函数的图象及零点问题（10题型+高分技法+限时提升练）-2025年高考数学复习专练（原卷版）

热点2-4函数的图象及零点问题

明考情-知方向

三年考情分析2025考向预测

近三年高考数学持续考查函数图象的识别，要求函数图象：将继续重点考查图象识别，以选择题或填

考生根据函数表达式判断其在给定区间内的大空题的形式出现，难度不大.

致形状.同时，函数零点问题也是重点，包括零函数零点：依然是高考热点，主要结合函数图象研究

点存在性判断、零点个数以及参数范围的求解函数的零点.可能会考查利用单调性和函数零点存在

等.2023年还涉及根据函数部分图象判断解析式定理确定零点个数、根据函数零点的个数或位置、求

的内容.整体来看，这部分内容难度适中，注重解参数的取值范围.

对基础知识和基本技能的考查，同时也体现了对综合应用：可能会将函数零点问题与导数、不等式等

数形结合思想的运用.知识综合考查，如利用导数研究函数的单调性、极值、

最值，进而判断零点的存在性和个数.

热点题型解读

题型1函数图象画去及图象型奂j-、yo题型6确定函数零点的个数

题型2根据函数蹒式选择整j题型7根据零点个数求参数范围

题型函数零点四问题

题型3根据函数图象选择解析式o-—函数6勺囱象及零点问题——>8

题型4根据实际问题作函数图象题型9函数零点和积范围问题

题型5函数零点所在区间问题5^

题型10嵌套函数的零点问题

题型1函数图象画法及图象变换

00混

i作函数图象的方法

1、直接法：当函数表达式是基本函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线时,就可根据这些函数或曲线

的特征直接作出.

2、转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象.

II

3、图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称变换得到，可利用图象变换;

“乍出，但要注意变换顺序.对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对变换

单位及解析式的影响.

ii

1.(1)利用函数/(x)=2%的图象，作出下列各函数的图象.

①y=f(一无);②y=f(|x|);③y=f(x)—1；④y=\f(x)—1|；⑤y=~f(x)；⑥y=f(x—1).

(2)作出下列函数的图象.

i7r-1

①>=(y)w；②y=|log2(x+1)I；③y=-----

2X-l

2.(24-25高三上•江苏扬州•期中)已知图①对应的函数为y=/(x),则图②对应的函数是()

3-x2,xe[-1,1]

3.将函数y向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图象为()

x2+1,XG(-oo,-l)u(l,+oo)

4.将函数的图像沿x轴向左平移1个单位长度，得到奇函数g（x）的图像，则/⑴可能是下列函数中

的（）

A.y=—^—B.y=ex-1-e1-x

X+1

-2

C.y=x~\—D.y=log(x+l)+l

x2

题型2根据函数解析式选择图象

1—百

图象辨识题的主要解题思想是“对比选项，找寻差异，排除筛选”

I

1、求函数定义域（若各选项定义域相同，则无需求解）；

、判断奇偶性（若各选项奇偶性相同，则无需判断）；

I2

3、找特殊值：①对比各选项，计算横纵坐标标记的数值；②对比各选项，函数值符号的差别，自主取值

（必要时可取极限判断符号）；

i

4、判断单调性：可取特殊值判断单调性.

I

1.（24-25高三上•福建泉州•月考）函数/（x）=cosx・ln（7?W-目的图象大致为（）

2

2.(24-25高三上•安徽阜・月考）函数y的部分图象大致为（

1-X

3.（24-25高三上•还你长沙•月考）函数》=三；的部分图象大致为（）

4.（23-24高三上•陕西安康・月考）函数〃尤）=Vlog4一的大致图象是（）

2一%

题型3根据函数图象选择解析式

-4

（1）从图象的最高点、最低点分析函数的最值、极值.

（2）从图象的对称性，分析函数的奇偶性.

I（3）从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性.

1.（24-25高三上•辽宁•月考）函数在区间（-拶）上的大致图象如图所示，则的解析式可能是（）

A./(x)=tan(|sinx|)B./(x)=tan(cosx)

C./(x)=ln(|sinr|)D./(x)=ln(cosx)

2.（24-25高三上•天津・月考）已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能是（)

A./W=(4l-4-)|x|B.小)=(4=4m

Y

C.〃x)=(4"+4f)国D./(%)=(4+4-)log2|x|

3.（24-25高三上•江西萍乡・月考）已知函数了（工）的部分图象如下图所示，则f（x）可能的解析式是（）

D/v、In%

A./(x)=e%-In|x|B./(x)=——

e

C.f(x)=ex+ln\x\D./(x)=ex-ln|x|

4.（24-25高三上•江西南昌・月考）已知函数/aisinx,gaAd+l,则图象为下图的函数可能是（）

A.y=f(x)+g(x)-\B.y=/(x)_g(x)+l

f(x\

c.y=/(x)g(x)D

.g(x)

题型4根据实际问题作函数图象

V-

根据实际背景、图形判断函数图象的方法：

（1）根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象（定量分析）.

（2）根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象（定性分析）.

1.（23-24高三下•安徽•模拟预测）如图，直线/在初始位置与等边VABC的底边重合，之后,开始在平面上

按逆时针方向绕点A匀速转动（转动角度不超过60。），它扫过的三角形内阴影部分的面积S是时间/的函

数.这个函数的图象大致是（）

2.（23-24高三下•山东•二模）如图所示，动点P在边长为1的正方形A3C。的边上沿Af8fCfO运动,

x表示动点尸由A点出发所经过的路程,y表示△回的面积，则函数y=/（乃的大致图像是（）

D.

3.（24-25高三上•北京・月考）如图为某无人机飞行时，从某时刻开始15分钟内的速度V（无）（单位：米/分

钟）与时间x（单位：分钟）的关系.若定义“速度差函数”v（x）为无人机在时间段［0,x］内的最大速度与最

4.（23-24高三上.湖南衡阳・月考）小李在如图所示的跑道（其中左、右两边分别是两个半圆）上匀速跑步，

他从点A处出发，沿箭头方向经过点8、C、。返回到点A,共用时80秒，他的同桌小陈在固定点。位置

观察小李跑步的过程,设小李跑步的时间为八单位:秒），他与同桌小陈间的距离为y（单位:米），若y=f（t）,

则了“）的图象大致为（）

题型5函数零点所在区间问题

确定了（%）的零点所在区间的常用方法：

（1）利用函数零点的存在性定理：首先看函数y=/（x）在区间版,切上的图象是否连续，再看是否有

f（a>f（b）<0,若有，则函数y=/（x）在区间（”力）内必有零点.

（2）数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.

7

1.（24-25高三上・安徽亳州・月考）函数/（x）=lnx-；的零点所在的大致区间是（）

•也

AB.（1,2）C.（2,e）D.（e,3）

2.（24-25高三上•甘肃武威・期末）函数/（元）=』-log2X-1的零点所在区间为（）

x2

A.（1,2）B.（2,3）C.（3,4）D.（4,5）

3.（24-25高三上•湖北•期中）已知函数”尤）=弓］那么在下列区间中含有函数〃尤）零点的是（）

4.(24-25高三上.四川德阳•月考)设函数〃x)=lnW+|［-2的零点都在区间［a,句(a,6eZ,a<6)内,则b-a

的最小值为.

题型6确定函数零点的个数

i零点个数的判断方法

ii

1、直接法：直接求零点，令/■(x)=0,如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点.

2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间［a,句上是连续不断的曲线，且/'(a)•/■(6)<(),结，

j合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.

3、图象法：

(1)单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数/(力的图象，函数/(x)的图象与x轴交点的个数

就是函数/(X)的零点个数.

ii

(2)两个函数图象：将函数〃力拆成两个函数/z(x)和g(x)的差，根据/■(x)=Oo/z(x)=g(x),

则函数/(X)的零点个数就是函数y=/z(x)和y=g(x)的图象的交点个数.

4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函

数，则只需解决在一个周期内的零点的个数.

13—|—8JC<0

,'-\c的零点个数为()

logx+x-3,x>0

(4

A.0B.1C.2D.3

2.(24-25高三上•浙江•月考)函数Y=cosx与>=旭期|的图象的交点个数是()

A.2B.3C.4D.6

3.(24-25高三上•四川攀枝花•月考)函数2(x)=21gx-xlg2,则函数/(x)的零点个数是()

A.2B.3C.1D.0

/、2x,x<0,13/、1

4.(24-25高三上•北京・月考)已知函数、八当时，方程〃无)=一尤+加的根的

」(X—24o

个数为()

A.0B.1C.2D.3

题型7根据零点个数求参数范围

j已知零点个数求参数范围的方法

1、直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解.

2、数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个

j熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围.

3、分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域（最值）问题求解.

i

1.（24-25高三上•河北承德・月考）若函数〃尤）=-根有零点，则实数机的取值范围是（）

A.（0,1]B.[0,1）C.（-8』D.

2.（24-25高三上•海南・月考）已知函数〃尤）=卜:：”一3，T0，若方程〃力=%有3个实数解，则实数上的

-2+lnx,x>0,

取值范围为（）

A.[-3,0）B.（-4,0）C.[-4,—3]D.（T,-3]

l,x<0

3.（24-25高三上•广东普宁•期中）已知函数=7则使方程》+〃力=加有解的实数加的取值范

—,x>0

围是（）

A.（1,2）C.(—00,1)(2,+oo)D.(-oo,l]u[2,+oo)

a++若〃*恰有2个零点，则”的取

4.（24-25高三上•江西宜春•月考）设函数〃x）=

Igx-a,x>l

值范围是

题型8函数零点求和问题

%

00日e

在解决“函数零点求和问题”时，首先需要确定函数的零点，即求解方程/(x)=0的根.对于多项式函

数，可利用韦达定理直接求得零点之和，而对非多项式函数，则需通过分析其性质(如对称性、周期

性等)来简化求解过程.最终将所有零点相加得到结果，并进行验证以确保准确性.

1.(24-25高三上•贵州六盘水•模拟预测)己知函数/(x)=2,+x,g(x)=log?x+x,h(x)=x3+x的零点分别为。，

b,c,则a+b+c=()

A.0B.2C.4D.6

2.(24-25高三上•陕西汉中•期中)函数y=4sin7tx+,5%-无之所有零点的和为()

A.5B.10C.15D.20

3.(24-25高三上•山东・月考)已知函数/(x)=ln(Jl+f—龙)+%3,函数g(%)满足Vx£R,g(x—4)+g(—%)=0,

若函数飘%)=/(%+2)-g(x)恰有2025个零点，则所有零点之和为()

A.-4050B.-4048C.-2026D.-2024

4.(24-25高三上.广西・月考)偶函数〃尤)满足/(x)=〃2-x),当尤目0,1］时，=则方程/(x)=g

在［T7］上所有的实数根之和为()

A.20B.22C.24D.26

题型9函数零点和积范围问题

bc

1＞巧用韦达定理：%+%2=----，玉•尤2二一；

aa

2、巧用对数运算法则：如log|x|=m＞0,一定有

3、同一变量，构造函数求和积范围.

|lgx|,x>0

1.(24-25高一上•黑龙江哈尔滨•期中)(多选)已知函数/(无)=若尸(x)=〃x)-左有四

x2+2x+l,x<0

个不同的零点X],X2,%，乙且玉＜龙2＜尤3＜尤4，则下列说法正确的是()

A.Ov左<1B.石+%2=-2C.x3-x4=1D.x3+x4<10

2.(24-25高三上•河北张家口・月考)已知函数.=[呼《刈"<°,若％,x3,乙是方程=r

x2-6x+2,x>0

的四个互不相等的解，则占+%+W+Z的取值范围是()

A.[2,4)B.(2,4]C.(：,4D.：,4)

fllnxl0<尤<e

3.(24-25高三上•四川成都・开学考试)设函数一，若方程/(x)=C有三个实数根%，々，彳3,

12—Inx,x>e

满足王<兀2〈工3，则上+,+%3的取值范围是_____.

国x2

|log2x|,x>0

4.(24-25高三上•安徽合肥・月考)已知函数/(%)=12。Z方程/(力=。有四个不同根不，〜

—x十九十

14

七，14，且满足玉<%2〈尤3<%4，则区一土斗功的最大值为_____..

不2

题型10嵌套函数的零点问题

\0屯后©

嵌套函数的零点问题解题思路：

1、先看外层零点，把外层零点一一列出：。，%2，’3•…；

1

2、再从外层函数作直线，y=t},y=，2…交点个数即为复合函数的零点个数.

1.(23-24高三上.湖北.开学考试)设函数〃x)=；''"-,则函数y=/(〃x)T)T的零点个数为

[lux,x>0

()

A.4B.5C.6D.7

2.(24-25高三上•江西新余•月考)已知函数/(x)=sin4%_coS4X(O<X<2TI),则关于x的方程：

r(r(x))+(r(x)—1)2=0的实根个数为：()

A.2B.4C.6D.8

3.（24-25高三上•江西萍乡•期中）已知函数/（尤）=]的?0*>°,若函数g（x）=[〃x）T-2（根+2）+4根

恰有5个零点，则实数机的取值范围是（）

A.（0,1]B.fo,|C.[1,4w）3

D.—,+oo

2

4.（24-25高三上・安徽•期中）设min{尤,y}表示实数羽y中的最小值，若函数=min{2三+4无+2,2-x},

函数g（x）=[〃x）]~-4（彳）+1有六个不同的零点，则。的取值范围是（）

A.（0,2）B.（2,目C.（2,4）D.（2,+8）

限时提升练

（建议用时：60分钟）

一、单选题

1.（24-25高三上•广东深圳•月考）函数〃x）=lnx+x2-ex的零点所在的区间是（）

A.B.（1,2）C.（2,e）D.（e,3）

2.（23-24高三下下•广东湛江•一模）函数f（x）=lg（无+1）-g零点的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

4.（24-25高三上•天津・月考）若函数，（%）的部分图象如图所示，则"%）的解析式可能是（）

C.D.4)巧

XX

5.（23-24高三上.贵州遵义・月考）已知函数〃尤）=11,若函数g（x）=〃x）+%有3个零点，则机

log2X,X>1

的取值范围是（）

A.（0,2）B.（-2,0）C.（0,1）D.（-1,0）

6.(23-24高三下•广东梅州二模)三个函数〃x)=J+x—3,g(x)=lnx+x-3,/z(x)=e*+x-3的零点分

别为a,6,c,则a,b,c之间的大小关系为()

A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.b<c<a

7.（24-25高三上•山东济南・月考）已知实数〃满足2、a=2,则函数/（%）=2三一3一的零点个数为

（）

A.0B.1C.2D.3

|lgx|,0<x<10

（24-25高三上•海南・月考）已知函数〃力=|1乙⑺

8.，若a,b,c,d互不相等，且

一一x+6,x>10

2

/(〃)=/e)=/©=/(d),则a+"c+d的取值范围为()

26U221

A.[26,+oo)B.(14,+oo)C.D.26,—

10

二、多选题

9.（24-25高三上•山东荷泽・期中）已知函数"%）=<:11，a<6<c<d,且〃a)=〃6)=/(d)<〃c),