黑龙江哈尔滨市香坊区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

黑龙江哈尔滨市香坊区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

姓名：班级：考号：

题号——总分

评分

一、选择题(每题3分，共计30分)

1.若点4(1,3)是反比例函数y=[(kH0)图象上一点，则常数k的值为()

A.3B.-3C.1D.

2.下列图形中，只是中心对称图形的是()

3.将抛物线y=/向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是()

A.y=(x—3)2+4B.y=(x+3)2+4

C.y=(%+3)2—4D.y=(%—3)2—4

4.如图是用5个相同的立方体搭成的几何体，其俯视图是()

从正面看

A.5B.V5C.4D.V7

6.在一个不透明的袋子中有2个红球，3个绿球和4个蓝球，它们只有颜色上的区别，若从袋子里随机取出一

球，则取出这个球是绿球的概率为()

1

A.|B.|C.1D.5

7.如图，ZXABC为钝角三角形，将4ABC绕点A按逆时针方向旋转120。得到△ABC,连接BB，，若AC〃BBT

则NCAB，的度数为（）

A.45°B.60°C.70°D.90°

8.如图，四边形ZBCD内接于。0,AC,BD为对角线，BD经过圆心。.若ZB4C=4O。，则ZDBC的度数为

)

A.40°B.50°C.60°D.70°

9.如图,已知DEIIBC,EF||AB,则下列比例中错误的是（)

AEF_CE口CE_CFDE_AEnAD_BF

rU=

AB~CACA=CBBC-EC-ABBC

10.如图，抛物线y=a/+bx+c（aA0）与％轴交于点（4,0）,其对称轴为直线x=l,结合图象给出下列结

论：@abc<0；@b2—4ac>0；③2a+b=0；④4a—2b+c=0,其中正确的结论有（）

C.3个D.4个

2

二'填空题(每题3分，共计30分)

11.在平面直角坐标系中，点力(2,-3)关于原点对称的点B的坐标为.

12.已知二次函数y=(%-2)2+4的顶点坐标为.

13.若点A(—1,a),B(2,b)在反比例函数y=：(k<0)的图象上，则a，b的大小关系用连接的结果

为.

14.如图，设在小孔口。前24cm处有一支长21sH的蜡烛/B,经小孔。形成的像/'B',恰好照在距小孔

0后面16cm处的屏幕上，则像4B'的长cm.

15.如图，P4是。。的切线，切点为4,P。的延长线交。。于点B,若NP=40。，则的度数为.

16.如图，AC是操场上直立的一个旗杆，旗杆AC上有一点B,用测角仪(测角仪的高度忽略不计)测得地面

上的。点到B点的仰角4BDC=45。，到4点的仰角乙4/5C=60。，若BC=3米，则旗杆的高度AC=

米.

17.某学习小组由1名男生和3名女生组成，在一次合作学习中，若随机抽取2保同学汇报展示，则抽到1名

男生和1名女生的概率为.

18.一个扇形的圆心角为120。，弧长为4兀cm,则此扇形的面积是.

19.在矩形力BCD中，点E在直线BC上，BE=2CE,若AB=2,AC=3,则的正切值为.

20.如图1,在RtAZBC中，乙4BC=90。，。是AB上一点，过点。作DE||BC交4C于E,将△4DE绕4

点顺时针旋转到图2的位置，若5BD=4CE,4B=8,则线段BC的长为.

3

三'解答题(共计60分)

21.先化简，再求代数式攀+(%—41)的值，其中x=tan6(T+2tan45。.

22.如图所示，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，△4BC的各顶点坐标分别为4一1,1),5(-2,3),C(一

3,2).

(1)画出△力BC关于原点中心对称的图形AABiCi；

(2)将AZBC绕点C顺时针旋转90。得到△&B2C，请画出

(3)连接B24并直接写出线段B24的长.

23.如图，某座山的主峰观景平台高450米，登山者需由山底4处先步行300米到达B处，再由B处乘坐登山

缆车到达观景平台。处.已知点4B,C,D,E,F在同一平面内，ADFA=90°,BELDF于E,山坡2B的

坡角为30。，缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53。（换乘登山缆车的时间忽略不计）.

（1）求登山缆车上升的高度DE;

（2）若小明步行速度为30m/min,登山缆车的速度为60m/min,求小明从山底4处到达山顶。处大约需

要多少分钟（结果精确到O.lmin）.（参考数据：sin53°«0.80,cos53°«0.60,tan53°«1.33）

24.如图，。4、OB、0C都是。。的半径，^ACB=2ABAC.

(1)求证：^AOB=2乙BOC；

(2)若AB=8,BC=2V5,求。。的半径.

25.把边长为44cm的正方形硬纸板（如图1）,在四个顶点处分别剪掉一个小正方形，折成一个长方体形的无

盖盒子（如图2）,折纸厚度忽略不计.

5

图1图2

(1)要使折成的盒子的底面积为576cm2,剪掉的正方形边长应是多少厘米？

(2)折成的长方体盒子侧面积(四个侧面的面积之和)有没有最大值？如果没有，说明理由：如果有，求

出这个最大值，并求出此时剪掉的正方形边长.

26.菱形ZBCC中，对角线AC、B£＞相交于点。，乙4BC=60。，点尸为B0上一点，点E为4。上一点，连接

EF,将线段FE绕点F顺时针旋转60。得到对应线段FG,连接DG.

图3图4

(1)当点4与点E重合时：

①如图1,点G落在对角线BD上，则线段GF、GD之间的数量关系为—▲_；

②如图2,点G不落在对角线BD上，则①问中结论是否成立，为什么？

(2)当点4与点E不重合时：

①如图3,点G不落在对角线BO上，贝I](1)问中结论，_▲_；(填“成立”或“不成立”)

6

②如图4,在①的条件下，延长FG交CD于点M,交0C于点N,若DF=2BF,ON=1,CM：DE=5：8,

求线段MN的长.

27.如图，在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，抛物线y=a/+b£-3交支轴负半轴于点4交支轴正

半轴于点B(3,0),交y轴于点C,直线y=±%+l经过点4并抛物线于点D.

(1)如图1,求抛物线解析式；

(2)如图2,P为抛物线第四象限上一点，连接P4PB,设点P的横坐标为，APZB的面积为S,求S与

之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；

(3)如图3,在(2)的条件下，过点P作PH14D交y轴于点F,垂足为点H,G为抛物线第二象限上一

点，连接FG,NP4B+NGF0=135。，过点尸作PE1无轴交4。于点E,若HE：DE=4：5,求S的值及G

点坐标.

7

答案解析部分

1.【答案】A

【解析】【解答】因为A(1.3)是反比例函数y=(上的点，所以k=xy="3=3.

故答案为：A。

【分析】根据反比例函数图象上的点符合反比例函数关系是，直接代入关系式，求得k的值即可。

2.【答案】D

【解析】【解答】解：对于A选项，图形为非中心对称图形，故A选项不符合题意，

对于B选项，为轴对称图形不是中心对称图形，故B选项不符合题意，

对于C选项，图形为非中心对称图形，C选项不符合题意，

对于D选项，为中心对称图形，符合题意.

故答案为：D.

【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把

一个平面图形，绕着某一点旋转180。后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐个判断得出

答案.

3.【答案】A

【解析】【解答】解：将抛物线y=/向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的函数表达式

为：y=(%—3)2+4.

故答案为：A.

【分析】二次函数y=ax2+bx+c向左平移m(m>0)个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=a(x+m)2+b(x+m)+c；

二次函数产ax?+bx+c向右平移m(m>0)个单位长度，得到的新二次函数的解析式为产a(x-m)2+b(x-m)+c；二

次函数y=ax?+bx+c向上平移m(m>0)个单位长度，得到的新二次函数的解析式为尸ax2+bx+c+m；二次函数

y=ax?+bx+c向下平移m(m>0)个单位长度，得到的新二次函数的解析式为kax2+bx+c-m.

4.【答案】B

【解析】【解答】解：其俯视图如下：

故答案为：B.

【分析】根据三视图的定义求解即可。

5.【答案】D

【解析】【解答】解:如下图所示:在RtAACB中，4。=90°,sinZ=骼=*,又因为BC=3,,所以可得：48=4,

8

则由勾股定理可得：AC=7AB2一BC2=V42-32=V7,

故答案为：D.

【分析】本题主要考查正弦三角函数的定义及勾股定理，根据已知条件及正弦三角函数的定义可解得：AB=4,

在根据勾股定理即可求解.

6.【答案】C

【解析】【解答】根据题意从一个不透明的袋子中有2个红球，3个绿球和4个蓝球的袋子中随机取出一球共

有9种结果，取出这个球是绿球的结果有3种结果，故取出这个球是绿球的概率为P=1=

故答案为：C.

【分析】根据概率公式继续计算即可.

7.【答案】D

【解析】【解答】解：••,将AABC绕点A按逆时针方向旋转120。得到△ABC，，

.•./BAB，=NCAC=120。，AB=AB\

/.(180°-120°)=30°,

.•.NC'AB'=/AB'B=30°,

ZCAB^ZCAC1-NC'AB，=120。-30°=90°.

故选D.

【分析】先根据旋转的性质得到NBAB，=NCAC=120。，AB=AB\根据等腰三角形的性质易得NABB=30。，再

根据平行线的性质由AC〃BB，得NCAB，=/AB，B=30。，然后利用NCAB，=NCAC-NCAB，进行计算.

8.【答案】B

【解析】【解答】解：：BD为直径，

ZBAD=90°,

VZBAC=40°,

ZCAD=ZBAD-ZBAC=90°-40°=50°,

9

，ZDBC=ZCAD=50°.

故答案为：B.

【分析】由直径所对的圆周角是直角，可得/BAD=90。，从而得出NCAD=NBAD-NBAC=50。，利用同弧所

对的圆周角相等即可求解.

9.【答案】C

【解析】【解答】解：对于人选项：：£1尸||48,；山（^92小心48,则笳=晋，故A选项正确，对于B选项：

由A选项知：ACEF2ACAB,,则普=嘉，故B选项正确，对于C选项：..•DE||BC,

：^ADE^LABC,则需=需，故C选项错误，对于D选项：由C选项知：AADEzRABC,则

黑=嚼,XVDF||BC,EFII4B,.•.四边形BFDE为平行四边形，则DE=BF,.,累=盖=需，故D选项

正确.

故答案为：C.

【分析】本题主要考查平行线的性质、三角形相似的性质、平行四边形的判定及性质，根据已知条件判定三角

形相似，根据对应边成比例即可判定ABC三项，D选项利用三角形相似及平行四边形的性质即可判定.

10.【答案】C

【解析】【解答】解：•••抛物线开口向上，...a〉0,又•••抛物线的称轴为直线％=1夕=1即8=一

2a

2a<0,根据抛物线的图像可知抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，则c<0,故abc>0,即①错误，

根据抛物线的图像知抛物线与x轴存在两个交点，.•./—4ac>0,故②正确，由上知b=—2a,则2a+b=0,

故③正确，•..抛物线丫=a/+bx+c（a00）与％轴交于点（4,0）,其对称轴为直线X=1,.,.抛物线与x

轴的另外一个交点为：（—2,0）将其代入抛物线的解析式可得：4a—2b+c=0,

故④正确，综上所述正确的结论共有3个.

故答案为：C.

【分析】本题主要考查抛物图像的抛物线系数的关系，根据抛物的开口方向、对称轴、与y轴的交点即可得到：

a〉0,b=-2a<0,c<0,从而可以判定出①③，再根据抛物线与x轴交点的个数可以判定②，结合已知

条件及利用抛物线的对称性可得抛物线与x轴的另外一个交点为：（-2,0）将其点入解析式即可判定④.

11.【答案】（-2,3）

【解析】【解答】解：根据在平面直角坐标系中，某点关于原点对称点只需将其坐标都变为相反数即可，，点

A（2,—3）关于原点对称的点B的坐标为（—2,3）.

故答案为：（—2,3）.

10

【分析】本题主要考查点的对称性，根据在平面直角坐标系中，某点关于原点对称点只需将其坐标都变为相反

数即可求解.

12.【答案】(2,4)

【解析】【解答】解：二次函数y=(%—2>+4的顶点坐标为(2,4).

故答案为：(2,4).

【分析】本题主要考查二次函数的顶点式，根据二次函数y=a(x-八)2+鼠的顶点坐标为(心。进行求解即

可.

13.【答案】b<a

【解析】【解答】解：’.,点4(—1,a),B(2,b)在反比例函数y=[(k<0),，a=等=—k〉0,b=与<0,

故b<a.

故答案为：b<a.

【分析】本题主要考查反比例函数的性质,根据题意将点A、B代入反比函数的解析可得:a=与=-k〉0,b=

等<0,即可求解.

14.【答案】14

【解析】【解答】解：根据题意可得：且AOAB、1^0AB,的高分另U为BE、EF,故碧=嚣，

又力B=21cm,BE=24cm,EF=16cm,则槃=等，解得4B'=14an,

故答案为：14.

【分析】本题主要考查三角形相似的判定及性质，根据题意可得：XOAB2XOAB',且AOAB、AOA'B',的

高分别为BE、EF,从而得到嘿=第，然后代入数值进行计算即可求解.

ADDD

15.【答案】25

【解析】【解答】解：如下图所示：连结OA,PA是。。的切线，...zOAPu90。，又.."P=40。，

."AOP=180°-ZP-AOAP=180°-90°-40°=50%贝吐B=ROAP=25。.

故答案为：25.

11

【分析】本题主要考查切线的性质及圆心角与圆周角的关系，连结OA根据题意可得NOAP=90。，再根据三角

形内角和可得：乙40P=50。，最后根据圆心角与圆周角的关系即可求解.

16.【答案】3V3

【解析】【解答】解：:在RtABCD中，NBCC=45。，BC=3,CD=BC=3,又...在RtAACD中，乙4DC=60°,

Atanz/IDC=tan60°=需，即4C=tan60℃D=3V3.

故答案为：3百.

【分析】本题主要考查正切三角函数定义及运用，根据题意可得：CD=BC=3,然后在RtAACD中，^ADC=

60°,tanz4DC=tan60o=铝，代入数值即可求解.

17.【答案】1

【解析】【解答】解：将某学习小组由1名男生和3名女分别编号为a、b、c、d,则随机抽取2保同学汇报展

示的结果为(a,b)、(a,c)、(a,d)、(b,c)、(b,d)、(c,d),共有6种结果，其中为1名男生和1

名女生的结果有3种，则抽到1名男生和1名女生的概率尸=10.

6z

故答案为:

【分析】本题主要考查列举法或者树状图法求概率，根据题意列出随机抽取2保同学汇报展示的结果共有6

种结果，其中为1名男生和1名女生的结果有3种，则抽到1名男生和1名女生的概率P=焉=*.

18.【答案】12兀

【解析】【解答】解：设该扇形的半径为r,根据弧长与圆心角的关系可得：红瑞史=4兀，解得：r=6cm,

根据扇形的面积公式可得：S=122于=120：骅36=12.

DOUDOI)7r

故答案为:127T.

【分析】本题主要考查弧长公式、扇形的面积公式，根据弧长与圆心角的关系可得：2><；需兀「=4兀,解得：

r=代入扇形的面积公式即可求解.

19.【答案】1或g

【解析】【解答】解：①当点E在BC边上时，如下图所示：..•四边形2BC0为矩形，且4B=2,AD=3,

12

；.CD=AB=2,BC=AD=3,NC=NB=90。，AD//BC,则ND4E=zAEB,又〈BE=2CE,：.BE=

AD

2,CE—1,tanZ-DAE-tanZ-AEB-—1；

②当点E在BC的延长线上时，如下图所示：•..四边形ABC。为矩形，且45=2,AD=3,

：.CD=AB=2,BC=AD=3,zC=ZB=90°,AD//BC,则又,：BE=2CE,：.BE=6,

ADn1

AtanzDXE=tanzXFB=第=专=6；

综上所述：ND4E的正切值为1或全

故答案为：1或。

【分析】本题主要考查矩形的性质及正切三角函数的定义，分①当点E在BC边上，②当点E在BC的延长

线上两种情况利用矩形的性质及正切三角函数的定义进行求解即可.

20.【答案】6

【解析】【解答】解：在图1中•••DEIIBC,...△ADE〜/MBC,则需=器，即兼=祭，又在图2中，由旋

转的性质可得：ABAC=Z.DAE,：.^BAC+^CAD=Z-DAE+^CAD,即ZBAD=Z.CAE,故

ABAD-ACAE,又5BD=4CE,则缥=弟=4,又因为“BC=90。,AB=8,=叔x8=10,

由勾股定理可得：BC-y]AC2—AB2=V102—82=V36=6.

故答案为：6.

【分析】本题主要考查相似三角形的判定及性质、勾股定理等知识，由DE||BC可得AACE〜△ABC,贝=能

,即兼=釜，由旋转的性质可得：Z.BAC=Z.DAE,推至I得至！UB4D="AE,从而△BAD〜△CAE,又

5BD=4CE,则缥=g=得，再利用勾股定理求解即可.

ACCE5

21.【答案】原式=三必+(冬—华)

xv2x2xJ

_%+2%2—4

=%丁2%

_%+22%

x(%+2)(%—2)

13

x=tan600+2tan45°=V3+2xl=V3+2

・2_22_2w

.•原式=再=用二万=苏=98

【解析】【分析】本题主要考查因式分解、分式的化简运算、特殊三角函数值、分母有理化等知识，根据分式的

通分和因式分解对分式进行化简可得：原式==+（桨—铛）=3，再代入特殊角的三角函数值可得：

x'2%2xJx—2

x=tan60°+2tan45。=遮+2*1=遮+2,然后代值计算即可求解.

22.【答案】（1）解：见解析；

（2）解:见解析；

（3）解：根据网格格点知点B2（-2,1）,点①（1,-1）,故根据两点间的距离公式可得：

7（-2+I）2+（1+I）2=V13,即B2&=g

【解析】【解答］解：（1）将图形的对称变为点的对称，根据关于原点对称横纵坐标均变为相反数，找到AZBC

的顶点A、B、C对应点4i、Bi、J,然后连结成图形即可；

（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点出、B2、C2,然后连结得到△&B2C；

【分析】本题主要考查关于原点对称、旋转、勾股定理，利用网格特点及对称和旋转的性质即可求解（1）、（2）,

再利用勾股定理及网格特点利用两点间的距离公式P13，月），P（%2,丫2），则中止21=

J一冷）2+（月一夕2）2求解（3）即可.

23.【答案】（1）解：如图，过B点作BC12F于C,

14

D

：.^BCF=90°

〈BE工DF,・••乙BEF=90。,\^DFA=90°,

・•・四边形BEFC是矩形，

在班△ABC中，^ACB=90°,4=30。，AB=300m,

:・EF=BC=^AB=150m,

u：DF=450m

：.DE=DF-EF=450-150=300m

答：登山缆车上升的高度DE=300m；

(2)解：在RtABDE中,乙DEB=90。,Z-DBE=53°,DE=300,

DE300

BD=sin53o=W375m

・•・从山底A处到达山顶D处大约需要:

300375

前十而=16.25«16.3min

答：从山底/处到达山顶。处大约需要16.3min

【解析】【分析】本题主要考查矩形的判定及性质、含30。直角三角形的性质、正弦三角函数的运用.

(1)过B点作BC14F于C,根据题意可证得四边形BEFC是矩形，在RtA/BC中，AACB=90°,24=30。,

AB=300m,可得£1尸=3。=*43=150血，进而即可求解；

(2)根据正弦函数的定义可得：在RtABDE中，ZDFB=90°,乙DBE=53。，DE=300,BD==猾

sin53°0.8

375m,再根据路程时间速度三者的关系即可求出答案.

24.【答案】(1)证明：・・•协=协，

:.乙AOB=2乙ACB

9：BC=BC,

:•乙BOC=2乙BAC,

.:(ACB=2乙BAC

：.^BOC=^ACB

：./-AOB=2乙BOC

15

(2)解：•.NB=8,作半径。Ml2B于。，交圆。于点M,连接BM,

AM=BM，AD=BD-4,

J.^AOM=乙BOM,

：.^AOB=2^B0M,,:乙AOB=2乙BOC,

:.乙BOM=乙BOC,

"：BC=2V5,/•BM=BC=2V5,

Rt△BDM中，=VFM2-BD2=J(2V5)2-42=2

设圆。的半径OM=OB=r,：.0D=OM-DM=r-2,

.♦.RtABOD中，OB2=OD2+BD2,：.r2=(r-2)2+42,

解得r=5,二。。的半径为5

【解析】【分析】本题主要考查圆周角、圆心角、圆弧三者之间的关系、垂径定理、勾股定理得运用，(1)根据

等弧对等角及圆心角与圆周角的关系可得：4WB=2乙4CB/BOC=2ZBAC,再根据已知条件：乙4cB=2NBAC,

得至此BOC=乙ACB进而证明结论；

(2)作半径0Ml力B于D,交圆。于点M,连接BM,根据垂径定理可得：茄=BM，AD=BD=4,乙40M=

乙B0M,再根据圆心角与圆周的关系可得：乙BOM=ABOC,再利用勾股定理可得：DM=<BM2-BD2=

J(2与2—42=2,设圆。的半径0M=0B=r,OD=0M-DM=T-2,再利用勾股定理建立方程解出r

即可求解.

25•【答案】(1)解：设剪掉的正方形的边长为久cm.

则(44-2x)2=576,

即22一％=±12,

解得5=34(不合题意，舍去)，

久2=10

.•.剪掉的正方形的边长为10cm；

(2)解：侧面积有最大值.

16

设剪掉的小正方形的边长为tcm,盒子的侧面积为ycm2,

则y与的函数关系为：y=4(44—2。3即y=—8/+1763

即y=—8(-11)2+968,

•.•二次项系数为一8<0,自变量的取值范围为：0<£<22

.♦.当t=ll时，y有最大值，丫最大=968

即当剪掉的正方形的边长为11cm时，长方形盒子的侧面积最大为968bH2

【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程的实际运用、二次函数的实际运用，(1)根据把边长为44cM的正

方形硬纸板，在四个顶点处分别剪掉一个小正方形后底面为边长为(44-2x)cm的正方形，再根据底面正方形

的面积为576cm2建立一元二次方程，解出x即可求解；

(2)设剪掉的小正方形的边长为ten,盒子的侧面积为ycm2,根据每一个侧面的侧面为(44-2。3即可得到

y与x的关系式，然后利用二次函数的增减性即可求得最大值.

26.【答案】(1)解：①GF=GD,证明如下：•.•在菱形2BCD中，^ABC=60°,：.^ABC=AADC=60°,

乙4DB=*乙4。。=30。，又：将线段FE绕点F顺时针旋转60。得到对应线段FG,:.EF=FG,Z.EFD=60°,

贝I」ZFED=9O。，且N4DB=30。，故ZZF=2EF,：.EFGF+GD2FG,则GF=GD,故答案：GF=GD.

②GF=G。仍成立，理由如下：

如图连接CG、4G,•.NBCD为菱形，

：.AB=BC=AD=CD,^ABC=60°,

.•.△ABC为等边三角形，

：.AB=AC,：.AC=CD,ABAC=60°,

'：AF=FG,AAFG=60°,；.△4FG为等边三角形,

Z.FAG=60°,AF=AG=FG,

：.^BAF=ACAG,

△ABF=△ACGj

C./-ABO=LACG=30°,

••,/BCD为菱形，：.AB||CD,4c平分/BCD,

：.^ACD=^BAC=60°,

:•(GCD=^ACD一乙ACG=60°-30°=30°,

，乙ACG=LDCG,

又•・・/(?=CD,CG=CG,

△ACG=△DCG9

：.GD=GA,

17

又=GF,

：.GF=GD

（2）解：①成立，证明如下：

:GT10D,过点M作MHJ.AC,：.^FTG=90°,NMHC=ZOHM=90。，

；EF=FG,/.EFG=60°,二△EFG为等边三角形，

•.•菱形4BCD,OB=OD,OA=OC,"B。="B。=30。，AADO=^CDO=30°,AC1BD,

:.乙BOC=ABOA=90°

设BF=2a,DF=2BF=4a,BD=6a,OB=OD=3a,OF=a,

在△力B。中，tan3（T=需，

•*-710=OBXtan30°=Wa,

在^AOF中，tanzXFO=奈=

C./LAFO=60°,

:•乙EFG=匕AFO,

J.^AFE=Z.DFG,乙FAD=180°-Z.AFD-^ADF=90°,

：.Z.FAD=/LFTG=90°,FE=FG,

：.△FAE=△FTG,

：.FA=FT,AE=TG,LPAO=90°-Z,AFO=30°,

：.AF=2FO=2a,

：.FT=2a,

：.DT=DF-FT=2a=FT,

VGT1OD,

：.GF=GD.

②连接ZP,EG,过点G作GT1。。于点T,过M做MH_LOC于点儿

.\ZFTG=90°,乙MHC=COHM=9。。,

U：AF=FG,^AFG=60°,

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：.AAFG为等边三角形，

二,菱形/BCD,OB=OD,OA=OC,L.ABO=ZCFO=30°,^.ADO=Z-CDO=30°,ACLBD,

：.^LBOC=^BOA=90°,

设BF=2a,DF=2BF=4a,BD=6a,OB=OD=3a,OF=a,

在△ZB。中，tan300=器•，

•'•AO=OBxtan30°=V3a,

在△40F中,tan乙4/。=黑==百，

：.2LAFO=60°,

：ZEFG=匕AFO,

：./-AFE=乙DFG,Z.FAD=180°-Z.AFD-ZADF=90°,

：.^FAD=^LFTG=90°,FE=FG,

：./^FAE=AFTG,

：.FA=FT,AE=TG,LFAO=90°-Z,AFO=30°,

：.AF=2FO=2a,

：.FT=2a,

：.OF=OT=a,LBOC=乙BTG=90°,

：.OC||GT,

：.△FON〜△FTG,

.FO_ON_1

UUTT=TG=2,

：.TG=2,

：.AE=TG=2,

设CM=5k,贝l]DE=8鼠AD=Sk+2,A0=4k+l=C0,

：.CN=4k,尸。=字（钝+1）,CH=|cM=|fc,HN=|k,MH=牛匕

在小NMH中，tanNHNM=基=醇，4HNM=乙FNO,

部3

在△FN。中，tan乙FNO=需,...苧=宇（二+D,；.k=1

在^NMH中，MN=y/MH2+NH2=同k，

'.MN=V21

【解析】【分析】本题主要考查菱形的性质及选择的性质，（1）①根据菱形的的性质可得乙4DB=30o.EF=

FG,^EFD=60%再根据NEFD=60。，再根据30。的直角三角形的性质即可求解；②连接CG、AG,根据菱

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形的性质及旋转的性质可得△ABC为等边三角形，

进而得到小AFG为等边三角形，根据等边三角形的性质利用SAS可证明△2BFACG,根据全等三角形的性

质可以得到乙4B。=乙4CG=30°,再运用菱形的性质及角的和差关系得到乙4CG=乙DCG,进而可以根据SAS

证明△4CGDCG,再根据全等三角形的性质以及等量代换即可求解；

(2)①过点M作MH1AC,根据菱形的性质及等边三角形的性质可得NBOC=Z.BOA=90°,设BF=2a,

DF=2BF=4a,BD=6a,OB=OD=3a,OF=a,然后利用解直角三角形运用正切三角函数及角的和差关

系可证得AFZEWAFTG,运用全等三角形的性质可得FT=2a,进而得到。T=DF-FT=2a=FT,根据垂

直平分线的性质即可得证；

②运用①的方法和结论得到OC||GT,进而证明△FON〜&FTG,再根据相似的性质得到AE=TG=2,设

CM=5k,则DE=8k,AD=8k+2,AO=4k+l=CO,运用解直角三角形和勾股定理即可求解.

27•【答案】(1)解：•.•直线y=*x+l经过点4,

当y=0时，%=-2,二做一2,0)

•.•抛物线丫=a/+bx—3经过点4(一2,0)、B(3,0)两点

.(0=4a—2b—3

*eto=9a+3b-3

:•抛物线解析式为y=1%2-1%-3

(2)解：过点P作PKJ.久轴，垂足为点K

,.*5(3,0),:・BO=3,>\AB=2+3=5

・・・点P在P为抛物线第四象限上，

••设P(t,2t2—2t—3),•«PK——彳产+?「+3

20

1111

••S='TIB,PK=《X5x(-2产+]1+3)

即：S=-1t2+|t+^(0<t<3)

(3)解：在抛物线y=I'd—|.汽—3上，设D(m,^-m2——3)

■:D在直线y=1-x+1上