函数的单调性、极值与最值-2024-2025学年高二数学复习讲义（人教A版选择性必修第一、二册）

第21讲函数的单调性、极值与最值

【人教A版2019】

1.函数单调性和导数的关系

（1）函数的单调性与导函数/（x）的正负之间的关系

①单调递增：在某个区间（。力）上，如果了（无）＞0,那么函数y=/（尤）在区间@6）上单调递增；

②单调递减：在某个区间3,6）上，如果了（无）＜0,那么函数y=/（x）在区间色力）上单调递减.

③如果在某个区间（a,b）内恒有/（尤）=0,那么函数y寸x）在这个区间上是一个常数函数.

（2）函数值变化快慢与导数的关系

一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时，

函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范

围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些.

常见的对应情况如下表所示.

y

L

图象Zk

J1J0XJ

5-5X

11

/(X)变化/«>0/W>o人无)<0/(x)<0

规律且越来越大且越来越小且越来越小且越来越大

函数值变函数值增加函数值增加函数值减小函数值减小

化规律得越来越快得越来越慢得越来越快得越来越慢

2.确定函数单调区间的步骤；

(1)确定函数兀r)的定义域；

⑵求子(无)；

(3)解不等式/(无)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间；

(4)解不等式/(尤)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.

3.含参函数的单调性的求解策略：

(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.

(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因

式分解，则需讨论判别式△的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.

►题型归纳

【题型1利用导数判断单调性、求单调区间】

【例1.1](23-24高二下.江苏南通•阶段练习)函数y=胃的单调增区间为()

A.(-oo,1)B.(0,1)C.(l,e)D.(l,+oo)

【解题思路】求出导数，利用导数大于。可得答案.

【解答过程】函数丫=学的定义域为(0,+8),

,,

r(lnx+l)x-(lnx+l)xl-(lnx+l)-Inx

y=---------------------------=~,

由y'>0得In%<0,解得0<%V1,

所以旷=今生的单调增区间为(0,1).

故选：B.

【例1.2](24-25高二上•全国•课后作业)已知函数/'(x)=In(cosx)+gsin2x—x,则()

A./(x)在区间(0,内单调递增

B.”久)在区间(0,小内单调递减

C./⑺在区间(0,力内单调递增，在区间(讨)内单调递减

D.f(久)在区间(0,内单调递减，在区间(%小内单调递增

【解题思路】求广0),通过在区间(0,3内/'(%)的符号判断函数的单调性即可.

【解答过程】由题意cos%>0,frM=———+cos2x—1

cosx

=-(tan%+1)+哈曜=-(tan%+1)+上呼=…(产厂

coszx+smzxl+tanzxtanzx+l

当久E(。4)时，tan%>0,则/'(%)<0,

所以/(%)在区间(04)上单调递减.

故选:B.

【变式1.1](24-25高二上•全国•课后作业)已知函数/(%)=21n%+/—a%.

(1)当a=l时，求/(%)的单调区间；

(2)若对任意0<%i<%2，都有""2)-八%。>1,求a的取值范围.

【解题思路】(1)求导，根据导数符号判断f(x)的单调区间；

(2)构建g(x)=/(%)—乃分析可知在(0,+8)单调递增，求导整理可得a+1W2x+|,利用基本不等式

运算求解.

【解答过程】(1)当@=1时，/(%)=21nx+x2—x,

可知f(X)的定义域为(0,+8),且尸(£)-1+2%-1=三W>0,

所以/(X)的单调增区间为(0,+oo),无单调减区间.

(2)因为牝>%1>0,屿2>1,

X2~X1

则/(%2)—/(Xi)>X2-%i，即/(%i)-%i<f(X2)-如

设函数g(%)=/(%)—x=2\nx+%2—(a+l)x,x>0,可知g(%)在(0,+8)单调递增.

且g'(x)=|+2x-a-l=

则g'(x)>0在(0,+8)恒成立.BP2%2-(a+1)%+2>0,可得a+1<2%+1,

又因为2%+匕2回-=4,当且仅当x=1时等号成立，

X\X

可得a+lM4,即aW3.

所以a的取值范围是(-8,3].

【变式1.2](2024•湖北黄冈•一模)已知函数/(%)=2all1%+-x2—(a+3)x,(a6R)

4

(1)若曲线y=f(x)在点(l,f(D)处的切线方程为f(久)=-x+b,求。和6的值；

(2)讨论/(久)的单调性.

【解题思路】(1)先对函数求导，结合导数的几何意义与斜率关系即可求解；

(2)结合导数与单调性关系对a的范围进行分类讨论即可求解.

【解答过程】(1)/(x)=2alnx+-xz—(a+3)x,则/''(x)=四+三%—a—3.

4x2

曲线y=f(x)在点(l,f(1))处的切线方程为f(%)=-x+b,

则尸(1)=a_|=-1,解得a=5

由/(I)=—a--——1+b,解得b=—；,

44

(2)/(x)=2alnx+-x2—(a+3)x,函数定义域为(0,+8),

4

贝『(X)=^+|x-a-3(3x-2a)(%-2)

2x

令尸(%)=0,解得X=2或X=y,

若aW0,则当工€(0,2)时，尸(x)<0,f(x)单调递减，当％e(2,+8)时，f'(x)>0,f(x)单调递增，

若0<a<3,则当久e管,2)时，尸(%)<0,/(%)单调递减，当xe(。号)和x£(2,+8)时，/㈤>0,/(%)

单调递增，

若a=3,则f'(%)20在(0,+8)上恒成立，f(x)单调递增，

若a>3,贝|J当xe9号)时，尸(X)<0,/(久)单调递减，当Xe(0,2)和%£管,+8)时，尸(X)>o,f(x)单

调递增，

综上所述，当aWO时，f(x)的单调递增区间为(2,+8),单调递减区间为(0,2),

当0<a<3时，f(x)的单调递增区间为(0,舒和(2,+8),单调递减区间为管,2),

当a=3时，f(%)的单调递增区间为(0,+8),无单调递减区间，

当a>3时，f(久)的单调递增区间为(0,2)和管,+8),单调递减区间为(2号).

【题型2由函数的单调性求参数】

【例2.1](24-25高三上•重庆沙坪坝•开学考试)已知函数/(久)=21nx-|ax2-2久在xe4)上存在单调

递增区间，则实数。的取值范围为()

A.B.(-co,-1]

C.(-OO,4)D.(-00,4]

【解题思路】将问题转化为导函数在区间(J,4)上大于零有解，分离参数结合二次函数的性质计算范围即可.

【解答过程】由题意知f'(x)=|-ax-2,问题等价于尸(x)>0在区间4)上有解，

即三一？=20一三丫一三>a有解，而无6仁,4)台工60,2),

x2x\x2/2\2/x\4/

由二次函数的性质知2(：——：€[—],4),即a<4.

故选：C.

【例2.21(24-25高三上•广东清远•阶段练习)设函数〃久)=ax+*在区间(2,3)上单调递减，则正数a的取

值范围为()

A.(0,|]B.(0,|]C.(2,3)D.[2,3]

【解题思路】利用导数求出函数的单调区间，结合题意即可求.

【解答过程】由/(%)=ax+上得尸0)=a—2=让J=M+1)(尸),

axax£axza*

因为％>0,a>0,所以a%>0,ax+1>0,

由尸(%)>0解得%>

由广(%)<。解得0VXV

所以f(x)在(o,3上单调递减，在G，+8)上单调递增，

因为函数/(x)=a*+2在区间(2,3)上单调递减，

故3<解得0<aW

a3

故选：A.

【变式2.1](24-25高三上•广东深圳•阶段练习)已知函数为f⑺=[，在R上单

(e十十jfxnJ.

调递增，则。的取值范围是()

A.[—3,-1]B.(—oo,-3]

C.[-3,+oo)D.[―1,+8)

【解题思路】利用/。)=/+。％+1在(-8,-1)上单调递增，结合导数求出a的范围，再利用分段函数是

增函数求出范围即可.

【解答过程】依题意，函数f(x)=/+收+1在(-8,-1)上单调递增，

则f'(久)=3x2+a>0对x<-1恒成立，

即VxW—1,a>-3x2,而函数y=—3/在(—8,—1]上单调递增，—3/^—3,则a2—3,

显然函数/(x)=ex+1+ln(x+2)在[-1,+8)上递增，

又函数/'(X)在R上递增，则—aWl,解得a2-1,因此a2—l,

所以实数a的取值范围是[-1,+oo).

故选：D.

【变式2.2](2024.云南大理.模拟预测)若函数/(X)=a/+cosx-1在(0,+8)为增函数，则实数a的取值

范围为()

A.[|,+°°)B.6,+8)C.[1,+co)D.(1,+8)

【解题思路】尸⑺>。对xG(0,+8)恒成立,其中((0)=0,令gO)=/⑺，则“(0)>0,从而得到a>

验证后得到答案.

【解答过程】/'(x)=2ax—sinx,由题意/'(x)>0对％G(0,+8)恒成立，

其中/1'(())=0,令g(x)=

则需g'(0)>0,其中g'(x)=2a-cosx,故2a-120=>a2(,

当a21时，g'(x)=2a—cosx21-cos*20,故/'(x)在(0,+8)上递增，

.•./(%)>尸(0)=。成立.

当a<之时，取xe(0(),易知g’(久)=2a—cos%在(0()上单调递增，

若a<0,则g'Q)=2a—cosx<0,所以((%)在(0()上递减，

故尸(工)<((0)=0,与题意不符，舍去；

若0<a<决寸，"(0)=2a—1<0,g'(^=2a>0,所以存在e(0,媒，使得“(久。)=。,

当第E(O,%o)时，grM=2a-cosx<0,所以/'(%)在(0,%。)上递减，

故尸(%)〈((0)=0,与题意不符,舍去；

综上得a>

故选：A.

【题型3函数单调性的应用】

【例3.1］(24-25高三上•广东清远•阶段练习)已知a=2eT,b=臀,c=黑，则()

Igelg8

A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.b<c<a

【解题思路】根据题意，化简得到a=詈,b=詈，构造函数f(x)=^.x>e,利用导数求得f(%)在［e,+8)

上单调递减，得到a>6,再由log86-：=喑字>0,得到a<c,即可求解.

4121n2

【解答过程】由指数塞与对数的运算法则，可得a=2=?^,b=^=ln2=^=型，

eeIge24

构造函数/(x)=¥，x2e,则/''(x)=三^<0在［e,+8)上恒成立，

所以/(%)=等在［e,+8)上单调递减，所以?>争故甲>等，即

又由c=J^=log86,而log86一?ln6_3_41n6-91n2ln6Jn29

Igo431n24-121n2121n2

其中64=1296且29=512,所以】og86—：=噜警>0，BPlog86>

因为日+2=小>1,所以2V日，所以aVc,所以c>a>b.

4e8e4

故选：c.

【例3.2](2024•海南海口•模拟预测)已知定义在[-3,3]上的函数/(久)=e*—e--2x+1,若f(机?)+

f(jn-2)<2,则m的取值范围是()

A.[-2,1]B.[-1,2]

C.[-1,V3|D.[-1,1]

【解题思路】根据g(x)=/(x)-1的奇偶性以及单调性，即可将问题转化为或小2)<贝2-m),即可求解.

【解答过程】记g(x)=ex-e~x-2x,xG[-3,3],贝!Jg(-x)=e~x-ex+2x=-g(x),

故g(x)为[-3,3]的奇函数，

又“(x)—ex+e~x—2>2Vexe-x-2=0,

因此g(x)为[-3,3]上的单调递增函数，

因为/'(%)=9(x)+1，

由f(巾2)+f(jn-2)<2可得。(巾2)+g(jn-2)+2<2,进而。(小?)<。(2-m),

故一3<m2<2-m<3,解得—1<m<1,

故选：D.

【变式3.1](24-25高三上・贵州贵阳•阶段练习)已知定义在R上的函数f(x)J(久-1)关于直线x=1对称,

当久6(0,+8)时，尸(X)>0,设a=/《/51n2),6=/(ln3),c=/(—则a,6,c的大小关系为()

A.c<a<bB.b<a<c

C.a>b>cD.a<b<c

【解题思路】由f(x-l)的对称性确定f(x)是偶函数，再结合函数单调性即可比较大小.

【解答过程】因为/(X-1)关于直线X=1对称，则/(%)是偶函数，

当x6(0,+8)时，尸(%)>0,所以函数/■(%)在(0,+8)上单调递增.

因为ln3>Ine=1,卜寸=(<L

再比较gln2和ln3的大小，构造函数g(x)=等，

则9口)=詈，令9'0)=鬻>。，得0<x<e,此时g(x)=等单调递增，

所以g⑵=^>5(V3)=曙，也即幅n2>ln3>Ine=1,

结合函数f(x)在(0,+8)上单调递增及偶函数可知a>b>c.

故选：C.

【变式3.2](24-25高三上•安徽合肥•阶段练习)定义在R上的奇函数/(x),且对任意实数x都有/(-久)-

/(|+%)=0,”2024)=£若/(久)+/(-♦)>0,则不等式/O+1)的解集是()

A.(3,+oo)B.(—8,3)C.(1,+8)D.(—8,1)

【解题思路】由/⑺是奇函数，可得/(%)是偶函数,得到f(%)+/'(%)>0,令g(x)=e"(%),得到g'(x)>0,

得出g(x)在R上单调递增，再由fl)—/停+x)=0,求得f(x)的周期为3的周期函数，根据“2024)=%

得到g(2)=e,把不等式转化为g(x+l)>g(2),结合函数的单调性，即可求解.

【解答过程】因为f(x)是奇函数，可得尸(x)是偶函数，

又因为f(x)+/(一外>0,所以f(x)+尸0)>0,

令g(x)=eXf(x),可得g<x)=|/(x)+r(x)]e*>0,所以g(x)在R上单调递增,

因为/■(—%)-/(|+%)=。且/(x)是奇函数，

可得/'(I+X)=/(-x)=-/(X),则f(x+3)=/[(|+X)+1]=-/(|+x)=/(%)>

所以f(x)的周期为3的周期函数，

因为/'(2024)=/(674x3+2)=/(2)=所以g(2)=e2x|=e,

则不等式/(久+1)>卷，即为eX+i/(x+1)>e,即g(x+l)>g(2),

又因为g(x)在R上单调递增，所以x+l>2,解得x>l,

所以不等式+1)>2的解集为(1,+8).

故选：C.

模块二一函数的极值与最值。|

►知识梳理

1.函数的极值

极值的相关概念

⑴极小值点与极小值：

如图，函数y=/(x)在点x=a处的函数值人①比它在点后。附近其他点的函数值都小，/((i)=0,而且在点

x=a附近的左侧了(无)<0,右侧/(x)>0,贝I把点。叫做函数y=/(x)的极小值点，鱼/)叫做函数y=/(x)的极小值.

(2)极大值点与极大值：

如图，函数y=/(x)在点x=6处的函数值式力比它在点x=b附近其他点的函数值都大，/(6)=0,而且在点

附近的左侧了。)>0,右侧了(无)<0,则把点方叫做函数y/x)的极大值点，八3叫做函数y=/(x)的极大值.

(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.

(1)一般地，如果在区间团,句上函数y寸尤)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值,

并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.当的图象连续不断且在团,切上单调时，其最大值和最小值

分别在两个端点处取得.

(2)函数的极值与最值的区别

①极值是对某一点附近(即局部)而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的.

②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个.

③函数八x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点.

3.利用导数求函数最值的解题策略：

(1)利用导数求函数次x)在团团上的最值的一般步骤：

①求函数在(a,b)内的极值；

②求函数在区间端点处的函数值八。)，16)；

③将函数兀0的各极值与大a),共6)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤：

求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和

极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.

►题型归纳

【题型4利用导数求函数的极值】

【例4.1](24-25高二上•全国•课后作业)函数，(久)=e'cosx(―g<久<；),贝!J()

A./(%)的极小值点为:B./(久)的极大值点为0

C./(X)的极小值点为0D./(久)的极大值点为：

【解题思路】首先利用导数求出函数的单调区间，再结合极值的概念即可得答案.

【解答过程】/'(%)=(cos%—sinx)ex=V2cos(%+；)e%,

令广0)=0,则久=?

4

当Xe(一兄)时,f'M>o,"x)单调递增；

当xe&f时，/(x)<o,y(x)单调递减，

所以;是/(久)的极大值点，无极小值点.

故选：D.

【例4.2](23-24高二下.贵州铜仁.阶段练习)已知函数/(%)=aln%+/—3%+1在％=1处取得极值，则

/(%)的极大值为()

11

A.In24—B.—In2—C.-1D.1

44

【解题思路】先求出。的值，再由导数求出单调性求解.

【解答过程】由题意知，/''(>)=W+2x-3,所以尸(l)=a+2-3=0,解得a=l,

所以尸(x)=；+2%-3=2x~^%+1(x>0),令尸(%)=0,解得x=[或％=1,

由(0)>0得，0<x<g,或x>l,

由尸(%)<0得，|<x<1,

所以八%)在(0彳)上单调递增，在上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

又雇)=呜+(丁-3X：+1=-ln2-：,

所以fO)的极大值为—ln2—

4

故选：B.

【变式4.1](24-25高三上•江苏淮安•开学考试)已知函数/(久)=[炉—等/+2a久.

⑴若a=1，求函数/(久)的极值；

⑵讨论函数f(x)的单调性.

【解题思路】(1)对f(x)求导，分析单调性，再根据极值定义即可求解；

(2)f'(x)=(x—a)(x—2),对a分a=2,a>2和a<2讨论单调性即可.

【解答过程】(1)/(%)=|%3-|%2+2x,/,(x)-(X-l)(x-2).

所以或x>2时，/(x)>0,l<x<2时，/(x)<0,

则f(x)在(1,2)上递减，在(-8,1),(2,+8)递增，

所以"%)的极小值为f(2)=极大值为f(l)=f.

36

(2)((%)=(%—a)(x—2),

当a=2时,//(%)>0,所以f(%)在(-8,+8)上递增,

当a>2时，x<2或久>a时，/'(%)>0；2<x<a时，/'(工)<0,

所以/(%)在(一8,2),(a,+8)上递增,在(2,a)上递减，

当aV2时，％Va或%>2时，((%)>0；aV%V2时，((%)V0,

所以/(%)在(-8,a),(2,+8)上递增；在(a,2)上递减.

【变式4.2](24-25高三上•山东聊城•阶段练习)已知函数f(%)=e2%—(2a+3)e%+3a%.

(1)当a=3时，求曲线y=/(%)在(0/(0))处的切线方程；

(2)求函数y=/(%)的极大值.

【解题思路】(1)求出函数的导函数，根据导数的几何意义得到切线的斜率，再由斜截式得到切线方程；

(2)求出函数的定义域与导函数，分aWO、0<a<|,a=|、a>|四种情况讨论，分别求出函数的单调

区间，即可求出函数的极大值.

【解答过程】(1)当a=3时/(久)=e?%—9e%+9%,则/(0)=—8,f\x)=2e2x—9ex+9,

所以尸(0)=2,

所以曲线y=/(%)在(0,/(0))处的切线方程为y=2%-8.

(2)函数/*(%)=e2x—(2a+3)ex+3a%的定义域为R,且/'(%)=2e2x—(2a+3)2+3a=(2ex—3)(ex—

a),

当a<0时e*—a>0恒成立，所以当u<ln|时/(%)<0,当%>ln|时广(%)>0,

所以/(%)在(-8/n|)上单调递减，在(ln|,+8)上单调递增，

则/(%)在％=ln|处取得极小值，不存在极大值；

当0<a<|时，令尸(%)=0,解得％=Ina或％=ln|,

所以当％<Ina或%>ln|时广(%)>0,当Ina<x<In|时尸(%)<0,

所以/(%)在(一8/na),(in|,+8)上单调递增,在(ina,In|)上单调递减，

则f(%)在％=Ina处取得极大值，在％=In|处取得极小值，

所以/(%)的极大值为/(Ina)=-a2-3a+3alna；

当a=|时尸(久)=(2ex—3)(e*—0>0恒成立，所以/(%)在R上单调递增，

则/(久)不存在极大值；

当a>|时，令尸(%)=0,解得％=Ina或％=ln|,

所以当％<ln|或％>Ina时广(%)>0,当ln|<x<Ina时尸(%)<0,

所以/(%)在(一81口|),(Ina,+8)上单调递增，在(ln|』na)上单调递减，

则/(%)在％=In|处取得极大值，在久=Ina处取得极小值，

所以/(%)的极大值为/(in|)=-；一3Q+3aln|；

综上所述，当a<0或a=制/(%)不存在极大值；

当0<a<|时/(%)的极大值为—小—3a+3alna；

当a>决寸f(%)的极大值为一g-3a+3aln|.

【题型5根据极值(点)求参数】

【例5.1]⑵-24高三上•广东潮州•期末)若函数/(%)=卜2一Q%+In%在(0,2)上有极值，则实数Q的取值

范围是()

A.[2,|]B.(2,|]C.[2,+8)D.(2,+8)

【解题思路】由题意可得尸(K)=%-a+：在(0,2)上有零点，即@=%+：在(0,2)上有实数根，利用基本不等

式求出g(%)=1W(0,2)的最小值，可得a22,再验证a=2是否满足即可.

【解答过程】/(%)=1%2一a%+In%的定义域为{%|冗>0},/'(%)=%-a+p

要函数/(%)=-ax+In%在(0,2)上有极值，

则:(%)=%-a+：在(0,2)上有零点，即a=%+：在(0,2)上有实数根.

令g(x)=x+1,x6(0,2),

则g(%)=%+：22Jx,：=2,当且仅当久=1时等号成立，

所以a>2.

当a=2时，/(%)=%-a+：=%+：-2N0,函数/(%)单调递增，

则函数/(%)=|%2-ax+Inx在(0,2)上没有极值，

故a>2.

故选:D.

【例5.2］(23-24高三上•山东青岛.阶段练习)已知函数/(%)=［短—哈在其定义域(0,+8)内既有极大值

也有极小值，则实数a的取值范围是()

A.(0,1)U(l,ei)B.(0,1)C.+8)D.(1,蓝)

【解题思路】将问题转化为方程/-产=0在(0,+8)有两个不相等实根，即Ina=等有两个不同的交点，

令9«=等，利用数形结合法求解.

【解答过程］解：/(%)=i%3-高，贝叶'0)=/_a"

要使函数/㈤=泮-高在其定义域(0,+8)内既有极大值也有极小值，

只需方程/一a*=0在(0,+8)有两个不相等实根.

即lna=—C令g(x)=等，则“(%)=过泻.

当久G(0,e),g'(X)>0,

当久C(e,+8),gf(x)<0,

g(%)在(0,e)递增,在(e,+8)递减，当%>e,g(x)>0,

g(e)=j>

其图象如下:

故选：D.

【变式5.1](24-25高三上•甘肃兰州•阶段练习)已知函数/(久)=e，—ax—a.

(1)当a=0时，求曲线过原点的切线方程；

⑵若/(©有极小值，且极小值小于0,求a的取值范围.

【解题思路】(1)把a=0代入，设出切点坐标，求出函数/(%)的导数，利用导数的几何意义求出切线方程,

再根据切线过的点求得答案.

(2)求导，按aS0和a>0分类讨论，并求出极小值，再建立不等式求解即得.

【解答过程】(1)当a=0时，/(x)=ex,求导得尸(x)=e，设切点坐标为(t,/),则尸(t)=e*,

于是得切线方程为y—et=et(%—t),而切线过原点，贝=et(0-t),解得t=1,

所以所求切线方程为y-e=e(x-1),即丫=ex.

(2)函数/'(x)的定义域为R,且尸(X)=e*-a,

当aW0时，/。)>0恒成立，即函数/(%)在R上单调递增，无极值，不合题意；

当a>0时，由/''(X)<0,解得x<Ina；由/'(x)>0,解得久>Ina,

函数/'(x)在(-8,Ina)上单调递减，在(Ina,+8)上单调递增，

当x-Ina时，取得极小值/(Ina)-a—alna—a——a\na,

依题意，-alna<0,则Ina>0,解得a>1,

所以。的取值范围为a>L

【变式5.2](24-25高三上•湖南长沙•阶段练习)已知函数/(X)=a*logaX(a>0,且aKl).

(1)当a=e时,证明：f(x)为增函数；

(2)若/Q)存在两个极值点的，x2.

Ci)求a的取值范围；

(ii)设/(%)的极大值为M,求M的取值范围.

【解题思路】(1)利用导数证得/(%)为增函数.

(2)(i)先换元设。=才«工0),然后利用多次求导的方法，对t进行分类讨论，根据极值点个数来求得a的

取值范围.

(ii)根据(i),通过换元以及构造函数，结合导数来求得M的取值范围.

【解答过程】(1)依题意f(%)=e%lnx,尸(%)=e%(in%+：),

设p(%)=Inx+I，则p，(%)=§-专=

当0<%<l时，p(%)单调递减，当久>1时，p(%)单调递增，

故p(%)>p(l)=1>0,即/(%)>0,/(%)单调递增.

(2)(i)设a=6£;(100),则f(%)=垃1口汽，

则/(%)=etxlnx+*=:(%ln%+

设g(%)=x\nx,则g'(%)=1+Inx,即g(%)在(0,》上单减，在g,+8)上单增，

当tv0时，令g(x)=.,由g(l)=0,且g(x)在(1,+8)上单调递增，

故9(%)=-十仅有一个零点%0，不符合题意；

当1>0时，g(X)c

①当tWe时，则一(<一%此时9(%)之一：，>0,/(%)单调递增，不符合题意；

②当t>e时，则一，〈一，<0,此时g(%)=-，存在两个零点%1<汽2，

z

当久E(0,%i)时g(%)>f(x)>0；当％E(%L%2)时，g(%)v—5/'(%)<0;

当久e(%2,+8)时，g(%)>-p尸(N)>0,/(')存在两个极值点，符合题意.

综上可知，ae(ee,+oo).

(ii)由(i)可知M=/(%i),且%iE(0,，，满足=

i__

tX12lnx

故M=f(%1)=-e\nx1=-x1(lnx1)ei,

设丁=-In%1G(l,+8),则M=-er-rr2=-e21nr-r+r,

设h(r)=21nr-r+1,则〃(r)=|-1-±=-M!<0,

故h(r)单调递减,且八(1)=0,则/i(r)€(-8,0),

即M=-e21nr-r+lG(-1,0).

【题型6利用导数求函数的最值】

【例6.1](24-25高二上•全国•课后作业)函数/(久)=9—21nx+2x的最小值为()

A.0B.1C.2-21n2D.e+2

【解题思路】利用导数判断出函数的单调性即可得解.

【解答过程】“X)的定义域为(0,+8),尸(无)=号爪—：+2=(XT)；；+2X),

所以当％6(0,1)时，f'(x)<0,f(x)单调递减;

当xe(l,+8)时，/(x)>o,f(x)单调递增，

所以“X)的最小值为八1)=e+2.

故选：D.

【例6.2](23-24高二下咛夏吴忠•期中)函数人%)=/+。/+3%,已知/(x)在x=—3时取得极值，则

x6[-4,一1]上的最大值为()

A.-9B.1C.9D.4

【解题思路】利用r(-3)=0,求得a,代入利用导数求得函数的单调性，结合函数的单调性，即可求解函

数的最值.

【解答过程】因为函数/O)=婷+ax2+3x,

所以/(%)=3x2+2ax+3,

因为/(%)在％=-3时取得极值，

所以((-3)=3x(-3)2+2a(-3)+3=0,解得a=5,

所以/(%)=%3+5x2+3x,x6[-4,-1],

/'(%)=3x2+10%+3=(3%+1)(%+3),

令尸(%)=0,则(3x+l)(x+3)=0,解得x=-3或x=(舍)，

当一4<x<-3时，f'(%)>0,

当一3<x<-1时，f，(x)<0,

所以f(x)在[-4,-3)上单调递增，在[-3,-1]上单调递减，

所以当x=—3时取得最大值为/(—3)=(—3>+5x(—3>+3x(-3)=9.

故选：C.

【变式6.1](24-25高三上•广东揭阳•阶段练习)已知函数/(X)=:尤3-4比+Q

(1)求函数人久)在点(3,/(3))处的切线方程；

⑵求函数/(久)在[0,3]上的最大值与最小值.

【解题思路】(1)根据导数的几何意义求解即可；

(2)先利用导数分析函数f(x)的单调性，进而求解即可.

【解答过程】(1)由/'(x)=]炉一4x+4,得/''(X)=-4,

所以尸(3)=5,又*3)=1,

所以函数/G)在(3,f(3))处的切线方程为：y-l=5(x—3),即5x—y—14=0.

(2)由/(%)=——4,令/''(X)=产一4>0,解得“<—2或久>2,

令尸(x)=%2-4<0,解得一2<x<2,

所以/(x)在(0,2)上单调递减，在(2,3)上单调递增，

所以当久=2时，f(x)最小，且最小值为〃2)=-$

因为"0)=4,/(3)=1,故最大值为f(0)=4.

【变式6.2](24-25高三上•广西贵港•开学考试)已知函数/(久)=e2x—(a+6)x+2,且曲线y=/(x)在点

(0,/(0))处的切线斜率为2-2a.

⑴比较a和b的大小；

(2)讨论/(久)的单调性；

(3)若f(x)有最小值，且最小值为g(a),求g(a)的最大值.

【解题思路】(1)根据导数意义列方程即可求解；

(2)求导，分aW0和a>0讨论导数符号即可得解；

(3)利用(2)中结论表示出最小值，然后利用导数求最值即可.

【解答过程】(1)/'(%)=2e2*-(a+b),由题知/'(0)=2-(a+b)=2-2a,

整理得a=b.

(2)由(1)知，/z(x)=2e2x—2a,

当aWO时，/。)>0恒成立，此时f(x)在R上单调递增；

当a>0时，令=2e2x-2a=0,解得x=|lna,

当x<[lna时，/''(%)<0,当久>(lna时，f'[x)>0,

所以/'(X)在(-8,[lna)上单调递减，在(?na,+8)上单调递增.

综上，当aWO时，f(x)在R上单调递增；

当a>0时，在(-8，lna)上单调递减，在(^山。,+8)上单调递增.

(3)由(2)知，当aWO时，f(x)无最小值，

当a>0时，/(X)在x=(lna处取得最小值，所以g(a)=elna—alna+2—a—alna+2,

记g(x)=x—x\nx+2,x>0,则g'(x)=—Inx,

当0<x<1时，g'(x)>0,当x>1时，g'(x)<0,

所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)单调递减，

所以当x=1时，g(x)取得最大值g(l)=1—0+2=3,

即g(a)的最大值为3.

【题型7已知函数最值求参数】

【例7.1](24-25高三上•湖南•开学考试)已知函数/(x)=3/-21nx+(a-l)x+3在区间(1,2)上有最小

值，则实数a的取值范围是()

49

A.u>—3B.-----Va<-10

3

49

C.-----Va<-3D.-10Va<-3

3

【解题思路】求出函数/(X)的导数尸(X),再求出广在区间(1,2)上有变号零点且在零点两侧的函数值左负

右正的a值范围.

2

【解答过程】函数/'(x)=3x-21nx+(a-l)x+3,求导得/''(x)=6x-|+a-l=+(?i)”2,

由/(%)=3x2-21nx+(a-l)x+3在区间(1,2)上有最小值,

得/'(久)在区间(1,2)上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，

令九(x)=6/+9-l)x-2,九(0)=-2<0,则h(x)在区间(1,2)上有变号零点且在零点两侧的函数值左负

右正，

'A=(a-l)2+4x6x2>0

因止匕/i(l)=6+a—1—2<0,解得一10Va<-3,

凤2)=6x4+2(a-l)-2>0

所以实数。的取值范围是一10<a<-3.

故选：D.

【例7.2](23-24高二下•河北唐山•期末)已知函数f(x)=之/一4刀+4在[0,a]上的最大值为4,则实数“

的取值范围为()

A.(0,1]B.(0,V3]C.(0,2]D.(0,2V3]

【解题思路】先求导可得/''(x)=X2-4,可求得/(x)=|x3-4x+4的极值点，同时确认f(x)=|%3-4%+

4在各个区间的单调性，即可求得.

【解答过程】由题意知尸0)=/—4,令尸(x)=0,得久=—2或x=2,

在(-8,-2)和(2,+8)上尸(%)>0,所以/(乃在(一8,-2)和(2,+8)单调递增，

在(—2,2)上/(%)<0,所以/(%)在(一2,2)单调递减，

令/(x)=4求得x=-2V3,x=0或x=2A/3,

又因f(x)=：尢3-4%+4在[0,团上的最大值为4,故舍弃x=—2遮，

又/(X)在[0,2)上单调递减，所以在[0,2)上篇axCO=/(0)=4,

/(%)在(2,+8)单调递增,所以当x>2遥时，/(X)>4,

所以。的取值范围为(0,28],

故选：D.

【变式7.1](24-25高二上•全国•课后作业)已知函数/(x)=e1x+ax,g(x)=Inx+2.

(1)当a=e时，证明：f(x)>0；

(2)若函数/(久)和。(久)有相同的最小值，求a.

【解题思路】(1)利用导数工具研究函数八%)的单调性，进而得函数f(x)min=/(—1)=0即可得证；

(2)利用导数分别求出函数/(%)和g(x)的单调性，进而得f0)min和9(X)min，令/'(%)min=9(X)min得1na-

宗=0,构造函数/i(a)=Ina-妥,a>0,再利用导数求出/i(a)在区间(0,+8)上是单调递增的且%(1)=0

即可得解.

【解答过程】(1)当a=e时，f'(x)=-e~x+e,

令尸(x)<0,得x<—1,令/(x)>0,得x>—1,

所以/(X)在区间(—8,—1)内单调递减，在区间(—1,+8)内单调递增，

所以『0)有最小值f(-l)=e-e=0,所以当a=e时，/(%)>0.

(2)由题r(x)=-e-x+a,xeR,因为y=为减函数，所以/''(x)为增函数，

当a40时,厂(%)<0,f(%)单调递减，故/'(")无最小值,不符合；

当a>0时，令/''(X)=0得x=—Ina,

所以当%6(-8,—Ina)时,/1'(%)<0"(x)单调递减;

当％E(—Ina,+8)时，>OJO)单调递增,

故f(%)min=/(—lna)=a—alna.

又g'(%)=x-x2=~x^~(%>。)，令g'(%)=。得％=a,

所以当%e(0,a)时，g'(x)<0,g(%)单调递减,

当%e(a,+8)时,“(%)>0,g(%)单调递增,

故g(%)min=g(a)=Ina+1，

因为/(%)和9(%)有相同的最小值，所以/(-Ina)=g(a),即a-alna=Ina+1,

整理得Ina---=0,设函数/i(a)=Ina---,a>0,

1(a+l)-(a-l)12+1

则本⑷=>0,

a(a+1)2a(a+1)2a(fa+l)2

所以h(a)在区间(0,+8)内单调递增，又h(l)=0,

所以a=1是函数h(a)的唯一零点，即为方程Ina—窜=。的唯一实根a=1,

综上所述，a=1.

【变式7.2](24-25高三上•海南•开学考试)设函数f(x)=Inx-ax(aeR).

⑴讨论函数f(x)的单调性；

(2)当函数/(久)有最大值，且最大值小于a-2时，求a的取值范围.

【解题思路】(1)求定义域，求导，对参数进行分类讨论即可；

(2)由(1)知a的初步范围，求得最大值，利用导数解不等式即可.

【解答过程】(1)由/'(£)=Inx-ax,知尸(x)=：-a,定义域为(0,+8),

当aWO时，f'(x)>0恒成立，所以/(x)在(0,+8)上单调递增；

当a>0时，令尸(x)>0,则0<x在(0,，)上单调递增;

令尸0)<0,则x>Xx)在G，+8)上单调递减；

综上所述，当aWO时，f(x)在(0,+8)上单调递增；

当a>0时，/(X)在(0,£)上单调递增，在6,+8)上单调递减.

(2)由(1)知，若f(x)有最大值，则a>0,且/(x)max=/(£)=Tna-1,

因为f(x)的最大值小于a-2,

所以一Ina—1Va—2')即a+Ina-1>0,

设g(a)=a+Ina-1,问题转化为解不等式g(a)>0,

因为g'(a)=1+1>0恒成立，所以g(a)在(0,+8)上单调递增,

又g(l)=0,所以g(a)>0=g(l),所以a>l,

故a的取值范围为(1,+8).

〉课后提隔(19题)

一、单选题

1.(24-25高二上•全国•课后作业)函数f(x)=lnx+子的单调增区间为()

A.(0,1)B.(0,e)C.(l,+oo)D.(e,