高考备考资料之数学人教A版全国用课件第十三章推理与证明算法复数132

§13.2直接证明与间接证明第十三章

推理与证明、算法、复数基础知识

自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.直接证明(1)综合法①定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的

，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.②框图表示：(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论).③思维过程：由因导果.知识梳理推理论证(2)分析法①定义：一般地，从

出发，逐步寻求使它成立的

，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法.②框图表示：(其中Q表示要证明的结论).③思维过程：执果索因.要证明的结论充分条件2.间接证明反证法：一般地，假设原命题

(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出

，因此说明假设错误，从而证明

的证明方法.不成立矛盾原命题成立题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明.(

)(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.(

)(3)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a<b”.(

)(4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾.(

)基础自测123456××××(5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程.(

)(6)证明不等式

最合适的方法是分析法.(

)123456√√题组二教材改编2.[P89T2]若P＝

(a≥0)，则P，Q的大小关系是

A.P>Q

B.P＝QC.P<Q

D.由a的取值确定答案解析√123456∴P2>Q2，又∵P>0，Q>0，∴P>Q.3.[P91B组T2]设实数a，b，c成等比数列，非零实数x，y分别为a与b，b与c的等差中项，则

等于

A.1 B.2 C.4 D.6答案解析123456√123456解析答案题组三易错自纠4.若a，b，c为实数，且a<b<0，则下列命题正确的是

A.ac2<bc2

B.a2>ab>b2123456解析a2－ab＝a(a－b)，∵a<b<0，∴a－b<0，∴a2－ab>0，∴a2>ab. ①又ab－b2＝b(a－b)>0，∴ab>b2，

②由①②得a2>ab>b2.√5.用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要作的假设是

A.方程x3＋ax＋b＝0没有实根B.方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C.方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D.方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析答案123456√解析方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故选A.解析答案1234566.(2017·德州一模)如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则△A2B2C2是_____三角形.钝角123456解析由条件知，△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则△A1B1C1是锐角三角形，假设△A2B2C2是锐角三角形.123456所以△A2B2C2是钝角三角形.题型分类深度剖析1.(2018·绥化模拟)设a，b，c均为正实数，则三个数A.都大于2 B.都小于2C.至少有一个不大于2 D.至少有一个不小于2题型一综合法的应用自主演练√解析∵a>0，b>0，c>0，当且仅当a＝b＝c＝1时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.解析答案解析答案a≥0，b≥0且a≠b3.(2018·武汉月考)若a，b，c是不全相等的正数，求证：证明证明

∵a，b，c∈(0，＋∞)，由于a，b，c是不全相等的正数，∴上述三个不等式中等号不能同时成立，上式两边同时取常用对数，得(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性.(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理.思维升华题型二分析法的应用师生共研证明所以cosx1cosx2>0，sin(x1＋x2)>0,1＋cos(x1＋x2)>0，故只需证明1＋cos(x1＋x2)>2cosx1cosx2，即证1＋cosx1cosx2－sinx1sinx2>2cosx1cosx2，即证cos(x1－x2)<1.若本例中f(x)变为f(x)＝3x－2x，试证：对于任意的x1，x2∈R，均有证明引申探究由于当x1，x2∈R时，

>0,>0，(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利解决的关键.(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证.思维升华证明题型三反证法的应用多维探究解答命题点1证明否定性命题典例

(2018·株州月考)设{an}是公比为q的等比数列.(1)推导{an}的前n项和公式；解设{an}的前n项和为Sn，则当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，

①qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，

②①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，(2)设q≠1，证明：数列{an＋1}不是等比数列.证明假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*，(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，证明∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，∴q＝1，这与已知矛盾.∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列.命题点2证明存在性命题典例

已知四棱锥S－ABCD中，底面是边长为1的正方形，又SB＝SD＝

，SA＝1.(1)求证：SA⊥平面ABCD；证明由已知得SA2＋AD2＝SD2，∴SA⊥AD.同理SA⊥AB.又AB∩AD＝A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴SA⊥平面ABCD.证明(2)在棱SC上是否存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD？若存在，确定F点的位置；若不存在，请说明理由.解假设在棱SC上存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD.∵BC∥AD，BC⊄平面SAD.∴BC∥平面SAD.而BC∩BF＝B，∴平面FBC∥平面SAD.这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾，∴假设不成立.∴不存在这样的点F，使得BF∥平面SAD.解答命题点3证明唯一性命题典例(2018·宜昌模拟)已知M是由满足下列条件的函数构成的集合：对任意f(x)∈M，①方程f(x)－x＝0有实数根；②函数f(x)的导数f′(x)满足0<f′(x)<1.解答解①当x＝0时，f(0)＝0，所以方程f(x)－x＝0有实数根0；证明假设方程f(x)－x＝0存在两个实数根α，β(α≠β)，则f(α)－α＝0，f(β)－β＝0.不妨设α<β，根据题意存在c∈(α，β)，满足f(β)－f(α)＝(β－α)f′(c).因为f(α)＝α，f(β)＝β，且α≠β，所以f′(c)＝1.与已知0<f′(x)<1矛盾.又f(x)－x＝0有实数根，所以方程f(x)－x＝0有且只有一个实数根.(2)集合M中的元素f(x)具有下面的性质：若f(x)的定义域为D，则对于任意[m，n]⊆D，都存在x0∈(m，n)，使得等式f(n)－f(m)＝(n－m)f′(x0)成立.试用这一性质证明：方程f(x)－x＝0有且只有一个实数根.证明应用反证法证明数学命题，一般有以下几个步骤：第一步：分清命题“p⇒q”的条件和结论；第二步：作出与命题结论q相反的假设

q；第三步：由p和

q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步：断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设

q不真，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题p⇒q为真.所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知事实矛盾，与临时假设矛盾以及自相矛盾等都是矛盾结果.思维升华跟踪训练

若f(x)的定义域为[a，b]，值域为[a，b](a<b)，则称函数f(x)是[a，b]上的“四维光军”函数.解答因为b>1，所以b＝3.解答解得a＝b，这与已知矛盾.故不存在.典例(12分)(2018·衡阳调研)直线y＝kx＋m(m≠0)与椭圆W：

＋y2＝1相交于A，C两点，O是坐标原点.(1)当点B的坐标为(0,1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；(2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形.反证法在证明题中的应用思想方法思想方法指导规范解答思想方法指导

在证明否定性命题，存在性命题，唯一性命题时常考虑用反证法证明，应用反证法需注意：(1)掌握反证法的证明思路及证题步骤，正确作出假设是反证法的基础，应用假设是反证法的基本手段，得到矛盾是反证法的目的.(2)当证明的结论和条件联系不明显、直接证明不清晰或正面证明分类较多、而反面情况只有一种或较少时，常采用反证法.(3)利用反证法证明时，一定要回到结论上去.规范解答(1)解因为四边形OABC为菱形，则AC与OB相互垂直平分.由于O(0,0)，B(0,1)，(2)证明假设四边形OABC为菱形，因为点B不是W的顶点，且AC⊥OB，所以k≠0.消y并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0. [6分]设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则因为M为AC和OB的交点，且m≠0，k≠0，所以AC与OB不垂直. [10分]所以四边形OABC不是菱形，与假设矛盾.所以当点B在W上且不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形.[12分]课时作业A.A≤B≤C

B.A≤C≤BC.B≤C≤A

D.C≤B≤A基础保分练解析答案12345678910111213141516√123456789101112131415162.分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证

”索的因应是

A.a－b>0 B.a－c>0C.(a－b)(a－c)>0 D.(a－b)(a－c)<0解析答案12345678910111213141516√⇐(a＋c)2－ac<3a2⇐a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0⇐－2a2＋ac＋c2<0⇐2a2－ac－c2>0⇐(a－c)(2a＋c)>0⇐(a－c)(a－b)>0.3.(2017·郑州模拟)设x>0，P＝2x＋2－x，Q＝(sinx＋cosx)2，则

A.P>Q

B.P<QC.P≤Q

D.P≥Q解析答案12345678910111213141516√解析因为2x＋2－x≥ ＝2(当且仅当x＝0时等号成立)，而x>0，所以P>2；又(sinx＋cosx)2＝1＋sin2x，而sin2x≤1，所以Q≤2.于是P>Q.故选A.解析答案123456789101112131415164.①已知p3＋q3＝2，证明：p＋q≤2.用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②若a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证：方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下结论正确的是

A.①与②的假设都错误B.①的假设正确；②的假设错误C.①与②的假设都正确D.①的假设错误；②的假设正确√解析对于①，结论的否定是p＋q>2，故①中的假设错误；对于②，其假设正确，故选D.5.若

，则下列结论不正确的是

A.a2<b2

B.ab<b2C.a＋b<0 D.|a|＋|b|>|a＋b|解析答案12345678910111213141516√∴a2<b2，ab<b2，a＋b<0，|a|＋|b|＝|a＋b|.6.(2018·济宁模拟)设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是

A.②③

B.①②③C.③

D.③④⑤解析答案12345678910111213141516√但a<1，b<1，故①推不出；若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出；若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，下面用反证法证明：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b>2矛盾，因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1.12345678910111213141516答案123456789101112131415167.用反证法证明命题“a，b∈R，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是__________________.a，b都不能被5整除解析答案12345678910111213141516解析答案12345678910111213141516cn＋1<cn解析由条件得则cn随n的增大而减小，∴cn＋1<cn.解析答案1234567891011121314151610.(2017·武汉联考)已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下列命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.其中正确命题的序号是________.①③1234567891011121314151611.(2017·黄冈模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，且(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n∈N*).其中m为常数，且m≠－3且m≠0.(1)求证：{an}是等比数列；12345678910111213141516证明证明由(3－m)Sn＋2man＝m＋3，得(3－m)Sn＋1＋2man＋1＝m＋3.两式相减，得(3＋m)an＋1＝2man，m≠－3且m≠0，12345678910111213141516证明12345678910111213141516证明∵(3－m)Sn＋2man＝m＋3，∴(3－m)a1＋2ma1＝m＋3，∴a1＝1.∴当n∈N*且n≥2时，12.(2017·北京)设{an}和{bn}是两个等差数列，记cn＝max{b1－a1n，b2－a2n，…，bn－ann}(n＝1,2,3，…)，其中max{x1，x2，…，xs}表示x1，x2，…，xs这s个数中最大的数.(1)若an＝n，bn＝2n－1，求c1，c2，c3的值，并证明{cn}是等差数列；12345678910111213141516解答12345678910111213141516解c1＝b1－a1＝1－1＝0，c2＝max{b1－2a1，b2－2a2}＝max{1－2×1,3－2×2}＝－1，c3＝max{b1－3a1，b2－3a2，b3－3a3}＝max{1－3×1,3－3×2,5－3×3}＝－2.当n≥3时，(bk＋1－nak＋1)－(bk－nak)＝(bk＋1－bk)－n(ak＋1－ak)＝2－n＜0，所以bk－nak在k∈N*上单调递减.所以cn＝max{b1－a1n，b2－a2n，…，bn－ann}＝b1－a1n＝1－n.所以对任意n≥1，cn＝1－n，于是cn＋1－cn＝－1，所以{cn}是等差数列.(2)证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，

；或者存在正整数m，使得cm，cm＋1，cm＋2，…是等差数列.12345678910111213141516证明12345678910111213141516证明设数列{an}和{bn}的公差分别为d1，d2，则bk－nak＝b1＋(k－1)d2－[a1＋(k－1)d1]n＝b1－a1n＋(d2－nd1)(k－1).①当d1＞0时，因此，cn＝b1－a1n，此时，cm，cm＋1，cm＋2，…是等差数列.②当d1＝0时，对任意n≥1，cn＝b1－a1n＋(n－1)max{d2,0}＝b1－a1＋(n－1)(max{d2,0}－a1).此时，c1，c2，c3，…，cn，…是等差数列.③当d1＜0时，12345678910111213141516≥n(－d1)＋d1－a1＋d2－|b1－d2|.对任意正数M，1234567891011121314151613.(2018·长春模拟)若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1，在区间[－1,1]内至少存在一点c，使f(c)>0，则实数p的取值范围是________.技能提升练解析答案12345678910111213141516解析若二次函数f(x)≤0在区间[－1,1]内恒成立，12345678910111213141516证明12345678910111213141516证明由于x≥1，y≥1，只需证xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.将上式中的右式减左式，得[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1).12345678910111213141516因为x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立.解当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1.又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，拓展冲刺练1234567891011121314151615.(2018·中山模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.(1)求数列{an}的通项公式；解答证明假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap＋1，aq＋1，ar＋1(p<q<r，且p，q，r∈N*)，12345678910111213141516(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列.证明所以2·2r－q＝2r－p＋1. (*)又因为p<q<r，所以r－q，r－p∈N*.所以(*)式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立，矛盾.所以假设不成立，原命题得证.16.(20