湖北省随州市部分高中联考协作体2024-2025学年高三年级上册12月联考数学试题（含答案解析）

湖北省随州市部分高中联考协作体2024-2025学年高三上学期

12月联考数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.若0＜加＜1,则不等式(X-加)＜0的解集为()

A.

C.jD.<x<—|

2.sinl50cos450+sinl050sinl35°=()

A.1B.—C.—D.1

22

sin(夕—a)=—回，％"均为锐角，则/二()

3.已知cos。

5')10

A7171_7171

A-oB.—C.—D.一

643

4.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，°/=，若方绕点。逆时针旋转60°得到

向量无，则砺=()

A.(0,1)B.(1,0)

5.如图，己知边长为2的正方体力28-点£为线段C2的中点，则直线/E与

平面43CQ所成角的正切值为

试卷第1页，共4页

A.—B.|C.—D.V2

222

6.已知椭圆C:16x2+4/=1,则下列结论正确的是()

A.长轴长为:B.焦距为迫

C.短轴长为:D.离心率为1

42

7.10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,

12.设其平均数为0,中位数为6,众数为c,则有()

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a

8.甲、乙两羽毛球运动员之间的训练，要进行三场比赛，且这三场比赛可看做三次伯努利

试验，若甲至少取胜一次的概率为则甲恰好取胜一次的概率为()

64

二、多选题

9.已知函数"x)=eax有两个零点芯，/，且再<々，则下列说法正确的是

A.a>eB.+x2>2

C.XjX2>1D./(x)有极小值点%,且无1+%<2工0

10.已知向量z］满足H、=i，w=i,且则()

A.同=2B.a1(a-b^

C.£与方的夹角为［D.［与♦的夹角为J

36

11.下列说法正确的有()

A.在经验回归方程？=-0.85》+2.3中，当解释变量x每增加1时，响应变量y平均减

少2.3

B.在经验回归方程，=-0.85》+2.3中，相对于样本点(1,1.2)的残差为一0.25

C.在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好

D.若两个变量的决定系数甯越大，表示残差平方和越小，即拟合效果越好

试卷第2页，共4页

三、填空题

12.函数〃x)=1—1x上的单调减区间为.

13.数列｛对｝满足：为=2,。什1=3°“一2〃+1,则%=.

14.设尸为直线/：2x+y+9=0上的任一点，过点P作圆/+r=9的两条切线尸N,PB,

切点分别为A,B,则直线N3恒过定点.

四、解答题

15.对于函数/(x),若/(x)=x,则称x为/(尤)的“不动点”；若f(〃x))=x,则称x为/(x)

的“稳定点”；设函数y=/(x)的不动点集合为力,稳定点集合为2,

(1)求证=

(2)若函数/(x)单调递增，则4=8.

16.已知函数/(x)="—sinx.

⑴若函数/(%)为增函数，求实数。的取值范围；

(2)求证：当x>0时，ex>2sinx.

17.已知正项数列｛%｝,其前〃项和S“满足。"(25"-0")=1(”。*).

⑴求证：数列｛S：｝是等差数列，并求出S0的表达式；

(2)数列｛%｝中是否存在连续三项双，ak+l,ak+2,使得:，!,*构成等差数列？请说

明理由.

18.如图，在长方体N5CZ)-44GA中，74=/。=1,E为CA的中点.

(1)求证：BXEVADX.

(2)在棱44上是否存在一点尸，使得。尸〃平面8/E.若存在，求/P的长；若不存在，说

试卷第3页，共4页

明理由.

19.为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，每

局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每

局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据

统计，甲队明星队员M对乙队的每名队员的胜率均为;，甲队其余4名队员对乙队每名队

4

员的胜率均为(注：比赛结果没有平局)

⑴求甲队明星队员M在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜

的概率；

⑵求甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率；

(3)若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员M上场的概率.

试卷第4页，共4页

《湖北省随州市部分高中联考协作体2024-2025学年高三上学期12月联考数学试题》参考

答案

题号12345678910

答案DCCAADDCABDAC

题号11

答案BCD

1.D

【分析】解二次不等式，由加取值范围得到两根的大小关系，然后得到不等式解集.

【详解】当时，m<—,

m

所以不等式的解集为卜卜

故选：D.

2.C

【分析】利用诱导公式及两角和的正弦公式计算可得.

【详解】解：sin15°cos450+sin105°sin135°

-sin15°cos45°+sin(90°+15°)sin(180°-45°)

=sin15°cos450+cos15°sin45°

=sin(15o+45°)=sin60o=^-.

故选：C

3.C

【分析】由同角三角函数平方关系可得cos(£-c),sinc,由cos£=cos[(£-c)+a],利用

两角和差余弦公式可求得cos£,由此可得

【详解】•.•a1均为锐角，即.J

h.....-24

/.cos(yff-cr)=^1-sin2(/7-6z)=,又sina=Vl-cosa=----

5

/.cos[3=cos^/3-a)+a~^=cos(j3-a);osa-sinjina

3MV5(丽)2^/5V2

105110J52

又尸e,，m，.“=j

答案第1页，共10页

故选：c.

4.A

【解析】由次坐标可确定其与无轴夹角，进而得到近与x轴夹角，根据模长相等可得到坐

标.

一「有一

【详解】OA=二。/与x轴夹角为30。.1OS与x轴夹角为90°

又陛卜网=1.­.03=(0,1)

故选：A

【点睛】本题考查向量旋转后坐标的求解问题，关键是能够确定向量与x轴的夹角的大小，

进而根据模长不变求得向量.

5.A

【详解】连接《片交于尸，连接跖，由于/尸，4?,/尸，BC，所以/斤，平面4BCD,，所以

V2

角FEA为所求线面角，其正切值为/尸_E_万.故选A.

6.D

【分析】将椭圆方程写出标准方程后得到Ac的值，从而知道长轴长、短轴长、焦距和离

心率的值，从而得出答案.

反£

【详解】把椭圆方程16/+4/=1化为标准方程可得了+丁=1,

164

所以a=—b=\,c=—，

244

则长轴长2a=1,焦距2c=",短轴长26==，离心率《立.

22a2

故选：D.

7.D

答案第2页，共10页

【分析】将数据从小到大重新排列(也可以是从大到小)，计算出6,c的值即可比较大小.

【详解】解：重新排列得：10,12,14,14,15,15,16,17,17,17.

贝U有：a=-Lx(i5+17+14+10+15+17+17+16+14+12)=14.7,/7=1x(15+15)=15,c=17.

所以C〉b〉Q

故选：D.

8.C

【分析】设每次甲胜的概率为。，根据甲至少取胜一次的概率为1|,结合对立事件的概率

计算求出〃的值，继而利用二项分布的概率公式，即可求得答案.

【详解】假设甲取胜为事件/,设每次甲胜的概率为？，

由题意得，事件/发生的次数X~8(3,p),贝!|有1_(1一03=包，

64

得p=；则事件/恰好发生一次的概率为C；x-xfl--Y=—,

434(64

故选：C.

9.ABD

【分析】求得函数的导数，得到函数的单调区间，利用函数的性质，逐项判定，即可求解.

【详解】由题意，函数/(%)="-"，则八X)=/-Q,

当时，/'(%)=/-4〉0在尺上恒成立，所以函数/(x)单调递增，不符合题意；

当Q〉0时，令/(%)>0,解得令/(x)="<0,角犁得x<lna,

所以函数/(X)在(-8,In。)上单调递减，在(In+8)上单调递增,

因为函数-"有两个零点距,％2且再<工2，

贝!J/(Ina)=?必"一alna一alnq=。(1一Ina)<0,且Q>0,

所以l—lna<0,解得所以A项正确；

2

又由再+%=ln(ax1x2)=21ndt+ln(x1x2)>2+ln(x1x2),

2

2

取a=幺，则f(2)=e-2a=0x2=2,/(0)=l>0,

2

所以0<%<1,所以西+%>2,所以B正确；

答案第3页，共10页

由〃0)=1>0,贝1]0<网<1,但再%>1不能确定，所以C不正确;

由函数1(无)在(-00,Ina)上单调递减，在(Ina,+00)上单调递增，

所以函数的极小值点为无o=Ina,且网+%<2x(,=21na,所以D正确;

故选ABD.

【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调性与极值，以及研究函数的零点问题，其

中解答中熟记导数在函数的应用，合理判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题

的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.

10.AC

【分析】由|£+q=将两边平方，可得「|=2,再由垂直和向量夹角公式逐项判断.

【详解】因为小=1烟=1,且+所以片=7，

则7+2+1=7,则|a|=2,故A正确；

因为十"3=万2-力=4_1=3,所以£与屋石不垂直，故B错误；

侬3)=丽=忘=5'又向量夹角«°，兀]，

JT

所以。与b的夹角为:，故C正确，D错误.

故选：AC.

11.BCD

【分析】根据经验回归方程的解析式即可判断A；根据回归方程计算，由残差定义即可求得

结果可判断B；根据残差图的分布情况分析可判断C；根据决定系数的意义即可判断D.

【详解】对于A,因为j)=-0.85(x+l)+2.3=-0.85x+2.3-0.85,

当解释变量x每增加1时，响应变量y平均减少0.85,故A错误；

对于B,因为。=-0.85x1+2.3=1.45,1.2-1.45=-0.25,

所以相对于样本点(1,1.2)的残差为-0.25,故B正确；

对于C,在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好，故C

正确；

对于D,由决定系数长的意义可知，心越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越

好，故D正确.

答案第4页，共10页

故选：BCD.

12.(-oo,-l),(-1,+oo)

【解析】先求出函数的定义域，分离常数后利用“同增异减''可得函数的单调区间.

【详解】/(x)的定义域为(-*-1)口(-1,+«>),

又〃x)=F=-l+二7，

1+XX+1

令〃=%+l,X£(-00,-1)U(-l,+℃).

2

当xe(-co,-1)时，〃=尤+1为增函数，而了=-1+—为减函数，

u

故「(X)在(-8,-1)为减函数.

2

当％C(—l,+8)时，〃=X+1为增函数，而歹=—1+—为减函数，

U

故/(X)在(T+⑹为减函数.

综上，/(工)=；』的单调减区间为(-8,-1),(-1,+8).

故答案为：(-oo,-l),(-l,+oo).

【点睛】本题考查复合函数/(”X))的单调区间，可先令M=〃(x),y=/("),利用这两个

函数的单调性结合“同增异减”的原则来判断了("》))的单调性，本题为基础题.

13.a〃=3n-1+n

【分析】由题意，把。用=3%-2〃+1转化为“"+「(”+1)=3,可判断出｛/-〃｝为等比数列,

求出｛。“-”｝的通项公式，即可得到七.

【详解】因为%+[=3。“-2〃+1,

所以％+1-(〃+1)=3(。“一〃),

所以25=3,

又因为4-1=2-1=1。0,

所以｛%-"｝为首项为1，公比为3的等比数列,

所以见一〃=1・31,所以%=l・3i+〃.

答案第5页，共10页

故答案为：an=y'-'+n.

【点睛】数列求通项公式的方法：①观察归纳法；②公式法；③由加求助；④累加（乘）

法；⑤由递推公式求通项公式；

14.（-2,-1）

【分析】设点尸坐标，由切线的性质得到点A,B,在以线段。尸为直径的圆上，然后写出

圆C方程，由两个圆公共弦的求法求得直线方程，再由直线方程得到定点的坐标.

【详解】因为P为直线/：2x+y+9=0上的任一点，所以设尸（九-2加-9）,

由于圆卡+必=9的两条切线尸9，PB,切点分别为切A,B,

所以尸N,OBLPB,则点A,8在以线段。尸为直径的圆上，

即线段N3是圆。和圆C的公共弦，

则圆心C的坐标是（~，一义/],且半径的平方是,=*+（22）2,

k22J4

2

所以圆。的方程是1-3；+口+2詈：=加+（7+9）,

Xx2+y2=9,两式相减，得mx—（2加+9）V—9=0,

即公共弦N8所在的直线方程是用x-（2加+9）7一9=0,gpm（x-2v）-（9v+9）=0,

x-2y=0\x=-2,、

由9V+9=0,解得=-r所以直线―恒过定点(-2,-1).

Iy〔y

故答案为：（-2,-1）.

【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，利用圆的切线的性质分析得点A,8在以线段

。尸为直径的圆上，从而得解.

15.（1）证明见解析

（2）证明见解析

【分析】（1）由新定义验证“不动点”一定是“稳定点”即可；

（2）由新定义验证当函数单调递增时，“稳定点”一定是“不动点”，再结合（1）中结论得到

两个集合相等.

【详解】（1）不妨设/,则由题知/（%）=%,则/（/（/））=/（%）=/，故

答案第6页，共10页

所以NqB.

(2)设feB,则/'(/'(。)=〃。=乙

因为函数/(x)单调递增，所以存在唯一“，使/⑴=“，/(0)=，，

若则/⑷</(。，得到，<。，与矛盾；

若。>,，则/(0)>/«),得到/>叫与矛盾，

故必有。=乙所以〃/)=/,即re/,即8Gz

又由(1)知N=所以4=8,

即当函数/(“单调递增时，A=B.

16.(!)[!,+℃)

⑵证明见解析

【分析】(1)求出函数的导函数，依题意/'(X)20恒成立，参变分离可得aNcosx在R上恒

成立，再根据余弦函数的性质计算可得；

(2)由(1)可知当x>0时x>sinx恒成立，所以即证e*-2x>0在(。,+°°)上恒成立，令

g(x)=ex-2x,(x>0),利用导数研究函数的单调性与最值，即可得证；

【详解】(1)解：因为/(x)=ax-sinx,所以r(x)=a-cosx,

由函数/(x)为增函数，则/'(尤)=。-cosxNO恒成立，

即a2cosx在R上恒成立，

•/j=cosxe[-l,l],■;a>\

即实数。的取值范围是口,+8)

(2)证明：由(1)知当。=1时，/(x)=x-sinx为增函数，

当x>0时，/(x)>/(0)=0x>sinx,

要证当x>0时，e*>2sinx,只需证当x>0时，e*>2尤，

即证e，-2x>0在(0,包)上恒成立,

设g(x)=e，-2x,(x>0),则g'(x)=e*-2,令g'(x)=0解得x=ln2,

g(x)在(0,ln2)上单调递减，在(In2,+s)上单调递增，

g«min=gQn2)=”一2In2=2(1-In2)>0,

答案第7页，共10页

g(x)2g(ln2)>0,，e">2x成立，故当x>0时，e'>2sin;c.

17.（1）证明见解析,Sn=4n；

（2）不存在，理由见解析.

【分析】（1）根据给定递推公式，结合“当时，。“=5“-51”建立国与，_的关系即可

推理作答.

（2）由（1）求出。“，利用反证法导出矛盾，推理作答.

【详解】（1）依题意，正项数列｛%｝中，。；=1,即q=1,当时，a”=S：,即

（S“一S“_J[2S“一（S”一=

整理得S；-S3=1,又s；=a；=l,因此，数列｛S；｝是以1为首项，1为公差的等差数列，

则氏=",因为｛%｝是正项数列，即邑>0,

所以S.=6.

（2）不存在,

当“22时，an=Sn-Sn_x=4n-Vn-1,又。i=l,即都有氏=G-J”-1,

贝I'=—j=-]y-------=4n+yjn-1,

y/n-y/n-1

假设存在满足要求的连续三项以，殁+1，4+2,使得工，二一，二一构成等差数列，

akak+\ak+2

则++++^4k+l+yfk=4^-L+4k+2>

两边同时平方，得斤+1+斤+2y/k+ly[k=k-l+k+2+2〃-1〃+2，即伏+1）左=（左-1）（左+2）,

整理得：k2+k=k2+k-2,即0=-2,显然不成立，因此假设是错误的，

所以数列｛氏｝中不存在满足要求的连续三项.

18.（1）证明见解析；（2）存在，1.

【分析】（1）以A为原点建立空间直角坐标系，证明耶•亚=0即可；

（2）设尸（0,0/。），求出平面B/E的一个法向量元满足而即可求出

即可得出.

答案第8页，共10页

【详解】（1）证明：以A为原点，AB，AD，的方向分别为x轴，了轴，z轴的正方向

建立空间直角坐标系（如图）.

设/8=a,则40,0,0),15(0,1,0),0(0,1,1),喧叫，4(。,01)，

故/Di=(0,1,1),BXE=,ABt=(a,0,1),AE=^—,1,0^,

=-|x0+lxl+(-l)xl=0,所以用£_LN，.

（2）假设在棱N4上存在一点尸（0,0,幻，使得。尸〃平面2/E,此时而=（0,-1,%）.

又设平面片/月的法向量〃=（x,y,z）,

ax+z=0

"疯，得，

所以nlA