解三角形大题归类-高考数学一轮复习热点题型专项训练（解析版）

专题4.4解三角形大题归类

目录

一、热点题型归纳

【题型一】巧用“拆”面积法解决角平分线题型............................................1

【题型二】角平分线的扩展结论..........................................................4

【题型三】中线的处理方法..............................................................6

【题型四】三角形高的类型.............................................................10

【题型五】三角形内心.................................................................12

【题型六】外接圆.....................................................................14

【题型七】双三角形...................................................................16

【题型八】四边形.....................................................................18

【题型九】四边形图形最值.............................................................20

二、真题再现.........................................................................23

三、模拟检测.........................................................................30

热点题型归纳

【题型一】巧用“拆”面积法解决角平分线题型

【典例分析】

(2022・湖北.高三开学考试)在AABC中，AB=2AC,点。在3C边上，AD平分

⑴若cos/ACB=,求cos/BAC；

5

⑵若4)=AC,且AASC的面积为近，求BC的长.

2

【答案】(1)2-3"⑵后

10

【分析】(1)在AABC中，利用正弦定理可得sin/ABC=巫，从而可得cosNABC=题，再由

1010

cos^CAB=-cos(^ABC+^ACB),展开即可求解；

1113

(2)利用三角形的面积公式可得一AC-ADsind+—AaADsine=—ARAC-sin20,从而解得cosO=—,

2224

根据三角形的面积求出〃=4,再由余弦定理即可求解.

(1)由cos/AC2=姮，WsinZACB=—,

55

ABAC

在△ABC中，由正弦定理可得

sinZACBsinZABC

又AB=2AC,所以sin/ABC=辿,

10

AB>AC,故cos/ABC=W^,

10

所以cosXCAB=cos(乃-NABC-^ACB)=-cos{ZABC+ZACB),

即cos/C4B=sin^ABCsin^ACB—cos^ABCcos^ACB,

所以c°s44人巫X也一亚X姮=2.

10510510

(2)

由已知，设AB=2AC=2/,所以AD=AC=%,另设NC4Z)=夕.

由^AABC=^AACD+^AABD，'t-2t'sm20=—t-t-sm0+—'2t-1-smO,

所以2sin6・cose=—sinO+sin。，

31

因为singwO,所以cos6=—,所以cos26=2cos2。一1二—,

48

又0<26<万,sin26=A/1-COS22^=^2-,

8

又s…乎=：上2529=乎产,所以r=4,

99

222

所以台。2=r+4z-2-r-2rcos2(9=-Z=-x4=18,所以BC=3jL

【提分秘籍】

基本规律

角平分线"拆”面积法：Saabc=Saacd+S^ABD

【变式演练】

1.（2022・湖北•高三开学考试）已知AABC的角A氏C的对边分别为a,b,c,且

sinA（ccosB+bcosC）-csinB=csinC+Z?sinB,

⑴求角A；

⑵若AD平分㈤C交线段BC于点。，且AD=2,BO=2C。，求AABC的周长.

2

【答案】（1）A=1乃（2）9+3j7

【分析】（1）先利用余弦定理化简ccosB+AcosC,然后代入已知式子中利用正弦定理统一成边的形式,

再利用余弦定理可求出角A,

2s

⑵由S"BC=SABAD+SACAD结合AO平分4AC,A=可得〃c=2Z?+2c,作AE_LBC于f,则由「'"结

合已知条件可得3=2,解方程组可求得6,c,再利用余弦定理可求出“，从而可求出三角形的周长.

b

^22_72〃2人22

(1)由余弦定理得ccos5+Z?cosC=ex------------+Z?x---------------=a

2ac2ab

所以sinA(ccosB+bcosC)-csinB=csinC+Z?sinBnJtzsinA-csinB=csinC+Z?sinB

再由正弦定理，得m=。2+〃，得/+〃—/=—秘，

所以COSA="+：-)=_L因为Ae(0,i),所以A=2万

2bc23

JT

(2)因为4。平分N&4C,所以/区4£»=/01。=一.由

3

S

s«ABC=S.BAD+.CAD^-b-csin-7T=-c-ADsin-+-b-ADsm-,

1711

q—cADsin——BD-AE,Rn

得加=»+2c.作AE_LBC于E,则之典--------=---------=>£=-=2.

bDC

S*CDIfe.ADsin^ICDAE

232

,[bc=2b+2cA,亿=6,人、_

由《〃，解得L2由余弦定理，Wa2=b1+c2-2/?ccosA=63,所以Q=3\/7

\c=2b/?=3,

故A"C的周长为9+3夕

2.(2022•江苏・盐城中学高三开学考试)(sinA-sinC)a=(Z>-c)(sinB+sinC),②

(2a-c)cos8=gj+〃-J③sin(2+C)=；cos(8-/］这三个条件中选一个，补充在下面问题中，并解

2ao\0?

答.已知ziABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且__________.

⑴求3

(2)若匕=如，NABC的平分线交AC于点。，且30=逑，求△ABC的面积.

5

【答案】⑴3=32)6

【分析】(1)若选条件①，先用正弦定理将角转化为边的关系，再利用余弦定理即可；若选条件②，先用

余弦定理将边转化为角的关系，再利用正弦定理即可；若选条件③，先用三角形的内角之和为万，再利用

正弦定理即可；

(2)利用角平分线的性质得到以.0=5少0+5谶8,结合余弦定理和三角形的面积公式即可

(1)

选择条件①：

222

根据正弦定理，可得：(a—c)a=(b—c)R+c)可得：a+c-b=ac

根据余弦定理，可得：cos8，+c2/=j_Be(0㈤,.B=%

2ac23

选择条件②：

根据余弦定理，可得：Qa-c)cosB=2ab0=bcosC

la

根据正弦定理，可得：(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC

1jr

整理可得：2sinAcosB=sin(B+C)=sinAo可得：cosB=-BG(0,^),.\B=—

选择条件③:

易知：A+B+C=7TO可得：sinA=qcos(5-工)根据正弦定理，可得：sinA=—cos(B--)

b6smB6

可得：sinB=cos(B--)=—0085+i8^5^3^^：tanB=A/3

622

3£(0,B=y

(2)根据题意，可得：S"BC=S4w+可得：—diesin—=—xcsin—+—xasin—

23256256

整理可得i+c』c根据余弦定理，可得一2=片+入2砒C0SZA3C

可得：13=/+/一。。，即(〃+。)2-3〃。=13可得：25(〃C)2-48。。一208=。

1

解得：ac=4或ac=-^j(舍)5AASC=-acsin—^73

【题型二】角平分线的扩展结论

【典例分析】

(2022.湖北•襄阳四中模拟预测)在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,角A的平分线交

BC边于点D.

yABDB,

⑴证明：—,AD2=ABAC-DBDC;

ACDC

(2)若AD=1,A=—,求的最小值.

【答案】(1)证明见解析(2)3

【分析】(1)根据题意得到sinNA4D=sinNC4D,sinZADB=sinZADC,由正弦定理得到

A5BDACDCADr)DAD

两式相除得到就二灰’进而得到如诉就BC，

sinNADB-sin/BADsinZADC~sinZCAD

Ar

DC=^BC,根据余弦定理，并代入化简，即可求解・

AABn+AAC

(2)根据除即+5型8=5兵品，得至lJ0+c=Oc,结合基本不等式求得历24,进而求得£)3・。。=历-1,

即可求解.

(1)

解：在和△BCD中，可得NBA£)=NCW,NADB+ZADC

所以sinZBAD-sinACAD,sinZADB=sinZADC,

r二rt十>L丑77千甲,彳曰用AB_BDAC_DC

“，、sinZADB~sinZBAD'sinZADC~sinZCAD"

4DDRABAC

两式相除得一二—,可得30=-------BC,DC=---------BC,

ACDCAB+ACAB+AC

y7p/AOTA/AD/^^坦人口六士工用4日A§2+5/)2_A£)2AB?+BC?—/

又由ricosZABD=cosZABC,根据余弦定理得---------------=------------

2ABBD2ABBC

2

所以A£>2=相+BD2一型函2+叱_3)=型AB?+—AC-BD(BC-BD)

BC'BCBC

AR

代入可得AD2=--------AB2+--------AC2—BDDC

AB+ACAB+AC

ABAC

=ABAC------------------1------------------—BDDC=ABAC—BDDC.

AB+ACAB+AC

(2)解：由A£)=l,4=3-及％谢+5-8=54.，可得b+c=bc

根据基本不等式得儿=Hc22痴，解得历之4,当且仅当〃=c=2时等号成立,

又由AD=1,AD'=ABAC-DBDC,DB-DC=bc-l>3,

所以℃的最小值是3.

【提分秘籍】

基本规律

ABAC

角平分线定理（大题中，需要证明，否则可能会扣过程分）：BDCD

【变式演练】

1.

.（2022•山东日照•高三开学考试）如图，已知在AASC中，〃为上一点，AB=2AC<BC,240弓）且

sin

8

（2）若AM为㈤C的平分线，且AC=1,求八4。/的面积.

【答案】（1）（（2）姮

812

【分析】（1）由sinB=史求得cosB=Z,由AB=2AC可得sinC=2sin3,结合=得ZWC=2ZB,

88

利用正弦定理即可求得答案；

2

（2）由余弦定理求得BC=2,根据角平分线性质定理可求得CM=：,再求得sinC,由三角形面积公式

可得答案._

（1）因为sin8=^5,Be（0,，，所以cos8=Jl-sin?B=L,因为AB=2AC,

818

qin04/?

所以由正弦定理知——=——=2,即sinC=2sinB,

sinBAC

因为AM=BM，所以ZAA/C=2N3，sinZAMC-sinIB=2sinBcosB,

ACsinZAMC2sinBcosB_7

在△AMC中,--------------=----------------=cosB=—.

~AMsinC2sinB8

222

o_i_r_173

（2）由题意知AB=2AC=2,设BC=x,由余弦定理得cosB=解得BC=2或BC=—.

4x82

因为2ACV3C,所以3c=2,因为AM为NBAC的平分线，ZBAM=ZCAM

S-AB-AMsinZBAM-BMxh

所以产L=M-------------------------------------=2-------"为底边8C的高）

以ACM-AC-AMsinZCAM-CMxh

22

所以第=丝=2,^CM=\BC=l，而由⑴知sinC=2sinB=姮，

CMAC334

所以SAACM=-AC-CM-sinC=-xlx=^-.

2.（2022・河南•模拟预测（文））在AABC中，角AB,C所对的边为a,6,c,已知6=2,c=4,2sinA=3sin2c.

⑴求。；

（2）设A的平分线与BC交于点。，求AD的长.

【答案】⑴°=3&⑵2

【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理可得答案；（2）利用余弦定理、角平分线性质可得答案.

272_2

（1）由2sinA=3sin2c得sinA=3sinCeosC,再由正弦定理和余弦定理得a=3cx---------—

lab

把b=2,c=4代入，=3x4x^^^得〃=3（/—12）所以q=3夜；

（2）由余弦定理可得cosC=a2+b,$=®，因为是角A的平分线，孚=”,4?=24<7,

2ab4BDCD

所以BD=2CD,所以CQ=JL

在AACD中，AD2=AC2+CD2-2ACxCDcosC=4,

所以AD=2.

3.(2022•湖北•高三开学考试)已知AASC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,且

sinA(ccosB+Z?cosC)-csinB=csinC+Z?sinB,

⑴求角A；

(2)若AD平分N8AC交线段BC于点。，且AD=2,3D=2CD,求AABC的周长

【题型三】中线的处理方法

【典例分析】

（2022•福建.三明一中模拟预测）已知C的内角a,8,C所对的边分别为a,b,c,且c=2人-2acosC.

⑴求角A;_

⑵若M为8c的中点，AM=y/3,求448C面积的最大值.

【答案】（l）A=g⑵石

【分析】（1）解法一：根据正弦定理边化角求解即可；

解法二：利用余弦定理将cosC用边表示再化简即可；

（2）解法一：根据基底向量的方法得+AC）,两边平方化简后可得从+,2=12-历，再结合

基本不等式与面积公式求面积最大值即可；

解法二：设=再分别在AABM,AACM和AABC中用余弦定理，结合cos〃WB+cos4WC=0

可得k+°2=12-bc,再结合基本不等式与面积公式求面积最大值即可

（1）解法一：因为c=2b-2acosC,

由正弦定理得：sinC=2sinB—2sinAcosC,

所以sinC=2sin(A+C)-2sinAcosC=2sinAcosC+2cosAsinC—2sinAcosC=2cosAsinC,

1兀

因为sinCwO,所以2cosA=l,cosA=-,为OvAv兀，所以A=子

23

^2>2_2

解法二：因为。=2〃—2acosC,由余弦定理得：c=2b-2aa,整理得反=/+廿一片,

lab

22

即=/7+c-be,又由余弦定理得〃2=〃2+。2-28ccosA所以2cosA=l,cosA=；,

jr

因为OVAVTT,所以A=耳.

___.1—.—.

(2)解法一：因为M为BC的中点，所以AM=.(42+AC),

所以病2=；(启+2通・衣+恁)，即slk+/+zoccos/),

BPb2+c2=12-bc,而62+0222历，

所以12-历22历即历W4,当且仅当匕=c=2时等号成立

所以AABC的面积为SoBc=LbcsinA〈Lx4xYlw5/L即AABC的面积的最大值为g.

△ABC222

解法二：设BM=MC=加，

在AABA/中，由余弦定理得c?=3+，W2-2X6XCOS/408,①

在△ACM中，由余弦定理得廿=3+/-2X6XCOSNAMC,②

因为NAMB+NAMC=7t,所以cosN/VWB+cosN/VWC=0

所以①+②式得。2+°2=6+2加.③

在AABC中，由余弦定理得4M=62+C2-2X6CCOSA，

而2=],所以4/=6?+<?-be,④

联立③④得：2b2+2c2-12^b2+c2-bc,b2+c2=\2-bc,而从+c?之力c,

所以12-仇'N%。，即历44,当且仅当匕=c=2时等号成立.

所以AABC的面积为SOBC=L历sinAV’xdxYlw石.即AABC的面积的最大值为6.

Z-A/IDI--222

【提分秘籍】

基本规律

中线的处理方法

2.双余弦定理法（补角法）:

如图设5r>=DC,

在AABZ）中，由余弦定理得AB?=AD2+3D2_2xAD><3r）xcosZADB，①

在八4。£）中，由余弦定理得AC?=AD2+DC2-2XADXDCXCOS/ADC，②

因为NAMB+NAMC=TI,所以cosNAPB+cosNADCuO

所以①+②式即可

3.延伸补形法：如图所示，延伸中线，补形为平行四边形

4.中线分割的俩三角形面积相等

【变式演练】

1.（2022.河南•开封市东信学校模拟预测（理））在4ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且

,.B+C.

Osin=asmBn.

2

（1）求角A的大小；

⑵若。为3c边中点，且45=2,求〃的最小值.

【答案】（1）/（2）竽

【分析】（1）利用三角恒等变形及正弦定理即可求解；（2）利用余弦定理及基本不等式即可求解.

牝C=asinB,bsin上二A

(1)VZ?sin=asinB,BPbcos—=asinB.

222

AAAA

由正弦定理得sinHeos—=sinAsinB/.,sinB^O,cos—=sinA=2sin—cos—.

2222

..A..A1D・・CA兀.A7i,.7i

22222263

(2)・・・。为5。边中点，・・・24。=45+4。，即4卜。|=(AB+AC)2,

2222

AD=2,**-16=c+Z?+2Z?ccosAf**•b+c=16—be,

•**2bc<b2+c2=16—bei即beW—,当且仅当/?=c=^―■时取等号，

33

,**a2=b2+c2-2bccosA-b1+c1—bc=16—2bc,

/.a2>16-2x^=^,即此生叵.故。的最小值为速.

3333

2.(2022.重庆巴蜀中学高三阶段练习)如图，在△ABC中，A3=2,AC=6夜,E,尸分别是5cAe的中点.从

条件①⑻cf；②*痴中选择一个作为已知条件，完成以下问题:

⑴求ZACB的余弦值；

⑵若AE,8尸相交于点G,求ZEGF的余弦值.

(注：若两个条件都选择作答，则按第一个条件作答内容给分)

【答案】(1)条件选择见解析，生叵⑵条件选择见解析，声叵

2650

【分析】(1)若选择条件①：由余弦定理计算5C,再由余弦定理计算ZAC》的余弦值；若选择条件②：由

余弦定理得出=BC,再由余弦定理计算ZACB的余弦值；

4

(2)若选择条件①：由余弦定理得出班AE,再由△ABGsAEFG得出GE=gAE=g,GF=*BF=当,

最后由余弦定理得出/EG/的余弦值；若选择条件②：由余弦定理得出AE,再由ZWG-zWG得出

GE=1AE=|,GF=(BF=^,最后由余弦定理得出NEGb的余弦值；

(1)若选择条件①：

在AABC中，由余弦定理可求得BC=/2?+(6夜)2-2*2*6夜乂孝=2小，

,.rD72+52-45而

cos/ACB=----7=---产=------.

2x2^13x67226

若选择条件②：

在AABF中，AB=2,AF=3垃,BF二屈,由余弦定理可求得cosZBAF=4+18-1=交,

2x2x3应2

所以NBA尸=?,在"IBC中，由余弦定理可求得8C」22+(60)2-2x2x6&x变=2历.

4V2

72+52—45>/26

cosZACB=

2x2而x6&26

(2)若选择条件①：在中，由余弦定理可求得^+(30r-2X2X3&X¥=&5,

由于E,尸分别是8GAe的中点，所以砂〃AB,贝|NEE4=宁，EF=1,AF=3五,

在△田中，由余弦定理可得AE=J(3应＞+俨一2x30xlx-率=5.

连接£尸，由EF〃AB,可得△ABGC/?Z\£FG,贝U二？^=7^="7^二片

ACJCJDAD2

2510,

——+---1

所以GE=：AE=|,GF=；BF=^,在△EGP中，余弦定理求得cosNEGF9913710

、5M50,

2x—x------

33

若选择条件②：

由于E,尸分别是8GAe的中点，所以砂〃AB,

则NEE4=¥，即=1,Ab=30，在△AEF中，由余弦定理可得AE={(3&了+仔—2x3&xlx1一事J=5.

连接£尸，由石尸〃?^,可得AABG^AEFG,贝===1,所以G£=gAE='|,GF=-BF=,

AGGB

在△EGF中，余弦定理求得cos/EG/=

2x-x------

【题型四】三角形高的类型

【典例分析】

(2022・安徽蚌埠•一模)记AABC内角A,3,C的对边为a,b,c,已知51世=$1114$迅氏。£)_143于£).

⑴证明：CD=c；

⑵若a2+b2=-J5ab,求sinC的值.

【答案】(1)证明见解析(2)手

【分析】(1)利用正弦定理边化角，再结合正弦值的计算公式列方程即可；

(2)由面积公式得c2=MsinC,利用余弦定理和辅助角公式化简即可.

(1)根据正弦定理和题设可得sin8=M=£,又sinB=y,所以CD=c.

sinAaa

(2)由三角形的面积公式可得Su"1■。戾inC=LABxC£>=」c2,

所以，=absinC

又由余弦定理=/+/_2abcosC=y[5ab-2abcosC

因此absinC=^5ab-2H?cosC,得sinC+2cosC=底in(C+^)=75

其中。为锐角，且tan0=2,于是C+6=工，所以sinC=sin[&-/=cose=Y5

【提分秘籍】

基本规律

高的处理方法：

1.等面积法：两种求面积公式

S=-bcsinA=-BCxAD=-c2

2

2.三角函数法:

在ABC。中,BD=ABcosZABD,AD=ABsinZABD,

【变式演练】

1.(2022.河南安阳•高三开学考试(理))已知AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且

(a+Z?)(sinA—sinB)+fc—y/3a\sinC=0.

(1)求角8的大小；

(2)若BC边上的高为j，求sinA.

【答案】(1)^(2)/上述

66

【分析】(1)先根据式子形式采取角化边，然后利用余弦定理的推论即可解出；

(2)先根据锐角三角函数的定义可知，b-c=csmy,得出6,c关系，再根据sinC="^可求出sinC,

6b

然后根据三角形内角和定理，诱导公式，两角和的正弦公式化简sinA=sin兀=sin|^C+^,即

可解出.

(1)

由(Q+Z?)(sinA—sinB)+(c—G4sinC=0,得(a+b)(Q—b)+(c—ga)c=0,即〃+/_/=，.・.

_—_A/3.•八/A/E•D

cosBD=--------------=—9•1_)<8<兀，»•D一■—.

lac26

(2)

_/rr&

B=~2,且5c边上的另j为。-。，b—c=csin—,c——b,

663

**•sinC—―--=—.\*c<b»**•C为锐角，**•cosC=2y，

b33

・•A-r万YI.万).「兀,「•兀班+20

..sinA-sin兀-CH■一=sinCH--=sinCcos—+cosCsin—=------------.

_16〃16)666

2.(2023•全国•高三专题练习)记△AfiC的内角A,B,C的对边分别为a,Z;,c,且bcosC+ccosB=2^cosA.

⑴求A的大小；

(2)若BC边上的高为正，且A的角平分线交BC于点。，求AD的最小值.

2

【答案】(l)A=g(2)也

32

【分析】(1)利用正弦定理进行边化角，结合三角恒等变换整理；(2)根据等面积可得税=♦,利用余弦

定理得62c2=巨+°2一切和基本不等式可得历之1,根据面积得AZ)=®,整理分析.

b+c

（1）由正弦定理得sin5cosc+sinCeos3=2sinAcosA,得sin（8+C）=sinA=2sinAcosA,因为AE（0,71）,

1JT

所以cosA=/,即A=1.

22

（2）因为=；Z?csinA=,所以历=〃.由余弦定理得片十°2一庆，得b2c之=b+c-bc^bc

1Ijr1TT

（当且仅当》=c=l时，等号成立），即历.因为Sa6c=7AsinA=7〃-AD-sin：+7LAD・sin：,所以

22626

3

.Rur2AD~=3b0人•因为函数”加

AD==一.因为6*+3儿=修+<?)~,所以一6202+3牡口在［1,+«）上单调

b+c

beX

递增，所以=所以即4。与¥.故的）的最小值为日

【题型五】三角形内心

【典例分析】

（2022•全国•模拟预测）在AASC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,a=3,b=2,sinA=m.

（1）若AABC唯一确定，求机的值；

⑵设/是AABC的内切圆圆心，厂是AABC内切圆半径，证明：当c=2r+l时，IC=IAIB.

【答案】（1）1（2）证明见解析

【分析】（1）若0〈加<1,根据sinA=机，b<a,可知A可以为锐角，也可以为钝角，AAfiC有两种情况，

若加=1,则三角形为直角三角形，AASC有唯一解.

（2）由c=2r+l可推导出AABC为直角三角形，故可计算出（,丛,口的值，即得证.

（1）

设AB边上的高为〃°,则儿=6sinA=2〃z>0.

当加力1时，由勾股定理，若A为锐角，则,=耳下+也-修；若A为钝角，则。=耳下-"4一修,所

以AABC存在两种情况，不能被唯一确定.

当m=l时，&4BC为直角三角形，其中A为直角顶点，。=^/^^=迅可以唯一确定，即AAfiC唯一确

定，故机的值为1.

-（r-2）（l+r）=（3+r）r,解得一与1（负值舍去），c=2r+l=正，所以AABC是以A为直角顶点的直

【提分秘籍】

基本规律

内切圆：等面积构造法求半径

S.=—(a+b+c\ror=-------

人2、)a+b+c

A

【变式演练】

1.(2022.云南省下关第一中学高三开学考试)在AABC中a,b,c分别为内角A,B,C,的对边，已知

(Q—Z>)(sinA+sinB)=c(sinC-sinB).

⑴求角A；

(2)若q=2,且AA5c的内切圆半径r=",求AABC的面积.

4

【答案】(l)A=g(2)M

316

【分析】(1)将已知式子利用正弦定理统一成边的形式，再利用余弦定理可求出角4

(2)先利用面积法可求得匕+c=»c-2,再结合(1)得到的式子可求出。c,从而可求出三角形的面积.

(1)

由已知及正弦定理得:(a-b)(a+b)=(c-b)c,^b2+c2-a2=bc,

所以cosA又因为Ae(0,万)，故A=g.

2bc23

(2)由已知得++=,即Z?+c=2历—2,

2422

又因为/+c2—4=bc,即(Z?+c)2=3。。+4,所以(2力c—2)2=3bc+4,解得Z?c=U,或加=0(舍去)，

4

所以AABC的面积为S即c='bc•正=卫@.

aABC2216

2.(2021•河南南阳•高三期末(理))在VABC中，sinC+cosC=smB+smC.

sinA

⑴求A;

(2)若VABC的内切圆半径r=2,求AB+AC的最小值.

【答案】(1)A=|；(2)873.

【分析】(1)根据已知条件、三角形的内角和定理及两角和的正弦公式，再结合解三角方程即可求解.

(2)由题意可知，利用三角形的等面积法AABC=gbcsinA=g(a+b+c)r及余弦

定理得出含有6+c和6c的关系式，再利用基本不等式的变形即可求得AB+AC的最小值.

(1)在VABC中，百sinC+cosC=^^^,

sinA

整理得退sinCsinA+sinAcosC=sinB+sinC=sin(A+C)+sinC,即

A/3sinCsinA4-sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC+sinC,于是

所以A/3sinCsinA=cosAsinC+sinC,

因为sinCwO,所以gsinA-cosA=1,即^^sinA—』cosA=!，

222

所以sin(A-j］=：,又因为0<A<»,所以，

koJ26v66J

所以A—2=9,解得A=g.所以A=g.

6633

-TT11

(2)4^=a,AB=c,AC=b,(1)知A=§.由=5〃csinA=5(〃+0+c)r,得

^-bc=2(a+/?+c),即^^bc-Z?-c=4,由余弦定理及(1)知4=£,得

243

a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-be,所以［乎人。一。一c=b2+c2-be=(b+c)2-3bc,

即9(Z7C)2+(b+c)2-^-bc(b+c)=(b+c)2-3bc，于^—bc=^-(b+c)-3

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