解三角形（10类题型全归纳）-2025年北京高考数学复习热点题型专练（原卷版）

热点题型•选填题攻略

专题05解三角形

o------------题型归纳•定方向-----------*>

目录

题型01利用正（余）弦定理解三角形.............................................................I

题型02三角形解的个数.........................................................................2

题型03判断三角形形状.........................................................................3

题型04三角形面积（定值）.....................................................................4

题型05三角形面积（最值或范围）..............................................................5

题型06三角形边长.............................................................................6

题型07三角形边的代数和问题...................................................................6

题型08三角形周长（最值或范围）..............................................................7

题型09三角形中线.............................................................................8

题型10三角形角平分线.........................................................................9

舱-----------题型探析・明规律-----------♦>

题型01利用正（余）弦定理解三角形

【解题规律•提分快招】

ac…

①-----=--b=--=2R

sinAsinBsinC

②符号语言：在A4BC中，内角ASC,所对的边分别是则:

a2=b2+c2-2/?ccosA；

b2=a2+c2-2QCCOSB

c2=a2+b2—2abeosC

b2+c2-a2

cosA=

2bc

tz2+c2-b1

cosB=

lac

a2+b2-c2

cosC二

lab

3

【典例1-1】（2。24•北京海淀•二模）在VA3C中，A3=4,AC=5,c°sC="贝.的长为（）

、3

A.6或5B.6C.3+85/2D.3

【典例1-2］（2024•北京延庆・一模）VABC的内角A,内C的对边分别为a,6,c,已知NB=60°,sinA=3sinC,

b=币,则。=,VABC的面积为.

【变式1-1］（2023•北京丰台•三模）在VABC中，AC=3,BC=0AB=2,则A3边上的高等于（）

A9/7R3/而„3

A.jD.-----C.------U.

222

【变式1-2］（2024•北京西城•三模）在VABC中，若c=2,a=6NA=£,贝|sinC=,b=.

o

3

【变式1-3］（2024•北京昌平•二模）己知VABC中，a=4,b=2c,cosA=--,贝|5“吹=.

题型02三角形解的个数

【解题规律•提分快招】

1）已知两角和任意一边，求其它两边和一角;

2）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。

例如：已知a,b和A,用正弦定理求B时的各种情况：（多解情况）

①若A为锐角时:

a<Z>sinA无解

a=bsinA一解（直角）

bsinA<a<b二解（一锐，一钝）

a>b一解（锐角）

已知边a,b和/A

H

a<CH=bsinA

仅有一个解

无解仅有一个解有两个解

②若A为直角或钝角时:[aa><bb无解

一解（锐角）

1T

【典例1-1]（23-24高一下•北京・期末）在VABC中，角4氏。所对的边分别为凡4G已知4，b=2,

给出下列五个。的值：①②百；③半;④2；⑤3.其中能使得△ABC存在且唯一确定的是（）

A.①④B.②③C.④⑤D.②④⑤

【典例1-2]（23-24高一下•北京•阶段练习）在VABC中，NA=30。,AC=2石，满足此条件VABC有两解，

则2C边长度的取值范围为.

【变式1-1]（23-24高一下•北京•期中）已知在VABC中，NB=60。,b=百，若满足条件的三角形有且只有

一个，则。的取值范围是（）

A.{a\0<a<y/3]B.或Q=2}

C.[a\0<a<y/3]D.{〃|0<〃V百或Q=2}

【变式1・2】（2023•北京朝阳•一模）在VABC中，a=4也,b=m,sinA-cosA=0.

（1）若机=8,贝!Jc=；

（2）当机=（写出一个可能的值）时，满足条件的VABC有两个.

【变式1-3]（23-24高一下,北京延庆,期末）在VA3C中，c=8,NB=g请从①乙4=与，②。=4君,

③人=9中选择一个，使VA5C存在且唯一，写出满足要求的一个条件的序号.

题型03判断三角形形状

【解题规律•提分快招】

判断三角形形状时，可利用正余弦实现边角转化，统一成边或角的形式，还要注意三角形自身的特点

①sinA=sin8nA=B=AABC为等腰三角形

TTTT

②sinA=cosBnA+B='或A-B=,nAABC直角三角形或钝角三角形

■JT

（3）sin2A=sin2B=>A=BA+B=-=>AABC为等腰三角形或钝角三角形

@cos2A=cos2B=>AAABC为等腰三角形

⑤a2+》2=c2=cosC=0n2\ABC为直角三角形

⑥+〃_。2<0=>COSC<0

或/+02一匕2voocos5Vo=^>AABC为钝角三角形

或<0=>cosA<0

©«2+/?2-c2>0=>cosC>0

且/>0=>cosB>0=>ZkABC为锐角三角形

JL/?2+c2-a2>0=>cosA>0

【典例1-1］（24-25高三上•上海闵行•期中）在VABC中，已知/—6c=",且从anC=ctan3,则VA2C

的形状为（）

A.直角三角形B.等腰直角三角形

C.有一个角为60。的直角三角形D.等边三角形

【典例1-2］（24-25高三上•北京朝阳•开学考试）已知△ABC的三个内角A,民C所对的边分别为",4c,则

下列条件能推导出△ABC一定为锐角三角形的是.

@a2+b2>c2;@-^—=-^7—=-^—;③cos?A+cos?B-cos2c=1；（4）tanA+tanB+tanC>0.

5o7

【变式1-1］（24-25高三上•四川绵阳•阶段练习）在VA3C中，角A、B、C的对边分别是。、b、c,且

acosB+bcosA=b,则VABC一定是（）

A.等腰三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.直角三角形

【变式1-2］（24-25高一上•上海,课后作业）在VABC中，c-acosB=（2a-&）cosA（°、b、c分别为角A、

B、C的对边），则VABC的形状为.

【变式1-3］（23-24高一下•河南三门峡•期中）已知VABC中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c,

a=-b+c,则7ABe的形状是________.

cosB+cosC

题型04三角形面积（定值）

【解题规律•提分快招】

①S=gabsinC=；sin5=gbesinA；

②S=g（a+b+c）r（其中，a,b,c是三角形ABC的各边长，厂是三角形ABC的内切圆半径）；

【典例1-1］（24-25高三上•北京•阶段练习）在VABC中，/3=60。,6=夕,°-C=2,则VABC的面积为（）

A36R33石之

2244

_7T2冗

【典例1-2］（24-25高二上•北京•期中）在VA3C中，AB=2衣,乙8=彳，点。在边BC上，ZADC=—,

CD=1,则（1）AT>=；（2）AACD的面积为.

【变式1-1］（23-24高一下•北京•期中）在VABC中，角A,B,C的对边分别是a,2c,AB=4,NB=60°,点

。为边BC上的一点，AD=2币,CD=6,贝UAACD的面积为（）

A.6+B.973C.14^3D.2073

【变式1-2］（23-24高一下•江苏常州•期中）在VABC中，若BC=2,AC=g,A=45°,则VABC的面积

为（）

A.B,3匚C.6+1D..T或3+1

2222

【变式1-3］（24-25高三上•北京丰台•期中）在VABC中，a=5,c=3,B=2C,则VABC的面积为.

题型05三角形面积（最值或范围）

【解题规律•提分快招】

①S=gabsinC=；〃csinB=gbcsinA；

②S=g（a+b+c）r（其中，”,b,c是三角形ABC的各边长，厂是三角形ABC的内切圆半径）；

③基本不等式

④正弦定理化角

【典例1-1】（2024,江苏徐州•模拟预测）在VABC中，A=y,。为边BC上一点，若4）上且AD=1,

则VABC面积的最小值为（）

A.BB.述C.mD.后

234

【典例1-2］（23-24高三下•浙江•阶段练习）在等边三角形ABC的三边上各取一点O,E,F,满足DE=3,

DF=2y/3,ZDEF=90°,则三角形ABC的面积的最大值是（）

A.773B.1373C.-773D.—13y/3

【变式1-1］（24-25高三上•江苏扬州•阶段练习）在VABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

°=6，（sinA-sinB）（^+a）=c（sinB+sinC）,则VA3C面积的最大值为（）

A.1B.1C.3D.亚

4242

【变式1-2］（24-25高三上•广东东莞,阶段练习）在VABC中，sin2A+sin2B+sinAsinB=sin2C,且48

边上的中线长为2,则VA3C面积的最大值为.

【变式1-3］（24-25高二上•湖南•期中）在VABC中，AB=«AC,点。在8C上，满足6=2丽，AO=6，

AC=3。.则AABC的面积为

题型06三角形边长

【解题规律•提分快招】

正（余）定理

【典例1-1】（23-24高一下•重庆涪陵•期中）在AABC中，已知A=60°,BC=2,£＞为2C的中点，则线段

AD长度的最大值为（）

A.3B.V3C.2D.72

【典例1-2］（23-24高一下•四川成都•期中）在VABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,ZA=45°,

AC边的中线应，则。的最大值是.

【变式1-1］（2024•江苏连云港•模拟预测）在VABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若。=1,

focosA=l+cosB,则边6的取值范围为（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（0,2）D.（2,3）

【变式1-21（23-24高一下•浙江•期中）在VABC中，角A,B,C所对的边分别为。,6,c,已知。=c-l,6=c+l,

若VABC为钝角三角形，则。的取值范围为（）

A.（2,4）B.（1,3）

C.（0,3）D.（3,4）

【变式1-3］（23-24高一下•天津河西•期中）在锐角VABC中，内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,

TT

且。=3,A=y,则6的取值范围是（）

6

A.（0,6）B.（0,2小）C.（A/3,2A/3）D.（3石,6）

题型07三角形边的代数和问题

【解题规律•提分快招】

①通过正余弦定理，把边转化为角。

②利用特殊角，消角，以分母角度为住元，消去分子角度，转化为分母角度的单变量函数形式

③对单变量（单角）求最值。

「

【典例（24-25高二上・贵州贵阳•阶段练习）在锐角VA3C中，NA=2NB,则r-的范围是（）

2b

【典例1-2］（23-24高一下•江苏南京•阶段练习）在AASC中，角A、B、C所对的边分别为。，b,c,

ch

若〃2=〃csinA,则不+—的最大值为___.

bc

【变式14】（24-25高三上•河北张家口•阶段练习）已知VA5C是锐角三角形，角A氏C所对的边分别为

0,4c,S为VABC的面积，4S=a2+b2-c2,则9的取值范围为（）

b

A.（0,V2）B.［彳，⑸C.

I2）I2JI2）

【变式1-2］（2024•四川成都•模拟预测）设锐角YABC的三个内角AB,C的对边分别为a,4c,且c=2,B=2C,

则a+b的取值范围为（）

A.（2,10）B.（2+272,10）C.（2+2立,4+2君）D.（4+2^,10）

【变式1-3］（23-24高一下•浙江绍兴•期中）已知VABC的内角A,B,C所对边分别为a,b,c,且

1+2cosA=y,b=l,贝!Jc-3a的最小值为_____.

b

题型08三角形周长（最值或范围）

【解题规律•提分快招】

①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案;

②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制,

通常采用这种方法；

③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值

【典例1-1】（23-24高一下,湖北武汉,期中）在锐角VABC中，角A,民C的对边分别为。，4c,S为VABC的面

积，。=4,且2s="—（6—）2,则VA2C的周长的取值范围是（）

A.（8,475+4］B.（12,275+2］C.（8,2>/5+2］D.（12,4^+4］

TT

【典例1-2［（23-24高一下•四川泸州•期中）在锐角VA2C中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若。=2,2=：,

则VABC周长的取值范围为.

【变式1-1］（2024噬国，二模）在"BC中,内角A,2,C所对的边分别为a,6,c,2acosA=bcosC+ccosB,

且a=4sinA,则AABC周长的最大值为（）

A.472B.6&C_4A/3D.6A/3

【变式1-2］（2025高三•全国•专题练习）已知VABC的内角A,氏C的对边分别为a,b,c,且

抬asin8=6（2+cosA）,若VABC的面积等于百，则VABC的周长的最小值为.

bc

【变式1-3］（2024•全国•二模）在VABC中，角A,B,C的对边分别为a,",c,cosC=—+『,ZBAC的平分

a2a

线交BC于点D若AD=1,则VABC周长的最小值为.

题型09三角形中线

【解题规律•提分快招】

5

A厉„472「历n4^/3

2343

【典例1-2］（23-24高一下•四川成都・期末）在VABC中，内角A,氏C所对的边分别是”,b,c,且sir?B=sin?亨,

b=也,则边AC上的中线BE的取值范围是.

【变式1-1］（24-25高三上•江西•期中）在AABC中，角AB,C所对的边分别为a/,c,且满足

bcosC+ccosB=2acosA,若VABC的中线A。=石，且6+c=4,则VABC的面积为.

【变式1-2］（2024・吉林长春•模拟预测）在VABC中，已知A=,3C=2若，当边的中线AO=近时，

VABC的面积为.

题型10三角形角平分线

【解题规律•提分快招】

角平分线

如图，在AABC中，A。平分角A,5,C所对的边分别为。，b,c

核心技巧1：内角平分线定理：

ABAC—ABBD

--------------=----

BDDCACDC

核心技巧2：等面积法（使用频率最高）

SMBC=+S^ADC

11A1A

—ABxACxsinA=—ABxADxsin——l--ACxADxsin一

22222

ABSARr）

核心技巧3：边与面积的比值：—

A。^AADC

核心技巧4：角互补：

ZADB+ZADC=兀=cosZADB+cosZADC=0

inDA2+DB2-AB2

在AADB中有：cos/ADB------------------;

2DAxDB

ifcDA2+DC2-AC2

在zVLDC中有：cosZADC=------------------

2DAxDC

【典例1」】（23-24高一下•江苏南京•期中）在斜VABC中，设角A、B、。的对边分别为。、b、c,已

知asinA+》sin3—csinC=3〃sin/cosC,若C£）是—ACS的角平分线，且CD=AC=2,贝Ucos/ACB=（）

1725

A.—B.—C.-D.—

818318

【典例1-2]（24-25高一下•全国•课后作业）在VABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且

湘苗4=加达8+（0-6川达。,4。是丫48（7的角平分线,。在2。边上，AD=石,6=3c,则。的值为.

【变式1-1]（23-24高一下•山东青岛•期中）在VABC中，角A、B、C的对边分别为a,b、c,若

b=acosC+—sinC,AD是VABC的角平分线，点。在BC上，AD=#）,b=3c,则。=（）

I3J

A.B.-C.-D.4

333

【变式1-2]（23-24高一下•重庆,期中）在VABC中，/ABC的角平分线8。交AC于点O,若BD=2,

JT

NABC=§,则VABC的面积的最小值为（）

A.6B.2A/3C.缚D.拽

33

【变式1-3]（23-24高一下•广东佛山•阶段练习）在VABC中，角AB,C的对边分别是。，4c,已知

（26-c）cosA-acosC=0,点。在边BC上，4。是内角A的角平分线，且AD=3,则VABC面积的最小值

是.

*>----------题型通关•冲高考-----------*>

一、单选题

3

1.（2025•宁夏内蒙古•模拟预测）在VABC中，BC=8,AC=10,cosZBAC=-,则VABC的面积为（）

A.6B.8C.24D.48

2.（24-25高三上•贵州•阶段练习）在VABC中，内角A氏。所对边分别为〃也。，若

b

zV§sinAsinBsinC=3sin2B+3sin2C-sin2A，则一=（）

a

A_L73c梃D2

r\.DR.C♦U.Z

232

q

3.（2024•吉林,模拟预测）在VABC中，角A,氏C的对边分别为及GAA5c的面积为S,则------的最

a+4-bc

大值为（）

A0R及r9715n9715

1681632

4.（2024•山西•模拟预测）在VABC中，内角A,B,。的对边分别为〃，b,。，^a1+c2-b2=^3ac,

1+V2sinAsin2C

则角A的大小为（)

1—A/2COSAl+cos2C

715兀7兀3兀

A.B.D.

121212T

jrzjr

5.（2024•江西九江•二模）已知在四边形ABC。中，AC=2BC=2ZACB=ZACD=~,ZADC=—

f63f

则的长为（）

A也B空CV21-2A/3口721-6A/3

T,亍,3-'-3-

6.（2024•四川乐山•三模）在VABC中，点£>是AC边上靠近点C的三等分点，若NABD=90。,AB=1,8C=夕,

则<ABC=（）

3「3A/39

B.一D.一

444

__k2__.jr

7.（2024•全国•模拟预测）在VABC中，AD=jAC,^ADB=-,若CD=2,则诉的最大值为（）

V3+2

B.2C.币-2D.

2

8.（2024・陕西・模拟预测）在丫45。中，角48,。所对的边分别为〃也的45m人一51110=（4-/?）（5111人+51116）,

若VABC的面积为也，周长为劝，则AC边上的高为（）

4

A.立B.昱C.73D.

32^

9.（2024,安徽芜湖•模拟预测）记VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,sin（8-C）+sinA=g,6=6c,

则角C=（）

71717171

A.B.一c.一D.

342

TT

10.（2024•江苏苏州•模拟预测）已知VABC的角A,民C对应的边分别为a,b,c,ABAC=-,ABAC的平分线

交边BC于点、D,若ADW,贝U%+2c的最小值为（）

A.2+2拒B.4C.3+20D.3+2出

11.（2024・安徽合肥•模拟预测）已知VABC角A、B、C的对边分别为0、6、c满足生="叱手，则

a-cS1ILD

角8的最大值为（）

7171712兀

A.—B.-C.—D.—

643