(1)当°=1时，f(x)=(x+l)lnx-x+2,(x>0),

/,(x)=lnv+1,/，(1)=1,/(1)=1,

所以/(司的图象在x=i处的切线方程为：y=x.

(2)/'(x)=lnxH---F1—CL9

若函数/(可在(1,+。)上单调递增，则/'(X)2O对于X£(l,+8)恒成立，

即a<lnx+，+l对于x£(l,+e)恒成立，

x

令g(%)-lnx+—+l,(x>1),

y—1

当x>l时，g'(x)=——>0,

则函数g(x)在(1,+。)上单调递增，所以g(x)>g⑴=2,

故aK2.

17.已知向量比:COS(GX+mjcosGx],五=3〉0),/(、)=应•五一；，y=/(x)图

象上相邻的最高点与最低点之间的距离也.

JT

(1)求0的值及〃X)在0,-上的单调递增区间；

⑵设“BC的内角A,B,C的对边分别为。，b,C,且6+c=2,/=W，求/(。)的值域.

【答案】(1)。=]兀,单调递增区间为0,-1

【分析】（1）根据数量积的坐标表示及三角恒等变换公式化简函数，设函数的最小正周期为T,则

V2=A-+1,即可求出从而得到函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得;

（2）由余弦定理得到/=4-3左，再由基本不等式求出6c的范围，即可得到“的范围，最后根据正弦函数

的性质计算可得.

【解析】(1)依题意可得/'(x)=cos[0x+1j-sin(0x-m+cos%x-a

(兀.兀、21

=-cosoxcos----sincoxsin—•cos〃n+coscox——

I33；4

f16.]21

122J4

1V3.1

=——cos2cox-\-----sincoxcoscox+cos2a)x——

224

=——sin2cox+—COS269X

44

1/

=—sin2CDX+—,

2I6）

由条件图象上的相邻的最高点与最低点之间的距离为收，设函数的最小正周期为T,

27rjr

贝！1拒='解得T=2（负值已舍去），贝"=2=.’解得0=了

，/(x)=

2I6)

2kn7rx+/(2版+^(左GZ),

21

角军得2左一左+§（左EZ）,

一21-

所以/（%）的单调递增区间为2k--,2k+-（左EZ）,

jrjrI

又xw0,-,故/■（“在0,-上的单调递增区间为0,§

JT

(2)因为4="b+c=2,

222

由余弦定理〃=b+C-2bccosA=(b+C)-3bc=4-3bcf

又2=b+cN?4^且历＞0,所以0cbeMl,当且仅当b=c=l时取等号,

所以1W〃2<4,又2=b+c>a,所以1KQ<2,

7兀,7113Kfl1,•171\1

所以▼（兀〃+：<一,则一lWsin兀。十7<7，

666voy2

则所以〃。）的值域为卜;,;1.

/4[_ZQ）

18.某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，

空气中释放的浓度了（单位：毫米/立方米）随着时间x（单位：小时）变化的关系如下：当0VxV4时，

了=4-1;当4<xV10时，y=5-：x.若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒

剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能

起到杀灭空气中的病毒的作用.

⑴若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？

⑵若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒“IV。V4）个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能

够持续有效消毒，试求。的最小值（精确到0.1,参考数据：收取1.4）

【答案】（1）8小时

（2）1.6

【分析】（1）由4yN4可求出结果;

（2）根据题意求出从第一次喷洒起，经》（64尤410）小时后，其浓度关于x的函数解析式，再根据基本不

等式求出其最小值，再由最小值不低于4,解不等式可得结果.

【解析】（1）因为一次喷洒4个单位的消毒剂，

---4,0<x<4

所以其浓度为/（x）=4j，=<j8-x''

20-2x,4<x<10,

64

当0«xK4时，-----4>4,解得xNO,止匕时0«x«4,

8-x

当4<xW10时，20—2x24,角犁得xV8,此时4<%«8,

所以若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达8小时.

（2）设从第一次喷洒起，经x（64x410）小时后,

其浓度g(x)=2(5—〃161s一I6z