吉林省某校2025届高三年级上册1月期末考试 数学试卷【含解析】

吉林省友好学校2025届高三上学期1月期末考试数学试卷【含解

析】

本试卷共19题，满分150分，共4页.考试用时120分钟.

注意事项：

L答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码粘贴到条形码区域内.

2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色中性笔书写，字体工整，笔迹清

楚.

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草

纸、试题卷上答题无效.

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱、不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有项是

符合题目要求的.

1.设全集IL'S},3={，5）,则/DIQBI等于（）

A.⑵B.IMc.⑸D.0.3}

【答案】D

解析：由题意，集合“,二3.45}/=（1.3.5）.B=（，5）,

则GB={L3.4）,所以.

故选：D

2.已知1为虚数单位，复数二"17,则匕卜（）

昱

A.2B./C.2D.2

【答案】B

解析：复数-所以口="+'

故选：B.

3.下列函数中，在（"+S）上单调递增的是（）

m.F=iogE=i+；

解析：函数I"5'在上均为减函数，

函数y=＞在(°，2)上为增函数.

故选：B.

4.若等差数列〔"”；的公差1=二%%1则4=()

A.-15B.-2SC.15D.28

【答案】B

解析：设％=72a?=8*,则3=%-即=7*-8*=■后=2,解得上=_?,

・.。7=-16,故％=。厂6rf=76-12=-28,

故选：B.

5.已知正数)上满足°：+9=1,则,4的最大值为()

叵二1

A.1B.-C.TD.4

【答案】C

社产+-—】

解析：已知正数a上满足a：+b：=l,则“'-2,

a=d=—

当且仅当2时取等号.

故选：C.

6.已知融=(Tcosa),5C=(2.0)CD=(2.2nnai若A,B,。三点共线，则tana

-1

A.-2B.2C.L2D.2

【答案】A

解析：根据题意，加=(T8£al,BC=(2.0),CD=(Cma),

则3D=2°+CD=(4.2nna),若4B.D三点共线，则布〃而，

则有4co$a=_?sma,变形可得tana=_[.

故选:A

,、±一±=]

7.若抛物线J=：「「「＞：”的焦点与双曲线了一了一的右焦点重合，则P的值为()

AAWB.2C.&D.2＞/2

【答案】A

——1/ol

解析：双曲线53的右焦点坐标为I

:—=1

根据抛物线J=；门"口>」)的焦点与双曲线5的右焦点重合,

可得与一…，所以

故选：A.

、co“-x)+(-x)‘cosr+x3

解析：因为*''।的定义域为R,且

所以，')为偶函数，排除选项B；

〃0)=等COsO=1

由e,排除选项D；

/(2n)=----——>0

由‘e",排除选项C.

故选：A.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知a,b,c为三条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是()

A,若a"baUd5UAanp=c,贝i]),「

B.若口"二工。占uacua,则aj.a

C若7a8匕0。小二4门u/ju,8,则u,尸

D若a1yJ.aAp=C.a1”，则a±d

【答案】AC

解析：对于A,因为“Idaua,所以又bu/7,ac/?=c,所以b〃c,所以a/JA正

确；

对于B,当b〃c'时，直线a不一定垂直于N,B错误;

对于c,由面面平行的判定定理可知，c正确；

对于D,由面面垂直性质定理可知，若直线a（Za,时，直线a不一定垂直于夕，D错误.

故选：AC

10.在△山（7中，内角48,0所对的边分别为a.b,c,已知a===则（）

cozA-—

B.3

C.C=3D.-

【答案】ACD

解析：因为所以sinB=2sm4cosAb=2aco&4,又a=3,b=2,

.1..D4^2,7

cciA=—,SUL4=-----,sinn=--------cow=-

所以339,又b<a,所以9,

cosC=-cos（^4+5i=-cosXcosB+sinXsinB=—=cos/、

3,所以c=a=>,

S>—hcsinX=—*2x3x-__*］邪

“223

故选：ACD

11.函数的导函数'=/（'）在区间Sil上的图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A.函数在'处有极小值

B.函数/।在七处有极小值

C.函数•""在区间‘0内有4个极值点

D.导函数’「在处有极大值

【答案】BD

解析：A选项，・'（'）在X='i左右两侧的V",所以、不是的极值点，A选项错误.

B选项，'I'1在、=v，左右两侧，左侧右侧「‘‘

所以函数在与处有极小值，B选项正确.

c选项，根据图象可知，「有a个极值点，1）左右两侧的▼>。，

所以丁=o不是的极值点，c选项错误.

D选项，”」的图象在丫=与左右两侧，左侧单调递增，右侧单调递减，

所以”在凡处有极大值，D选项正确.

故选：BD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

y-x

12.若实数】IJ二成等差数列，-2°节（「8成等比数列，则b.

1

【答案】4

-“v-x=-4--T--=1t

解析：•.•实数LIV-成等差数列，.I3,

成等比数列，

由—ab成等比数列得，/=-2>],故b<0,.♦/=-4,

_1_

故答案为：4.

13.已知幕函数」（*=（同'+旭-5）尸’在（0，+。）上单调递减，则用=.

【答案】-3

解析：由题意可得"'）=（加’+桁-5卜1为塞函数，则加'+州-5=1,解得力=—3或用=2.

当用=2时，/（•”='为增函数，不符合题意；

当防=-3时，〃R=x在（6+6）单调递减，符合题意.

故答案为：-3.

14.已知椭圆C的焦点在轴上，且离心率为于，则C的方程可以为.

x3y2

+-=1

【答案】43

J+、=l.a>*>0

解析：解：因为焦点在轴上，所以设椭圆的方程为b,

£__[一二J「1=3

因为离心率为三，所以门-2,所以/ct'孑，则J4,

+―=1

故答案为：43.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.已知数列间满足:4=1，"“】=%+式”.），数列㈤为单调递增等比数列，\=2,且

“自6-1成等差数列.

（1）求数列储：'也；的通项公式；

⑵设G=4+i°g在，求数列kJ的前〃项和口

【答案】⑴4=%-】也=y”；

T3n3-n

⑵4=丁

【小问1解析】

设等差数列1公差为d,

因为4“=/+J"wNI,所以q.I一怎=?I〃wN）

所以是公差为2的等差数列，

所以a*=flj+i-Ik?=l+2>T-1I=2/J-I

因为成等差数列，所以彻=d+与-i,

设WJ的公比为4,其中以=」，

4二+4-11

所以q,解得q=?或三，

当，=>时，4=L此时久二V二?”,11：为递增数列，满足要求，

q=l.b.=b3r=（—,,s

当：!时，q=L此时",I力，为递减数列，不合题意，

综上，4=%-3=产

【小问2解析】

由⑴得，Q=%T+1吗尸=劲一，

所以。川-6=35+1）_?-（劲一）|=3,

所以〔：｝是公差为3的等差数列，

力(1+3«-2)_如'一力

+q=1+4+…+3浮一二=

所以*>*>

/(x)=asinf2x+—+i

I6)当'WR时，1-P司

16.已知。函数

(1)求cb的值;

(2)求了的单调区间.

【答案］(1)。=-1/=2；

tn+-r.E+一.keZht-?.fcn+?.keZ

(2)单调递增区间是L63.,单调递减区间是-36

【小问1解析】

vxeR.sine[-U]a<0...asm卜+看e[a,-a]

asm

因此，可得

b+a=1

又=3,解得：a=-l，b-

【小问2解析】

由(1)知a，得

令三

——+后tSx3一+斥,(左wZ।

,得36

nK,n,

——+E、一+Am

函数6的增区间为L3

7C.ft*/._

/(I)――+E,—+上冗i<eZ।

得函数的减区间为L36

-•+2AnS2x+—S+2AJI—+KSxS——+JbtJAr€ZI

令？62，得63

)•=sin(2x+]三+尿二+日

函数的增区间为L6

71TT..K.J*T9

/(x)=-sin+2:+H,---+M.(6ZI

得函数.6的增区间为一63

71,->HttTC.Tt*/.e.

»t、一+Ani.—+E——+<n—+JbticeZi

综上所述,-11巾的单调增区间是L6单调减区间是L36

17.如图，在四棱锥尸中，平面平面凡48,uPHB为等边三角形，四边形加CD为

矩形，&为PB的中点.

（1）证明：平面比）E1平面?6c.

（2）若48=」月0,求二面角E-0C-3的余弦值.

26

【答案】（1）证明见解析；（2）7.

解析：（1）证明：因为一尸WB为等边三角形，E为28的中点，所以，江，尸B.

因为平面平面尸48且相交于45,AD1AB,4Du平面48CD,所以ZDJ■平面R45,

而尸Bu平面尸48,则4D1PB.

又40c•一H,⑷14Eu平面工。£,所以尸9_L平面工上田.

因为尸3u平面尸£「，所以平面,31平面丁5'「.

（2）解:以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系H-'J二.

E5，Q

不妨设尸8=XH=E4=2,则3=1,D（0©D,I2'2,）,C。？」），

ZX?=（0.2.0）I：：）

设平面EDC的法向量为E='>,

［而灰=0

则［而DE=Q

3i=o

—3A

代入可得I-Xj+-—■一二।=0

令则n=o,二广5

所以肩=（*，.）.

由题意可知？=口匚山是平面4EC0的一个法向量,

mn2|2>/7

|cos<m.i>|=

|m||n|77x1

所以7

—

18.已知双曲线43,直线/J'=hT

'1,若直线/与双曲线C有两个不同的交点，求左的取值范围;

‘二|尸为双曲线C右支上一动点，点A的坐标是I?求户4的最小值.

(y=Jkx-1

解析：解：⑴由整理得1*-3|'-+16=0

4V-3#0

所以IA・(WY*才.M解得“土可且

:‘伞屋必£叫u怪"

\•/\•・)\)

因为1N2,

所以x=?时，

19已知函数«>0)

(1)当。=二时，试求函数图象在点“I处的切线方程;

(2)若函数"有两个极值点1V1<今1；

(i)求。的取值范围；

(ii)不等式门.2nM恒成立，试求实数门的取值范围.

【答案】⑴'—-3=0

1(3,J

0<a<--In2

(2)(i)2；(ii)\-J

【小问1解析】

、门ri=3Fnr/*(x)=?T-2+—

当a=?时，.ii-'一r.-UiT,故T

3

故/⑴--一+1：X/(1I=1-2=-1；则切点为(”l),

故函数图象在点处的切线方程为JTTO*-",即1r-.r-3=0；

【小问2解析】

因为函数--”在(。，+8)上有两个极值点，

所以需满足卜：-