河北省保定市2024-2025学年高二年级上册1月期末考试 数学试卷（A卷）

2024—2025学年第一学期期末高二调研考试

数学试题(A卷)

注意事项：

1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答

题卡上.将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位

置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以

上要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项

是正确的.

1.直线,「4「E与直线("-+4里-5=0的距离一()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】

【分析】根据平行线间的距离公式，即可求得答案.

【详解】由题意知直线/打+4「=10,即/1：3》+4.1，-10=0与直线/,:3工+4)，-5=0平行，

故它们之间的距离为d=y(—5'=1,

故选：A

2.直线X+2]-I=的一个方向向量是()

A.(1,-2)B.(2,1)c.(2,-1)D.(L2)

【答案】c

【解析】

【分析】根据直线方程可得斜率，即可求得其方向向量.

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【详解】易知直线］+?y-1=°的斜率为一；,

因此其方向向量可以为（2,-11.

故选：c

3.在2与18中间插入7个数使这9个数成等差数列，则该数列的第5项是（）

A.6B.8C.10D.12

【答案】C

【解析】

【分析】根据等差数列的基本量的运算求解即可.

【详解】设此等差数列为{4},公差为d,

〜—a,18—2、

则a,=2、％=18,故"=———=——=2,

y-1o

所以o=q+4d=2+8=10,

故选：C

4.过三点。［0,0）,MJ6,0|,A/10.8|圆的标准方程为（）

A.(x-3/+(y+4『=25B.|.r+3i'+|v-4)'=25

C.(x+3/+(y+4『=25D.(.r-3)2+(y-4)：=25

【答案】D

【解析】

【分析】得到三角形0"匕是直角三角形，故只需求出三角形.外接圆圆心、半径即可.

【详解】因为西•西=（6,0）-（0,8）=6X0+0X8=0,所以三角形0M黑：是直角三角形,

其外接圆圆心为M\M’的中点（3,4）,半径为屈了=5，

故所求为（x-3『+|j-4『=25.

故答案为：D.

5.等比数列a„!的前”项和为兄，则数列«,,■：的公比（)

C.土;D.±2

A.；B.2

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【答案】c

【解析】

【分析】根据等比数列前〃项和公式计算解方程可得其公比.

【详解】依题意可知公比I,

4(1-力

S.\-q-,251

所以U•二八、1="4一=［解得<7=土，.

，卬(1-歹)42

1-q

故选：C

6.在平行六面体.488-44GA中，/c与BD交于点"，设刀=£,亚=氏麴=乙则西=(

)

1••1r-1-1-

A.—a+—b-cB.-a--o+c

2222

1-17-1-1T-

C-a+—n-cD-a、-b+c

22-22

【答案】D

【解析】

【分析】根据空间向量加减法运算即可求解.

［详解］西=丽+西=，而+羽=，(密+同)+羽

=-(-JB+7D)+^7=-(-^+^)+羽

22

1--1.TT1.1r-

=—4B+—oC+AA.=—a+—b+c

2222

故选：D

7.抛物线厂二2P.l1〃>。)与圆(x-p『+/=5p：交于A、8两点，3M=p+6,则P=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

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【解析】

【分析】联立抛物线与圆的方程求出工8坐标，利用|48|=p+6建立方程求解P即可.

y2=2px,,

【详解】设川>0,/<0）,联立，,,,，消y得『打，

（x-p|+y=5p*

由抛物线和圆都关于X轴对称，所以Z=三=2〃,

所以工="2p』=20,3=-J2p.j=-2p,所以|46|=回-阂=40=夕+6,所以2=2.

故选：B

8.己知6（-c,0）,6（C,O）分别为椭圆E:£+,=l|a>6>0）的左，右焦点，点P为直线

/:x=：.r+c与椭圆£的一个公共点，满足两，尸百，且S,”,.=24,则椭圆£的方程为（）

4

【答案】B

【解析】

【分析】由题意利用椭圆定义结合=24,可求出/；又直线/：K=；.r+c,可得直线小的方程

4

3,、，

为K+C）,联立求出P点坐标，代入椭圆方程可求出。-，即得答案.

4

【详解】由题意知尸在椭圆E港+£=i（a>b>0）上，则/用+户用=2。，

2

故（|PFj+|P玛/=4」,即|PFj+\PF2f+2|PF,||PF,|=4/,

又历J■军,故|PF『+|PFj=4ci,则『用户用=2（。2-巧,

结合S,"内=24,得;|P用|PK|=a2_c2.=24；

又直线/：X=；F+C,故直线小的方程为J=-g（K+C）,

44

第4页供18页

37

x=—y+cx=­c

4,解得­25

联立〈24，即「■25J，

y=--(x+c)y=----c

25

代入》Q得翳黑4

整理得ff4-48a'-49=0,解得。.二49,

故椭圆£的方程为三+亡=1,

4924

故选：B

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.

9.下列数列外：中，一定是单调递增数列的是()

9

A.a=n+-B,a,-2//2-5n+4

n"

C.4+i=a“+〃D.an+l=2an

【答案】BC

【解析】

【分析】举反例判断AD,利用。一■与0的关系验证BC.

【详解】因为"6N'

,9、913,,

对于A：/=I+j=10>%=2+2=y,则数列：a“一定不单调递增，不合题意；

2

对于B：ant|-tfff=2(n+l)*-5(n+l)+4-2n+5n-4=4n-3>l>0,

所以数列；为单调递增数列；

选项C：a,^-an=n>\>0,所以数列：a„\是单调递增数列；

选项D：当。,<Q时，a„,x-an=2an-an=an<0,此时数列qj不是单调递增数列，不合题意.

故选：BC

io.如图，在棱长为4的正方体49co-Age〃中，点A/为cq线段的中点，点p在底面四边形

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48C0内（包括边界）移动，且冏川=2石，则（）

B.点8到平面4（8的距离为G

C.点P的轨迹长度为xD.。为线段4。上的点，则|/动的最小值为2

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据线面垂直性质可知A正确；利用体积桥可求得B正确；根据BP=2可求得尸点轨迹为四分

之一圆，知C正确；结合圆的性质可求得D正确.

【详解】对于A,8C，co,BC±Cq,CDDCC,=C,CO,CGu平面CDDC,

BC，平面CDAG，又c平面CDAG，.,.8CJ_Q|A7,A正确;

•I网年

X

SAy=T4x4=8,.0.VB_^CB=V8TMe=

XJ

•.•△4G5是边长为4£的等边三角形，，S1Vill=yx4x/2x4>/2x手=8",

3匕•4-AJB324>/3

，点占到平面I（8的距离“二就:=法=丁'B错误;

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又围尸I=2石，忸41=4,,-.|5P|=720-16=2,

点轨迹是以8为圆心，2为半径的圆在四边形.4BCO（含边界）中的部分，即四分之一圆,

1、、

，P点轨迹长度为；X2JTX2=Ji,c正确；

4

对于D,由C知：P点轨迹为四分之一圆，

由圆的性质可知：当BJ.0三点共线时，|/到最小，此时最小值为忸。|-2,

又8。|皿„=忸力=4,，俨0nlm=4-2=2,D正确.

11.当半径为?的动圆沿着半径为"的定圆的内侧沿圆周无滑动地滚动时’动圆圆周上的一定点’的轨迹为

星形线.如图所示现有一个星形线C：/+J=b=4，下列说法正确的是（）

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A.点（L5）在曲线C的外部B.曲线C所围成的封闭区域的面积小于128

C.曲线c上的点到原点的距离最小值为4D.直线x+y-4G=0与曲线c有三个交点

【答案】BC

【解析】

【分析】A选项，代入得到「+5；<4,故点（L5）在曲线C内部，A错误；B选项，求出

S4“M=；X8X8=32，数形结合得到曲线（,所围成的封闭区域面积小于128；C选项，由题意得到

C：:+V'=「=4为半径为2的小圆在圆心为原点，半径为8的大圆中滚动，小圆上的一点次所形成的

轨迹方程，数形结合得到最小值为02=07WT=4,D选项，先求出川[2£.2拒|和A/（4,4|,进

而得到点力|2行,2>/"|和A/（4,4|在K+两侧，数形结合得到交点个数.

【详解】A选项，/+5：=|+叵<[+右一4,故点（L5）在曲线C的内部，A错误；

B选项,如图所示，其中川0.8|,8（8,0|,连接48,

则=：X8K8=32，

故曲线C所围成的封闭区域，位于第一象限的部分面积小于32,

由对称性可知，曲线C所围成封闭区域面积小于128,B正确；

222

C选项，根据题意可知C：+「=8；=4为半径为2的小圆在圆心为原点，

半径为8的大圆中滚动，小圆上的一点次所形成的轨迹方程，其中两圆的切点为7,

数形结合可知，当04J三点共线，匹在次之间时，

曲线C上的点次到原点的距离最小，此时47为小圆直径，

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故最小值为ow=0r-H,r=8-4=4,

曲线C上的点到原点的距离最小值为4,C正确；

D选项，由C选项和对称性可知，与直线AB垂直，

故18中点坐标为A/(4,4),故直线0r,

所以i+Y=4,解得x=2JF，负值舍去，

故叩"2回,

将叫2/28)代入X+J._4G=0中得，272+272-473<0,

故点用122cl在x+.r-4jj=0左侧,

将A/(4,4)代入x+y—4G=0中得，8-4>/3>0，

故点必4,引在x+1_46-二0右侧，

数形结合，直线x+,"4G=0与曲线C有四个交点D错误.

故选：BC

222

【点睛】关键点点睛：C选项，曲线C：/+「=b=4为半径为2的小圆在圆心为原点，半径为8的大

圆中滚动，小圆上的一点田所形成的轨迹方程，数形结合得到最小值.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.

12.抛物线广=S;,上与焦点的距离等于的点的纵坐标为.

【答案】6

【解析】

【分析】首先求出准线方程，根据焦半径公式计算可得.

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【详解】抛物线「二」的准线为」=-2,设所求点的纵坐标为，”，

则，，।[2]=8,解得Ai=6.

故答案为：6

13.设S”是数列：的前”项和，q=1且=SnSn,(«>21,则$=.

I

【答案】.##0.2

【解析】

【分析】先根据a“=S,-S-再化简得出1=：-—一，即可求出通项公式再计算即可求值.

1

【详解】因为4=一'51=2—5,1，左右同时乘以sr,

,1।11.

则i=不一「，又因为不=一=]，

5“5„_15|fl,

所以'；，是以1为首项以1为公差的等差数列，

所以=",所以s“=L

所以=亍

故答案为：—.

14.在棱长为2的正方体力8CD—4qc1A中，p为平面"4GC内一动点，X尸与所成的角为F，则

O

动点P所在曲线的焦距为.

【答案】8

【解析】

【分析】建立空间直角坐标利用空间向量由两直线夹角得出动点P的坐标满足的关系式，求出轨迹方程即

可得出结果.

【详解】根据题意以c,为坐标原点，G4.£C，GA所在直线分别为八：轴建立空间直角坐标系，如下

图所示；

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易知川2,2,2),0(0,2,2],贝ij丽=(-2,0,0)

设P(x,y,0),则万=(x-2,y-2,-2),

兀,-------,APAD\卜2(X-2)

由4P与AD所成的角为-可得\cosAP,AD\=

1=/；；,2；

61AP]\AD\2。-2)，("2『+(-2『

整理可得(x-2/-3(v-2］：=12,即(X二/__()2)=］；

124

因此可知动点P所在曲线为双曲线，且c=g7=4；

所以其焦距为2c=8.

故答案为：8

【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用空间向量根据夹角的大小得出动点坐标满足的轨迹方程，求出焦

距.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知曲线C的方程为-4-v2-2刀+4"沙+〃/-4/〃+5=0.

(1)若曲线C表示圆，求，〃的取值范围；

(2)当M=I时，直线二0与曲线c交于儿8两点，求I.叫.

【答案】(l)(-8,-2)U(：.+a)

(2)2

【解析】

【分析】(1)将方程化为标准方程，列式求解即可；

(2)根据题意可得圆心和半径，结合垂径定理求弦长.

【小问1详解】

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由曲线C的方程整理可得（x-l/+|卜+2阳）=3/n'+4m-4,

2

则g；所-；>。，解得，〃>§或M<2,

所以切的取值范围为（-8,-2）u（j,+8）.

【小问2详解】

若卅=1,则曲线C：（x-l「+（.丫+2『=3,可知圆，心W，2）,半径为r=

||+2-11

则圆心（L21到线，K-丫-I-0的距离J---—V-,

所以|」8|=2/二/=2.

16.在四棱锥尸"CD中，底面.4BC0为矩形，PH1平面.48C0.点E.F分别在P8.PD上，且

-IF1PD.//,G分别为4。.48的中点.

（1）求证：PC1平面4EF；

⑵当，8=L•!。=L4P:2,求平面与平面FGH的夹角.

【答案】（1）证明见解析；

（2）60c.

【解析】

【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定、性质推理得证.

（2）以A为原点建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法求解.

【小问1详解】

在四棱锥P-/8C。中，2,41平面.48（70,8Cu平面.48CO,则P/，8C,

由底面48C0为矩形，得8cl.48,Pdc,48=4/九18c平面PX8,

于是8C，平面而/Eu平面P44,则8c1AE,又AE1PB,8CDP8=8,

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BC,PBc平面P8c,因此4E1平面P8c,而PCc平面P8C,

则.4E1PC,同理.4FiPC，又IE「=d.dEJFu平面JEF,

所以尸C1平面AEF.

【小问2详解】

由(1)知，直线A8.乂D/P两两垂直，

以A为坐标原点，直线48.JD.JP分别为二轴建立空间直角坐标系,

则PI0,0,2)向4,0,0|,W(0,l,0|,C(4,2,0),G|2,0,0|,

由⑴知平面,■)1的法向量为定=(4,2,-2),PG=(2,0,-2|,PW=|0,1,-2),

PGn=2x-2z=0

设平面PB〃的法向量，i=U,.v,二)，贝叶一，令二=1，得户

PH6=y-2z=0

lKnPC61

cos<«,PC)==2-所以平面,4£F与平面广(，'”的夹角为60°.

17.已知数列：q二满足“二h,且2a“=24.数列也｝的前“和为1，"=q-4".

(1)证明：数列“：为等比数列，并求出数列|可：的通项公式；

[b

(2)求数列〈:的前n项和T,.

[s”s”+i.

【答案】(1)证明见解析，。"=2"+4"

⑵i—L-

22**+2-2

【解析】

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【分析】（1）由等比数列定义可证明■。：为等比数列，由等比数列通项公式计算可得4=2"+4"；

（2）根据表达式利用裂项相消求和可得「.

【小问1详解】

由已知得。­=2%+2-4",

因此如=4*1.42m-4”）

=2为常数,

b“-4"

可得数列"V为等比数列.

即数列[七-41为首项为2,公比为2的等比数歹U；

可得4-4"=2",

即4=2"+4"

【小问2详解】

由（1）可得4=。"-4"=2"+4"-4"=2",

打前”和为S"=2"—2

L*=1_______1__

S11sli“（2”“-2）（2"〃一2）2""一22"〃一2；

T1।I[III_1

所以"-22-225-2+25-224-2+24-225-2++2*+|-22"*:-2

£1

"22n'2-2

18.古希腊数学家阿基米德得到：椭圆的面积等于圆周率R与椭圆的长半轴长、短半轴长的乘积.已知椭圆

。的中心为原点，焦点6,后均在X轴上，归£|=26，其面积为2兀.

（1）求椭圆C的方程;

第14页/共18页

(2)4,4分别是椭圆C的左，右顶点，8.分别是椭圆c的上、下顶点，设P为第二象限内椭圆C上

的动点，直线P8与直线圣4交于点N,直线从尸与直线X=2交于点A7,判断直线MA'的斜率是否为

定值，若是求出这个值；若不是，说明理由.

【答案】(i)L+/=|

4-

(2)是，—

2

【解析】

【分析】(1)根据|£6|=2百，其面积为2兀，列出关于。、h、的方程组，求出a、h即可得结

果；

(2)设〃可得直线4P:r=—"―(x+2),直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理，以及斜率

m+2

公式将直线的斜率用，〃表示，消去，〃即可得结果.

【小问1详解】

椭圆C的中心为原点，焦点£.后均在K轴上，

|巴总|=26,其面积为2Tl.

设椭圆C噌+£=l(a>b>0)，

则。/黄二？)！，1-h•二3解得"二2”=1,

2

所以C的方程为三+1'=1；

4'

【小问2详解】

4(-2,0),4伍0),4(0,1)出(0,-1)

41

设则一^+―r=l即4J♦阴J』

nr

直线.4/:r=—"—(x+2)得帽‘Z.-40-1

m+2Im+2/

”一1/4mni4-5/1—5

直线8/:r=Ux+l与直线匕「一2r+：联立得N——,—

m\m-2n-¥2m-2n+2)

第15页/共18页

m+2n-24n

卜m-2n+2m+2_(m+2n-2)(m+2)-4n(m-2n+2)nr-2mn+8,r-4n-4

4"i,2{m+2n-2)(m+2]2m2+4mn+8/i-8

m-2n+2

因为■!广♦M：=4即"I：=4-力i：代入上式

,、|4-4w|-2/n/j+8n--4/i-44„:_2nin-4>iI

得=---7-----TT---------------=----;----------=——

2(4-4w|+4mw+8n-8-8n'+4m/j+8n2

【点睛】方法点睛：探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求

出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值

.(3)存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.①当条

件和结论不唯一时要分类讨论.②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.③当条件

和结论都不知，按常规方法很难时，采取另外的途径.

19.从。点引出三个不共面的向量[月,工，它们之间的关系和右手拇指、食指、中指相同，则这个标架

；。:构成右手标架，如图所示.规定：>x八为一个向量，它的长度为“力卜ini,/,它的方向与向

量1/；均垂直，且使【。；讥灰片构成右手标架.该运算满足：Jxp.frj=|；

=cx^o+b|=cxfl+cxB.fJ,/为单位正交基底，且;。：；Jd；符合右手标架,

以L//的正方向为K轴、r轴、二轴的正方向建立空间直角坐标系，若所二行+/+反，贝U记

(1)证明：«xA=-|6xJ|.

(2)已知向量5=11,2,0),月二11,0,3),求ax八的坐标表示；

(3)①三棱锥",中，》x丽=(1,2,2),玩=(2,1,2|,求三棱锥。-48C的体积।.；

②请结合“”与“数量积”的几何意义，用/反/力,.4彳表示平行六面体48CD-44GA的体积.

第16页/共18页

【答案】（1）证明见解析

（2）16,-3,2）

41——।（AB^Ab\AA.

（3）①彳；②