广东省八校联盟2024-2025学年高一年级上册教学质量检测（二）数学试题（含答案解析）

广东省八校联盟2024-2025学年高一上学期教学质量检测(二)

数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.设集合/={x|x>l},5={x|-2<x<2},贝U(备/)I3=()

A.(-2,1)B.(-2,1]C.(-s,2)D.(1,2]

2.若a,bcR,则“a<6”是“Inavlnb”的()

A.充要条件B.既不充分也不必要条件

C.充分不必要条件D.必要不充分条件

3.如果函数八》)=/+2工一3,xe[0,2],那么函数/(无)的值域为()

A.[―4,+℃)B.[-4,5]C.[—3,5]D.[0,5]

4.在同一个坐标系中，函数/(x)=log“x,g(x)=。'Mx)=x"的部分图象可能是()

5.设aeR,若/(x)=log2(x+a)的反函数的图象经过点(3,1),贝!]a=()

A.7B.3C.1D.-1

6.已知a=2°」,6=log?6,c=logs0,则实数a,b,c的大小关系是()

A.c>a>bB.c>b>a

C.a>c>bD.a>b>c

7.取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下的两段;再将剩下的两段分

试卷第1页，共4页

别三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；……；将这样的操作一直继续下去，

直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极

限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集.若在第"次操作中去掉的线段长度

之和不小于则力的最大值为()

60

A.6B.7C.8D.9

8.已知函数/(》)=5'",若存在不相等的实数。，b,c,1满足

lgx,x>0

|/(a)|=|/(Z;)|=|/(C)|=|/(6?)|,贝伊+b+c+d的取值范围为()

二、多选题

9.若函数/(x)对于任意国,乙40,+8),都有小学五产；则称/(X)具有

性质下列函数中，具有性质M的有()

A./(x)=VxB./(x)=e%C./(x)=lnxD./(x)=----g

10.已知a>0,b>0,且a+6=4,则下列结论正确的是()

A.ab<4B.—l—21C.2"+2'216D.a2+b2>8

ab

11.有如下命题，其中为真命题的是()

A.若幕函数y=/(x)的图象过点(2,；),则〃3)>；

B.函数［。)=4+1(°>0且awl)的图象恒过定点(1,2)

C.函数〃x)=x2TTog产有两个零点

2

D.若函数/(耳=炉-2》+4在区间［0,根］上的最大值为4,最小值为3,则实数小的取

值范围是［1,2］

三、填空题

12.若。,6>0,且。6=〃+6+3,贝6的最小值为

试卷第2页，共4页

13.若函数=F为奇函数，贝.

[-x+ax,x>0

14.已知符号[司表示不超过x的最大整数，函数〃x)=g(xHO),若方程〃x)=a有且仅

有3个根，则“的取值范围是.

四、解答题

15.计算下列各式的值：

10faS

(l)log32+log35-210g3V10+2；

(2)1-64\(l-2x)(l+2^+4^)+8i+8^.

1+8'I)

16.已知函数/(x)=ax2+6x-l(a,6eR).

(1)若不等式〃无)>0的解集是{x[l<x<3},求a,6的值；

⑵当6=3时，若不等式/卜)<0对一切实数x恒成立，求。的取值范围.

17.某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色

小镇”.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量甲(单位：千克与施用肥料x(单位：(千克)

5(X2+3),0<X<2

满足如下关系：少0)=50x，肥料成本投入为10x元，其它成本投入(如培

-----,2<xW5

、l+x

育管理、施肥等人工费)20x元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通

供不应求.记该水果树的单株利润为/(x)(单位：元).

⑴求;'(x)的函数关系式；

(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？

18.已知结论：设函数“X)的定义域为R,“,6eR,若/(a+x)+/(a-x)=26对无©R恒成

立，则“无)的图象关于点36)中心对称，反之亦然.特别地，当。=6=0时，/(x)的图象

2

关于原点对称，此时/(x)为奇函数.设函数g(x)=k7.

(1)判断g(x)在R上的单调性，并用函数单调性的定义证明；

⑵计算g(x)+g(-x)的值，并根据结论写出函数g(x)的图象的对称中心；

试卷第3页，共4页

(3)若不等式g(加-j+g(-旬？2对x>0恒成立，求实数m的最大值.

19.若存在实数对(。,为，使等式〃x)-/(2a-x)=b对定义域中每一个实数x都成立，则称

函数/'(x)为(。,6)型函数.

⑴若函数/(无)=2工是(。,1)型函数，求。的值；

(2)若函数g(x)=留是(。/)型函数，求。和人的值；

(3)已知函数A(x)定义在［-2,4］上,八(久)恒大于0,且为(1,4)型函数，当xe(l,4］时，

2

“(X)=-(log2x)+m-log2x+2.若〃(x)21在［-2,4卜恒成立，求实数m的取值范围.

试卷第4页，共4页

《广东省八校联盟2024-2025学年高一上学期教学质量检测(二)数学试题》参考答案

题号12345678910

答案BDCCADCCACDAB

题号11

答案BD

1.B

【分析】根据补集以及交集的定义及可求解.

【详解】由题意可知，%4={i|E},B={X\-2<X<2\,则(％/)C8={X|-2<E},

故选：B.

2.D

【解析】根据充分条件和必要条件的定义，结合对数的性质即可判断.

【详解】若a<640,则Ina和Inb无意义，得不出Ina<In6,

若lna<lnb,贝!］0<a<6,可以得出

所以“a<6”是“Ina<In"的必要不充分条件，

故选：D.

3.C

【分析】配方后，确定函数的单调区间，即可求函数值域.

【详解】：/(X)=X2+2X-3=(X+1)2-4,开口向上，对称轴为直线x=—l,

.•"(X)在区间［0,2］上单调递增，.•J(x)mhi=/(O)=-3,/(x)max=/(2)=5,

.•.xe［0,2］时,/(x)的值域是［T5］.

故选：C.

4.C

【分析】结合对数函数、指数函数和幕函数的单调性及图象判断即可.

【详解】因为［(无)=log/,g(x)=尸在同一坐标系中，所以/卜)，g(x)的单调性一定相

反，且「(X),g(x)图象均不过原点，故排除AD；

在BC选项中，过原点的图象为幕函数“无)=/的图象，由图象可知0<“<1,所以

/(x)=log/单调递减，g(x)=「单调递增，故排除B.

故选：C.

答案第1页，共10页

5.A

【分析】由题意可知，函数〃力=嘘2(》+。)的图象经过点(1,3),即可求得〃的值.

【详解】因为/(x)=bg2(x+”)的反函数的图象经过点(3,1),

所以，函数/(x)=bg2(x+。)的图象经过点0,3),

所以，/(l)=log2(l+a)-3,可得a+l=23,解得a=7.

故选：A.

6.D

【分析】根据题意结合指、对数函数单调性运算求解.

【详解】因为6=10826='0823,。=1083"=#0832，

由y=2,在R上单调递增，可得2°」>2°=1，即。>1；

由y=k>g2X在(0,+8)内单调递增，可得I=log22<log23<log24=2,即;<b<l；

由y=k)g3X在(0,+8)内单调递增，可得logjZ<log33=1,即c<g；

综上所述：a>b>c.

故选：D.

7.C

【分析】可分析得到第〃次操作去掉的线段长度之和为即解指

U)3U)360

数不等式,利用lg2«0.3010,lg3x0.4771估计即可

121

【详解】第一次操作去掉的线段长度为第二次操作去掉的线段长度之和为第三

次操作去掉的线段长度之和为。X：x=,…，第〃次操作去掉的线段长度之和为

由题意可知，⑶,则⑶则〃lg：2-lg30=-l-lg3,

360303

所以〃(lg2-lg3)2-l-lg3,即后；*2，

又lg2a0.3010,lg3。0.4771,带入上式，可得“48

故选：C

答案第2页，共10页

8.C

【分析】将问题转化为了=〃，与|/(x)|的图象的四个交点横坐标之和的范围，数形结合可得

答案.

【详解】由题设，将问题转化为了=加与y=『(x)|的图象有四个交点，

作出y=的图象如下：

所以0<〃741时，了=冽与|/(尤)|的图象有四个交点，

令gx+l=2,解得工=0或》=汽，令|lgx|=l,解得x=10或x=\,

不妨假设a<b<c<d,由图及函数性质知：

-4<a<-2<b<0<—<c<1<c/<10,

10

易知：>=]X+1的图象关于1=-2对称，

所以〃+/?=-4,又由|lgc|二|lgd|得cd=l,

所以c+d=cH—,且—<c<10,

c10

得2Vc+」<10+}=整，当且仅当c=l时等号成立，

c1010

【点睛】方法点睛：数形结合是解决函数问题的重要方法，画出图象根据图象性质结合对称

性和双勾函数的性质是解题的关键.

9.ACD

【分析】根据条件得到函数图像应该是上凸的或者是直线，根据图像得到答案.

【详解】根据题意，若函数/(X)对于任意网,工2€(0,+“)，都有

则函数的图象在(0,+8)上为直线或向上凸，/(x)=eX的图象不符合该特点，

而[(x)=6、f(x)=In%和=的图象符合该特点.

答案第3页，共10页

故选：ACD.

10.AB

【分析】由基本不等式对AC进行判断；用“1”的代换结合基本不等式判断B；利用重要不

等式变形判断D.

【详解】对于A,因为a>0,b>0,。+方=4,

所以4=°+/2而(当且仅当。=6=2时取等号)，

所以0<仍44,(当且仅当。=6=2时取等号)，所以A正确;

对于B,因为:+*11

a+b

当且仅当。=6=2时取等号，所以B正确；

对于C,因为2"+2"22后才=2亚嬴'=2厅=8，

当且仅当“=方=2时取等号，所以C错误；

对于D,因为/+/N2附，所以2(/+62)2,+6)2,

所以/+/2①史=3=8,当且仅当。=，=2时取等号，所以D错误.

22

故选:AB.

11.BD

【分析】根据基函数的定义判断选项A,由指数的性质判断选项B,由零点存在性定理的应

用判断选项C,由二次函数的图象和性质判断选项D.

【详解】设幕函数[(x)=x01,代入，得到*=g,.•.&=T,.寸(x)=%则〃3)=；<g,

故A错误；

由于了=优恒过定点(0,1),因此令x-l=0,即x=l时，恒有"1)=2,

即图象恒过定点(1,2),故B正确；

转化/(x)=x?-l-logjX=0；即/_]=]0glx,

22

函数-1与了=l°g及在同一直角坐标系下的图象如图1所示，

2

两个函数只有一个交点，故函数/(X)只有一个零点，故C错误.

答案第4页，共10页

函数/(x)=x2-2尤+4中，得/(0)=/(2)=4,/(1)=3,

如图2所示，可得若函数在区间[0,%]上的最大值为4,最小值为3,

则实数加的取值范围是[1,2],故D正确.

图1图2

12.6

【分析】利用基本不等式求解.

【详解】因为。力>0,所以而4学，即必《如迎，

24

所以a+b+3V("+"一则有(a+6)2-4(。+b)-122。,

一4

解得a+bV-2(舍)，或a+626,

当且仅当a=b=3时取得等号，

所以a+b的最小值为6,

故答案为6

13.3

【分析】根据奇函数定义可得。=4,代入运算求解即可.

【详解】设x<0,贝IJ-x>0,贝I]/(-无)=-x2-ax,f(x)=x2+4x,

因为/(x)是奇函数,则/(f)=-/(x)，即f?一办=-f_4x,可得。=4,

即〃x)=F：4丁-°仆，所以/("1)=/(3)=-9+12=3.

[-x+4x,x>0

故答案为：3.

14-(H341七14,3)

【分析】将原问题转化为函数图像有交点的问题，然后数形结合考查临界条件即可求得最终

答案第5页，共10页

结果.

【详解】符号［x］表示不超过X的最大整数，若函数〃x）=g（xwo）,

则当xe（o,l）时，［x］=o,则/（尤）=0；

，则〃x),d

当x«l,2）时，［司=1

则/(x)=2e1|>l;

当xe［2,3）时，3=2,

xIJ.

则/(x)=jeg,l；

当xe［3,4）时，国=3,

则/(无)=3e[gl；

当xe［4,5）时，［x］=4,

则/(x)=M住1；…

当xe［5,6）时，［x］=5,

当xe［-l,O）时，卜］=一1,则/(%)=--£1,+8);

7

当xe[-2,-1)时，团=-2,则〃x)=-：e[l,2)；

当xe[T-2)时，[x]=-3,贝=1,|)；

当xe[-4,-3)时，[x]=-4,则/(x)=—el,g)；..

所以函数/(x)=¥(xwO)的图象如图所示，

由图象可知/[-3,g],5f-2,|lcR|L

因为方程/（x）=。有且仅有3个根，等价于/（X）与V=。的图象有3个交点,

3443

结合图象可知，当］或］满足题意.

故答案位为：（［“3小41校「4,J3、

15.（1）3

（2）4

【分析】（1）根据对数的运算法则可得答案;

答案第6页，共10页

（2）由指数塞的运算法则及平方和，立方差等公式计算可得答案.

Og23

【详解】(1)log32+log35-21og3Vlb+^=log3(2x^-log310+3=log3l+3=：

(Xx\2

(2)+(1一2')(1+2'+4')+8万+8.2

7

(1-8Txi+8-*

X3

+1-(2)+8'+2+8一”

1+P

=1-8-v+1-8X+8v+2+8T=4

174

16.(\)a=--,b=-

9

⑵—00,-------

4

【分析】（1）分析可知"2+队-1=0（°片0）的两根为i,3,且。<0,利用韦达定理运算求

解即可;

（2）分。=0和两种情况，根据恒成立问题结合二次函数列式求解即可.

【详解】（1）不等式/（x）>0的解集是{x[l<x<3},

即办2+bx-l=O（a片0）的两根为1,3,且a<0,

1

1x3=—a-——

3

所以解得<

」

1+3b=~

a3

(2)当6=3时，不等式小)<0。0/+3X-1<0.

若“=0,则不等式即为3x-l<0,不恒成立，不合题意;

a<09

若则由题意可得32-4«X(-1)<0,解得

9

综上所述：。的取值范围是一00,

4

75x2-3Ox+225,0<x<2

17.⑴/(尤)〜750

750----------30x,2<x<5

x+l

⑵当x=4时取得最大利润，最大利润为480元

【分析】（1）利用销售额减去成本投入可得出利润解析式;

（2）利用分段函数的单调性及基本不等式计算最值即可.

答案第7页，共10页

15x5卜2+3)-30x,0<x<2

【详解】(1)由已知/(x)=15少(无)一20无一10尤=

出

15x一30x,2<x<5

1+X

75x2-30x+225,0<x<2

750

750----------30A;2<X<5

x+1

75口-口+222,0<x<2

(2)由(1)得=.

780-30|—+x+l],2<x<5

U+lJ

即由二次函数的单调性可知，当xe［0,2］时，/(x)皿*=7(2)=465,

由基本不等式可知，当xe(2,5］时,

〃x)=78O-3o]弓+x+l]<780-30x2^^-^+1)=480,

25

当且仅当—-x+1,即、=4时取得最大值，

x+1

综上，当x=4时取得最大利润，最大利润为480元.

18.(1)单调递减，证明见解析

⑵g(x)+g(-x)=2,函数g(x)的图象的对称中心为(0,1)

⑶4

【分析】(1)g(x)在R上单调递减，设不＜3,计算得到g(9)-g(xj＜。得到证明;

(2)计算得到g(x)+g(-尤)=2,根据题设得到结论；

(3)构造尸(x)=g@)-l,确定F(x)为奇函数，且在R上单调递减，变换得到

F^-^＞F(4x),得到%V4x+—根据均值不等式计算最值得到答案.

【详解】(1)g(x)在R上单调递减，证明如下：

/x＜x冏，x),晨)一二______2_2(户一叫©+小

及演＜马'则gG)-g(xJ一齐口-苫节一©*+1)卜2%+1)'

2

x1<x2,则e"?+l>0,e2*>+1>0,e$—+<0,^'+^>0,

故g(x2)—g(xj＜。，§Pg(x2)＜g(x1),函数在R上单调递减;

答案第8页，共10页

2?222e2x

⑵g（x"F'贝"+g（T）=苫­-----------1-----Z--二----2----，

e2x+1+1

故函数g(x)的图象的对称中心为(0,1)；

(3)设尸(x)=g(x)-l,故F(x)为奇函数，且在R上单调递减，

g^--^|+g(-4x)>2,即尸］机一J+尸(-4x)20,即尸,一工卜尸(4x),

则加一LW4x在(0,+8)上恒成立，即加工4x+，,xG(0,+00),

xx

4x+—>2^=4,当且仅当x时等号成立，故加44,即加的最大值为4.

x2

19.⑴〃=0；

(2)。=0,6=1；

3

(3)-<m<2V2.

【分析】(1)根据给定的定义，结合指数运算计算即得.

(2)利用给定的定义，建立恒成立的等式，借助恒等式求解即得.

(3)利用新定义建立关系，再分段讨论并借助函数不等式恒成立求解即得.

【详解】⑴由/(x)=2工是(见1)型函数，得/(x)4(2"x)=2£""f=l,即22』,

所以4=0.

(2)由g(x)=e"是型函数,得g(x),g(2o-x)=e"d"-％=人,

则—=Inb,因此/in6-2axin6+2〃=0对定义域｛%|%。0｝内任意》恒成立，

x2a-x