将军饮马模型解读与提分训练（解析版）-2024-2025学年北师大版八年级数学上册

将军饮马模型解读与提分精练

将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生

能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解决几

何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化

归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类

问题有比较清晰的认识。

大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒

置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样

才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法

的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中

提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因

为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几

何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每

一个题型，做到活学活用！

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例题讲模型

........................................................................................................................................2

模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动）................................2

模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动）................................29

模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动）..................................53

模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动）..................................68

习题练模型一

----------------------J......................................................................................................................................79

例题讲模型］

模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动）

模型解读

条件：A,5为定点，胆为定直线，尸为直线加上的一个动点，求4P+5P的最小值。

模型（1）点4、5在直线a两侧：模型（2）点/、5在直线同侧：

模型（1）点/、5在直线两侧:模型（2）点4、3在直线同侧:

图⑴图（2）

模型（1）：如图（1）,连结N8,根据两点之间线段最短，/P+8P的最小值即为：线段的长度。

模型（2）：如图（2）,作点N关于定直线%的对称点，，连结/方,根据两点之间线段最短，/尸+8尸的最小

值即为：线段/‘3的长度。

模型运用

例1.（2024•福建•八年级期末）如图，在MA43c中，/4CB=9Q。,NC=8C,点C在直线上，ZBCN

=30。，点P为"N上一动点，连结4P,BP.当4P+AP的值最小时，NCAP的度数为

A

【答案】15。##15度

【分析】作点3关于儿W的对称点。，连接4D交MN于P,连接8尸，CD,先证明△BCD是等边三角形,

从而得到“C=CD,ZACD=ZACB+ZBCD=150°,进而求得/CDP=15。，据轴对称性得/C8P的度数.

【详解】如图，作点5关于的对称点。，连接/。交MV于P,连接8P,CD,

7点8与点。是关于MN的对称点，NBCN=30。,：.BC=CD,ZBCD=60°,ASCZ）是等边三角形，

；NACB=9Q°,AC=BC,：.AC=CD,ZACD=ZACB+ZBCD=150°,：.ZCDP=15°,

,/点2与点。是关于MN的对称点，，且△BCD是等边三角形，

...由等边三角形的轴对称性可知：ZCBP=ZCDP=15°,故答案为：15。.

【点睛】本题考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质，轴对称最短线路问题等知识，明确/P+8尸的最

小值为ND长是解题的关键.

例2.（23-24八年级上•黑龙江牡丹江•期末）如图，等边A/BC中，AH1.BC于点、H,点。为的中点,

SAABC=12,AB=6,点、E为4H上一点,连接BE,DE,如果m=BE+DE,那么加的最小值为.

【答案】4

【分析】本题考查等边三角形的性质，轴对称解决线段和最小的问题，根据等边三角形三线合一，得到点2,C

关于/〃对称，进而得到加根据三角形的面积求出8的长即可.

【详解】解：连接C2CE,

•等边“8C中，于点”，；.点8,C关于⑷/对称，BE=CE,

m=BE+DE=CE+DE>CD,

•.•点。为4B的中点，.•.CDLNB,...S/Bc=g4s-8=12,

*/AB=6,二机的最小值为4；故答案为：4.

例3.（23-24八年级上•陕西延安•阶段练习）如图，N/8N=60。，点C为射线8N上一定点，E为线段48

延长线上一定点，且5E=/3=12,点/关于射线2N对称点为。，连接AD,CD,DE,若尸为直线3C

上一个动点，则△PDE周长的最小值为（）.

A.12B.24C.36D.48

【答案】C

【分析】如图：连接利用对称的性质得到BN垂直平分则A4=AD,CA=CD,然后证明

AB4C均BDC（SSS）可得NDBN=NABN=60°；然后证明△8DE为等边三角形，所以DE=BE=12,再利用

2N垂直平分/D,则P4=PD,所以PE+PD=PE+P42AE（当且仅当尸、4、E共线时取等号），于是可

判断P点运动到B点时，PA+PE的是小值为24,然后求出的最小周长即可.

【详解】解：如图：连接

:点/关于射线5N对称点为BN垂直平分ND,.•.64=8。，CA=CD

在A&4C和中，BA=BD,CA=CD、BC=BC,

：.^BAC^BDC（SSS）,：.ZDBN=ZABN=60°,

,?BE=BA,BA=BD,：.BE=BD：.ZE=ZBDE,

VZABD=ZE+ZBDE,:.NE=NBDE=60。,；.为等边三角形，:.DE=BE=T2,

：8N垂直平分40,；.PA=PD,：.PE+PD=PE+PA,

PE+PA>AE,：.当且仅当A/、E共线时取等号，即点P点运动到8点时，PE+P4的最小值为24,

此时周长的最小值为36.故选C.

【点睛】本题主要考查了轴对称-最短路线问题、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、等边三角

形的判定与性质等知识点，利用轴对称把几条线段的和转化为一条线段，然后利用两点之间线段最短是解

题的关键.

例4.（23-24八年级上•山东济宁•期末）如图，在“8C中，AB=AC,ZB=60°,ADJ.BC于点、D.P是

AD上的一个动点，PEL4C于点E,连接CP.若40=6,则PC+PE的最小值是（）

【答案】B

【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、轴对称一路线问题，作BE'L/C于E',交4D于P,连接

P'C,PB,根据等边三角形的判定与性质可得瓦？=4。=6,点C关于4D的对称点为点B,从而得出当

p、B、E在同一直线上且BEL/C时，PC+PE的值最小，为BE，，即可得出答案，熟练掌握以上知识点

并灵活运用是解此题的关键.

【详解】解：如图，作8E'_L/C于£，，交4）于P，连接PC,PB,

・•・在"8C中，AB=AC,ZB=60。，.1A/BC是等边三角形,

AD1BC,BE'±AC,BE'=AD=6,BD=CD,

...点C关于4D的对称点为点B,.•.尸C=P8,.•.尸C+P£=P8+PE,

:.当P、B、£在同一直线上且BEL/C时，PC+PE的值最小，为BE',

PC+PE的最小值是6,故选：B.

例5.（23-24八年级上•浙江宁波・期中）如图，在四边形A8CDDA1AB,DA=6cm,Z5+ZC=150°,4刚

好是9中点，P、。分别是线段CE、5E上的动点，则8尸+尸。的最小值为（）

C

【答案】D

【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，直角三角形30。所对直角边等于斜边的一半，正确的作出图形

是解题的关键.凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情

况要作点关于某直线的对称点.作点8关于CE的对称点尸，连接8尸、EF,则当尸、P、。在同一直线上,

且尸时，则2尸+尸。最小值为尸。的长，计算求解即可.

【详解】作点3关于CE的对称点尸，连接8尸、EF,则助=£f，

VZ5+ZC=150°,/.BEC=30°,Z.ZBEF=60°,△BE1尸是等边三角形，

连接AP、PF、PQ,则BP=FP,：.BP+QP=FP+PQ,

当尸、P、。在同一直线上，且尸。，即时，则BP+P。最小值为尸0的长,

此时，。为E3中点，故与A重合，/_L48,ZM=6cm,二/£=6Gcm,

在必A0E产中，FQ=~^AE=#>义6也=18(cm),

.•.3P+P。最小值为18cm.故答案为：18cm.故选：D.

F

例6.(23-24八年级上•安徽芜湖・期末)如图，在等腰直角。BC中，ZACB=90。,AC=BC,。为8c的

中点，48=8,点P为4B上一动点，则PC+尸。的最小值为.

【答案】2M

【分析】根据勾股定理得到BC,由中点的定义求出BD,作点C关于AB对称点C，，则PC=PC,连接

DC,交AB于P,连接BC,止匕时DP+CP=DP+PC=D。的值最小.由对称性可知NCBA=NCBA=45。，于

是得到/CBC=90。，然后根据勾股定理即可得到结论.

【详解】解：在等腰直角。5c中，ZACB=90。,4C=BC,AB=8,

行

,/AC2+BC2=AB2,.-.AC=BC=—ylS=4V2.*.,。为8c的中点，；.BD=2啦.

2

作点C关于AB对称点。，交AB于点O,则PC=PC,连接DC,交AB于P,连接BC.此时DP+CP=DP+PC=DC

的值最小.

D

'P

:点C关于AB对称点C1.-.ZC,BA=ZCBA=45°,BC'=BC=4母,：.ZCBC'=90°,

：.DC'=yjBD2+BC'=2&U,故答案为：2回.

【点睛】此题考查了轴对称-线路最短的问题，等腰直角三角形的性质，以及勾股定理等知识，确定动点P

何位置时，使PC+PD的值最小是解题的关键.

模型2.将军饮马模型(双线段差的最大值)(两定一动)

模型解读

条件：A,3为定点，”,为定直线，尸为直线/上的一个动点，求|4P-AP|的最大值。

模型(1)：点45在直线同侧:模型(2)：点N、5在直线股异侧:

A

图(2)

模型(1)：如图(1),延长N2交直线加于点P,当/、B、尸不共线时，根据三角形三边关系，有：

\P'A-P'B\<AB,当2、尸共线时，^\PA-PB\=AB,^L\PA-PB\<AB,即|4P-AP|的最大值即为：线段N2的

长度。

模型（2）：如图（2）,作点2作关于直线加的对称点夕，连接/夕交直线加于点P,此时依=P2。

当4、B、尸不共线时，根据三角形三边关系，有：［P'A-P'B^P'A-P'B'^AB',

当4B、P共线时，有|尸/-尸8|=|尸/-尸夕|=/"，tiL\PA-PB\<AB',即的最大值即为：线段N2’的长度。

模型运用

例1.（2024•云南昆明•八年级期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1,格点三角形

（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点4c的坐标分别为（-4,5）,（-1,3）.（1）请作出A/BC关于/

轴对称的M'BC；（2）在y轴上找一点尸，使R4+PC最小；（3）在x轴上找一点°,使。最大.

【答案】（1）图见解析；（2）P点见解析；（3）Q点见解析.

【分析】（1）先描出对应点，再依次连接即可；（2）C点关于y轴对称点为0,所尸4+尸。=尸/+尸。最短

为4C,（3）根据三角形两边之差小于第三边，可得a-Q3V/8（当Q在AB的延长线上等号成立），由

此可得Q点.

【详解】解：（1）如图所示；（2）如图，连接ZC'与y轴交于P,此时PA+PC最小；

(3)延长AB与x轴交于Q,此时。最大.

【点睛】本题考查坐标与图形变换一轴对称，三角形三边关系.熟知轴对称的性质是解答此题的关键.

例2.(2024•江苏泰州•八年级专题练习)如图，在中，AB=AC,/C的垂直平分线交NC于点N,交

AB于点、M,AB=ncm,△8A/C的周长是20c〃z,若点P在直线MN上，则】%-P8的最大值为.

【详解】解：垂直平分NC,

XCABMc=BM+MC+BC=20cm,BM+MA=AB=\2cm,：.BC=2Q-12=8(cm),

在跖V上取点尸，：肱V垂直平分4C连接尸/、PB、PC

：.PA=PC：.PA-PB=PC-PB在△P8C中PC-PB<BC

当尸、B、C共线时，即P运动到与尸重合时，(PC-PB)有最大值，此时尸C-P3=8C=8CTM.

例3.（2023•江苏南通•模拟预测）如图，已知“BC为等腰直角三角形，/C=3C=4,/BCD=15。,

P为CD上的动点，则|尸/-尸目的最大值为（）

A.4B.5C.6D.8

【答案】A

【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、轴对称图形的性质；通过轴对称图形的性质转化线段和角是

解题的关键.作点B关于直线CO的对称点E,连接4E并延长交CO于点尸，连接CE、PE-,易得

PB=PE,BC=CE,NPCE=/BCD=15。；进而构造出等边然后根据三角形的三边关系可得

\PA-PB\=\PA-PE\<AE.求出4E的长即可

【详解】解：如图，作点3关于直线CD的对称点E,连接NE并延长交。。于点尸，连接CE、PE；

由轴对称图形的性质可知：PB=PE,BC=CE,NPCE=NBCD=）5。

A\PA-PB\^\PA-PE\<AE即：当尸、£、/三点共线时，忸/一%二=/石

VAABC为等腰直角三角形，AC=BC=4：.ZACB=90°,CE=BC=AC=4

：.NACE=NACB-（ZBCD+NPCE）=60°/.AACE是等边三角形

/E=/C=4即：即的最大值为4故选：A.

例4.（2024・江苏•九年级月考）如图，点A,3在直线的同侧，A到"N的距离ZC=8,8到MN的距

离BD=5,已知CD=4,尸是直线肱V上的一个动点，记尸力+尸8的最小值为。，归”-尸理的最大值为6,

贝1/一/的值为（）

A.160B.150C.140D.130

【答案】A

【分析】作点/关于直线跖V的对称点4,连接H3交直线于点P,则点尸即为所求点，过点H作直线

AELBD,在根据勾股定理求出线段48的长，即为尸/+尸2的最小值，延长48交AW于点尸'，止匕时

P/-=48,由三角形三边关系可知">俨"尸却，故当点P运动到p时e/一最大，过点8作鸵，NC

由勾股定理求出AB的长就是目的最大值，代入计算即可得.

【详解】解：如图所示，作点/关于直线的对称点4,连接48交直线于点尸，则点P即为所求点,

过点4作直线/E_LAD,

VAC^8,BD=5,CD=4,4'C=8,BE=8+5=13,A'E=CD=4,

在做4E3中，根据勾股定理得，A'B=^BE+A'E=V132+42=V185;即P/+P3的最小值是。=丽;

如图所示，延长交于点P,

,:PA-PB=AB,AB>\PA-PB\,二当点P运动到尸，点时，|"一网|最大，

过点2作跖，NC,则5E=CD=4,:.AE=AC-BD=8-5=3,

在中，根据勾股定理得，AB=^AE2+BE2=732+42=5-

/.\PA-PB\=5,即6=5,a2-Z>2=（V185）2-52=160,故选A.

【点睛】本题考查最短线路问题和勾股定理，解题关键是熟知两点之间线段最短及三角形的三边关系.

模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动）

模型解读

如图，N为定点，在直线加、〃上分别找两点尸、Q,使三角形4P0的周长C4P+PQ+Q4）最小。

模型证明

证明：如上图，作点/分别关于定直线加、"的对称点/'、连结/瓦

根据对称得至U：QA=QAPA=PA’',PA+PQ+QA=PA"+PQ+QA

再利用“两点之间线段最短"，得到尸N+P0+a的最小值即为：线段的长度。

模型运用

例1.（23-24八年级上•湖北武汉・期末）如图，锐角”3C中，乙4=30。，BC=2,AA8C的面积是6,D、

E、尸分别是三边上的动点，则AZ）EF周长的最小值是（）

A.3B.4C.6D.7

【答案】C

【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，垂线段最短，等边三角形的性质与判定等等，作点E关于

的对称点作点E关于/C的对称点N,连接FM,DN,MN,AN,/E,根据轴对称的性质可

得AM=AE=AN,MF=EF,ED=ND,ZMAB=ZBAE,NCAE=NCAN,则可得NM4N=60。，进一步可

得当点在一条直线上时，MF+DF+DN最小,即此时SE/周长最小，最小值为MV,此时三

角形㈤kW是等边三角形，则根据点到直线垂线段最短，可知当4ELBC时，/E最小，即力£尸周长最小,

利用面积法求出AE的长即可得到答案.

【详解】解：如图所示，作点E关于的对称点M,作点E关于/C的对称点N,连接

FM,DN,MN,AN,AE,

：.AM=AE=AN,MF=EF,ED=ND,ZMAB=ZBAE,NCAE=NCAN

ABAC=ABAD+ADAC=30°,AMAN=AMAB+ABAD+ZDAC+ZCAN,

AMAN=2（ZBAE+ZEAC）=2ABAC=2x30°-60°,

,/辽）EF周长=EF+DE+DF=MF+DF+DN,

当点在一条直线上时，MF+DF+DN最小,即此时S跖周长最小，最小值为此时三

角形是等边三角形，：.AM=AN=MN=AE,

根据点到直线垂线段最短，可知当NELBC时，NE最小，即9跖周长最小,

；“3C的面积是6,BC=2,即LBc=g2C2E=Jx22E=6,

AE=6,即S£F周长最小6,故选C.

例2.（23-24八年级上•广东广州•期中）如图，点尸是//03内任意一点，。尸=4,点C和点。分别是射

线。/和射线08上的动点，APCD周长的最小值是4,则/4O8的度数是（）

A.25°B.30°C.35°D.40°

【答案】B

【分析】本题考查轴对称知识，等边三角形的判定与性质.分别作点尸关于0408的对称点凡E,连接

FE,分别交。4。2于点C,。，止匕时心+PC+8的值最小，再根据已知条件可证AOM是等边三角形即可.

【详解】解：分别作点尸关于的对称点凡£,连接FE,分别交。4。8于点C,。，此时PD+PC+CQ

的值最小，连接OE,OF,PC,PD,CD,如图所示：

•；点?关于。/的对称点为尸，关于OB的对称点为EPC=FC,OP=OF,AFOA=NPOA

:点P关于OB的对称点为E：.PD=ED,OP=OE,AEOB=NPOB：.OE=OP=OF,NAOB=；/EOF

'：APCD周长的最〃、值是4；.PD+PC+CD=4：.DE+CF+CD=4^EF=4=OP

：.OE=OF=EF,即AOEF是等边三角形；./EOF=60°；.4408=30。.故选：B.

例3.（2024•江苏九年级一模）如图，RfA4BC中,ZC=90°,AC=3,BC=4,D,E,尸分别是N2,BC,AC

边上的动点，则△。斯的周长的最小值是（）

A.2.5B.3.5C.4.8D.6

【答案】C

【分析】如图作。关于直线/C的对称点用■，作。关于直线BC的对称点N,连接CW,CN,CD,EN,

FM,DN,DM.由ZBCN=ZBCD,ZACD+ZBCD=90°,推出/MCQ+/NC£>=180。，可得

M、B、N共线，由DF+DE+EF=FM+EN+EF,FM+EN+EF>MN,可知当M、F、E、N共线时，且CZ）_L/8

时，OE+EB+ED的值最小，最小值=2CD,求出CD的值即可解决问题.

【详解】解:如图，作。关于直线/C的对称点作。关于直线8C的对称点N,连接CM,CN,CD,

EN,FM,DN,DM.

：.DF=FM,DE=EN,CD=CM,CD=CN,：.CD=CM=CN,

VZMCA=ZDCA,ZBCN=ZBCD,ZACD+ZBCD=90°,

：.ZMCD+ZNCD=180°,：.M,C、N共线，DF+DE+EF=FM+EN+EF,

'：FM+EN+EF>MN,.,.当M、F、E、N共线时，且CO_L/3时，尸+尸。的值最小，最小值为MN=2CD,

11AB-AC12

'JCDLAB,：.--AB-CD=-'AB-AC,：,CD=----------=—=2.4,

22AB5

.•.OE+EF+FD的最小值为4.8.故选：C.

【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对

称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题.

模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动）

模型解读

模型（1）：两定点+两动点

条件：A,3为定点，在直线加、”上分别找两点P、Q,使"+PQ+”最小。

两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2）；两个点都在内侧（图1-3）

A

m

Am

图1-1图1-1图1-1

模型证明

图1-1图1-1图1-1

模型（1-1）（两点都在直线外侧型）

如图（1-1）,连结48,根据两点之间线段最短，A4+P2+03的最小值即为：线段48的长度。

模型（1-2）（直线内外侧各一点型）

如图（1-2）,作点5关于定直线〃的对称点夕，连结AB；根据对称得到：QB=QB：故

PA+PQ+QB=PA+PQ+QB

根据两点之间线段最短，P/+P0+QB的最小值即为：线段/夕的长度。

模型（1-3）（两点都在直线内侧型）

如图（1-3）,作点8关于定直线〃的对称点夕，作点/关于定直线加的对称点，，连结/

根据对称得至U：QB=QB,,PA=PAPA+PQ+QB=PA'+PQ+QB

根据两点之间线段最短，P/+P0+03的最小值即为：线段/3'的长度。

模型运用

例1.（2024八年级•重庆・培优）在直角坐标系中，已知点4-6,2）,8（-2,4）及动点。（0,〃）,。（仇0）,当四边形

/BCD周长最小时，曲的值为（）

A.一~—B.—C.—"-D.非以上答案

【答案】A

【分析】本题考查了一次函数的解析式求解、轴对称、两点之间线段最短等知识点，作点/关于x轴的对

称点/'(-6,-2),作点8关于夕轴的对称点夕(2,4),连交y轴于点C,交x轴于点

D.AD+DC+BC=A'D+DC+B'C>A'B',据此即可求解.

【详解】解：为定长，，当4D+OC+8C最小时，四边形48CD周长最小

作点/关于x轴的对称点月'(-6,-2),作点8关于y轴的对称点夕(2,4),连⑷夕交y轴于点C,交x轴于点

D.如图所示:

VAD+DC+BC=AD+DC+B'C>48'.•.此时四边形ABCD周长最小,

1—6左+6=—2435

设的解析式为：y=2b,贝IJ解得：；・・・43，的解析式为歹=彳%+\

2左+b=4542

i7b--

I2

令y=o得x=_g；令》=0得了=m；贝'g,o；故必==故选：A

例3.(24-25八年级上•江苏无锡•阶段练习)如图，乙408=20°,M,N分别为CM,上的点,

0M=0N=3,P,。分别为CM,03上的动点，则“0+尸0+尸"的最小值为

【答案】3

【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，能用一条线段的长表示出三条线段的和的最小值是解题的关键.

作点”关于05的对称点Ml点N关于。4的对称点NL连接ATV交。4于点P,交08于点。'，连接

PN'、QM',P'N,根据轴对称的性质，得到MP+PQ+QN的最小值为推出△“ON'为等边三角

形，进一步得出结果.

【详解】解：如图，作点M关于。5的对称点”，点N关于04的对称点州，连接交。4于点P,

交05于点。'，连接PM、QM',P'N,

则MQ=Af。，PN=PN',：.MQ+PQ+PN=MQ+PQ+PN，2MN',:.MQ+PQ+PN的最八、悔为MN的长.

-：OM=OM',ON=ON',MM'LOB,NN'LOA,ZM'OB=ZAOB=20°,ZN'OA=ZAOB=20°,

.-.ZM'ON'=60°,.・.△M'ON'为等边三角形，:.MN=0M'=3,

即MP+PQ+QN的值最小为3；故答案为：3

例3.（23-24八年级上•广东广州•期中）如图，4403=30。，点M、N分别在边。4、08上,且

OM=3,ON=5,点尸、0分别在边OB,OA±,则"P+PQ+0N的最小值是.

【答案】V34

【分析】本题考查了两个动点的三线段和的最小值，勾股定理，对称的性质；分别作出两个定点关于定直

线的对称点，根据三点共线时，和最小计算即可.

【详解】解：作“关于08的对称点AT,作N关于。力的对称点N',如图所示：

连接其长度即为"P+PQ+QN的最小值.

根据轴对称的定义可知：ZN'OQ=ZM'OB=ZAOB=30°,ON=ON'=5,OM=OM'=3,

ZN'OM'=90°,/.MN'=^ON'2+OM'2=V34■故答案为：V34.

习题练模型

1.（2024•江西宜春•八年级期末）如图，在A/8C中，是边/C的垂直平分线，交/C于点。，交48于

点E,点尸是直线上的一个动点，若48=5,则PB+PC的最小值为（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【分析】由条件可得点A是点C冠以ED的对称点，即求PB+PC的最小值就是求PB+PA的最小值，在点P

运动的过程中，P与E重合时有最小值.

【详解】解：；ED是AC的垂直平分线，；.PC+PB=PA+PB,

运动的过程中，P与E重合时有最小值，

.".PB+PC的最小｛t=AB=5.故选：A

【点睛】本题主要考查动点最短路径问题，结合对称，寻找对称点，判断最值状态是解题的关键.

2.（23-24八年级下•四川绵阳•期中）如图，已知等腰直角三角形点E是边/C上的一点，AE=3,

EC=1,尸为斜边48上一动点，则尸E+PC的最小值为（）.

BC

A.2+2V2B.5C.l+3>/2D.6

【答案】B

【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，解答时涉及轴对称的性质，三角形三边关系，勾股定理，熟悉将

军饮马模型是解题的关键.

作点C关于的对称点C',连接尸C',NC',EC',CC',利用将军饮马模型，根据勾股定理即可求出答案.

【详解】解：作点C关于N3的对称点C',连接

"BC等腰直角三角形，ZBAC=NB=ABAC=45°,

VAE=\EC=\,：.AC=AC=AE+EC=3+1=4,PC'=PC,

Z.PE+PC=PE+PC>EC',即PE+PC的最小值为EC'的长，

在及中，由勾股定理，得EC'=J/。"+ZE?=J42+32=5，故选：B.

3.（2024•山东临沂市•八年级期末）如图，AA8C中，4B=AC,BC=3,SMBC=6,4。_13。于点。，EF

是的垂直平分线，交48于点E,交NC于点尸，在EF上确定一点P,使尸B+最小，则这个最小值

C.4.5D.5

【答案】B

【分析】根据三角形的面积公式得到AD=4,由EF垂直平分AB,得到点A,B关于直线EF对称，于是得

到AD=PB+PD的最小值，即可得到结论.

【详解】解：VAB=AC,BC=3,SAABC=6-ADLBC于点D,；.AD=4,

：EF垂直平分AB,.•.点A,B关于直线EF对称，；.EF与AD的交点P即为所求,

如图，连接PB,止匕时PA=PB,PB+PD=PA+PD=AD,AD=PB+PD的最小值，

即PB+PD的最小值为4,故选：B.

【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要

考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点.

4.（2025•安徽•校考一模）如图，在锐角A48C中，AB=6,ZABC^60°,N/8C的平分线交/C于点D,

点尸，0分别是2D,N2上的动点，则AP+PQ的最小值为（）

A.6B.6gC.3D.36

【答案】D

【分析】在5c上取E,使这样/P+P。转化为/尸+尸£即可得出答案.

【详解】解：如图，在BC上取E,使BE=BQ,连接尸E,过/作于〃,

A、B

Q

,：BD是NABC的平分线，NABD=ZCBD,

'：BP=BP,BE=BQ,:.△BPQ4^BPE（SAS）,

：.PE=PQ,：.AP+PQ的最小即是4P+PE最小，

当/尸+尸£=/，时最小，在RtZBH中,4B=6,ZABC^60°,

：.AH=373,；.4P+PQ的最小为36，故选：D.

【点睛】本题考查两条线段和的最小值，解题的关键是作辅助线把PQ转化到BD的另一侧.

5.（23-24八年级上•辽宁铁岭阶段练习）如图，已知N/OB=15。，点〃■在边上，且＜W=4,点N和点

P分别是■和。/上的一个动点，则尸"+PN的最小值为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本题考查轴对称的性质，垂线段最短及直角三角形30。角所对直角边等于斜边一半，作“关于。/

的对称点〃［，过作交。/于一点即为最小距离和点P,结合直角三角形30。角所对直角边等

于斜边一半求解即可得到答案.

【详解】解：作M关于04的对称点过M］作M|N_LO8交04于一点尸，如图所示，

是M关于。/的对称点，OM=4,408=15。，

ZM0M1=2ZA0B=30°,OMX=OM=4,PM=PMX,

M、N1OB,：.(PM+PN)min=M、N,ZONM,=90°,

：.M,N=^OM}=2.：.(PM+PN\^=2,故选：B.

6.（23-24八年级上•安徽阜阳•期末）如图，在AABC中，ZC=90°,44=30。，48=9,5。是的

角平分线，点尸、点N分别是线段3。和边/C上的动点，点M在边3c上，且瓦1/=2,则EW+PN的最

小值是（）

A

A.3B.273C.V3D.3.5

【答案】D

【分析】本题考查了最短路线问题，作点M关于AD的对称点AT连接PA/',则WPM,BM=BM'=2

当N,P,在同一直线上，且时，PN+P”的最小值等于垂线段的长，利用含30。角的

直角三角形的性质，即可得到，解题的关键是熟练掌握轴对称求最短距离及相关知识的应用.

【详解】如图所示，作点村关于AD的对称点〃•'连接PA/'

则尸=BM=BM'=2,：.PN+PM=PN+PM',

当N,P,AT在同一直线上，且Af5v_L《C时，PN+PA，的最小值等于垂线段A/5V的长，

在Rt"A£V中，N4=30。，.•.M?V=；/"=gx（9-2）=3.5,.•.尸A/+尸N的最小值为3.5,故选：D.

7.（23-24八年级上•江苏淮安•阶段练习）如图，4405=45。，点尸是内的定点且0尸=1,若点必

N分别是射线。/、05上异于点。的动点，则APAW周长的最小值是.

【答案】0

【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理;

作点P关于的对称点尸，关于。3的对称点£,连接E尸交04,0B于点、M,N,连接PM,PN,求出

的周长=E0+EN+MN2£F,再根据轴对称的性质得出乙矶）尸=90。，OF=OP=OE=l,最后利

用勾股定理计算即可.

【详解】解：作点尸关于。/的对称点尸，关于的对称点E,连接E尸交。/,OB于悬M,N,连接

PM,PN,则APTW的周长=++=++产，

O、、、、M\MA

'、、»

,/ZAOB=45°,.,.由对称性可知：ZEOF=90°,OF=OP=OE=\,

：•EFF+I2=e，即△尸儿W周长的最小值是后，故答案为：41.

8.（2024八年级•重庆•期中）在平面直角坐标系中，已知出3,4）,5（2,7）,点尸是x轴上一点，三角形N2P

周长的最小值是.

【答案】7122+710

【分析】本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题、勾股定理，使尸的周长最小，即/P+3P

最小，作点A关于x轴的对称点4,连接24,交x轴于点P,连接/P,此时满足/尸+3P最小，最小值为

84的长，利用勾股定理分别求出45,34的长，即可得出答案.

【详解】解：：使的周长最小，N3+4P+3P最小，

AB=^（3-2）2+（7-4）2=V10,为定值，，使ZP+BP最小，作点A关于x轴的对称点4,连接台4,交

x轴于点尸，连接/P,此时满足/尸+AP最小，最小值为台4的长，

y八

"AP的周长最小值为巫^+所.故答案为：V122+VW.

455

9.（23-24四川省成都市七年级期末）如图，在面积为营的锐角。台。中，AB=~,NC=30。，D是“BC

82

内部一点，E,产分别是边5C,/C上的动点，连接AD,BD,DE,DF,EF.若△45。的面积为1,则S£F周

长的最小值为.

37

【答案】正

【分析】作点。关于8C的对称点N,关于/C的对称点M,4CD,CM,CN,MN,EN,FM,易证ACAW

为等边三角形，得至IJMV=CD,根据AZ）£F的周长=OE+DF+M=FM+EN+M2MN,进而得到当

四点共线时，SEF的周长最小，为的长，即为CD的长，进而得到当C。最小时，SEF的

周长最小，过点C作CPLNB,过点。作根据三角形的面积公式求出CP,D。的长，进而得到点

。在平行于N8且距离等于。。的直线％上，进而得到当。为的与C尸的交点时，CD的长度最小，进行

求解即可.

【详解】解：作点。关于的对称点N,关于/C的对称点连接CD,CM,CN,MN,EN,FM,

贝｝|：CD=CN=CM,EN=DE,DF=FM,ZDCE=ZNCE,NDCF=ZMCF,

ZDCE+ZNCE+ZDCF+NMCF=2/ACB=60°,ACMN为等边三角形，:.MN=CN=CD,

：.力EF的局长=DE+DF+EF=FM+EN+EF2MN,

.•.当四点共线时，Aft卯的周长最小，为MV的长，即为CO的长，

.•.当8最小时，AZ）EF的周长最小，过点C作CPL4B,过点。作。

：.SAABC=^AB-CP=^CP=^-,S^ABD=^AB-DQ=^DQ=1,

944

.•.CP=-,。。=不，.•.点。在平行于N8且距离等于1的直线/上，

9437

.•.当。为AG与CP的交点时，CD的长度最小，此时

•••SEF周长的最小值为3养7；故答案为：养37.

【点睛】本题考查利用轴对称解决线段和最小问题，成轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，与三角

形的高有关的计算，熟练掌握相关知识，确定立）斯周长最小时，尸的位置，是解题的关键.

10.（2024•福建福州•八年级期中）如图，在等边A/BC中，£是/C边的中点，尸是A/BC的中线4。上的

动点，且48=6,则8P-PE的最大值是

【答案】3

【分析】连接尸C,贝|AP=CP,BP-PE=CP-PE,当点尸与点/重合时，CP-PE=CE,进而即可求解.

【详解】解：连接PC,

•在等边△48c中，A