江苏省徐州市某中学2024-2025学年高二年级上册期末质量评估数学试题

江苏省徐州市第三中学2024-2025学年高二上学期期末质量评

估数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.若方程Y+y2-2y-"7=0表示圆，则实数机的取值范围为()

A.(-8,1)B.(l,+oo)c.D.(-l,+oo)

2.若直线/：〃吠+3=4和圆O：/+y2=4没有交点，则过点Pg,“)的直线与椭圆

22

土+匕=1的交点个数为()

94

A.0个B.至多有一个C.1个D.2个

3.过点A(3,l)的圆C与直线》-丫=。相切于点8(1,1),则圆C的方程为()

A.(x—2厂+y?=2B.(x—2)~+(y—1厂=1

C.(尤一3)2+(y-4)2=9D.(x-3)2+(y+1)2=8

4.如果方程Y+@2=2表示焦点在〉轴上的椭圆，那么实数％的取值范围是()

A.(1,+8)B.(1,2)C.(1,1)D.(0,1)

5.己知等比数列｛4｝满足q=2,a3-a5=4aj,则4的值为()

A.-B.±C.1D.2

42

6.已知数列｛%｝的前〃项和S”=2"i-2,若p+q=5(p,qeN*),则4A7=()

A.8B.16C.32D.64

7.如图，已知抛物线V=2x,过点P(LO)和。(3,0)分别作斜率大于。的两平行直线，交抛

物线于A,8和C,D,连接AO交x轴于点*,0),则直线48的斜率是()

A.1B.72C.y/3D.2

22

8.已知双曲线C：予备=1（。>0,6>0）的右焦点为尸，左顶点为A,M为C的一条渐近

线上一点，延长交y轴于点M直线AM经过ON（其中。为坐标原点）的中点8,且

|ON|=2忸闸，则双曲线C的离心率为（）

5L

A.2B.yfsC.—D.2\3

二、多选题

9.已知等差数列｛4｝的前〃项和为SgeN*）,公差d钝,$6=90,久是。3与重的等比

中项，则下列选项正确的是（）

A.%=22B."=一2

C.当且仅当”=10时，s,取得最大值D.当S“>0时，”的最大值为20

10.已知数列｛4｝的前"项和为S",«1=1,%=3,且%+]-4=5“-5“_1+1（7此2）,则下

列说法正确的是（）

A.数列｛%｝的通项公式为凡=2"-1

B.右b”=an+1,则^2022^,2=^1012

C.数列电+科为等比数列

D.Sn+n+l=a,M

11.已知点0为坐标原点，直线y=x-i与抛物线y2=4x相交于A、B两点，则（）

A.|AB|=8B.OALOB

试卷第2页，共4页

c.VA03的面积为20D.线段A8的中点到>轴的距离为2

三、填空题

22

12.设P为椭圆M：土+产=1和双曲线N：尤2—匕=i的一个公共点，且p在第一象限，

10'8

下是M的左焦点，贝||尸耳=.

13.S,是公差为2的等差数列｛4｝的前〃项和，若数列｛忖口｝也是等差数列,则q=.

14.设S,是数列｛%｝的前〃项和，5„=|a„-3"+1,则%=；若不等式％士二/对任

意〃eN+恒成立，则上的最小值为.

四、解答题

15.已知数列｛。“｝满足：q=g，出=1，。”+2+4。“=5。“+1(weN*).

⑴证明：数列｛。向-。“｝是等比数列；

(2)求数列｛%｝的通项公式.

16.如图，在平面直角坐标系xOy中，点4(0,3),直线/：y=2x-4,设圆C的半径为1,

圆心在/上.

⑴若圆心C也在直线y=x-l上，过点A作圆C的切线，求切线方程；

(2)若圆C上存在点使MA=2MO,求圆心C的横坐标。的取值范围.

17.已知数列｛%｝,｛2｝满足6产%+「4,其中,neN*.

⑴若q=2,bn=2".

①求证：｛%｝为等比数列；

②试求数列｛〃•%｝的前a项和.

⑵若2=4+2，数列｛q｝的前6291项之和为1926,前77项之和等于77,试求前2024项之

和是多少？

18.已知椭圆工+V=1的左右顶点为A、B,直线/：尤=1.已知O为坐标原点，圆G过点

4

(1)记直线AM,AN的斜率分别为尤、k2,求左义的值；

(2)证明直线P。过定点，并求该定点坐标.

19.已知｛风｝为等比数列，“+%=4,记数列｛"｝满足2=log3%+i，且2+「2=1.

(1)求｛%｝和也｝的通项公式；

(2一死”““为奇数

(2)对任意的正整数〃，设c,=bnbn+2，求匕｝的前2"项的和邑”.

a也，几为偶数

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案DDADCCDABI)ABD

题号11

答案AC

1.D

【分析】将方程化为标准式即可计算求解.

【详解】解：方程/+—相=0可变形为V+(y—1)2=m+1,

因为方程表示圆，则祖+1>0,所以〃2>-1.

故选：D.

2.D

【分析】根据题意得至U〃，+〃2<4,求得点尸(加,〃)是以原点为圆心，2为半径的圆及其内

部的点，根据圆加2+*=4内切于椭圆，得到点P(〃?,w)是椭圆内的点，即可求解.

【详解】因为直线/：："+冲=4和圆0:/+3/=4没有交点，

,|0+0+4|

可得In>2,即〃，+<4,

+n"

所以点P(犯〃)是以原点为圆心，2为半径的圆及其内部的点，

22

又因为椭圆上+?-=1,可得〃=3/=2,

94

22

所以圆M+〃2=4内切于椭圆，即点P(加,W)是椭圆上+乙=1内的点，

94

所以点尸(私〃)的一条直线与椭圆的公共点的个数为2.

故选：D.

3.A

【分析】求得圆心和半径，由此求得圆的方程.

【详解】设圆心为(“/),半径为广，

(a-3)2+(Z?-l)2=(a-l)2+(Z7-l)2

则加11，

-----=—1

、〃一1

解得。=2,6=0,所以圆心为(2,0),

答案第1页，共12页

半径r==^（2-1）2+（0-1）2=A/2.

所以圆C的方程为（x-2＞+y=2.

故选：A

4.D

2

【分析】化曲线方程为椭圆的标准方程，由题意可得彳＞2,求解此不等式可得上的取值范

k

围.

【详解】由方程f+62=2,可得了+?T,

I

因为方程炉+仔2=2表示焦点在y轴上的椭圆，可得彳＞2,解得。＜々＜1.

K

所以实数上的取值范围是（0,1）.

故选：D.

5.C

【解析】根据%”5=4a3利用等比数列的性质求得"2,再利用通项公式求解.

【详解】在等比数列｛%｝中，4=2,毋%=4,，

所以。「=44，

所以",

所以%=-=1,

故选：C

6.C

【分析】当〃=1时，由5"=2向-2可得％,当“22时，a“=S“-Sa，验证q是否适合可

得通项公式，代入通项公式求解可得结果.

【详解】解：当〃=1时，%=£=22-2=2,

n+lB

当“N2时，an=S“-S,i=2-2-（2-2）=2",

,二q=2,符合上式，

二数列｛4｝的通项公式为：。"=2"

答案第2页，共12页

〃陷=2〃2=2^=25=32,

故选：C.

7.D

【分析】由题知如=-3%，进而设直线AD的方程为x=,孙+；(加>0),与抛物线联立方程

m=1

得力+%=2外力•如=-3,进而可得,以=-1,再求斜率即可.

J°=3'一

【详解】解：因为P(IQ),2(3,0),M［，。］，所以四|=：,|QW|=|，

因为AB//CD,

所以AAMPS

即,%=

所以|陷2|\MQ\yD3-3%,

因为过点尸。，0)和。(3,0)两平行直线AB,CD斜率大于0

所以，直线AD斜率大于0,

故设直线AD的方程为x=my+-(m>0),

’_3

联立方程」—^*5得V—2冲-3=0,

y1=2x

所以%+%=2m,yA-yD=-3

%+为=2mm=l

3

所以，-yA-yD=-，解得，力=T

-3%=%=3

所以ag，-1,

-1-0

所以1;=2,即直线A8的斜率是2.

-----1

2

故选：D

8.A

【分析】由中点8,且|ON|=2忸用得NFLO暇，由点到直线距离公式得|引图=3,从而得

答案第3页，共12页

=OA=a,通过三角形全等证得△MNB为等边三角形，然后得一，从而计算出离心率.

a

22

【详解】记M为双曲线C2告=1（。>0,6>0）的渐近线析-◎=。上的点，因为

\ON\=2.\BM\,且|。到=忸2，所以NBOM=NBMO,ZBMN=ZBNM.

所以NF，ON.因为右焦点F（c,O）到渐近线bx-ay=O的距离尸上*=b,

7b+a

所以|OM|=|Q4|=a.所以NBAfO=NBAO,所以NBOM=NBAO,

所以及！AOB^RtlOMN,所以NABO=NOMW,

又因为ZMNB=NNMB,ZABO=ZNBM.

所以AM由为等边三角形，所以4WO=60。，所以/MFO=30。，

BP-=tan600=73,所以e=、"=2・

aVa2

【分析】先求出d=-2,q=20,从而可判断AB的正误，再求出通项公式，根据其符号可

判断C的正误，求出S“并解不等式S“>0,故可判断D的正误.

【详解】因为$6=9。，故6q+15d=90,又（4+6"1=（弓+2d）（4+8d）,

2al+5d=30

整理得到：，％4+1。屋=0,故d=-2,a,=20,故A错，B正确.

dw0

又。“=22-2n,

答案第4页，共12页

当〃之12时，?<0；当1«几《10时，%>。；当〃=n时，%=。，

故当且仅当〃=10、〃=n时，S〃取得最大值，故C错误.

又S"=20”"丁)x2=-n2+21n,

令S”>。，贝10<〃<21即”的最大值为20,故D正确

故选：BD.

10.ABD

[S-S„.,n>2

【分析】对于选项A,因为。"=；,所以％+1=20+1)(“22),从而判断出

｛«„+1｝为等比数列，从而求出｛«„｝的通项公式；

对于选项B,通过选项A中｛q+1｝为等比数列，判断出色｝为等比数列，从而得到答案；

对于选项C,因为｛〃“｝的通项公式已知，通过分组求和得到5“，从而判断出｛与+〃｝是否为

等比数列；

对于选项D,通过选项A和D可以得到〃“和S〃，从而判断S*+〃+l=4+]是否正确.

【详解】对于选项A,%+「4=S.-S„_,+1(〃>2),贝I]an+]+1=2(%+1)(〃22),又苔=2,

故数列｛%,+1｝是以首项为2,公比为2的等比数列,所以凡+1=2",即凡=2"-1,故A正

确；

对于选项B,b„=an+\=T,则圾｝为等比数列，所以为。228=%2,故B正确；

对于选项C,由S“=g>=2向一2-〃，得5"+”=2用-2,又(岳+1)(邑+3)*(星+2)2,则

1=1

数列©,+〃｝不是等比数列，故C错误；

对于选项D,易得S“=2"+|-2-〃=2(2"-1)一〃=2%-〃=°“+1-1-九，即S,,+"+l=a,”[,故D

正确.

故选：ABD

11.AC

【分析】通过解方程组求出交点坐标，结合两点间距离公式、点到直线距离公式、中点坐标

公式、直线垂直的性质逐一判断即可.

答案第5页，共12页

［详角星］由=>x2—6X+1=0=>A:=3±2\/2,

［y=x—1

不妨设A(3+20,2+2A/2),B(3-2衣2-2扬,

因为［AB］=+（4\/^）=8,所以选项A正确;

因为koA，k（）B2+2&2-2省一〜］,所以04,03不互相垂直，因此选项B不正确;

3+2夜3-2V2

因为点（0,0）到直线y=x-1的距离为"；（［J=T，

所以VAQB的面积为工乂8*走=2应，因此选项C正确；

22

因为线段A8的中点的横坐标为：3+2&+3-2>=3,

2

所以线段A2的中点到y轴的距离为3,因此选项D不正确,

故选：AC

12.A/10+I/I+VIO

【分析】先求出尸点坐标，再联立椭圆和双曲线方程，求出P点坐标，运用两点距离公式

即可.

【详解】对于椭圆M,a2=10,&2=1,c2=a2-b2=9,F(-3,0)；

—Hy=1

联立方程IO2，解得尤2=¥，/=，,

d-二=199

18

因为尸在第一象限，,

=7n+2Vio=Vio+i；

故答案为：W+i

13.-1或3

【解析】可由特殊值求出4,再验证对所有正整数“，都有数列｛斤门｝是等差数列

【详解】由题意S.=〃q+吟［义2=1+（4-1）〃，

答案第6页，共12页

:数歹1Hs是等差数列

2JS?+1=JS]+l+JSs+l,2,24+3=Jq+1+13al+7,解得%=-1或%=3,

22

4=—1时，y/Sn+l=yjn-2n+l=n-l,%=3时，^Sn+1=^ln+2n+l=n+l,均为〃的

一次函数，数列｛/市｝是等差数列，

故答案为：-1或3.

【点睛】本题考查等差数列的前〃项和公式，考查等差数列的证明，如果数列的通项公式是

〃的一次函数，则数列一定是等差数列.

14.(4"+2)3”—

36

【分析】利用题设条件可得;+2x3",化简后可得金=詈为+2,从而可求

｛为｝的通项，再利用数列单调性求出的最大项，从而可求参数的取值范围.

【详解】因为5“=14一3向，故％=声「9即卬=18.

因为臬=万为一3向，故当〃》2时，S,T=y“r3",

3313

故氏=-«„-3"+1+3",整理得到54=5%+2x3",

所以詈］=詈合+2,故［悬■为等差数列且首项为生=3,公差为2,

故金=3+2(〃-1)=2"+1，故%,=(4"+2)3".

，xn

又。即为(4〃+2)3"N^^,极2尿吟.

设/(〃)=/，则当“22时，==

故｛〃")｝为单调递减数列，故/(〃)1■=:，

故22：即上的最小值为上.

336

故答案为：(4〃+2)3”,

36

15.(1)证明见解析

(2)a„=*T+i)(〃eN*)

【分析】⑴结合递推公式利用等比数列的定义证明即可；

(2)结合(1)中结论，利用累加法和等比数列求和公式即可求解.

答案第7页，共12页

【详解】(1)证明：：a“+2+4%=5。,,+1，neN,,

«„+2-«„+i=4(4+i-。“)，neN"，

.._1一•”“一1

•q-~>a2—1j.・a[〃]一,

•1•数列｛a用一凡｝是以|■为首项，4为公比的等比数列.

23

(2)由(1)知，a„+1-fl„=|x4-'=2--,

当〃22时，

an=—。〃_1)+(a〃_i~an_2)■1-----F(出一％)+%

当"=1时，q=g(2T+l)=g满足上式.

所以，«„=|(22-3+l)(«er).

16.⑴y=3或3x+4y-12=0；

⑵[0,《]

【分析】(1)两直线方程联立可解得圆心坐标，又知圆C的半径为1,可得圆的方程，根据

点到直线距离公式，列方程可求得直线斜率，进而得切线方程；

(2)根据圆C的圆心在直线/：y=2尤-4上可设圆c的方程为(x-a)2+[y—(2。-4)『=1,

由跖4=2MO,可得Af的轨迹方程为f+(y+l)2=4,若圆C上存在点M,使M4=2MO,

只需两圆有公共点即可.

y=2x-4,

【详解】⑴由｛1I得圆心OS)，

:圆C的半径为1,

...圆C的方程为：(x-3)?+(y-2)2=1,

显然切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为了=依+3,即依-y+3=0.

.佻-2+3|

■,g一，

答案第8页，共12页

3

：.2k(4k+3)=0,.,・左=0或左=——.

4

・・・所求圆C的切线方程为广3或3x+4y-12=0.

(2),・,圆C的圆心在直线/：y=2x—4上，所以，设圆心。为(。,2。—4),

则圆C的方程为(x—o)2+[y—(2a—4)『=l.

又=

...设M为(x，y),则正+(y-3)2=2M+y2,整理得/+(,+1)2=4,设为圆O.

所以点M应该既在圆C上又在圆。上，即圆C和圆。有交点，

|2-1|<^2+[(2«-4)-(-1)]2<|2+1|,

由5。2-12。+820,得aeR,

12

由5片—12。40,^0<a<—.

'12'

综上所述，。的取值范围为0,y.

17.⑴①证明见解析；②5”=("-1)-2角+2

(2)7M〃=1849

【分析】(1)①，利用累加法求解““即可；

②由①得q=2",令％=解,=小2",匕｝的前〃项和为S“，利用错位相减法求解数列的和即可;

(2)推出数列｛%｝是一个周期为6的周期数列,然后求解数列｛4｝的任意连续6项之和为0,

然后利用其周期和相关值求出卬,见，则得到答案.

【详解】(1)①证明：；%+「%=2”,当"22时累加得

%=(%-。"-2)+…+(%-4)+4

=2"-1+2"—+…+)+2

2(1-2"-1)

+2=2”

~1^2~

.-.—=^-=2,(n>2),又=2,4=2,%=4,r.&=2

42"a\

所以｛%｝为首项为2,公比为2的等比数列.

答案第9页，共12页

②由①得。"=2",令g=啊,=小2",｛%｝的前〃项和为S",

则S"=J+C?+C3+…+c“_]+c“=1,2+2•2~+3-2^+…+(〃—1)•2"'+〃•2”,A

2S„=1-22+2-23+3-24+...+(«-1)-2"+;1-2,!+1,B

+l

A-B^-Sn=2+^+1?+...+T-n-T

c22(1-2"-1)

H+1M+1

__!1^2-7J-2=(1-M)-2-2

5„=(M-1)-2,,+1+2

(2)若优=an+2=an+1-an,则an+3=an+2-an+1=-annan+6=-an+3=an,

所以数列｛4｝是周期为6的周期数列，设a2=t,则生="根，a4=-m,as=-t,

a6=m-t,/.%+%+%+/+%+%=0

设数列｛风｝的前〃项和为小贝崎〃=0.

所以"291=纵心6+3=4尸2%=1926=>%=963，

177=（2x6+5=公="3=77,所以q=出—。3=886

所以4）24=437x6+2=5=%+%=886+963=1849.

18.⑴匕•左2=-§

（2）证明见解析，

【分析】（1）首先设出点M，N的坐标，根据00_LQV,利用斜率公式表示《•履；

（2）当直线尸。的斜率存在时，设直线方程，=辰+机，与椭圆方程联立，利用韦达定理表

77yy?1

示加~=（西+2履+2）=3从而得到人与优的关系'计算定点坐标'并验证当直线

的斜率不存在时，也过此定点.

【详解】（1）由已知可得MN为圆G的直径，所以Q0LON,则

根据题意不妨设"（1,机），N（l,n）,A（-2,0）贝麟〃=一1,所以

mnmn1i

^•^=TZpyTTpj=---=--,所以勺能=一§.

答案第10页，共12页

（2）证明：当直线P。的斜率存在时,

设直线尸。的方程为丫=辰+根，。（%,%），

联立二汇4,得0+仆2+如+（4--4）=0,所以…一高4m2-4

XlXr)—Z-，

121+4严

m2-4k2

2

=[kx1+m)(H2+m)=kx1x2+km(x、+x2)=

1+4左2

所以心p.KQ=(x++2)==9必必+x\x2+2(%i+々)+4=0,

~2c徵2—4k24m2-4J8km1"八<八三八一八

所以9x------H-------—+2-------+4=0^>13m2-16km-20k2=0,

1+4P1+4左211+4VJ

（13m+10左）（加一2左）=0即m=-—k,或加=2左，

当机=一£左时，直线/的方程为y=过定点

当加=2左时，直线/的方程为、=左（》+2）,过定点4（-2,0）,舍去.

当直线PQ斜率不存在时，M（l,l）,N（L-l）,A（-2,0）,

直线40方程是y=；（x+2）与椭圆方程9+y2=i联立得尸,同理得,

此时直线尸。的方程是x=\