高考数学一轮复习讲义：抛物线

抛物线

【考试要求】1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程2掌握抛物线的简单几何性质（范围、

对称性、顶点、离心率）.3.了解抛物线的简单应用.

■落实主干知识

【知识梳理】

1.抛物线的概念

把平面内与一个定点下和一条定直线/（/不经过点尸）的距离相笠的点的轨迹叫做抛物线.点尸

叫做抛物线的焦点,直线/叫做抛物线的准线.

2.抛物线的标准方程和简单几何性质

标准

/=28g>0)俨=~2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=~2py(p>0)

方程

z

图形Wv

范围

焦点(f-i(-Po)HlY

准线

pppp

X=—x=­y=尸

方程22-25

对称轴X轴y轴

顶点

离心率e-=1

【常用结论】

1.通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2，

2.抛物线俨=2内g>0）上一点P（xo,为）到焦点尸g01的距离|即=刈+々，也称为抛物线

的焦半径.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“X”）

（1）平面内与一个定点厂和一条定直线/的距离相等的点的轨迹是抛物线.（X）

（2）方程y=4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是（1,0）.（X）

（3）抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.（X）

（4）以（0,1）为焦点的抛物线的标准方程为》2=4y.（V）

【教材改编题】

1

L抛物线X2可的准线方程为（）

11

A.y=-----B.x=------

1616

11

C.y=—D.x=—

1616

答案A

解析由抛物线的标准方程可得，抛物线的焦点位于y轴正半轴上，焦点坐标为（0,A

,准

1

线方程为y=——.

16

2.过抛物线俨=4x的焦点的直线/交抛物线于尸8,为），。（犯，”）两点，如果修+切=6,

则|尸0|等于（）

A.9B.8C.7D.6

答案B

解析抛物线俨=4尤的焦点为尸（1,0）,准线方程为x=-l.根据题意可得，

\PQ\=\PF\+\QF\=Xl+l+x2+l

=修+%2+2=8.

3.抛物线产=2,须＞0）上一点M（3,歹）到焦点厂的距离|防1=4,则抛物线的方程为（）

A.y2=SxB.y2=4xC.y2=2xD.y2=x

答案B

解析由题意可得I町=XM+1|,

P

则3+：=4,即0=2,故抛物线方程为俨=4%.

■探究核心题型

题型一抛物线的定义及应用

例1（1）（2022•全国乙卷）设尸为抛物线C：俨=4x的焦点，点/在C上，点2（3,0）,若尸尸

\BF\,则恒司等于（）

A.2B.272C.3D.372

答案B

解析方法一由题意可知歹（1,0）,抛物线的准线方程为无=-i.

设/徐/卜

则由抛物线的定义可知M尸1=-1-1.

4

因为巧回=3—1=2,

所以由北回=|3月,可得一+1=2,

4

解得为=±2,所以4(1,2)或4(1,-2).

不妨取4(1,2)，

则|/用=j(1_3)2+(2―0)2=服=27i

方法二由题意可知尸(1,0),故|8q=2,

所以|/「|=2.

因为抛物线的通径长为20=4,

所以/斤的长为通径长的一半，

所以/尸，x轴，

所以尸,22+22=#：=2ypi.

(2)已知点M(20,40)不在抛物线C：y2=2px(p>0)±.,抛物线C的焦点为丘若对于抛物线上的

一点尸，FM+尸目的最小值为41，则〃的值等于.

答案42或22

解析当点M(20,40)位于抛物线内时，如图①，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为D,

则下用=|即,

\PM\+|PF|=\PM\+\PD\.

当点“，P,。三点共线时，

|PM+I即的值最小.

由最小值为41,得20+(=41,解得p=42.

当点M(20,40)位于抛物线外时，如图②，当点P,M,尸三点共线时，1PM+1即的值最

小.

由最小值为41,得,4()2+(20—，=41,

解得p=22或p=58.

当p=58时，y2=H6x,点M(20,40)在抛物线内，故舍去.

综上，p=42或0=22.

思维升华“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简

捷、直观的求解.“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径.

11

跟踪训练1⑴已知抛物线尸加也加＞0)上的点(沏,2)到该抛物线焦点F的距离为一，则m等

4

于()

11

A.4B.3C-D-

43

答案D

解析由题意知，抛物线歹=机芯2(勿＞0)的准线方程为y=--

4m

根据抛物线的定义，可得点(沏,2)到焦点下的距离等于到准线y=一工的距离，

4m

1111

可得2-1--=—，解得加=一.

4m43

(2)若尸是抛物线俨=8x上的动点，尸到了轴的距离为心，到圆C：。+3)2+(y—3)2=4上动

点。的距离为d2,则必十心的最小值为.

答案后一4

解析圆C：(x+3)2+(y—3)2=4的圆心为C(—3,3),半径r=2,

抛物线V=8x的焦点/(2,0),

因为P是抛物线f=8x上的动点，P到y轴的距离为山，到圆C：(x+3)2+(y—3)2=4上动

点。的距离为d?,

所以要使4+必最小，即尸到抛物线的焦点与到圆C的圆心的距离最小，

如图，连接尸尸，FC,则4+d2的最小值为/q减去圆的半径，再减去抛物线焦点到原点的

距离，

即(一3—2)2+(3—0)2—2—2=商一4

所以小+么的最小值为后一4.

题型二抛物线的标准方程

例2分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.

(1)准线方程为4+4=0；

(2)过点(3,-4)；

(3)焦点在直线x+3y+15=0上.

解(1)准线方程为2y+4=0,即y=—2,故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为N=

2py(p>0).

D

又|=2,2。=8,故所求抛物线的标准方程为N=8y.

(2)：点(3,一4)在第四象限，二抛物线开口向右或向下,

设抛物线的标准方程为产=2px(p>0)或9=一201ygi>0).

把点(3,—4)的坐标分别代入俨=2/和x2=-221y中，得(一4>=2P33=-20〈一4),

,169

则2p=—,2pi=-.

34

,_169

二所求抛物线的标准方程为俨=丁或N=—

(3)令无=0得y=—5；令y=0得x=-15.

.•.抛物线的焦点为(0,—5)或(—15,0).

...所求抛物线的标准方程为N=-20y或y2=—60x.

思维升华求抛物线的标准方程的方法

(1)定义法.

(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论.

跟踪训练2(1)如图，过抛物线产=2/g>0)的焦点厂的直线依次交抛物线及准线于点/,

B,C,若［2。=2出尸］,且依目=3,则抛物线的方程为()

B.俨=9x

9

C.y2—~x

-2

D.y2=3x

答案D

解析如图，分别过点48作准线的垂线，交准线于点£,D,

设田厂|=a,则田C|=2a,由抛物线的定义得|AD|=a,故/2CD=30。，

在RtZUCE中，2|4同=|/C|,

V\AE\=\AF\=3,\AC\=3+3a,

；.3+3a=6,解得a=l,

12

'：BD//FG,

P3

3

，P=5，

因此抛物线的方程为俨=3工

（2）（2022・烟台模拟）已知点/为抛物线俨=2.勿＞0）的焦点，点P在抛物线上且横坐标为8,O

为坐标原点，若△。叮的面积为2渡，则该抛物线的准线方程为（）

1

A.x=----B.x=-1

2

C.x=12D.x=14

答案B

解析抛物线俨=2/伪＞0）的焦点厂g,o],

将点尸的横坐标代入抛物线得y2=16p,可得y=±4G，不妨令尸（8,4^/万），

1Pl1—

则解得p=2,

则抛物线方程为产=4x,其准线方程为x=—1.

题型三抛物线的几何性质

例3（1）在抛物线俨=8x上有三点，，B,C,尸为其焦点，且尸为△48C的重心，则|/人|+

|3月十|。尸|等于（）

A.6B.8C.9D.12

答案D

解析由题意得，尸为△4BC的重心，

f21f—1——

故⑷齐B+/C）="43+ZC）,

设点4,B,C的坐标分别为（xi，%）,（x2,及），（如》3），

・・•抛物线炉=8x,/为其焦点，・・・/2,0）,

••AF=(2~x\,—yi),AB=(X2~X\,竺一乃),

AC=(XS-XI9乃一为),

一]——

9

：AF=^AB+AC)9

1

2—X\——(%2—X1+工3—X1),

・・修+必+%3=6,

•*.\AF\+\BF\+\CF\=X\+切+%3+6=12.

（2）（多选）已知抛物线C：俨=2加。＞0）的焦点为F,直线/的斜率为且经过点F,与抛物线C

交于4,8两点（点/在第一象限），与抛物线C的准线交于点D若必人|=8,则以下结论正确

的是（）

A.2=4B.DF=FA

C.\BD\=2\BF\D.\BF\=4

答案ABC

解析如图所示，分别过点/,3作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为点£,M,连接

£尸.设抛物线C的准线交x轴于点P,则|即=。.因为直线/的斜率为退，所以其倾斜角为

60°.

因为/E〃x轴，所以/胡尸=60。，

由抛物线的定义可知，\AE\=\AF\,

则为等边三角形，

所以ZEFP=ZAEF=60°,

则/尸£尸=30°,

所以0月=|即=2|尸用=2p=8,得p=4,

故A正确；

因为|/E|=|£F|=2|PF|,APF//AE,

所以尸为/。的中点，则防=而，故B正确;

因为/。4&=60。，所以N4DE=30。，

所以|AD|=20M=2|AF],故C正确；

因为|8。=2|即,

118

所以|8尸|=7。尸]=[/尸|=],故D错误.

思维升华应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物

线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性.

跟踪训练3（1）（2021•新高考全国I）已知。为坐标原点，抛物线C：俨=2.g>0）的焦点为

F,尸为C上一点，P尸与x轴垂直，0为x轴上一点，且尸。，。尸.若尸0|=6,则C的准线

方程为.

3

答案x=——

2

P

解析方法一（解直角三角形法）由题易得。尸1=；,\PF\=p,ZOPF=ZPQF,

所以tanNOPF=tanZPQF,

P

\OF\\PF\7p

所以—=」®P-=-,

\PF\\FQ\P6

3

解得p=3g=0舍去），所以C的准线方程为x=-Q.

方法二（应用射影定理法）由题易得纱苣p，

\PF\=P>m=\OF\-\FQ\,

p

即加=5*6,解得0=3或〃=0（舍去），

3

所以C的准线方程为x=-

2

（2）已知厂是抛物线产=16x的焦点，”是抛物线上一点，松的延长线交>轴于点N,若3嬴

=2MN,贝力印=.

答案16

解析易知焦点厂的坐标为（4,0）,准线/的方程为x=-4,如图,

抛物线准线与X轴的交点为/,作儿于点8,NCJ_/于点C,

\MN\\BM\~\CN\

AF//MB//NC,则,

|独一\OF\

由3FM=2MN,

行----=一,

\NF\5

又|CN|=4,8|=4,

\BA4\-433232\MF\2

所以-------=-,\BM\=—\MF\=\BM\=—.-

455517VF|5

所以|尸川=16.

课时精练

立E础保分练

3

1.（2022•桂林模拟）抛物线C：俨=—y的准线方程为（）

33

A.%=一B.x=----

88

33

C.y=~D.y=----

88

答案A

3_3

解析俨=:--X的准线方程为X二

28,

2.（2023・榆林模拟）已知抛物线》2=物。＞0）上的一点M（x（U）到其焦点的距离为2,则该抛物

线的焦点到其准线的距离为（）

A.6B.4C.3D.2

答案D

DD

解析由题可知，抛物线准线为y=—可得1+鼻=2,解得p=2,所以该抛物线的焦点到

其准线的距离为0=2.

3.（2023・福州质检）在平面直角坐标系。xy中，动点尸（x,y）到直线x=1的距离比它到定点

（—2,0）的距离小1,则P的轨迹方程为（）

A.y2=2xB.y2=4x

C.y=—4xD.产=—8x

答案D

解析由题意知动点P（x,y）到直线x=2的距离与到定点（一2,0）的距离相等，

由抛物线的定义知，尸的轨迹是以（一2,0）为焦点，x=2为准线的抛物线，

所以p=4,轨迹方程为/=-8x.

4.（2022•北京模拟）设〃是抛物线俨=4x上的一点，尸是抛物线的焦点，。是坐标原点，若

ZOFM=120°,则|_™）等于（）

47

A.3B.4C-D-

33

答案B

解析过点M作抛物线的准线/的垂线，垂足为点N,连接力V,如图所示，

因为/。尸朋=120。，MV〃x轴，则NFAW=60。，

由抛物线的定义可得1MM=|FM，所以为等边三角形，则/KVM=60。，

抛物线f=4x的准线方程为x=-1,设直线x=-1交x轴于点£,贝！|NENF=30。，

易知区F|=2,/FEN=90°,则回1/|=|印=2但产|=4.

5.（多选）已知抛物线y=2.g>0）的焦点尸到准线的距离为4,直线/过点尸且与抛物线交

于两点N（xi，%）,8（x2，"），若2）是线段48的中点，则下列结论正确的是（）

A.p=4

B.抛物线方程为y=16x

C.直线/的方程为y=2x—4

D.\AB\=\0

答案ACD

解析由焦点厂到准线的距离为4,根据抛物线的定义可知p=4,故A正确；

则抛物线的方程为f=8x,

焦点厂（2,0）,故B错误；

则W=8x1,yi~8x2,

若M（私2）是线段N3的中点,则为+”=4,

.,.j?—yi=8x1—8x2,

yi~y288

即=:=2,

xi-X2yi十歹24

・二直线/的方程为>=2x—4,故C正确；

又由为+及=2（修+%2）—8=4,得为+%2=6,

A\AB\=\AF\+|5F|=x1+x2+4=10,故D正确.

6.（多选）（2022・金陵模拟）在平面直角坐标系Qxy中，点尸是抛物线。：产="30）的焦点,

点/gJ,B（a,b）（6>0）在抛物线C上，则下列结论正确的是（）

A.C的准线方程为》=走

4

B.b=ypl

C.OAOB=2

D—处

\AF\\BF\15

答案BD

解析点/g,1,>O),B(a,6)(6>0)在抛物线。上,

抛物线°的准线方程为工=一¥‘故人错误,B正确;

O^-O5=YXV2+1><V2=1+V2,故C错误;

抛物线C的焦点尸［走，0）,

7.如图是抛物线形拱桥，当水面为/时，拱顶离水面2米，水面宽4米.则水位下降1米后,

水面宽米.

：[：：[：]：：]：[.

一|I।T-]।*I*]*[।*]*「।I।*[।*I।*]*]*I

答案2居

解析建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2=—2抄0＞0),则点(2,—2)在

抛物线上，代入可得p=l,所以》2=-2y.当y=-3时，x2=6,所以水面宽为2米.

8.(2021•北京)已知抛物线C：/=4x,焦点为尸，点M为抛物线C上的点，且/独=6,则

M的横坐标是,作JWLx轴于N,贝.

答案546

解析因为抛物线的方程为产=4x,

故p=2且尸(1,0),

P

因为FM=6,所以x“+a=6,

解得x“=5,

故歹“=±2^/^，

所以SAFMN=W*-1)X2Gs

9.过抛物线CN=2行伪＞0)的焦点/作直线/与抛物线。交于Z,3两点，当点4的纵坐

标为1时，|/F|=2.

(1)求抛物线。的方程；

(2)若抛物线。上存在点M(—2,为)，使得也，求直线/的方程.

解⑴抛物线C：N=2处伪＞0)的准线方程为尸一|,焦点为尸(0,1).

当点/的纵坐标为1时，\AF\=2,

P

••1解得°=2,

抛物线C的方程为x2=4y.

(2)：点M(—2,泗)在抛物线C上,

（一2）2

~~L=l，M坐标为（一2,1）.

4

又直线/过点尸（0,1）,・••设直线/的方程为》=h+1.

由*+1'

得N—4旅一4=0.

设4（修，为），5（%2，刃），

则修+%2=4鼠X\X2=-4,

-A

AM=（xi+2,为一1）,

MB=（X2~\~2,及—1）.

：.MAMB=0,

-

.*.（x1+2）（x2+2）+（yi—l）（y21）=0,

・・・-4+8左+4—4左2=0,解得左=2或左=0.

当左=0时，/过点/，不符合题意，・・・=2,

；・直线I的方程为y=2x+l.

10.已知在抛物线Cn2=2加伪＞0）的第一象限的点「a」）到其焦点的距离为2.

（1）求抛物线C的方程和点P的坐标；

（2）过点（一1,3的直线/交抛物线。于42两点，若/APB的角平分线与y轴垂直，求弦N2

的长.

n

解（1）由1+鼻=2,可得0=2,

2

故抛物线的方程为x=4yf

当y=l时，x2=4,

又因为x＞0,所以x=2,

所以点P的坐标为（2,1）.

⑵由题意可得直线I的斜率存在，

1

设直线/的方程为〉=左（工+1）+5，4（xi，yi）,B（X2,"），

由｝=.+左+]得x2-4kx-4k-2=Q,

所以/=16左2+4（4左+2）＞0,修+必=4鼠X\X2=-4k—2,

因为N/P8的角平分线与y轴垂直,

所以kpa+kpB=O,

yi—1V2~1

所以k+k=---+--=0,

PAPBxi-2%2—2

xixi

——1

即^—+-~=0,

XL2X2~2

即修+%2+4=0,

所以左=-1,X\X2=-4,修入2=2,

所以|/3|=Jl+的修一刈=J1+FJ（X1+X2）2—4%1X2=4.

立综合提升练

11.（多选）（2023・唐山模拟）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，

沿平行于抛物线对称轴的方向射出.反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后

必过抛物线的焦点.已知抛物线八歹2=公。为坐标原点，一束平行于X轴的光线/1从点P

仕1）射入，经过尸上的点4（X1，为）反射后，再经尸上另一点如2,刃）反射后，沿直线,2射

出，经过点。，则下列结论正确的是（）

A.）必=-]

25

B.朋=——

16

C.PB平分/4BQ

D.延长40交直线x=—1于点C,则C,B,。三点共线

4

答案BCD

解析设抛物线的焦点为凡如图所示，

故直线4Ky

41

31

由f=?"?可得产—-=0,

少2=X,

1

故为为故A错误;

4

1

又为=1,故及=—；,

4

1

故B［一,

\16

1125

故=----1--=—,故B正确;

16216

4125

因为M尸|=m一1=记=|四耳,

故尸8为等腰三角形，故/ABP=NAPB,

而/i〃/2，故/PBQ=NAPB,

即NABP=NPBQ,

故PB平分NABQ,故C正确；

'y=Xf

直线/。：y=x,由1

x=一了

可得T，故咏=乃，

所以C,B,。三点共线，故D正确.

12.（2022•阜宁模拟）已知抛物线C：俨=2.g>0）的焦点为尸，准线为/,点M是抛物线C上

一点，MH_U于H,若|Affi]=4