函数的奇偶性、周期性、对称性-2024年高考数学重难点题型突破

重难点专题01函数的奇偶性、周期性、对称性

dan

题型1利用函数性质解不等式.........................................................1

题型2利用奇偶性、周期性对称性求值................................................7

题型3构造奇偶函数求函数值........................................................11

题型4对称性、奇偶性的运用........................................................14

♦类型1对称轴................................................................15

♦类型2中心对称+轴对称构造周期性............................................18

♦类型3“类”周期函数........................................................24

♦类型4对称性解决恒成立......................................................28

题型5三角函数中的对称性问题......................................................33

题型6复杂奇函数问题...............................................................37

题型7函数的旋转问题..............................................................41

题型8两个函数的对称问题..........................................................45

题型1利用函数性质解不等式

f（X1）-f（x2）

1、对于任意乂1多（-8,0]01wx2）,均有-＜。成立，注意功能用来判断函数的

£Xl-X2

单调性（有具体函数时，直接求导可求单调性）;

2、解不等式常涉及到奇偶性，注意配图解不等式

3、涉及到偶函数时：如果口朝上：谁离对称轴。=0）远，谁的函数值就大；如果口朝下:

谁离对称轴0=0）远，谁的函数值就小.

x

【例题1]（2023•江西宜春•校联考模拟预测）已知函数益+2）=log3（3+3"），若f（a-l）

2f（2a+1）成立，则实数a的取值范围为（）

A.（—oo,-2]B.[—2,J

C.（-8,-2]u[0,+8）D.（一8，-2]u[：,+8）

【答案】B

x

【分析】设g（x）=f（x+2）=log3（3+3一町，则可得g（x）为偶函数，且在［0,+8）单调递

增，所以f（x）的图象关于直线x=2对称，在口，+8）单调递增，则将7a-1）2f（2a+1）转

化为性-1-21212a+1-2］,从而可求出实数a的取值范围.

x

【详解】设9依）=改+2）=log3（3+3-x）,

因为g（-x）=iog3（3-x+3x）=g（x）,

所以g（x）为偶函数，

所以f（x+2）的图象关于直线x=0对称，

所以f（x）的图象关于直线x=2对称，

设丫=3'+3-',则y=3xln3-3-xln3=（3x-3-x）ln3,

令y>o,则3x-3-x>o,得x>0,

所以y=3X+3-x在（0,+8）上递增，

因为函数y=logs*在定义域上单调递增，

所以g（x）在［0,+8）单调递增，

所以f（x）在［2,+8）单调递增，

因为2f（2a+1）,

所以|a—1—2|2|2a+1-21,

所以9一3）223-1）2,化简得9+2）曲一4尸0,解得一2waJ

所以实数a的取值范围为［-2,9，

故选：B

【点睛】关键点点睛：解题的关键是根据已知条件判断出曲）的图象关于直线x=2对称，

在［2,+8）单调递增，从而可求解不等式.

【变式1-1】1.（2023•湖南常德•常德市一中校考模拟预测）定义在R上的可导函数f（x）

满足f（x）—f（-x）=x（ex+e-x）,且在（0,+8）上有f（X）+9<。若实数a满足%2a）—,

（a+2）-2ae-2a+ae-a-2+2e-a-2>0,贝Ja的取值范围为（）

22

A.[—3,2]B.[2,+8）C.8,—③]u[2,+8）D.（—oo,2]

【答案】A

【分析】根据已知条件构造函数g（x）,利用偶函数的定义及导数法的正负与函数的单调性的

关系，结合偶函数的性质及函数的单调性即可求解.

【详解】由'（x）—f（-x）=x（ex+e-x）,得f（x）—3=f（-x厂尹.

令g（x）=f（x）■■爵则g（x）=g（-X）,即g（x）为偶函数.

又X6（0,+8）时，g（x）=f（X）+—<0.

所以g（x）在（0,+8）上单调递减.

f-f-2a2aa-a-2-a-2

S（2a）（a+2）e-+e+2e>0,彳导f（2a）_,Nf（a+2）一受，gp9

（2a）>g（a+2）.

又g（x）为偶函数，

所以g（2a|）2g（a+2|）,

2

422

所以|2a|W|a+2|,BPa<a4-4a+4,解得一

2

所以a的取值范围为[一3,2].

故选：A.

【点睛】关键点睛：解决此题的关键是构造函数g（x）,利用偶函数定义和导数法求出函数的

单调性，再利用偶函数和单调性即可解决抽象不等式.

【变式1-1】2.（2023・全国•高三专题练习）设函数f（x）=sin（x—l）+eXT-eir-x+4,

则满足反x）+f（3—2x）<6的x的取值范围是（）

A.（3,+8）B.（1,+oo）C.（-oo,3）D.

【答案】B

sinx

【分析】构造g（x）=+ex—e-x—x,xGR,发现g（x）为奇函数，然后%x）是g（x）向右平

移1个单位长度，向上平移3个单位长度，可得依）的对称中心为（1,3）,能得到6=f（x）+f

（2-x）,通过求导可发现f（x）在R上单调递增，继而求解不等式

【详解】解：假设g（x）=sinx+ex—e-x—x,x6R,

所以9（一x）=sin（-x）+e-x_ex+x,所以g（x）+ff（-x）=0,

所以g（x）为奇函数，

而f（x）=sin（x-l）+ex-1-e1-x-（x-l）+3是g（x）向右平移1个单位长度，向上平移3个

单位长度，所以%x）的对称中心为（1,3）,所以6=f（x）+f（2—x）,

由f（x）=sin（x-l）+ex-1_e1_x_x+4求导得f⑸=cos（x-l）+ex-1+e1-x-1=

ex-1+#r+cos（x-l）-l

因为eXT+AN2jexT.尹=2,当且仅当eXT=尹即x=1,取等号，

所以f'（X）>0,所以f（x）在R上单调递增，

因为f（x）+f（3-2x）<6=f（x）+f（2-x）^（3-2x）<f（2-x）

所以3-2X<2-X,解得X>1,

故选：B

【变式1-1]3.（2023・湖北武汉•统考模拟预测）已知函数曲）=eXT+e1-x+x2-2x,

若不等式f（2-ax）</2+3）对任意xGR恒成立，则实数a的取值可能是（）

3

A.-4B--c.V2D.V?

【答案】BC

【分析】令t=xT,得到g（t）=et+eT+t2T,推得g（t）为偶函数，得到依）的图象关

于x=l对称，再利用导数求得当x>1时，f（x）单调递增，当X<1时，f（X）单调递减，把不

等式转化为|1-2乂|<乂2+2恒成立，结合二次函数的性质，即可求解.

【详解】由函数f（x）=ex-1+e1-x+x2-2x,

令t=x-l,财c=t+i,可得gO；）=et+eT+t2T,

可得g（-t）=e-t+e[+（-t）2T=e^e^+t2-1=g（t）,

所以g（t）为偶函数，即函数%x）的图象关于x=1对称，

tt

又由g⑴=e「eT+2t,令叩⑴=g（t）=e-e-+2t（

可得ip'⑴=et+e-t+2>0,所以卬⑴为单调递增函数，且中（0）=°,

当t>0时，g'（t）>0,g（t）单调递增，即x>l时，f（x）单调递增；

当t<0时，g'（t）<0,g（t）单调递减，即x<l时，依）单调递减，

由不等式f（2-ax）<£在2+3）,可得|2-ax—l|<牍2+3-1|,BP|l-ax|<x2+2

2

所以不等式|l—ax|<x+2恒成立，即一x?-2<ax-l<x2+2恒成立，

所以I的解集为应所以a?-4<。且（_a）2T2<0,

解得-2<a<2,结合选项，可得BC适合.

故选：BC.

【点睛】关键点睛：本题的关键是利用换元法设t=xT,从而得到g（t）=et+e-t+t2

T,证明其为偶函数，贝憎到气）的图象关于x=1对称，再结合其单调性即可得到不等式

组,解出即可.

【变式1-1】4.（2021•广西•广西师范大学附属外国语学校校考模拟预测）设f（x）是定义在R

上的偶函数，且当x>0时，f（x）=a*（a>1）.若对任意的xe[Ob+1],均有f（x+b）之f2

（X）,则实数b的最大值是（）

A.B.C.0D.1

【答案】B

【解析】利用指数的运算性质易得x20时f2（x）=f（2x）,进而根据偶函数的性质和函数在

x2。上的单调性，将不等式很成立问题转化lx+bl22x对任意的xe[0内+口恒成立，若

x+b20,易于得出矛盾，在b+x<0时利用不等式恒成立的意义不难求得b的最大值.

【详解】当xe[0力+1]时,F（x）=（aX）2=a2x=f（2x），

若对任意的xc[0R+1],均有£的+切2£2（幻即为**+13）2£（2幻，

由于a>1,当x>0时，f（x）=a*为单调递增函数，

又•.•函数f（x）为偶函数，

；,f（x+b）2f（2x）等价于图+切2|2x|,gp|x+b|>2x（--xG[O,b+1]）,

b

由区间的定义可知b>一1,若x+>0,于是x+b>2x^3>x；

由于x的最大值为b+1,故b2x显然不可能恒成立；

...b+x<0,...x+b<_2x,即x<-Ib.-b+1<―>,即b<

故b的最大值为V，

故选：B.

【点睛】本题考查不等式恒成立问题，涉及指数函数，函数的奇偶性，分类讨论思想，关键

是x>0时f2（x）=%2x），化归为f（x+b）nf（2x）,再利用偶函数和单调性转化为国+bl>2

x对任意的xe[0,b+”恒成立，注意对x+b的符号的分类讨论.

【变式1-1】5.（2020•湖南邵阳•统考三模）已知函数九口是定义在R的偶函数，且在区间

[°，+8）上单调递减，若实数a满足f（log3a）+f（i°g1a）22f（D,则实数a的取值范围

是.

【答案】七,3]

【分析】先利用偶函数的性质将不等式化简为£（11。93可）2*1）,再利用函数在1°，+8）上

的单调性即可转化为llogsalW1,然后求得a的范围.

【详解】因为3)为R上偶函数，则改)=f(—x)=f(|x|),

a=aa

所以f(logia)=log3)^log3)=^llog3^,

aaa

所以*10932)+fQogi)=2f(llog3D>2f⑴，gpf(llog3l)>f⑴，

因为f(x)为[0,+8)上的减函数，kg3a>°」>0,所以hog3al<1,

^t-l<log3a<1,所以建a33,a的范围为0,3]

【点睛】1.函数值不等式的求法：(1)利用函数的奇偶性、特殊点函数值等性质将函数值不

等式转化为f(xj与f&2)大小比较的形式：f(xj>f&2)；

(2)利用函数单调性将f(xJ>f(X2)转化为自变量大小比较的形式，再求解不等式即可.

2.偶函数的性质:f(x)=f(-x)=f(|x|).奇函数性质：-f(x)=f(-X).

3.若f(x)在D上为增函数，对于任意X/XzCD,都有X]<乂20取1)<f&2)；

若f(x)在D上为减函数，对于任意X/X2eD,都有X]<X2=f(xJ>f&2).

题型2利用奇偶性、周期性对称性求值

31型重点

函数周期性的常用结论与技巧

设函数丫=*x),xeR,a>0.

①若f(x+a)=f(x-a),则函数的周期T=2a；

②若f(x+a)=—f(x),则函数的周期T=2a；

③若f(x+a)=/,则函数的周期T=2a；

④若f(x+a)=-2_z则函数的周期T=2a；

⑤f(x+a)=f(x+b),则函数的周期T=|a—b|

【例题2】(2022•全国•高三阶段练习)已知函数f(x)&(x)是定义在R上的偶函数,

g(3)=2,若对任意xGR,都有f(x+6)=f(x)+f(3),对任意m,nGR且m+n=4,者口

有g(m)=g(n),贝门(99)+g(99)=.

【答案】2

【分析】根据给定条件，探讨函数f(x)，g(x)的周期性，再利用性质计算作答.

【详解】因函数f(x)是R上的偶函数，且任意xeR,都有f(x+6)=f(x)+f(3),

则当x=-3时，f(3)=f(—3)+f(3)=2f(3),即f(3)=。，有f(x+6)=f(x),

则f(x)是以6为周期的周期函数，f(99)=f(16x6+3)=f(3)=0,

又函数g(x)是R上的偶函数，且任意m,neR且m+n=4,都有g(m)=g(n),

则对VxeR,g(x)=g(4-x)=g(x-4),函数g(x)是以4为周期的周期函数，

g(99)=g(24x4+3)=g(3)=2,所以f(99)+g(99)=2

故答案为：2

【变式2-1】1.(2023•全国•高三专题练习)已知定义域为R的函数qx)存在导函数f'(X),

且满足f(-x)=f(xyf(4-x)=f(-x),则曲线丫=qx)在点(2022,f(2022))处的切线方程可

能是()

A.y=xB,y=0c,y=x+1D,y=-x+I

【答案】B

【分析】利用f(x)是偶函数、周期为4,得f(x)关于x=2对称，x=2°22是f(x)的对称轴,

即x=2022是f(x)的极值点，从而f'(2022)=0,可得答案.

【详解】f(X)的定义域为R,由f(一X)=f(X)可知，f(X)是偶函数，

由f(4一x)=f(-x)可知，f(x)周期为4,

因为f(x)=f(-x)=f(4-x),故f(x)关于x=2轴对称，

又因为2022=2+505x4,所以x=2°22也是f0）的对称轴，

因为f（x）在R上存在导函数f'（X）,

所以x=2022是f（x）的极值点，

即f'（2022）=0,曲线y=f（x）在点（2022,f（2022））处的切线斜率为0,

故切线方程可能为y=°.

故选：B.

【变式2-1】2.侈选）（2022•山东潍坊七中高三阶段练习）设函数y=%x）的定义域为R,

且满足f（1+x）=f（l-x）,f（x—2）+f（-x）=0,当xe时，f（x）=-|x|+1,则下列

说法正确的是（）

A.y=f（x+1）是偶函数B.y=%x+3）为奇函数

ridn『2023

c.函数y=f（x）—ig|x|有10个不同的零点D.2^］f（k）=i

【答案】ABC

【分析】根据函数关系式可推导得到%x）关于直线x=1和点（—1,0）对称，且周期为8;令

g（x）=f（x+1）,“（X）=f（x+3）=-f（x-l）,由奇偶性定义可得g（xyh（x）的奇偶性，知

AB正确；作出f（x）和y=w四的图象，根据图象可得两函数交点个数，进而确定函数零点

2023

f（k）=-l,知D错误.

Zki

［详解］"f（l+x）=f（l-x）,•1-f（2+x）=f（-x）,且f（x）关于直线x=1对称；

又f（x-2）4-f（-x）=0,•<-f（x+2）=-f（x-2）,且%x）关于（一1,0）中心对称；

•••f（x+4）=-f（x）,•••f（x+8）=~f（x+4）=f（x）,

则f（x）是周期为8的周期函数；

对于A,令g（x）=f（x+1）,则g（-x）=f（-x+1）=f（i+X）=g（x）,

.•・f（x+1）为偶函数，A正确；

对于B,令"（X）=f（x+3）=-f（x-l）,贝m（-x）=~f（-x-l）=-f（2+（x+1））=-f

（x+3）=-h（x）,

••・f(x+3)为奇函数，B正确;

对于c,作出f(x)和y=ig|x冏图象如下图所示,

由图象可知：%x)与丫=❷凶共有i0个不同的交点,

则y=f(x)—ig|x|有i0个不同的零点，c正确;

对于D,f（l）+f（2）+-­•+f（8）=°,

2023

Zk]f（k）=253Xf（2）+”.+f（8）「t（2024）=。-f（8）=-1,D错误.

故选：ABC.

【变式2-1】3.(2023•浙江温州•模拟预测)定义在R上的函数宣均满足

f(x+l)+f(x-l)=f(2022)(f(-2x+l)=f(2x+5)(若()=；则

f（2022）=

【答案］0-50

【分析】依题意可得f(x+4)=*x),即可得到f(x)是以4为周期的周期函数，再由

f(—2x+1)=f(2x+5)(可得f(2)=f(4)=f(0),即可求出,2022),从而得到

f(x+1)+f(x-l)=°且f(x+1)=再根据%)=：即可求出唱)，嗡，｛；),

最后利用并项求和法计算可得.

【详解】解：因为f(x+1)+f(x-l)=f(2022),所以f(x+2)+f(x)=f(2022),

所以+4)+f(x+2)=f(2022),则依+4)=f(x),

所以f(x)是以4为周期的周期函数，

所以f(2022)=f(2),又f(—2x+l)=f(2x+5),所以%)=4马=f(0),

又*2)+f(0)=f(2022),所以,2022)=。，

即f(x+1)+f(x-l)=0且f(x+1)=f(l-X),

由f©=;,所以©=;,,)=

1100,]111

所以Zk]kt(k_2)=2(1+2-3-4)+7(5+6-7-8)+…+2(97+98-99-100)

1

=2x(—4)x25=—50.

故答案为：°；一5°

上的最大值和最小值分别为M、m,则M+m=（）

A.8B.6C.4D.2

【答案】A

【分析】设g（x）=ln（x+J7T『）+；x——8,8],证明函数g（x）为奇函数，则有g（x）max

+g（X）min=°，从而可得出答案.

[详解]解：设g(x)=ln(x+Ji+x2)+；Xe[_8,8],

]

因为g（-X）=1n（—x+Ji+x2）V=ln（x+^^）V=-g（x）,

所以函数g（x）为奇函数，

所以g（X）max+g（X）min=°，

所以f（X）max+*X）min=M（X）max+4]+[9（X）min+4]=8-

所以M+m=8

故选：A.

【变式3-1】1.（2023•全国•高三专题练习）已知函数f（x）=ax3+bsinx+3,若f3）

=1,则f（一m）=（）

A.TB.2C.5D.7

【答案】C

【分析】令3利用函数奇偶性计算作答.

g（x）=ax+bsinx,

【详解】设仔）=悯-

93=ax3+bsinx（

则g（-x）=a（-x）3+bsin（_x）=-ax3-t）sinx=-9（x）,即函数9（x）是奇函数，

f（x）=g（x）+3,则f（m）+f（-m）=g（m）+3+g（-m）+3=6,而f（m）=1

所以*_m）=5.

故选：C

【变式3-1】2.（2022・河南•高三阶段练习（理））已知函数f（x）="喀+bsinx+3,若

f（m）=1,则f（一m）=（）

A.TB.2C.5D.7

【答案】C

【分析】设g（x）=f（x）-3=aln1W+bsinx,再利用函数的奇偶性求解即可

【详解】设g（x）=f（x）-3=al嘿+bsinx,

则g（-x）=aln[x[]+bsin（-x）=-aln_i_-bsinx=一g（x）,

f

故f（—x）-3=-[f（x）-3],即f（—x）-3=-（x）+3,

所以f（一x）+f（x）=6.

故f（-m）+f（m）=6,

因为f（m）=1,所以f（-m）=6-1=5.

故选：C

【变式3-1】3.（2022•河南省淮阳中学高三阶段练习（文））已知函数

（x+*）-3,则%x）在上的最大值与最小值之和为.

【答案】-6

【分析】把依）的图象向上平移3个单位长度，可得函数g（x）=-31T-l）cosx的图象，

可证得g（x）为奇函数，在[-凡用上g（x）的最大值与最小值之和为0,从而得出答案.

【详解】由题意，得依）=（4—l）sin（x+^）-3=—（言—i）cosx-3,

把%x）的图象向上平移3个单位长度，可得函数g（x）=一3，一l）cosx的图象

当xe[_n,n]时,g（一X）=-（产厂1产，（一X）=（西厂l）cosx=-g⑸,即g（x）为奇

函数，

则在[一凡用上g（x）的最大值与最小值之和为o,

故f（x）在[-n,n]上的最大值与最小值之和为一6.

故答案为：一6.

【变式3-1】4.（2022•江西•贵溪市实验中学高三阶段练习（文））已知函数f（x）=aE

（Jx2+1—x）+bsinx-2时#0）,若，（m）=2,贝畋一m）=.

【答案】-6

【分析】令g（x）=f（x）+2,由奇偶性定义可知g（x）为奇函数，由g（-m）=—g（m）可构造方

程求得f（一m>

［详解】令g（x）=f（x）+2=aln（Vx2+l—x）+bsinx（ab#0）,

••-9（-x）=aln（V?+T+x）-bsinx,•1•9（-x）+ff（x）=aln（x2+l-x2）+0=0,

••・g（x）为R上的奇函数；

,■•g（m）=f（m）+2=4,，g（_m）=-g（m）=-4,即f（—m）+2=-4,

解得:f（-m）=-6.

故答案为：-6.

【变式3-1】5.若函数f（x）=t'+2：；：+smx（t>0）的最大值为M,最小值为N,且

M+N=4,则实数t的值为.

【答案】2

【详解】试题分析：由题意，f（x）=—而一=t+F］，显然函数g（x）=F］是

奇函数，,.函数f（x）最大值为M,最小值为N,且M+N=4,即

2t=M+N=4,*=2,故答案为2.

考点：函数的最值及其几何意义.

题型4对称性、奇偶性的运用

(2)点对称：若函数f(x)关于直线(丛。)对称，则

①f(a+x)=-f(a-x)

②f(x)=-f(2a-x)

③f(—x)=-f(2a_]_x)

(2)点对称：若函数f(x)关于直线(a，b)对称，则

①f(a+x)=-f(a-x)+2b

②f(x)=-f(2a-x)+2b

③f(-x)=-f(2a+x)+2b

♦类型1对称轴

【例题4-1](2022•宁夏银川一中高三阶段练习(文))已知函数y=%x)的定义域为

3

(-00,1)U(1,+00),且f(X+1)为奇函数,当X<1时，f(X)=-X2-4x,则f(X)=2的所有

根之和等于()

A.4B,2C.T2D.-6

【答案】A

【分析】根据二次函数对称性求和即可.

2

【详解】解：当x<1时，依)=-(x+4x)=-(x+2『+4,

.­.对称轴为*=-2,

•■-f(x+1)为奇函数，

•■•f(X+1)=_f(-X+1),

•■•f(x)=-f(2-x)z

•••f(x)关于(LO)中心对称，

设0,丫)为丫=f(X)(X>1)图像上任意一点，

2

贝！］(2-x,_y)在f(x)=-x-4xj-(

•••—y=—(4—x)2+4,

即y=(x—4)2-4,

对称轴为x=支

不妨设X1<x2<x3<x4,

由二次函数的对称性知

xi+x2=2x(-2)=-4,

+248

x3x4=x=,

...f(x)=3斤有根的和为8-4=4.

故选：A.

【变式4-1】1.已知函数f(x)=2elx-2|-；a(2x-2+22-x)_a2有唯一零点，则负实数2=

()

A.-2Bc.TD.一；或T

【答案】A

【解析】函数％9=2十-2|一具2*-2+22一厂22有有唯一零点，设x-l=t,

则函数f(x)=2elt-；a(2t+2-3飞2有唯一零点，贝用阴一b色+2-t)=a23Ma

(■+2力=a2,

设g(t)=2/-/(21+2-5,•■-g(-1)=24刃一产(2-1+23=g(t)，，g(t)

为偶函数，

,.函数f(t)有唯一零点，，y=g(D与y=a2有唯一的交点，

2

,此交点的横坐标为0,■--2-a=a,解得a=-2或a=l(舍去)，故选A.

【变式4-1】2.已知函数f(x)(xeR)满足f(x)=f(a—x),若函数y=^―ax—5|与丫=*均

的图像的交点为俨1，丫1)，e2y2)，…，(xm,ym),且Z」［Xi=2m，贝胆=

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】求出f(x)的对称轴，y=|x2-ax-5出勺图象的对称轴，根据两图象的对称关系，求

和，解方程可得所求值.

【详解】」(x)=f(a-x),

a

.-.f(x)的图象关于直线X=2对称，

a

又y=|x2-ax-5冏图象关于直线x=?对称，

当m为偶数时，两图象的交点两两关于直线x=：对称，

m

.,.x1+x2+X3+...+xm=^-a=2ml角单得a=4.

aa

当m奇数时,两图象的交点有m-1个两两关于直线x=z对称,另一个交点在对称轴x=z上,

m-1a

e—

.,.x-|+X2+X3+...+xm=a2~■i~2=2m.

解得a=4.

故选D.

【点睛】本题考查了二次型函数图象的对称性的应用，考查转化思想以及计算能力.

sinnx

【变式4-1】3.已知函数%x)=(X2+1)(X2_2X+2”下面是关于此函数的有关命题，其中正确

的有

①函数f(X)是周期函数；

②函数f(X)既有最大值又有最小值；

③函数f(x)的定义域为R,且其图象有对称轴；

④对于任意的xe(—LO),f'(x)<0(f'(X)是函数f(x)的导函数)

A.②③B.①③C.②④D.①②③

【答案】A

【详解】函数f(x)定义域为R,当*1+8或一8-*时，£(幻—0,又x=0,x=±l,

x=±2,x=±3,时，f(x)=0,且均为变号零点.又因为函数满足f(x)=*+；£]+2)

=二%?2(1_幻+2]=f(l-X),所以函数f(X)关于直线X=；对称，函数图像如下

故②③正确.

点睛：本题考查函数的综合知识：

①函数f(x)对于定义域内任意实数X,存在非零常数T,满足f(x+T)=f(x),则函数f(x)为

周期函数；

②函数f(x)对于定义域内任意实数X满足f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)关于直线X=苧对

称，特别地当女幻=f(2a-x)时，函数f(x)关于直线x=a对称；

③在函数f(x)定义域(a,b)内，存在常数c使得f(c)=0,贝1|x=c叫做函数的零点.

♦类型2中心对称+轴对称构造周期性

、1'

-，.!、Tr",#•6、、、

关于对称中心与对称轴构造周期的经验结论

1.若函数有两个对称中心（a,0）与（b,0））,则函数具有周期性，周期T=2|a-b|.

2.若函数有两条对称轴x=a与x=b,则函数具有周期性，周期T=2|a-b|.

3.若函数有一个对称中心（a,0）与一条对称轴x=b,,则函数具有周期性，周期T=4|a-b|.

【例题4-2】已知函数%x）为定义域为R的偶函数，且满足fG+x）=f（；—x）,当xe

［-1o］时,%x）=-x若函数F（x）=f（x）+，3E在区间［一91。］上的所有零点之和为

【答案】5

【详解】•・足f（；+X）=f（|-x）,•■-f（x）=f（2-x）,又因函数f（x）为偶函数，；.f（x）=f（-x）

=f（2+x）,即f（x）=f（2+x）,.,.T=2,令F（x）=0,f（x）=,即求%x）与丫=

x+419

交点横坐标之和.XTy=e=2+看，

作出图象：

由图象可知有10个交点，并且关于G。中心对称，..其和为¥=5故答案为：5

/

【变式4-2】1.定义在R上的奇函数f（x）满足f（2-x）=f（x）,且在［0,1）上单调递减，若方程

f（x）=-1在［0,1）上有实数根，则方程f（x）=1在区间上所有实根之和是（）

A.30B.14C.12D.6

【答案】A

【解析】根据条件可得出f（x）的图象关于X=1对称，f（x）的周期为4,从而可考虑f（x）的一

个周期，利用［-1,3］,根据%x）在［0,1）上是减函数可得出f（x）在（1,2］上是增函数，f（x）在

（-1,0）上是减函数，在［2,3）上是增函数，然后根据f（x）=-l在［0,1）上有实数根，可判断

该实数根是唯一的，并可判断f（x）=-l在一个周期内有两个实数根，并得这两实数

根和为2,从而得出%x）=-1在区间［-1,11］这三个周期内上有6个实数根，和为30.

【详解】由%2-x）=f（x）知函数%x）的图象关于直线x=1对称，

=f（x）,依）是/?上的奇函数，

=*x+2）=-f（x）,

+4）=f（x）,

，f（x）的周期为4,

考虑f（x）的一个周期，例如［—1,3］,

由f（x）在［0,1）上是减函数知f（x）在（1,2］上是增函数，

f（x）在（-1,0］上是减函数，f（x）在［2,3）上是增函数，

对于奇函数f（x）有%0）=0,f（2）=f（2-2）=f（0）=0,

故当xe（0,1）时，f（x）＜*0）=。，当xe（1,2）时,f（x）＜f（2）=。，

当xe（_i,o）时，f（x）＞f（0）=。，当xe（2,3）时，f（x）＞f（2）=0,

方程*x）=-1在［0,1）上有实数根，

则这实数根是唯一的，因为f（x）在（0,1）上是单调函数，

则由于%2-x）=f（x）,故方程f（x）=-1在（1,2）上有唯一实数，

在（一1,0）和（2,3）上%x）＞0,

则方程%x）=-1在（一1,0）和（2,3）上没有实数根，

从而方程f(X)=-1在一个周期内有且仅有两个实数根，

当XG[-1,3],方程f(x)=_1的两实数根之和为X+2—X=2,

当xe[-1,11],方程%x)=T的所有6个实数根之和为

x+2-x+4+x+4+2-x+x+8+2-x+8=2+8+2+8+2+8=30

故选：4

【点睛】本题考查了由f(2a-x)=*x)可判断依)关于x=a对称，周期函数的定义，增函数

和减函数的定义，考查了计算和推理能力，属于难题.

【变式4-2】2.已知定义域为R的函数依)的图像关于原点对称，且f(3-x)+f(-x)=。，若

曲线丫=依)在(6,f(6))处切线的斜率为4,则曲线丫=%x)在(_2022,f(-2022))处的切线

方程为()

A.y=-4x-8088B.y=4x+8088c.y=-^x-^lD,y=\+^

【答案】B

【分析】由函数代幻的图像关于原点对称，得出f(0)=0,再由f(3-x)+f(-x)=。得出函

数f(X)的最小正周期为1=6,由原函数与导函数具有相同的周期性可得函数f'(x)的最小正

周期为T=6,由此可得选项.

【详解】因为定义域为R的函数*x)的图像关于原点对称，所以f(o)=o,

因为f(3-x)+f(-x)=0,%6-x)+f(3-x)=0,两式相减可得，%6-x)=f(-x),故

6,故f(_2022)=f(0)=0;

因为f'(-2022)=f'⑼=f'(6)=4,故所求切线方程为丫=4x+8088,

故选：B.

【点睛】本题考查函数的奇偶性和周期性，以及导函数的周期性，求原函数的切线问题，属

于较难题.

【变式4-2】3.若函数y=f(x)是R上的奇函数，又y=f(x+1)为偶函数，且—1<X1<X2

wl时，网2)一%)]&2-X])〉0,比较f(2017),f(2018),f(2019)的大小为()

A.f(2017)<f(2018)<f(2019)Bf(2018)<f(2017)<f(2019)

C.f(2018)<f(2019)<f(2017)Df(2019)<f(2018)<f(2017)

【答案】D

【分析】由题意可知，函数丫二寅幻的周期丁=4,再由当一1WX]<X2<1时，

[f(X2)—f(X])](X2—X])>°可知函数丫=f(x)在[—1,1]上为增函数，然后计算比较即可.

【详解】函数y=f(x)是R上的奇函数，又丫=f(x+1)为偶函数，

f(一X)=-f(x),f(-X+1)=f(X+1),

f(x)=f(x+4),即函数y=f(x)的周期T=4,

-16]<乂231时，X2-X1>o,[f&2)->。，

ffff

(x2)-(x1)>°gp(x2)>(x1),函数y=f(x)在[一1,1]上为增函数，

...f(2017)=f(l+4x504)=f(l)(f(2018)=f(2+4x504)=f(2)=f(0),

f(2019)=f(-l4505)=f(-l)

+X/

...f(2019)<f(2018)<f(2017)

故选：D.

【点睛】本题考查函数性质的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.

【变式4-2】4.(多选)(2023•福建福州•福建省福州第一中学校考二模)定义在R上的函数%x)

、g(x),其导函数分别为f(x)、g(X),若f(x)=f(-x),g(-1)=l，f(x)+g(x-1)=x2-1-f

(x)+g(x+1)=x-sin^x,贝[j()

A.f’(X)是奇函数

B.g(x)关于对称

c.g（x）周期为4

D.g（i）+g（3）+g（5）+…+g（99）=-1225

【答案】ABD

【分析】对于选项A,利用已知条件f（x）=f（-x）,即得结果.对于选项B,由题意可推导出

g'（x—i）为偶函数，g（x+i）为奇函数，所以［g（—i+x）+g（—i—x）］'=0,即g（—i+x）

+g（_i—x）=2即可证明；对于选项c,由g（x）关于（1,0）对称和g（x）关于（一1」）对称，即

得结果.对于选项D,通过赋值，利用c中推导的结论g（x+4）—g（x）=-2和已知条件g

（-1）=1,由等差数列的前n项和即得结果.

【详解】因为f（x）=f（-x）可得为f（x）偶函数，所以f'（x）=-f'（-X）,贝!|f'（X）为奇函数，

故A正确；

因为'x）+g'（x—l）=x2-1,%x）偶函数，丫=乂2-1时偶函数，

所以g'（x-1）为偶函数，所以g'（X）关于乂=-1对称，

因为f'（X）+g（x+1）=x-sin5x,f'（X）为奇函数，丫=x-si4为奇函数，

所以g（x+1）为奇函数，g（x）关于（1,0）对称，

g（-1-x）=g（-1+xy［g（-1+x）+g（-1-x）］=g（―1+x）-g（—1—x）—0,

贝+X）+9（-l-x）=c其中c为常数，又g（_l）=1故c=2,有g（x）关于寸称，B

正确；

令x等价于x+i,g（x）+g（-2-x）=2，所以g（-2-x）=2-g（x）,

因为g（x）关于（i,o）对称，所以g（x+1）=-9（-x+1）,

所以令X等价于x+3,所以g（x+4）=_g（-x-2）,所以g（x+4）-9（X）=-2,

故可看成数列an+4-an=-2,

而因为g（x）关于（1,0）对称，所以g（i）=。,g（3）=-g（—i）=-1

故2]65田9，一♦出97是以2]=9（1）=°为首项，―2为公差的等差数列，

23田7W]]广・出99是以23=9（3）=-1为首项，―2为公差的等差数列，

所以g（x）没有周期性，故c不正确；

25x24

g（i）+g（5）+g（9）+…+g（97）=25xo+_2—x（_2）=-6oo

g（3）+g（7）+g（i1）+…+g（99）=25x（-1）H——x（-2）=-625,

所以g（i）+g（3）+g（5）+—+-g（99）=-600-625=-1225,故D正确.

故选：ABD.

【点睛】结论点睛：本题考查利用抽象函数关系式求解函数周期性、对称性、奇偶性的问题;

对于与导数有关的函数性质，有如下结论：

①若f（x）连续且可导，那么若f（x）为奇函数，则f’（X）为偶函数；若f（x）为偶函数，则f'（X）

为奇函数；

②若f（x）连续且可导，那么若f’（X）关于x=a对称，则f（x）关于点（a,f（a））对称；若f'（X）关

于（a,0）对称，则%x）关于x=a对称.

♦类型3“类”周期函数

、1,I

4重点

"似周期函数"或者”类周期函数"，俗称放大镜函数，要注意以下几点辨析：

1.是从左往右放大，还是从右往左放大.

2.放大（缩小）时，要注意是否函数值有0.

3.放大（缩小）时，是否发生了上下平移.j

【例题4-3]设函数y=f（x）的定义域为D,如果存在非零常数T,对于任意xeD,都有

f（x+T=T.f（x）,则称函数丫=f（x）是"似周期函数"，非零常数T为函数y=f（x）的“似

周期现有下面四个关于"似周期函数"的命题:

①如果"似周期函数"y=f(x)的"似周期"为一1,那么它是周期为2的周期函数;

②函数f(x)=2X是"似周期函数"；

③如果函数f(x)=C0S3X是“似周期函数”，那么"3=2kn,keZ或

W=(2k+l)n,keZ”

以上正确结论的个数是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

根据题意，首先理解"似周期函数"的定义，逐一分析，从而可判断命题的真假.

【详解】

解：①•.•"似周期函数“y=f(x)的“似周期”为t,

f(x-l)=-f(x),f(x-2)=-f(x-l)=f(x),

故丫=f(x)它是周期为2的周期函数，故①正确；

②若函数f(x)=是"似周期函数”，则存在非零常数T，使f(x+T)=T,f(x),

即2X+T=T.2X恒成立，故2T=丁成立，但无解，故②错误；

③若函数f(x)=cossx是"似周期函数"，则存在非零常数T,贝［］f(x+T)=T.f(x),

即COS[3（X+T）]=TCOS3X恒成立，故COS（3X+wT）=TCOS3X恒成立,

即cosoox•coscoT—sincox•sincoT=Tcosoox恒成立

故端篙二:,故3=2kn,keZ或3=（2k+l）n,keZ,故③正确.

所以以上正确结论的个数是2.故选：C.

【变式4-3】1.已知函数式幻满足当xw0时，2f(x—2)=f(x),且当xe(—2,0］时,

f(x)=|x+1|-1.当X>0时，f(x)=10gaX(a>0且a丰1).若函数f(x)的图象上关于原点

对称的点恰好有3对，贝职的取值范围是()

A.(625,+8)B.(今64)C.(9,625)D.(9,64)

【答案】C

【分析】先作出函数改)在(一8,0］上的部分图象，再作出g)Toga*关于原点对称的图象,

分类利用图像列出有3个交点时满足的条件，解之即可.

【详解】先作出函数长均在(一8,0］上的部分图象，再作出f(x)Toga*关于原点对称的图象，

如图所示，当°<a<l时，对称后的图象不可能与f(x)在(-8,0］的图象有3个交点；

当a>1时，要使函数f(x)关于原点对称后的图象与所作的图象有3个交点，

(a>1

则-解得9<a<625

Hoga5<-^

故选：C.

【点睛】本题考查利用函数图象解决函数的交点个数问题，考查学生数形结合的思想、转化

与化归的思想，是一道中档题.

【变式4-3】2.设函数寅幻的定义域为R,满足f(x+D=2f(x),且当xe(。，11时，

f(x)=x(x—1)若对任意xe都有f(x)?一；,则〃的取值范围是()

A.(