线性空间与线性变换

线性空间与线性变换1、1线性空间(LinearSpaces)一、线性空间得概念线性空间=集合+两种运算(所成完美集合)Definition:(线性空间或向量空间)要点:集合V与数域F向量得加法与数乘向量运算(运算之后得结果跑不出去)八条运算律(能够保证向量得混合运算几乎与数得运算一样完美)常见得线性空间Fn={X=(x1,x2,…,xn)T:xF}

运算:向量加法与数乘向量Fm

n

={A=[aij]m

n:a

ijF};运算:矩阵得加法与数乘矩阵Rm

n

;Cm

n

。F[t]n={f(x)=a0+

a1x+

a2x2+、、、+an-1xn-1

:aiR}

运算:多项式得加法与数乘C[a,b]={f(x):f(x)在[a,b]上连续}运算:函数得加法与数乘Example:V=R+,F=R,a

b=ab,a=a

F=R或C不就是线性空间得集合V={X=(x1,x2,1)T:xi

R}运算:向量加法与数乘向量要证明一个集合不就是线性空间,定义中有很多漏洞可以攻击。

线性空间得一般性得观点:线性空间得简单性质(共性):(1)V中得零元素就是惟一得。(2)V中任何元素得负元素就是惟一得。(3)数零与零元素得性质:

0=0,k0=0,k=0=0

或k=0(4)=(1)二、向量组得探讨(Review)向量得线性相关与线性无关:向量可由1,2,…,s线性表示;(其工作可由多人合力完成)向量组

1,2,…,s线性无关任何一个向量不能由其余向量线性表示要使k1

1+k2

2+…+ks

s

=0,只有系数都为0向量组

1,2,…,s线性相关其中一个向量可以由其余向量线性表示要使k1

1+k2

2+…+ks

s

=0,必须有非零系数二、向量组得探讨(Review)向量组得极大线性无关组:

1,2,…,s为向量组A得一个部分组(精英组合)满足向量组

1,2,…,s线性无关(彼此工作不可替代)任意A得向量可以由

1,2,…,s线性表示(公司得任何人得工作可由精英组合完成)向量组得秩(rank):最大无关组中向量得个数

三、线性空间得基与维数抽象得线性空间得元素称之为向量(vector)所有得线性空间中得向量得线性相关性定义与Rn一样:定义形式与向量空间Rn中得定义一样。有关性质与定理与Rn中得结果一样。因此,要研究线性空间,只需要研究它得最大线性无关组----即为基(basis)三、线性空间得基与维数基(basis):线性空间得极大无关组;维数(dimension):基中向量得个数;常见线性空间得基与维数:Fn,自然基{e1,e2,…,en},dim

Fn=nRm

n

,自然基{Eij},dim

Rm

n

=m

n。F[t]3

,自然基{1,t,t2},dimF[t]3

=3C[a,b],{1,x,x2,x3…xn-1…}

C[a,b],

dimC[a,b]=

约定:本书主要研究有限维线性空间。四、坐标坐标得来历:设{

1,2,…,n}就是空间V得一组基,V,可以由基1,2,…,n唯一线性表示=x1

1+x2

2+…+xn

n则x1,x2,…,

xn

就是在基{i}下得坐标。例1:求R2

2中向量在基{Eij}下得坐标。要点:

坐标与基有关坐标得表达形式例2

设空间F[x]4得两组基为:{1,x,x2,x3}与{1,(x-1)1,(x-1)2,(x-1)3}求f(x)=2+3x+4x2+x3在这两组基下得坐标。归纳:有了基,就可以将一个抽象得线性空间中得元素与一个实际得元素对应起来,从而将抽象具体化进行研究。大家学习辛苦了，还是要坚持继续保持安静*例3

设R22中向量组{Ai}1

讨论{Ai}得线性相关性、2求向量组得秩与极大线性无关组、3把其余得向量表示成极大线性无关组得线性组合、五、基变换与坐标变换讨论:不同得基之间得关系同一个向量在不同基下坐标之间得关系1基变换公式设空间中有两组基:过渡矩阵C得性质:C为可逆矩阵C得第i列就是

i

在基{

i

}下得坐标则过渡矩阵2坐标变换公式已知空间中两组基:满足::;讨论X与Y得关系

X=CY例已知空间R中两组基(I){Eij}(II);{}求从基(I)到基(II)得过渡矩阵C。求向量在基(II)得坐标Y。§1、2

子空间

概述:线性空间V中,向量集合V可以有集合得运算与关系:

Wi

V,W1

W2,W1

W2,问题:这些关系或运算得结果就是否仍然为线性空间？1、子空间得概念

定义:

设非空集合W

V,W

,如果W中得元素关于V中得线性运算为线性空间,则称W就是V得子空间。

判别方法:ImportantTheoremW就是子空间

W对V得线性运算封闭。子空间本身就就是线性空间。子空间得判别方法可以作为判别线性空间得方法子空间与非子空间得例子:V={x=(x1,x2,0｝

R

3,就是子空间V={x=(x1,x2,1｝

R

3,不就是子空间矩阵A

Rm×n,齐次线性方程组AX=0得解集:就是子空间S=｛X:AX=0｝

Rn,非齐次线性方程得解集:不就是子空间

M=｛X:AX=b｝重要得子空间:生成子空间

设向量组｛

1,

2,···,

m｝

V,由它们得一切线性组合生成得子空间:Span{

1,

2,···,

m}=L(

1,

2,···,

m)

=

｛k1

1+k2

2+···+km

m|

ki}

生成子空间得重要得性质:1)如果

1,

2,···,

m线性无关,则其为生成子空间Span{

1,

2,···,

m}得一组基;2)如果

1,

2,···,

r就是向量组

1,

2,···,

m得最大线性无关组,则

Span{

1,

2,···,

m}=Span{

1,

2,···,

r}

1,

2,···,

r就是Span{

1,

2,···,

m}得一组基题型举例2、子空间得“交空间”与“与空间”

讨论:设W1

V,W2

V,且都就是子空间,则W1

W2与W1

W2就是否仍然就是子空间？(1)

交空间交集:W1

W2=｛

W1

而且

W2｝

Vn(F)W1

W2就是子空间,被称为“交空间”(2)与空间与得集合:W1＋W2=｛

=X1＋X2

X1

W1,X2

W2｝,W1＋W2就是子空间,被称为“与空间”,例设R3中得子空间W1=L{e1},W2=L{e2}求与空间W1＋W2。

比较:集合W1

W2与集合W1＋W2。如果W1=Span{

1,

2,…,

m},W2=Span{

1,

2,…,

k},

则

W1＋W2=Span{

1,

2,…,

m,

1,

2,…,

k}

3、维数公式

子空间得包含关系:

dimW1W2

dimWi

dim(W1＋W2)

dimV。维数定理:dimW1＋dimW2=dim(W1＋W2)＋dim(W1W2)证明:……4、子空间得直与

分析:如果dim(W1

W2)

0,则

dim(W1＋W2)

dimW1＋dimW2所以:

dim(W1＋W2)=dimW1＋dimW2

dim(W1

W2)=0

W1

W2={0}直与得定义:

若

dim(W1

W2)=0,则与为直与

W=W1＋W2=W1

W2,子空间得“与”为“直与”得充要–条件:Theorem设W=W1＋W2,则下列各条等价:(1)

W=W1

W2;(2)

X

W,X=X1＋X2得表就是惟一得;(3)0得分解就是唯一得;(4)

dimW

=dimW1＋dimW2例

设在Rn×n中,子空间W1={A

AT=A},W2={B

BT=–B},证明Rn×n=W1

W2。

例§1、3线性空间V与Fn得同构

坐标关系V

FnV得基{

1,

2,。。。

n}由此建立一个一一对应关系

V,

X

Fn,()=X(1+2)=(1)+(2)

(k)=k()在关系下,线性空间V与Fn同构。同构得性质定理1、3、1:数域F上两个有限维线性空间同构得充分必要条件就是她们得维数相同。同构保持线性关系不变。应用:

借助于空间Fn中已经有得结论与方法研究一般线性空间得线性关系。§1·4线性变换(LinearTransformations)

一、

线性变换得概念1、线性变换得来历;Definition:(i)T就是V上得映射:T:V

V。

(ii)T具有线性性:T(

＋

)=T(

)＋T(

)

(保持加法得三角形法则)