广东省东莞市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

广东省东莞市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

姓名：班级：考号：

题号——四五总分

评分

一、选择题（共10题，每小题3分，共30分）

1.方程2/—3久—1=0的二次项系数和一次项系数分别为（）□

A.2/和一3久B.2,和3%C.2和一3D.2和3

2.“福禄寿喜”图是中华传统祥云图纹，以下四个图案是中心对称图形的是（）

B.

D嬉

3.一个不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球,

下列事件中是不可能事件的是（）o

A.3个球都是黑球B.3个球都是白球

C.3个球中有黑球D.3个球中有白球

4.二次函数y=2（x—1>+2的图象可由y=2/的图象（）。

A.向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到

B.向左平移1个单位,再向上平移2个单位得到

C.向右平移1个单位,再向下平移2个单位得到

D.向右平移1个单位,再向上平移2个单位得到

5.如图，在平面直角坐标系中，AOAB的顶点为。（0,0）,71（-6,4）,B（—3,0）»以点。为位似中心，在

第四象限内作与A04B的位似比为④的位似图形△OCC,则点C坐标为（）。

c.（I，-f）D.（I，-1）

6.如图，在。。中，点C是油上一点，若乙4OB=126。，则ZC的度数为（）0

1

C

AB

A.127°B.117°C.63°D.54°

7.为积极响应国家“双减”政策，某市推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计第一批公益

课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次。设平均每批受益学生人次的增长率为x,根据题意

可列方程为（）o

A.2（1-%）2=2.42B.2.42（1-%）2=2

C.2.42（1+%）2=2D.2（1+%）2=2.42

8.某杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，阻力臂保持不变，在使杠杆平衡的情况下，小康通过改变动力臂L,

测量出相应的动力F数据如表。请根据表中数据规律探求，当动力臂L长度为2.0m时,所需动力最接近（）o

D.302N

9.如图，在矩形/BCD中，48=24,BC=25,以点8为圆心，长为半径画弧，交边4。于点巴则四边

C.82D.92

10.抛物线7=。%2+/?%+式。。0）的部分图象如图所示，与久轴的一个交点坐标为（4,0）,抛物线的对称轴是

直线汽=L下列结论中：@abc>0；（2）2a+b=0；③方程a/+法+c=0有两个不相等的实数根；（4）

若点4（刻几）在该抛物线上，则am?+人7n4Q+力.其中正确的有（）

2

A.1个B.2个C.3个D.4个

二'填空题（共5题，每小题3分，共15分）

11.二次函数y=2（久—4）2-3的顶点坐标是0

12.已知（小-i）x|m+i|-3%-5=0是一元二次方程，则m=□

13.如图，在科学活动课上，同学们用圆心角为120。，半径为12cm的扇形纸片，卷成一个无底圆锥形小帽,

则这个小纸帽的底面半径r等于.

14.在△4BC中，E,尸分别是边ZB,4C上的点且EF||BC,AE-.EB=2：3,四边形BCFE的面积为42cm2,

则小ABC的面积为

15.如图，在平面直角坐标系中，正六边形4BCCEF的中心尸在反比例函数丫=号（％>0）的图象上，边CQ

在x轴上，点3在y轴上，则该正六边形的边长为。

三'解答题（共4小题，5+5+5+6,共21分）

3

16.解方程：x（2久-1）=2（2久—1）

17.在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为4(5,4),B(0,3),C(2,1)。

(1)画出△力BC关于原点成中心对称的A&B1C1，并写出点Ci的坐标；

(2)画出将ABC绕点B按顺时针旋转90。所得的△A2BC2O

18.已知关于x的一元二次方程/一(卜+4)+3+2k=0。

(1)求证：此方程总有两个不相等的实数根；

(2)设方程的两个实数根为％1，%20若X1〉0,久2<0，求人的取值范围。

19.如图，AB为。。的直径，弦CDLAB,垂足为点P,直线BF与AD延长线交于点F,且/AFB=/ABC.

Br

(1)求证：直线BF是。O的切线；

(2)若CD=2V5，BP=1,求。O的半径.

四、解答题(共4小题，7+7+8+8=30分)

20.抖音直播带货已经成为一种热门的销售方式，某商场在抖音平台上直播销售某种商品，该商品每件进货价

为40元，市场调研表明：当销售单价为80元时，平均每天能售出20件；在每件盈利不少于25元的前提下，

经过一段时间销售，当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件。

(1)若降价2元，则平均每天销售数量为件；

(2)当每件商品定价多少元时，该商场平均每天销售某种商品利润达到1200元。

21.如图，菱形4BCD的边长为a,^ADC=120°,分别以C为圆心，。为半径画丽D及丽D。求丽D及丽D

所围成的叶形的周长及面积.

C

22.科学点亮未来，创新成就梦想，为了点燃同学们的科技热情，某校开展了科技探秘活动，为了了解同学们

对人工智能、无人机、航模、3d打印这四个兴趣小组的喜爱情况，在全校进行随机抽样调查，并根据收集的数

据绘制了下面两幅统计图(信息不完整)，请根据图中提供的信息，解答下面的问题：

(1)此次共调查了多少名学生？

(2)将条形图补充完整；

(3)计算扇形统计图中人工智能部分的圆心角的度数；

(4)小明和小方想报名参加兴趣课堂，现从人工智能、无人机、航模、3d打印这四种兴趣课堂中随机选择

一种，用列表法或树状图法求出他们选中同一种兴趣课堂的概率。

23.如图，经过点4(1,0)的直线/与双曲线y=?(%>0)交于点B(2,1),直线y=2分别交曲线y=?(%>0)

和y。)于点”、N,点、P(P,2一1)(2>1)在直线丫=2上.连接8时、AN。

6

(2)求证：4MPBNPA.

五、解答题（共2小题，每小题12分，共24分）

24.如图（1）,已知等边△ABC,点。，E分别是边BC,C4上的点，且CD=AE,连接4D,BE交于点尸.

⑴

(1)求证：AABD^△BCE；

(2)如图（2）连接CP,若点P恰好落在以CD为直径的圆上，求ZCPE的度数;

(3)在条件（2）下，求AE：EC的值。

25.如图，抛物线y=直好+6%与无轴交于应一2,。），B（6,0）,交y轴于点C,点P是线段BC下方抛物线

（1）求抛物线的函数解析式;

（2）求A/OQ周长的最小值;

7

(3)假设AP/Q与△PBQ的面积分别为Si，S2,且5=51+52，求S的最大值。

8

答案解析部分

1.【答案】C

【解析】【解答】解：方程2/—3久—1=0的二次项系数为2,一次项系数为-3.

故答案为：C.

【分析】对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a加)，二次项系数为a,一次项系数为b,常数项为c,据此作答即可.

2.【答案】A

【解析】【解答】解：A是中心对称图形，符合题意；

B不是中心对称图形，不符合题意题意；

C不是中心对称图形，不符合题意题意；

D不是中心对称图形，不符合题意题意.

故答案为：A

【分析】将图形沿某一点旋转180。后能够与原图形重合的图形为中心对称图形.

3.【答案】B

【解析】【解答】解：A是随机事件，不符合题意；

B是不可能事件，符合题意；

C是随机事件，不符合题意；

D是随机事件，不符合题意；

故答案为：B

【分析】根据事件的可能性大小逐项进行判断即可求出答案.

4.【答案】D

【解析】【解答】解：由题意可得：

将y=2/的图象向右平移1个单位可得y=2(久—1)2

再向上平移2个单位可得y=2(%—1)2+2

故答案为：D

【分析】根据函数图形的平移规律：左加右减(对x),上加下减(对y),即可求出答案.

5.【答案】A

【解析】【解答】04B的顶点为。(0,0),71(-6,4),B(-3,0),以点O为位似中心，在第四象限内作

与△OAB的位似比为4的位似图形△OCD

.,.点C的坐标为(一6X4,4x1),即(3,-2)

故答案为：A

9

【分析】根据位似图形的性质即可求出答案.

6.【答案】B

【解析】【解答】解：作圆周角NADB,使D在优弧上

ZAOB=126°

1

LD="AOB=63°

,/ZACB+ZD=180°

.,.ZACB=180o-63o=117°

故答案为：B

【分析】作圆周角/ADB,使D在优弧上，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得ND=63。，再根据圆内

接四边形性质即可求出答案.

7.【答案】D

【解析】【解答】解：设平均每批受益学生人次的增长率为x

由题意可得2（1+久）2=2.42

故答案为：D

【分析】设平均每批受益学生人次的增长率为x,根据题意建立方程即可求出答案.

8.【答案】B

【解析】【解答】解：由题意可得：动力臂与动力成反比的关系

设函数关系式为：L=$

将（0.5,600）代入关系式可得600=白

解得：k=300

.7300

-L=—

将L=2代入关系式可得2=犁

F

解得:F=150

.,.a=150

10

故答案为：B

【分析】由题意可得：动力臂与动力成反比的关系，设函数关系式为：L=j,根据待定系数法将(0.5,600)

代入关系式可得k=300,再将L=2代入函数关系式即可求出答案.

9.【答案】B

【解析】【解答】解：连接BE,如图，

•••四边形ABCD是矩形，

24=2。=90°,AB=DC=24,AD=BC=25,

在Rt△ABE中，4E=7BE2-AB2=V252-242=7，

DE=AD-AE=25-7=18,

在Rt△EDC中，EC=JDE2+CD2=J182+242=30,

•••四边形ABCE的周长=AB+BC+AE+CE=24+25+7+30=86.

故答案为：B.

【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出AE、CE即可。

10.【答案】C

【解析】【解答】解：由图象可得，a<0,b〉0,c>0,

.".abc<0,故①错误；

••b(

•-2ka—=1，

••b=-2a,故2a+b=0,故②正确；

抛物线与x轴有两个交点，故方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，故③正确；

二•当％=1时，该函数取得最大值，此时y=a+b+c,

・••点在该抛物线上，则am2+bm+c<a+b+c,即am2+bm<a+b,故④正确.

・・・正确的有②③④共三个，

故答案为：C.

【分析】利用一次函数的图象、性质与系数的关系(①当k>0时，一次函数的图象呈上升趋势，此时函数值y

随x的增大而增大；②当k<0时，一次函数的图象呈下降趋势，此时函数值y随x的增大而减小；③当b>0

11

时，函数图象经过y轴的正半轴；④当b<0时，函数图象经过y轴的负半轴）分析求解即可.

11.【答案】（4,-3）

【解析】【解答】解：由题意可得：

顶点坐标是（4,-3）

故答案为：（4,-3）

【分析】根据二次函数顶点式的性质即可求出答案.

12.【答案】-3

【解析】【解答】解：由题可得｛/

解得：m=-3,

故答案为：-3.

【分析】根据一元二次方程的定义“形如ax2+bx+c=0（a加）的等式是一元二次方程”解题即可.

13.【答案】4cm

【解析】【解答】解：••・圆心角为120。，半径为12cm的扇形的弧长=12哈12=&兀皿，

loU

・,•圆锥的底面圆的周长为871cm,

设圆锥的底面半径为r,则2nr=8兀，

解得：r=4,

・・•圆锥的底面圆的半径为4cm,

故答案为：4cm.

【分析】设圆锥的底面半径为「，贝!]2几厂=8必再求出r的值即可.

14.【答案】50cm2

【解析】【解答】解：TEFIIBC

・•・AAEF^AABC

^AEzEB=2：3

AAE：AB=2：5

・SNEF_MF\2_4

S&ABC14M25

设S/k/EF=x

•"△/BC=42+%

.,•^^=奈解得:x=8

•9•S^ABC=42+%=50

故答案为：50cm2

12

【分析】根据相似三角形判定定理可得△AEFS/\ABC,由ZE：EB=2：3可得AE：AB=2：5,再根据相似

三角形性质可得改=(奈)2=白

设SAAEF=X，贝USMBC=42+久，建立方程，解方程即可求出答案.

15.【答案】V2

【解析】【解答】解：由题意可得:

ZBCO=60°

设正六边形ABCDEF的边长为x

,/ZBOC=90°

0C=^x,OB=亨无

.•.点P的坐标为卜，孚尤)

•..正六边形ABCDEF的中心P在反比例函数y=>°)的图象上

解得：％=&

故答案为：V2

【分析】根据正六边形外角性质可得NBCO60。，设正六边形ABCDEF的边长为x,根据含30。角的直角三角

形性质可得。。=*久，OB=*x，则点P的坐标为(%,孚％)，再将点P坐标代入反比例函数解析式即可求出答

案.

16.【答案】解：x(2x7)=2(2x-1)

x(2x-1)-2(2x-1)=0

(2x-1)(x-2)=0

2x-1=0或(x-2)=0

Xl=-i,X2=2

【解析】【分析】移项，提公因式进行因式分解，再解方程即可求出答案.

17.【答案】(1)解：如图，△AiBiCi即为所求

13

点Ci的坐标(-2,-1)

(2)解：如图，△A2BC2即为所求

【解析】【分析】(1)根据关于原点对称的点的坐标特征作出Bi，的，再依次连接即可求出答案.

(2)根据旋转性质作出力2,B,C2,再依次连接即可求出答案.

18.【答案】(1)证明：VA=[-(k+4)]2-4(3+2k)

=k2+8k+16-12-8k

=k2+4>0

.♦•此方程总有两个不相等的实数根

(2)解：Vxi>0,X2<0,

•"•Xl*X2<0

x『X2=3+2k

/.3+2k<0,

解得k<-1

即k的范围为kV-|

14

【解析】【分析】(1)根据二次方程判别式A=b2-4ac>0,可得方程总有两个不相等的实数根.

(2)根据二次方程根与系数的关系建立不等式，解不等式即可求出答案.

19.【答案】(1)证明：•.•弧AC=MAC,

；./ABC=/ADC,

,/ZAFB=ZABC,

ZADC=ZAFB,

；.CD〃BF,

VCDXAB,

；.AB_LBF,

「AB是圆的直径，

直线BF是。O的切线

(2)解：设。。的半径为r,连接OD.如图所示：

VAB±BF,CD=2V5,

；.PD=PC=1CD=V5,

VBP=1,

；.OP=r-1

在RtZ\OPD中，由勾股定理得：d=(r-1)2+(6)2

解得：r=3.

即。。的半径为3.

【解析】【分析】(1)由圆周角定理得出NABC=NADC,由已知得出NADC=NAFB,证出CD〃BF,得出AB1BF,

即可得出结论；(2)设。。的半径为r,连接OD.由垂径定理得出PD=PC=1CD=V5,得出OP=r-l在

RtaOPD中，由勾股定理得出方程，解方程即可.

20.【答案】(1)24

(2)解：设每件商品降价x元，则平均每天可销售(20+2x)件

依题意，得：(80-X-40)(20+2x)=1200

整理，得：x2-30x+200=0

解得：xi=10x2=20

当x=20时，40-x=20<25

15

；.x=20舍去.

,定价=80-10=70（元）

答：当每件商品定价70元时，该商店每天销售利润为1200元.

【解析】【解答】解：（1）若降价两元，则每天销售量为24件

故答案为：24

【分析】（1）根据降价每降低1元时，平均每天就能多售出2件即可求出答案.

（2）设每件商品降价x元，则平均每天可销售（20+2x）件，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.

21.【答案】解：I•在菱形ABCD中，ZADC=120°

NA=NC=60°

叶形的周长=2x需=看

loU37r

连接BD,过点D作DELAB于点E

ADE=^a

二叶形的面积=2S扇形ABD-S菱形ABCD

—

【解析】【分析】根据菱形性质可得NA=ZC=60%则叶形的周长=2x^3=看兀,连接BD,过点D作DEXAB

loU5

于点E,根据含30。角的直角三角形性质可得DE=21a,再根据叶形的面积=2S扇形ABD-S菱形ABCD即可求出答案.

22.【答案】（1）解：此次调查的学生人数为120—40%=300（名）

答：此次共调查了300名学生；

（2）解：人工智能的人数为300-（60+120+40）=80（名），将条形图补充完整如图：

16

(3)解：扇形统计图中人工智能部分的圆心角的度数为：360。乂热=96。

(4)解:C、D,画树状图如图所示:

小明

小方

共有16种等可能的结果，小明和小方选中同一种兴趣课堂的结果有4个

...小明和小方选中同一种兴趣课堂的概率为4=1

164

【解析】【分析】（1）根据航模兴趣小组人数及所占百分比即可求出总人数.

（2）根据人工智能的人数=总人数-其他小组人数，补全图形即可求出答案.

（3）根据人工智能部分的圆心角的度数=360。、所占比，即可求出答案.

（4）画出树状图，求出所有等可能结果，再求出小明和小方选中同一种兴趣课堂的结果，再根据简单事件的

概率即可求出答案.

23•【答案】（1）解：把B点的坐标（2,1）代入y=5得n=2xl=2

设直线1的解析式是y=kx+b（修0）

把A、B的坐标代入y=kx+b,得

解得：k=l,b=-1

即直线1的解析式是y=x-1

（2）证明：（p,p-1）在直线y=2上

；.p-1=2

解得：p=3

即P点的坐标是（3,2）

把y=2代入y=Z,得x=l,即M点的坐标是（1,2）

x

17

把y=2代入y=—得乂=-1,即N的坐标是(-1,2)

；.PM=3-1=2,PN=3-(-1)=4

VP(3,2),A(1,0),B(2,1.)

•••PB=Jf3-2；2+<2-1；2=V2

I22__

PA=J(3—1)+f2-0;=2V2

.PM_PB_1

••丽—西—2

•/ZMPB=ZNPA

AMPB^ANPA

【解析】【分析】(1)根据待定系数法将点(2,1)代入反比例函数解析式即可得n值，设直线1的解析式是y

=kx+b(k#)),根据待定系数法将点A,B坐标代入解析式即可求出答案.

(2)将点P坐标代入直线y=2上可得P点的坐标是(3,2),把y=2代入y=2,得x=l,即M点的坐标是

X

(1,2),把y=2代入y=—|,得x=-l,即N的坐标是(-1,2),根据两点间距离可得PM=2,PN=4,再

根据勾股定理可得PB,PA,再根据相似三角形判定定理即可求出答案.

24•【答案】(1)证明：・・•△ABC是等边三角形

・・・AB=AC=BC,ZABC=ZBCA=60°

VCD=AE

ABD=CE

在AABD与ABCE中

(AB=BC

\^ABD=乙BCE

(BD=CE

AAABD^ABCE(SAS)

(2)解：・・•点P恰好落在以CD为直径的圆上

.,.ZDPC=ZAPC=90°

由(1)知：AABD^ABCE

AZBAD=ZCBE

・•・ZAPE=ZBAD+ZABP=ZCBE+ZABP=60°

・・・NCPE=30。

(3)解：VAABD^ABCE

JZADB=ZBEC

ZADB+ZADC=180°

18

・・・NBEC+NADC=180。

・・・C、D、P、E四点共圆

连接DE,则NCED=90。，ZCDE=ZCPE=30°

VCD=AE

・AE_ry

•・前一2

【解析】【分析】(1)根据等边三角形性质可得AB=AC=BC,NABC=NBCA=60。，再根据全等三角形判定

定理即可求出答案.

(2)根据圆周角定理可得NDPC=NAPC=90。，再根据全等三角形性质可得NBAD=NCBE,再根据三角形

外角性质可得NAPE=60。，再根据角之间的关系即可求出答案.

(3)根据全等三角形性质可得/ADB=NBEC,再根据圆内接四边形性质可得C、D、P、E四点共圆，连接

DE,则NCED=90。，NCDE=NCPE=30。，再根据含30。角的直角三角形性质可得空=2,再进行等量替换即

C£1

可求出答案.

25.【答案】(1)解：:•抛物线丫=2*2+6*-6与x轴交于A(-2,0),B(6,0)两点

・・・｛普二氏一解