贵州省贵阳市某中学2024-2025学年高二年级上册第二次月考数学试卷

贵州省贵阳市第一中学2024-2025学年高二上学期第二次月考

数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

x

1.已知集合/={xM+x-2W0},S=1x||<2<4,xezj,则42=()

A.[-1,1]B.{0,1}C.[-2,2]D.{-1,0,1}

2.复数z满足(l+i)z=i-2,贝上的虚部为()

A.-iB.--C.-D.-1i

2222

3.已知直线上与直线x+y+l=0的夹角为30。，则上的倾斜角为()

A.15°或75°B.15。或105°C.75°或165°D.105°或165°

4.已知直线4：冽％+3>一1=0,Z2:3x+my-m+1=0,贝『'£1〃£2''是"加=一3''的()

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

22

5.已知片、鸟分别为椭圆「：4+==1(。>6>0)的上、下两个焦点，M是椭圆「上的点,

ab

丽•诙=0,且|町|=2]峥|,则椭圆£的离心率为()

AVW口也「而n石

2346

6.已知函数/(x)=sin(x+第与g(x)=cos，x-；|,则下列说法错误的是()

A.“X)与g(x)存在相同的对称轴

B.“X)与g(x)存在相同的对称中心

C.“X)与g(x)的值域相同

D.7(x)与g(x)在[0g]上有相同的单调性

7.在三棱锥尸-4BC中，底面NBC,AB1AC,AB=3,AC=4,。是线段/C上

一点，且/D=3DC,三棱锥P-48C的各个顶点都在球。的表面上，过点。作球。的截面,

若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为4兀，则球。的表面积为()

A.1871B.227tC.28兀D.327r

试卷第1页，共4页

8.已知曲线C：（x2+y2）2=4（x2-r）是双纽线，则下列结论正确的是（）

A.曲线C的图象不关于原点对称

B,曲线C经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）

C.若直线卜=辰与曲线c只有一个交点，则实数上的取值范围为（-8,-1]

D.曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2

二、多选题

9.直线/:x-y+m=0,圆。：/+/-2关=0,下列结论正确的是（）

3兀

A.直线/的倾斜角为?

B.圆c与y轴相切

c.当m=逝-1时，直线/与圆c相切

D.当〃7€（-8一1,血一1）时，直线/与圆C相交

10.某校高三甲、乙两名同学6次月考数学得分情况记录如下，

甲：118,120,135,133,147,141；

乙：117,126,119,127,119,129.

则下列四个结论中，正确的是（）

A.甲同学得分的极差大于乙同学得分的极差

B.甲同学得分的中位数大于乙同学得分的中位数

C.甲同学得分的平均值大于乙同学的平均值

D.甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定

11.泰戈尔说：世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间

无处寻爱.已知点犯0）,直线/:x=-3,动点P到点A的距离比到直线/的距离小2.若某

直线上存在这样的点尸，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（）

A.点P的轨迹方程为y2=8x

B.y=x+i是，最远距离直线”

C.过点A的直线与点P的轨迹交于M、N两点，则以九W为直径的圆与V轴相交

D.过点A的直线与点尸的轨迹交于M、N两点,则21M4|+|网的最小值为1+2行

试卷第2页，共4页

三、填空题

12.已知正方体/BCD-44GA的棱长为1,若动点尸在线段上运动，则皮•后的最

大值是.

13.已知直线/过定点河(-2,1),若直线/在两坐标轴上的截距相等，贝I"的斜率上的值

为；若直线/不经过第三象限，则上的取值范围是.

14.已知函数/(x)是定义在R上的奇函数，若对任意给定的实数4，%有

XJ(%)-X/(%)>XJ(网)-XJ(X2)恒成立,则不等式(x-1)•/(l-2x)>0的解集

是.

四、解答题

15.VN8C的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,已知/8=4,S^ABC=2A/3.

jr

(1)若C=§,求V48c的周长；

(2)求sinZsin8的最大值.

16.如图，贵阳红枫湖湖面上有O,A,3三个小岛(面积大小忽略不计)，A岛在。岛的

北偏东45。方向距。岛4夜千米处，8岛在。岛的正东方向距。岛2千米处.以。为坐标

原点，。的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系，圆C

经过O,A,B三点、.

⑴求圆C的方程；

⑵若圆C区域内有未知暗礁，现有一船。在。岛的南偏西30。方向距。岛4千米处，正沿

着北偏东60。方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？

17.如图甲，已知在等腰梯形/BCD中，AB//CD,且3/8=CD=3,AD=BC=6，且

AELDC,沿/£将△/££>折起使平面平面43CE,如图乙.

试卷第3页，共4页

D

⑴求点E到平面BDC的距离；

(2)设P为棱。C上一点(不与尸，C重合)，当二面角尸为60。时，。尸与。。的比

值.

18.已知定圆g:(x-拒『+「=16,定点片(-收,0),动圆尸满足在圆月内部与圆月内切,

且过点片，设动圆圆心尸的轨迹为曲线C.

⑴求C的方程；

⑵设C与X轴交于4,3两点(/在3点左侧)，直线/交C于跖N两点(〃，N均不在X

轴上)，设直线/M,BN的斜率分别为左，k2,若左=2与，证明：直线/过定点.

19.设函数了=/(无)的定义域为D,3x1；满足尤1＜苫2，且

/'(再)=/(z)=2/(占二0,则称函数了=/(x)为“p函数”.

⑴判断力(x)=2024。-1)、Z»=R是否为“尸函数”,并说明理由；

2

(2)设〃eN*,若函数力(x)=--左，。=(0,")为“尸函数”，且〃的最小值为5,求实数人的

x

取值范围.

试卷第4页，共4页

《贵州省贵阳市第一中学2024-2025学年高二上学期第二次月考数学试卷》参考答案

题号12345678910

答案DCDABBCDBCDABC

题号11

答案BC

1.D

【分析】分别求两个集合，再求交集.

【详解】因为集合/={x|/+x_2V0}={止2VxWl},

x

5=x1<2<4,xeZ卜|-1VxV2,xeZ}=t1,0,1,2},

所以/口3={-1,0,1}.

故选：D.

2.C

【分析】先化简复数，再利用复数的相关概念求解.

i-2(i-2)(l-i)-l+3i13.

【详解】解:-------------------------=------------——H—1

1+i(l+i)(l-i)222

3

故Z的虚部为『

故选：C.

3.D

【分析】利用直线方程求出斜率，继而可得倾斜角，结合题意即可求解.

【详解】直线x+y+l=0的斜率左=-1,则倾斜角为135。，

直线Z与直线x+y+l=0夹角为30。，则Z的倾斜角为105。或165°.

故选：D.

4.A

【分析】利用必要条件和充分条件的定义求解.

m2=9

【详解】解：当卬色时，贝叫

机(1一4-3'

解得加=3或加=-3,

故4〃4是机=-3的必要不充分条件,

故选：A.

答案第1页，共14页

5.B

【分析】由椭圆的定义结合已知条件可得出|阿|、\MF2\,结合勾股定理

|町『+|〃乙『=忖工f可得出关于。、。的齐次等式，即可解得椭圆「的离心率.

【详解】由椭圆定义得：|必|+|必；|=2。，又因为1M；|=2|〃/必所以1Ml=',|峥1=%,

再由于丽•碇=0,则叫，外，阳闾=2c,

结合勾股定理可得跖-+陷寸=gf,即&］+臣］=(2c)2,解得:=:,

所以椭圆「的离心率为e=£=正.

a3

故选：B.

6.B

【分析】由g(x)=cos12x-1J=sin(2x+e,利用正弦函数的性质逐项判断.

【详解】•.,g(x)=cos[2x-4=sin2x+-\,

I6

TTJT7T717T

对于A,令XH---=k、TlH----,左]£Z,得/(%)的对称轴为X=k、TlH----，左1£Z,令2xH----=k7tH----,

326622

左2£Z,

得g(x)的对称轴为》=竺+2,匕eZ,显然与g(x)有相同的对称轴x=$,A正确:

266

7T(兀、7T

对于B,令x+§=々兀，eZ,得/(X)的对称中心为［々兀一§,0),eZ,^2x+—=n27i,

H2GZ,

得g(x)的对称中心为,〃2wZ,由々兀-g=得4々=2%+1,

l乙i乙JDN1,N

显然不存在整数%,%使44=2%+1成立，故"X)与g(x)没有相同的对称中心，B错误;

对于C,“X)与g(x)的值域显然均为［-1,1］,C正确:

对于D,当xe0,［时，由一工vx+色《色n-2VxV工n/(x)在0,丁上单调递增,

_2J23266|_6_

由建X+=在的事上单调递减，

232661_62

由一百W2x+色《四0一巴VxW巴今g(x)在「0,?］上单调递增，

262366

答案第2页，共14页

,71~71371兀,2兀/兀兀I

由742x+：Wk<xW二-=g(x)在—,—上单倜递减，

262631_62_

TT7TTT

“X)与g(x)均在0,-上单调递增，在上单调递减，D正确，

6」[_62_

故选：B.

7.C

【分析】如图，将三棱锥补成直三棱柱，根据球的性质确定球心位置，要使过点。

作球。的截面圆的面积最小，只需截面与垂直；当截面过球心时，截面面积最大，即可

求解.

【详解】将三棱锥尸-/BC补成直三棱柱，如图所示，

则三棱锥尸-和该直三棱柱的外接球都是球O,

设三角形/2C的中心为。1，球。的半径为尺，PA=2x,连接。

则球心。到平面/BC的距离为x,即0。1=肛连接OA,则O/=g,

所以0/2=00；+。国2,即R2=/+

在V48c中，取/C的中点E,连接0。，0\E,

则O.E//AB,DE=-AC=\,所以巫.

22412

11

连接在Rt^OOQ中，。02=/+上，

4

由题意得，当截面与直线OD垂直时，截面圆面积最小，

25(

设此时截面圆的半径为r,则r=叱-f+彳-/+彳=3,

所以截面圆的最小面积为3兀；

当截面过球心O时，截面圆面积最大，为应?叱

所以兀尺2_3兀=4无，解得尺2=7,所以球。的表面积为4成2=28〃，

故选：C.

8.D

答案第3页，共14页

【分析】将（-X,-历代入方程即可求解A,分别令y=0和x=0,即可求解B,联立直线与曲

线方程，结合判别式求解C,根据X2+/=4（F《4,即可结合点点距离即可求解D.

x2+y2

【详解】对于A,如图，结合曲线。（/+力2=412一力，将（_”了）代入，方程不变，

即曲线C的图象关于原点对称，A错误；

对于B,令1=0,则（「2）2=4/,解得x=±2或x=0,令*=±1,则（1+力一=4（1-力，

解得/=_3+2百<1,令工=±2,则（4+/y=4（4-力，解得了2=o,故曲线C经过的整

点只能是（0,0）,（2,0）,（—2,0）,B错误：

对于C,直线夕=丘与曲线C:（x2+V）2=4（x272）必有公共点（0,0）,因此，若直线>=日

与曲线C只有一个交点，则<卜2+力=4卜2一力,只有一个解电0）,即

y=kx

x4（l+/y=4x]l-公）只有一个解为x=o,即xwo时，尤40+/）2=4/（1一/）无解，故

1-*2<0,即实数左的取值范围为C错误；

对于D,由1+r）2=4（/-娟，可得/+,=4（：2一1）"”0时取等号，则曲线c

'，'，x+y

上任意一点到坐标原点。的距离为d=+/V2,即都不超过2,D正确，

故选:D.

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：

（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的

等量关系；

（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的

答案第4页，共14页

取值范围.

9.BCD

【分析】由直线方程求出斜率，继而可求倾斜角可判断A；利用圆心到直线的距离等于半

径可判断BC；利用圆心到直线的距离d<:•可判断D.

【详解】对于A：直线/：V=x+7〃的斜率为1,所以直线/的倾斜角为三，故A错误；

4

对于B：圆C：%2一2%，即(%一1)2=],

可知圆心C(L0),半径尸=1,圆。与V轴相切，故B正确；

对于C：当加=亚_1时，直线/:x-y+JI-l=0,

所以直线/与圆C相切，故C正确；

对于D：圆C:/+/-2x=0,即(x-l>+y2=1,可知圆心C(l,0),半径r=l,

因为直线/：N=x+〃?与圆C交于两点，所以圆心C到直线/的距离d<r,

所以当加e卜亚时，直线/与圆C相交，故D项正确.

故选：BCD.

10.ABC

【分析】根据一组数据的极差、中位数、平均数与方差的概念和计算公式，计算分析即可判

断.

【详解】对于A,甲同学得分的极差为147-118=29,乙同学得分的极差为129-117=12,

甲同学得分的极差大于乙同学得分的极差，故A正确；

对于B,甲的数据从小到大排列后，处于中间的数是133,135,所以甲得分的中位数是134,

同理求得乙得分的中位数是122.5,因此甲同学得分的中位数大于乙同学得分的中位数，故

B正确；

118+120+135+133+147+141397794

对于C,甲同学得分的平均值为

36

117+126+119+127+119+129737

乙同学得分的平均值为

故甲同学得分的平均值大于乙得分的平均值，故C正确:

答案第5页，共14页

对于D,分别计算甲、乙两个得分的方差，方差小的成绩更稳定.

甲的方差为：4=|(1182+1202+1352+1332+1472+1412)-(7^)2^109.22,

乙的方差为：=1(1172+1262+1192+1272+1192+1292)-(7|^2«21.47,

因为乙的方差小于甲的方差，所以乙的成绩比甲的成绩稳定，故D不正确.

故选：ABC.

11.BC

【分析】由题意可知动点P到点A的距离等于到直线x=-l的距离，所以可知点尸的轨迹是

以/(1,0)为焦点的抛物线，求出轨迹方程即可判断A；直线与抛物线联立有交点即可判断B；

设出直线方程，直曲联立结合韦达定理再利用椭圆定义求焦半径即可判断C、D.

【详解】对于A,因为点41,0),直线/:x=-3,动点尸到点A的距离比到直线/的距离小2,

所以动点尸到点A的距离等于到直线x=-1的距离，

所以点P的轨迹是以41,0)为焦点，以尤=为准线的抛物线，

所以抛物线方程为必=4x,所以A错误；

对于B,由<:得了2_21+1=0,解得％=1,>=2,

[y=x+l,

所以直线V=X+1与抛物线/=4x相切于点(1,2),

所以y=x+i是"最远距离直线”，所以B正确；

对于C,如图，设过点4(1,0)的直线为》=加了+1(4片0),

所以乂+%=4加，=-4,

答案第6页，共14页

2

所以X[+々=即1+1+rny2+1=加（必+%）+2=4m+2,

所以|MN|=/+超+P=4m2+4,

所以以AW为直径的圆的半径为尸=2/+2,

因为圆心到V轴的距离为叱玉=2/+l<r,

2

所以以为直径的圆与y轴相交，所以c正确；

对于D,2\MA\+\NA^\MA\+\NA\+\MA^\MN\+\MA\

22

=%1+x2+p+x1+y=4m+5+^,因为％>0,4m>0，

所以4/+5+玉〉5,所以D错误.

故选：BC.

【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：

（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；

（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出

方程；

（3）相关点法：用动点。的坐标x、了表示相关点尸的坐标/、％,然后代入点尸的坐标

（%,%）所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q的轨迹方程；

（4）参数法：当动点坐标X、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找X、了与某一参数

才得到方程，即为动点的轨迹方程；

（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的

轨迹方程.

12.1

【分析】利用空间向量基底法结合数量积公式计算即可.

【详解】依题意，设丽=2两，其中2e[0,l],

DC•AP=AB（AB+九BD）=4B十九ABBD、=AB+AAB^BD+DD{J

=1+Ax1xyp2x------=1—A<1

I2J

因此丽的最大值是1.

答案第7页，共14页

故答案为：1.

13.-1或」--<k<Q

22

【分析】设直线为^=以尤+2）+1,分别令尤=0,y=0,得到直线在x,y轴上的截距，再

［2^+1>0

由相等求解，由直线为>=依+2左+1,根据题意，由，/八求解.

<0

【详解】解：因为直线/过定点可（-2,1）,且直线/在两坐标轴上的截距相等，所以4W0,

设直线为：y=k（x+l）+\,令x=0,得y=l+2左，令y=0,得x=-2—

k

依题意可得1+2左=-2即2左？+3左+1=0,解得斤=-彳或左=-1;

k2

由直线/：丘一夕+1+2左=0可得：y=kx+2k+1,

若/不经过第三象限，则-;4左40.

故答案为：-1或-彳，-g"40

22

【分析】构造得（占-%）［/（七）-/（%）］>0,则其为增函数，然后分类讨论即可.

【详解】因为函数/（X）对任意给定的实数X1,马，使X，（西）-（xJ-x?/（马）恒

成立，

即（国一无2）［〃%）-〃々）］>0,所以函数/（X）在R上为增函数，

又函数/（X）是R上的奇函数，所以"0）=0,

则不等式（xTA/（l-2x）>0,

当x-l>0,即尤>1时，贝！］l-2x>0,解得止匕时无解；

2

当x-l<0,即x<l时，l-2x<0,解得x>—,贝!

22

答案第8页，共14页

综上解集为、J.

故答案为：[J.

15.(1)4+2710

⑵平•

4

【分析】(1)利用三角形面积公式求得仍=8,再由余弦定理求出〃+6=2可，即得周长；

(2)由正弦定理求得sin/•sin3=si.0,代入条件推得$亩4.sinB=叵叱，利用正

c24

弦函数的值域求得sin/sinB的最大值，并验证即得.

【详解】(1)因为S[Be='a6sinC==26,所以必=8,

AAD\^24

由余弦定理得M=a2+b2-2abcosC=a2+b2-abf

所以(〃+b)2=c2+3ab,

又4B=c=4,ab=S,

所以(a+6)2=40,即a+6=2而，

故VABC的周长为4+2厢.

(2)由正弦定理得号二七二三，所以sin/-sin8=absin2C

sinAsinBsinCc2

又S\ABC=；劭，亩C=2y/3,c=4,

所以Ms1①牛耳

当sinC=l时，即C=5，此时/+〃=°2=16,ab=473,

解得a=2A/3，6=2或〃=2,b=2百，

故C=巴时，sin/sin3取得最大值W.

24

16.(l)x2+y2-2x-6y=0

(2)该船没有触礁的危险.

【分析】(1)设圆的一般方程，代入圆上三点的坐标，即可求解;

(2)首先求船。行驶的直线方程，再判断直线与圆的位置关系，即可判断危险性.

【详解】(1)依题意，因A岛在O岛的北偏东45。方向距。岛4夜千米处，则点/(4,4),

答案第9页，共14页

又B岛在。岛的正东方向距。岛2千米处，则8(2,0),

设过O,A,8三点的圆C的方程为/+/+5+£>+尸=0,

尸=0\D=-2

则卜2+42+4。+4£+尸=。，解得＜£=_6

22+2D+F^0|F=0

所以圆C的方程为x2+/-2x-6y=0.

(2)因船。在。岛的南偏西30。方向距。岛4千米处，则。(-2,-26)，

而船D沿着北偏东60。方向行驶，

则船D的航线所在直线I的斜率为等，直线/的方程为x-Gy-4=0,

由(1)知，圆C的圆心为CQ,3),半径厂=加，

一|1-3A/3-4|3+36后

则圆心C到直线I的距离d=J?:后=&0,则d>r,

所以该船没有触礁的危险.

17.⑴,

(2)2=3-76

【详解】(1)如图甲，在等腰梯形/BCD中，AB//CD,

•：3AB=CD=3,AD=BC=e，AEYDC,

：.DE=\,EC=2,EA=«ej-d=1

如图乙，：平面平面/BCE,平面ZMEPl平面4BCE=/E,DE_L/E,£)£u平面D/E,

DE_L平面/3CE,

...以E为原点，EA,EC,ED的方向分别为x轴、>轴、z轴正方向，建立如图所示的空间

直角坐标系，

则4(1,0,0),5(1,1,0),C(0,2,0),£>(0,0,1),

5C=(-1,1,0),50=(-1-1,1),

设万=(x,y,z)为平面BDC的一个法向量，

n•BC=-x+y=0

\—»,令x=l,则歹=1,z=2,元=(1,1,2),

n-BD=—x—y+z=0

答案第10页，共14页

又EC=(0,2,0),

..eg=EHlx0+lx2+2xdJe

.•.点E到平面BDC的距禺［=\C-\=I----------=-------"=—.

同屈3

(2)设丽=4反,(0<4<1),贝I］丽=2(0,2,—1)=(0,2%—/1),(0</1<1)

丽=丽+丽=(0,0,1)+(0,24-㈤=(0,22,1-A),E3=(1,1,0),

设有=(a,6,c)为平面3E尸的一个法向量,

m-EP=2^+(l-2)c=0

m-EB=Q+b=0

22

令4=1,则6=—1,c=--m=

1—X

又BC=(-1,1,0)是平面BED的一个法向量,

m-BC

当二面角尸。为60。时，则

解得2=3±y/6，

又。<4<1,2,=3—y/~6•

所以当二面角尸-BE-D为60。时，。尸与。。的比值为3-标.

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22

18.⑴土+匕=1

42

(2)证明见解析

【分析】（1）由题意得到|尸用+|尸引=4＞即矶=2逝，再利用椭圆的定义求解;

（2）设/的方程为x="+w,与椭圆方程联立，由左=2左2，得到（%]-2）（工2-2）=-4%力,

再与韦达定理结合求解.

【详解】（1）解：易知圆区:（x-也＞+r=16的圆心为名（虚,0）,半径为4,

由题得|产用+|尸&|=4＞即矶=2近,

所以动点尸的轨迹是以《，月为焦点的椭圆,

不妨设椭圆的长轴、短轴、焦距为2a,2b,2c,

其中a=2,c=VLb2=a2-c2=2,

22

所以c的方程为土+匕=1.

42

（2）证明，如图，

易知直线I的斜率不为0,

设/的方程为x="+"JM0q,yD，W(x2,y2),

x=ty+m,

联立，22得(户+2)y2+2mty+m2-4=0,

产----+1-->-----11,

142

A=Qmtf-4(/+2)(/—4)>0,

2mtm2—4

则nilM+%=-涔逅

又可知点4-2,0）,2（2,。），所以人4,-会

答案第12页，共14页

22「

由9+江=1得y,_x2

42%1+22%

又…,所以一£%,-二22右己力

即(占-2)5-2)=-4%%,

又％=+加，x2=ty2+m,

2

代入得(〃+4)M为+t(m-2)(%+v2)+(m-2)=0,

整理可得+4)(m2-4)+t(m-1)(—2mt)+(m-2)2(r+2)=0,

因为A/,N两点不在x轴上，所以〃2-2片0,

所以(r+4)(加+2)+t(-2mt)+(m-2)(t2+2)=0,化简得6加+4=0,

22

所以冽=-1，直线/的方程为％=w-

故直线/恒过定点1°-

19.(1)＜(x)=2024(x-ly，xeR不是“P函数”，理由见