函数的奇偶性与周期性、对称性（解析版）-2024年高考数学一轮复习导学案

第10讲函数的奇偶性与周期性'对称性

知识梳理

1、函数的奇偶性

奇偶性定义图象特点

一般地，设函数7U)的定义域为/,如果VxG/,

偶函数都有一尤6/,且/i-x)="),那么函数人元)就叫关于土对称

做偶函数

一般地，设函数五元)的定义域为/,如果V尤e/,

奇函数都有一尤G/,且*—x)=-/U),那么函数«x)就关于原点对称

叫做奇函数

2、周期性

(1)周期函数:一般地，设函数加)的定义域为。，如果存在一个非零常数T,使得对每一个xe。都有x+Ten

且於土2/M，那么函数y=/(尤)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函数“r)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做/fa)的最

小正周期.

【常用结论】

1.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.

2.函数周期性常用结论

对«r)定义域内任一自变量的值尤：

(1)若«x+a)=—/(X),则T=2a(a>0).

(2)若式式+°)=卡，贝UT=2a(a>0).

3.函数对称性常用结论

(1求°—x)=/(a+x)o为一无)=/(2a+x)o/a)=/(2a—x)o/(x)的图象关于直线x=a对称.

(2加。+冗)=/依-x)<=>y(x)的图象关于直线%="芦对称.

八4+工)=一八万一x)Q«x)的图象关于点0)对称.

真题再现

1、［2022年全国乙卷】已知函数/(%),g(%)的定义域均为R,且/(%)+g(2-%)=5,g(%)-f(x-4)=7.若

22

y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4,则£/(fc)=()

fc=l

A.-21B.-22C.—23D.-24

【答案】D

【解析】因为y=g(x)的图像关于直线久=2对称，

所以g(2-x)=g(x+2),

因为g(x-4)=7,所以g(x+2)—/(x—2)=7，即+2)=7+f(x—2),

因为f(x)+g(2-%)=5,所以f(x)+g(x+2)=5,

代入得f(x)+[7+f(x-2)]=5,即/(x)+f[x—2)=—2,

所以f(3)+f⑸+-+/(21)=(-2)x5--10,

f(4)+f(6)+…+f(22)=(-2)X5=-10.

因为〃x)+g(2-X)=5,所以〃0)+g(2)=5,即/(0)=1,所以/(2)=-2-/(O)=-3.

因为以k)一/0-4)=7,所以g(x+4)-f(x)=7,又因为f(x)+g(2-x)=5,

联立得,g(2-x)4-g(.x+4)=12,

所以y=g(x)的图像关于点(3,6)中心对称，因为函数g(x)的定义域为R,

所以g(3)=6

因为"%)+g(x+2)=5,所以/(1)=5—g(3)=-1.

22

所以£=/⑴+/⑵+[/(3)+/(5)+-+/(21)]+[/(4)+/(6)+-+/(22)]=—1-3-10—

k=l

10=-24.

故选：D

2J2022年新高考2卷】已知函数“久)的定义域为R,且九久+y)+f(x-y)==1，则£跄1

f(k)=()

A.-3B.-2C.0D.1

【答案】A

【解析】因为/(x+y)+f(x—y)=/(x)/(y),令x=l,y=0可得,2/(1)=/(1)/(0),所以f(0)=2,令

%=0可得，f(y)+f(—y)=2f(y),即f(y)=f(—y),所以函数f(x)为偶函数，令y=l得,/(x+1)+f(x

-1)=f(x)/(l)=/(x),即有/'(x+2)+f(x)=f(x+1),从而可知/'(X+2)=-/(x-1),/(x-1)=-

/(x-4),故/(%+2)=/(x—4),即,0)=/0+6),所以函数f(x)的一个周期为6.

因为f(2)=/(I)-/(0)=1-2=-1,f⑶=/(2)-/(1)=-1-1=-2,f(4)=/(-2)=f(2)=-1,

/⑸=/(-I)=f⑴=1,/⑹=f(0)=2,所以

一个周期内的/(I)+/(2)+-+/(6)=0.由于22除以6余4,

所以£涔/㈤=/(I)+f(2)+f(3)+/(4)=l-l-2-l=-3.

故选:A.

3、【2021年甲卷文科】设〃x)是定义域为R的奇函数，且〃l+x)=〃T).若则巾=()

A.-3B.--C.-D.-

3333

【答案】c

【解析】

【分析】

由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得了［?的直

【详解】

'y

_、

_、、-/

由题意可得：了?2_2-2

j_i|-|

N+_i.；-_

_r-

_——-_

3'vJ，3、z3、

'/

1一

1l|

"11|_I

——'_3

而4m、3、3

故diK

故选：C.

4、【2021年甲卷理科】设函数〃x)的定义域为R,7(x+1)为奇函数，/(x+2)为偶函数，当xe［l,2］时,

f^=ax2+b.若〃0)+〃3)=6,则()

A.-2375

B.——C.-D.-

4242

【答案】D

【解析】因为/(x+1)是奇函数，所以/(一%+1)=-/(尤+1)①;

因为〃x+2)是偶函数，所以〃x+2)=/(—x+2)②.

令x=l,由①得：/(0)=-/(2)=-(4«+&),由②得：/(3)=/(1)=«+6,

因为〃。)+f⑶=6,所以-(4〃+Z?)+a+b=6=a=-2,

令x=0,由①得：/(1)=-/(1)^/(1)=0^&=2,所以/(尤)=一2/+2.

思路一：从定义入手.

思路二：从周期性入手

由两个对称性可知，函数/(X)的周期7=4.

95

所以/

2

故选：D.

1—x

5、【2。21年乙卷文科】设函数小)==，则下列函数中为奇函数的是()

A./(x-l)-lB./(%-1)+1c./(^+i)-iD./(x+l)+l

【答案】B

【解析】

【分析】

分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.

【详解】

1—x2

由题意可得/(%)=产=-1+;一，

l+X1+X

2

对于A,7(尤-=不是奇函数；

X

2

对于B,"%-1)+1=—是奇函数；

x

?

对于C,/(x+1)-1=―-2,定义域不关于原点对称，不是奇函数；

对于D,/(%+1)+1=三，定义域不关于原点对称，不是奇函数.

故选：B

6、【2021年新高考2卷】已知函数〃x)的定义域为R,〃x+2)为偶函数，〃2x+l)为奇函数，则()

A./[J，。B./(-1)=0C.42)=0D."4)=0

【答案】B

【解析】

【分析】

推导出函数/(X)是以4为周期的周期函数，由已知条件得出/⑴=0,结合已知条件可得出结论.

【详解】

因为函数〃x+2)为偶函数，则〃2+x)=〃2-x),可得/(x+3)=〃l—X),

因为函数〃2x+l)为奇函数，则"1-2x)=-〃2x+l),所以，/(l-x)=-/(%+l),

所以，/(x+3)=-/(x+l)=/(^-l),即〃x)=〃x+4),

故函数〃x)是以4为周期的周期函数，

因为函数/(x)=/(2%+1)为奇函数，则F(0)=/(1)=0,

故/(-1)=一/(1)=0,其它三个选项未知.

故选：B.

7、【2020年新课标2卷理科】设函数f(x)=ln|2x+l|-ln|2x-1|,则加)()

A.是偶函数，且在((，+8)单调递增B.是奇函数，且在3单调递减

222

C.是偶函数，且在单调递增D.是奇函数，且在(-8,-；)单调递减

【答案】D

【解析】

【分析】

根据奇偶性的定义可判断出/(x)为奇函数，排除AC；当卜寸，利用函数单调性的性质可判断出

/(X)单调递增，排除B；当xe(-巴-；)时，利用复合函数单调性可判断出了(X)单调递减，从而得到结果.

【详解】

由/(x)=ln|2x+l|-ln|2x-l|得/(x)定义域为卜土口，关于坐标原点对称，

又/(-x)=ln|l-2x|-ln|-2x-1|=ln|2x-l|-ln|2x+l|=-/(%),

.."(X)为定义域上的奇函数，可排除AC；

当J时，/(x)=ln(2x+l)-111(1-2x),

Qy=ln(2x+1)在上单调递增，y=ln(l-2x)在、上单调递减，

上单调递增，排除B；

-co,-：)时，/(x)=In(-2%-1)-In(1-2.x)=b2

当尤e

2x-l

"二1+二一在一对一；J上单调递减，/(〃)=In〃在定义域内单调递增,

2x-l

-0°,-5]上单调递减，D正确.

根据复合函数单调性可知：/(X)在

故选：D.

8、【2020年新课标2卷文科】设函数/(无)=9-4厕/*)()

X

A.是奇函数，且在(0,+oo)单调递增B.是奇函数，且在(0,+oo)单调递减

C.是偶函数，且在(0,+◎单调递增D.是偶函数，且在(0,+8)单调递减

【答案】A

【解析】因为函数=-5定义域为{小片0},其关于原点对称，而〃r)=—外力,

所以函数/(X)为奇函数.

又因为函数、=无3在(0,+?)上单调递增，在(-?,0)上单调递增，

而>=3=尸在(o,+?)上单调递减，在(一？，0)上单调递减，

所以函数〃x)=x3一9在"+?)上单调递增，在(-?,0)上单调递增.

故选：A.

942020年新高考1卷(山东卷)】若定义在R的奇函数段)在(-8,0)单调递减，且穴2)=0,则满足#(彳-1)2。

的x的取值范围是()

A.[-l,l]U[3,+«)B.[-3,-l]U[0,l]

C.[-1,0]LJ[1,+CO)D.[―1,0]<J[1,3]

【答案】D

【解析】因为定义在R上的奇函数/⑴在(-8,0)上单调递减，且/(2)=0,

所以Ax)在(0,+8)上也是单调递减，且/(-2)=0,/(0)=0,

所以当不€(-8,-2)口(0,2)时，/(x)>0,当xe(-2,0)U(2,+8)时，/(x)<0,

所以由叶。-1)20可得:

尤<0、］尤>0

-24尤-140或或x=0

解得一IWXWO或,

所以满足泣xT)2。的龙的取值范围是

故选：D.

热身训练

1、下列函数中，既是奇函数又是增函数的为

Ay=x+1By--x3Cy=—1Dy=x|x|

x

【答案】D

【解析】A是增函数，不是奇函数；B和C都不是定义域内的增函数，排除，只有D正确，故选D.

2、已知/(x)是奇函数，且当尤＜0时，/(x)=—若/(ln2)=8,则。=.

【答案】a=-3

【解析】：•/(—ln2)=—e-“m2=—/(in2)=—8,得2-“=8，a=-3.

y—Z7

3、(2022•广东省普通高中10月阶段性质量检测)已知函数/'(x)=ln-----是奇函数，则。的值为

1+CUC

【答案】±1

【解析】因为函数/(%)是奇函数，所以/(-x)=—"X)，即In士@=—山二二区，

1-ax1+ax

整理得(〃—1)(尤2+］)=0恒成立，解得。=±1,经检验当。=±1时，函数/(x)=lnH二巴是奇函数.

1+CLJC

故答案为：±1

4、(2022・河北•石家庄二中模拟预测)已知函数〃%)=加-24+彳是定义在［24+1,3-句上的奇函数，则

a+b=.

【答案】-4

【解析】依题意函数〃司="3_2加+了是定义在［24+1,3-可上的奇函数，

以2a+1+3—a=0,a=—4,

/(x)=-4x3-2Z?x2+x,

/(-x)=4x3-2bxi-x,

/(%)+/(—x)=T法2=。,恒成立，所以b=o,

所以a+6=-4.

故答案为：-4

考向一奇偶性的定义与判断

例1、判断下列函数的奇偶性.

（1W）=）1—/1；

="3—2x+g2x—3；

（3求%）=3，-3一七

2

⑷危尸\抵l4二-x？

田+羽x>0,

（5收）=2"

[x—X,x<0.

fx2—1>0,

【解析】：⑴「由一2八得％=±1，

.7/U）的定义域为{—1,1}.

又式1）+八-1）=0,八D-A-1）=0，

即式防=切一X）.

・••/U）既是奇函数又是偶函数.

（2）：函数段）=[3—2x+、2x—3的定义域为，4,不关于坐标原点对称，

函数兀0既不是奇函数，也不是偶函数.

（3）：火x）的定义域为R,

（一元）=31-3，=—（3，-3"）=

所以人助为奇函数.

14一走0,

（4）：由।,_^得一2/2且申0.

[|工十3Ql|3r0n,

，段）的定义域为[―2,0）U（0,2],

.、­.4——_小一记—小一X2

"'AX）^\X+3\-3~X+3-3~x'

:—尤）=一八尤），.••西）是奇函数.

（5）易知函数的定义域为（一co,0）U（0,+8）关于原点对称，又当尤>0时，人尤）=/+刈则当x<0时，一

x>0,

故人一•%）=『一尤=/0）;

1

当x<0时，f(x)=x—xf贝lj当x>0时，—x<0,

故人一%)=~+%=/(x)，故原函数是偶函数.

变式1、判断下列函数的奇偶性：

(l)J(x)=x1g-+迎+1)；

/1~\~x

(2)兀劝=(1一%)弋厂不；

⑶危尸1+21,x<。；

.4—12

⑷於尸仇+3|-3，

【解析】⑴因为x+炉工I>0恒成立，

所以函数兀0的定义域为R,关于原点对称.

因为人。一/(一》)=尤[坨(尤+,+1)+3(-%+^+1)]=0,

所以式x)=A—X),所以其尤)为偶函数.

(l+x

；~~-^0,

(2)由题意，得j—*解得-1WX<1,

所以定义域不关于原点对称，

所以式》)既不是奇函数又不是偶函数.

(3)/尤)的定义域为(-8,0)U(0,+8),关于原点对称.不妨设x>0.

因为f(x)+A—x)=~^2+2x+1+X2—2X—1=0,

所以人x)=—以一X),所以火X)为奇函数.

，4一炉20,

(4)由题意，得(「一:解得一2WxW2,且xWO,所以定义域关于原点对称.

[|x+3|W3,

yja—x2yl4—x274—x2

因为Xx)=

|x+3|—3x+3—3x

所以y(x)+/(—x)=

X

所以y(x)=-A—x),所以y(x)为奇函数.

方法总结：1.判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对称.若函数定义域关于原点不对称，

则此函数一定是非奇非偶函数；若定义域关于原点对称，再化简解析式，根据f(—X)与f(x)的关系结合定

义作出判断.

2.在函数的定义域关于原点对称的条件下，要说明一个函数是奇(偶)函数，必须证明f(-x)=-

f(x)(f(—x)=f(x))对定义域中的任意X都成立；而要说明一个函数是非奇非偶函数，则只须举出一个反

例就可以了.

3.分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数，分段函数奇偶性的判断，要分别从x>0或x

<0来寻找等式f(—x)=f(x)或f(—x)=—f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函

数才具有确定的奇偶性.

考向二函数的周期性及应用

例2、已知定义在R上的函数满足/(3—尤)=―/(3+幻，且“龙)图像关于％=1对称，当xe(1,2］时,

/(x)=log2(2x+l),贝I]/

【答案】-2

【解析】

因为图像关于x=1对称，则/(X)=/(2-X),

=/(2-X)=/(3-1-x)=-f(3+1+工)=-f(x+4)=f(x+8),

故fM是以8为周期的周期函数，

3

=-log2(2x-+l)=-2

故答案为：—2.

变式1、函数/(x)满足/(x+4)=/(x)CceR”且在区间(—2,2］上，r则

cos—,0<x2,

/(%)=:2

|xH—|,—2<xW0,

、2

f(f(15))的值为——■

【答案】也

2

【解析】因为函数/(%)满足了(%+4)=/(%)(X£R),所以函数/(x)的最小正周期是4.因为在区间

TTJC

cos—,0<x^2,5

T⑵上，小)=；^/(/(15))=/(/(-l))=/(-).cos^-.

|xH—|,2<xW0,

、2

变式2、已知函数/(x)的定义域为R.当x<0时，/(x)=x3-l；当一1WXW1时，/(—X)=—/(%)；当x>g

时，/(x+g)=/(x—()，则/⑹=•

A.-2B.-1C.0D.2

【答案】D

【解析】当一IWXWI时，f(x)为奇函数，且当x〉；时，/(%+1)=/(%),所以

/(6)=/(5xl+l)=/(l).而/(1)=—=Ip—1]=2,所以/(6)=2,故选D.

f2~x,

变式3、若函数加)='''则八2023)=________.

\j\x—\)—j\x—2),x>0,

【答案】-1

【解析】当x>0时，

y(x)=Ax-i)-Xx-2),①

①十②得，y(x+i)=-X%—2),

的周期为6,

，火2023)=犬337义6+1)=火1)

=X0)-A-D=2°-21=-l.

方法总结：(1)判断函数的周期性只需证明_Ax+7)=/U)(舁0)即可，且周期为T.

(2)根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，函数的周期性常与函数的其他性质综

合命题.

⑶在解决具体问题时，要注意结论"若7■是函数的周期，则kT(kez且h0)也是函数的周期”的应用.

⑷除/(X+7)=/(X)(THO)之外，其它一些隐含周期的条件：/(x+a)=/(x+Z?),/(x+a)=-/(x+Z?),

=—r,/(%)=--£-〃X)=rf+R'/x)=l-A1八等

f(x+a)l-/(x+l)l-/(x+l)/(X+1)

考向三函数奇偶性与单调性'周期性的应用

例3、(1)设/(%)是定义域为R的偶函数，-且在(0y)单调递减，则

132

A.f(IOg31)>/(2-5)>/(2-3)

123

B./(logs—)>f(2-3)>/(2一5)

321

c.f(2-2),>/(2-3)>/(Iog3-)

231

D./(2一§)>/(2一])>/)

【答案】C

【解析】/(X)是定义域为R的偶函数，所以/(Iog3；)=/(log34),因为Iog34〉log33=l,

Q<2-2<2_3<2。=］，所以0<22<23<logs4，又/(天)在(。，+°°)上单调递减，所以

-2二1

23

/(2)>/(2)>/(log3-).故选C.

(2)(2022•沐阳如东中学期初考试)已知定义在R上的函数/(x)的图象连续不断，有下列四个命题:

甲：兀行是奇函数；乙：兀v)的图象关于直线x=l对称;

丙：五劝在区间［-1,1］上单调递减;T：函数网)的周期为2.

如果只有一个假命题，则该命题是

A.甲B.乙C.丙D.丁

【答案】D

【解析】由函数八x)的特征可知：函数在区间［—1,1］上单调递减，其中该区间的宽度为2,所以函数1x)

在区间［—1,1］上单调递减，与函数人尤)的周期为2互相矛盾，即：丙和丁中有一个为假命题，若甲乙成立，

故八-x)=一/(x),则1x+l)=/Q—x)，故於+2)=咒1—(l+x)］=式一无)=一八尤)，故/(x+4)=/(x)，所以函数

的周期为4,即丁为假命题，由于只有一个假命题，故答案选D.

变式1、函数五X)的定义域为。={X|XWO},且满足对任意XI，X2^D,都有兀止尬)=加制)+/(尤2).

(1)求犬1)的值；

(2)判断函数兀0的奇偶性，并证明你的结论；

(3)当x>0时，处c)>0恒成立，且式4)=1,求不等式兀(-1)<2的解集.

【解析】(1)由题意，得八1)=犬1)+<1),所以<1)=0.

(2)函数式尤)的定义域为{x|x#0},关于原点对称.

因为力(一1)义(-1)］=式-1)+式-1)=次-1)=式1)=0,

所以式-1)=0,

所以八一1/)=段)+八一1),

即负x)=A—X),

所以五为为偶函数.

(3)由题意，得穴4)+犬4)=犬16)=2,

人方+均=犬1)=°，

所以人劝=一油.

不妨设沏>入2>0,

则娘)=的)+6)=段1)-外2)>。，

所以八X)在区间(0,+8)上单调递增.

又人期为偶函数.

所以式X)在区间(一8,0)上单调递减.

因为人》-1)<2=<16),

所以1-

X—1彳0,

解得一或14<17,

所以该不等式的解集为(一15,1)U(1,17).

变式2、已知“X)为定义在R上的奇函数，当行0时，有/(%+1)=—〃％),且当x«0,l)时,

/(x)=log2(x+l)，下列命题正确的是()

A./(2019)+/(-2020)=0B.函数〃尤)在定义域上是周期为2的函数

C.直线y=x与函数〃尤)的图象有2个交点D.函数八力的值域为[-1,1]

【答案】A

【解析】

・•・函数y=/(力是R上的奇函数，，/(o)=o,由题意可得/。)=—/(o)=o，

当了20时，/(x+2)=-/(x+l)=/(x),

(2019)+/(-2020)=/(2019)-/(2020)=/(1)-/(0)=0,A选项正确；

当时，/(%+1)=—/(%),则=_log2"|，/f-|j=-/f|j=-log2|)

则函数y=/(%)不是R上周期为2的函数，B选项错误;

若x为奇数时，/(x)=/(l)=O,

若x为偶数，则/(x)=/(O)=O,即当尤eZ时，/(x)=0,

当xNO时，/(x+2)=/(x),若nwN,且当xe(2〃,2〃+l)时，X-2WG(0,1),

/(x)=/(x-2w)e(O,l),

当xe(1,2)时，贝Ux—le(O,l),A/(x)=-/(^-l)e(-l,O),

当xe(2〃+l,2〃+2)时，x-2〃e(l,2),则/(x)=/(x-2〃)e(-l,O),

所以,函数y=/(x)在［0,+8)上的值域为(-1,1),

由奇函数的性质可知，函数y=/(九)在(口,0)上的值域为(T1),

由此可知，函数y=/(x)在R上的值域为(T1),D选项错误；

如下图所示：

由图象可知，当时，函数丁=%与函数y=/(x)的图象只有一个交点，

当xW—1或X21时，1,1),此时，函数y=x与函数y=/(x)没有交点，

则函数y=X与函数y=/(X)有且只有一个交点，c选项错误.

故选：A.

方法总结：1.已知函数的奇偶性，反求参数的取值，有两种思路：一种思路是根据定义，由f(—x)=—

£&)或£(一*)=爪沙对定义域内的任意*恒成立，建立起关于参数的方程，解方程求出参数之值；另一种

思路就是从特殊入手，得出参数所满足条件，再验证其充分性得出结果.

2.函数的奇偶性与单调性之间有着紧密的联系，奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在

其关于原点对称的区间上单调性相反，掌握这一关系，对于求解有关奇偶性与单调性的综合问题，有着极

大的帮助，要予以足够的重视.

优升

1、(2022.湖南湖南.二模)已知函数“X)是R上的奇函数，当尤＞0时，”x)=lnx+(,若〃e)+〃0)=-3,

e是自然对数的底数，则/(-1)=()

A.eB.2eC.3eD.4e

【答案】D

【解析】

解：依题意得"0)=0,/(-%)=-/(%),由〃e)+〃0)=-3,EP/(e)=lne+^=-3,得q=—8e,所以

2e

当x>0时〃x)=lnx-.,所以〃-1)=一/1⑴=-(lnl-.1=4e.

故选：D

2、(2022.河北.模拟预测)设偶函数/'(x)在(0,+8)上单调递增，且〃4)=0,则不等式小开正义<。的

2x

解集是()

A.(-4,4)B.(-4,O)U(O,4)

C.（T0）U（4,+s）D.（-co,-4）U（0,4）

【答案】D

【解析】

因为“X)是偶函数，所以)(司+/(一可<0等价于.

2xx

又“X)在(o,+8)上单调递增，所以“X)在(-8,0)上单调递减.

由ZH<o,得x>0,x<0,

一、八或

X/（x）<0/（尤）>0,

又/'（4）=0,解得0cx<4或x<T.

故选：D

3、(2022.湖北省天门中学模拟预测)已知“X)是定义在［-5,5］上的偶函数，当-5WxW0时，〃x)的图象

(—兀,_2)u(兀,5)

C.（-5,-2）U（0,7T）U（7T,5）D.（―5,—2）口（兀,5）

【答案】A

【解析】

解：因为/(x)为偶函数，所以函数图象关于y轴对称，

由图可得一5Vxe—2时/(x)>0,2<xV5时/'(x)>0,-2<x<2时/(x)<0；

又当0<%<兀时sinx>0,时sinjrvO,—万〈尤<0时sinx<0,一5«%<—)时sin尤>0,

不等式上且<0等价于或严)>：,

sinx[smx>0[sinx<0

所以一万<x<—2或0