解三角形综合压轴小题归类（16题型提分练） 解析版-2025年高考数学

解三角形综合压轴小题归类（16题型提分练）

更盘点•置击看考

目录

题型一：三角形几解求参.........................................................................1

题型二：判断三角形形状：化角为边型..............................................................3

题型三：判断三角形形状：化边为角型..............................................................7

题型四：面积公式的应用..........................................................................9

题型五：求边长或者周长.........................................................................12

题型六：解三角形求角度.........................................................................14

题型七：范围与最值：知角和边求周长.............................................................16

题型八：范围与最值：知角和边求面积.............................................................19

题型九：范围与最值：判断角型...................................................................21

题型十：范围与最值：无长度求比值型.............................................................24

题型十一：范围与最值：正切型最值...............................................................28

题型十二：正余弦定理与三角形外心...............................................................32

题型十三：正余弦定理与角平分线.................................................................35

题型十四：正余弦定理与中线.....................................................................38

题型十五：正余弦定理与三角形高.................................................................42

题型十六：解三角形综合应用.....................................................................46

^突围・檐;住蝗分

题型一：三角形几解求参

指I点I迷I津

判断三角形解的个数有2种：

画图法：以已知角的对边为半径画弧，通过与邻边的交点个数判断解的个数。

①若无交点，则无解；

◎若有一个交点，则有一个解；

亘）若有两个交点，则有两个解；

④若交点重合，虽然有两个交点，但只能算作一个解。

公式法：运用正弦定理进行求解。

（l）a=bsinA,A=0,则一个解；

②a>bsinA,A>0,则两个解；

（3）a<bsinA,A<0,则无解。

1.（23-24高三・陕西榆林・）在△/3C中，角4民C的对边分别为。，b,c,若8=60。，b=304ABC

只有一个解，贝壮的取值范围为（）

A.（0,3码B.（0,36]C.（3A/3,6）D.（0,3码叫

【答案】D

【分析】利用正弦定理求外接圆半径，结合圆的性质分析求解.

D_b3G

【详解】的外接圆。的半径二万一一7^一，

2x——

2

如图所示，/C=3A5,4B'是圆的直径.

可知点8在优弧标'上（不包括端点），

当8为9时，此时c取到最大值2尺=6；

当点8从点/到9时，此时c越来越大，且ce（O,6）；

当点8从点9到。时，此时c越来越小，且ce（34,6）；

综上所述：若△NBC只有一个解，则c的取值范围为（0,3括]2{6}.

故选：D.

TT

2.（23-24高三•江苏南通・）已知△NBC的内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,若满足条件/=：,

6

c=2的△4BC有两个，则。的取值范围为（）

A.（1,2）B.（2,+s）C.[1,2）D.（1,2]

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用正弦定理用。表示sinC,再借助sinC的范围求解即得.

【详解】在△ZBC中，由正弦定理得号=三，贝％csin/2sin61,

sinAsinCsine=---------=---------=—

aaa

TT7TSjrIT1

由满足条件4=7，C=2的有两个，得且Cw?，即:<sinC<l,

66622

因此[<[<1,所以l<a<2.

故选：A

3.（2023•四川绵阳•模拟预测）命题R：“若△4SC与必斯满足:

4

AB=DE=x,BC=EF=2,cos^4=cosZ）=-,则二△。£尸”.已知命题夕是真命题，则工的值不可以是

（）

107

A.1B.2C.—D.一

33

【答案】D

【分析】根据已知可知三角形有唯一解，根据已知结合正弦定理，以及1与2的大小关系、正弦函数的取值

范围，求解即可得出答案.

C

.________3

在△45。中，由已知可得，sin^=Vl-cos2^=-.

4

又cos4=y>0,所以A为锐角.

由正弦定理可得，史;=名,

sinAsinC

3

-x

所以,ABsinA3

sinC==5_=­x

BC210

要使命题夕是真命题，则。有唯一满足条件的解.

3

若0<%<2,则sinC<y,显然C有唯一满足条件的解；

若x=2,则。=/,满足；

3

若x>2,且sinCvl,即

即2Vx<#,此时C有两解满足条件，此时命题。是假命题；

当x=?时，此时有sinC=l,C=]有唯一解，满足；

当x>与时，此时有sinC>l,显然C无解，不满足.

综上所述，当0<xW2或x=T时，命题。是真命题.

故选：D.

7T

4.（23-24高三下•浙江•）在448。中，ZA=-,AB=4,BC=a,且满足该条件的△48C有两个,则。的取

值范围是（）

A.（0,2）B.（2,273）C.（2,4）D.（273,4）

【答案】D

【分析】由正弦定理求出sinC,由sinCvl,且8C<A8,可得。的取值范围.

【详解】由正弦定理可得：，==二2，所以sinC=38<l,所以a>2道，

sinAsinCQ

因为满足条件的A/BC有两个，所以8c<43,即a<4,所以a的取值范围是（2道,4）

故选：D

5.（22-23高三•北京）已知在△ASC中，48=60。,6=内，若满足条件的三角形有且只有一个，则a的取

值范围是（）

A.{a|O<a<V3}B.{a10<a<6或。=2}

C.{a\O<a<s5}D.{a[0<avg或。=2}

【答案】D

【分析】由正弦定理和三角形解的个数可得答案.

b..73

.、*即、.a------smA=—T^sinA=2smA

【详解】由正弦定理可得sin86，

若满足条件的三角形有且只有一个，则0。<N460。或N=90。,

所以0<sin4或sin4=l,

2

可得或。=2.

故选：D.

题型二：判断三角形形状：化角为边型

指I点I迷I津

正余弦定理：化角为边型

若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理"角化边";

A0

1.（2021高三・全国•专题练习）设△ZBC的三边长为5C=〃，CA=b,AB=c,若tan—=—,

2b+c

DL.

tan—=------,则△48C是（）.

2a+c

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【分析】若三角形各边长为a、b、c且内切圆半径为r,

法一：由内切圆的性质有tan《=J—、tan4=—也，根据边角关系可得。=b或/+/=,2,注意讨论所

2b+c2a+c

得关系验证所得关系的内在联系；

TT

法二：由半角正切公式、正弦定理可得/=5或/+8=1,结合三角形内角的性质讨论所得关系判断三角

形的形状.

【详解】设尸=g（a+b+c）,A/BC的内切圆半径为r,如图所示，

2p-ab+c'2p-ba+c

①+②，得：曰=「彳，即”=

p-ab+cb2(P一a)b[b+c)

于是b(b+c)(c+Q-b)=i(Q+c)(b+c-Q)，

ab2—/+bd—a2b—/+ac2,(Q-6)(Q2+/_02)=0,

从而得或/+/=,2

・・・ZA=ZB^ZC=90°,故4ABC为等腰三角形或直角三角形,

(1)当。=b时，内心/在等腰三角形的底边上的高8上,

2/

«Q-----

^-AB-CD^~从而得2SV4-

BC22r=----------

a+b+c2a+c

又p_Q=；(6+C_Q)=；C,代入①式,C'a即q4a之一/_如

得4a

\1b+ca+c2a+ca+c

\2a+cy-c

2a-ca12*4

上式两边同时平方,得：不在，化简。2一2/=0,即°=缶.即△/BC直角三角形,

a+c

•••△/5C为等腰直角三角形.

(2)当/+62=。2时，易得r=；(°+6_c).

；(a+6-c)b

代入②式，得^--------=——，此式恒成立,

g(“+c-6)A。

综上，为直角三角形.

法二:

fie/sin/「an/三及正弦定理和题设条件，得sin/sin/

利用tan—=-------①,

21+cosZ1+cosAsin5+sinC

sin5sin5

②.

1+cosBsinZ+sinC

1+cos4=sin5+sinC③；1+cos5=sin/+sinC④.

由③和④得：1+cos/一sinB=1+cosB-sinA,即sinA+cos4=sin3+cosB,sin]/+：71J=sin15+：

4

因为48为三角形内角,

TTJTJTIT冗

/.A+-=B+-^A+-=TI-B一一，即/=3或/+8=—.

44442

(1)若A=B,代入③得：l+cos4=sinB+sinC⑤

又C=7t-A-B=7t-2A,将其代入⑤，得：1+cosA=sinA+sin2A.

变形得卜吊4-cos/丫-(sin/-cos/)=0,

即(sinA-cos4)(sin4-cos4-1)=0⑥，

由4=5知4为锐角，从而知sin4—cos/—lw0.

，由⑥，得：sinA-cosA=0,即Z=从而5=四，C=—.

442

因此，△43。为等腰直角三角形.

TT7T

（2）若4+8=5，即C=e，此时③④恒成立，

综上，△/3C为直角三角形.

故选：B

2.（20-21高三•上海浦东新•）已知△ASC的三条边a,6,c和与之对应的三个角43,C满足等式

acos8+6cosC+ccos4=6cos/+ccos8+acosC则此三角形的形状是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】A

【分析】利用余弦定理将角化为边整理，即可得三角形的边之间的关系，从而可得此三角形的形状.

【详解】由余弦定理，可得

a2+c2-b2,a1+b2-c1b2+c2-a2,b2+c2-a2a2+c2-b2a2+b2-c1

a-----------------Fb----------------F-c----------------=b-----------------Fc----------------Fa----------------,

lac2ab2bc2bc2aclab

整理，得小盘+匚二+

二0,

cab

rcri6/2~^2b2-c?c2-b2+b2-a2

所以------+------+-------------=0,

ab

所以(q—b)(b-。).一^+伍一-•"£=(),

beab

所以一=

Vbeab)

2

所以(j)伍-C)."一"〈C-C2=0,

所以=0,

所以。=6或6=£：或。=。，故三角形为等腰三角形.

故选：A

3.(18-19高三•四川雅安•阶段练习)在A42C中，毕少叱+R,则八42c的形状是()

a-bsin(4-6)

A.等腰三角形但一定不是直角三角形

B.等腰直角三角形

C.直角三角形但一定不是等腰三角形

D.等腰三角形或直角三角形

【答案】C

【解析】原式可化为(/+^2)-(sin^cos5-cos^sinB)=(a2-Z>2](sin^cosS+cos^sin5),然后利用正弦定理、

余弦定理进行边角互化，得出。，b,c的关系.

【详解】解：由/学=需端得：(/+〃)。皿/-3)=(/-〃卜in(/+8),且

.(sjnAcosB-cos^4sinB)=一/)(sin4cos5+cos4sin5),且〃w6,

a+62).(acos5-bcos4)=(〃2-/)(acosB+bcos%),

a2+c2-b2+b史3

一

2bc2ac2bc

化简整理得：(a2+b2)\a2-b2)=(a2-b2)c2,即(潦+从-丁)(/-/)=0,

二/=从或a2+〃=,又a手b,

...△4BC是直角三角形但一定不是等腰三角形.

故选：C

【点睛】本题考查三角形形状的判定，难度稍大.解答时，利用正、余弦定理进行边角互化是难点.

4.(23-24高三•江苏徐州)在△/8C中，若,则△/3C的形状为()

c-cosBb-cosC

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

【答案】D

【分析】先利用二倍角公式化简，然后利用正余弦定理统一成边的形式，化简变形可得答案.

l-cos2C1-cos252sii?5

【详解】因为，所以2疝2c

c-cosBb-cosCc-cosBb•cosC

所以26sin：CeosC=2csin25cos5，

所以由正弦定理得2bc2cosC=2cb2cosB，

因为2bcw0,所以ccosC=bcosB,

2>2_222_A2

所以由余弦定理得c-a+0_c=b-4+C,

2ab2ac

所以°2(〃2+〃-c2)=b2(q2+02一〃)，

所以力〃一q202+04一台4=0,

所以。2(/—/)+(/+/)(/_⑻=0,

所以(62_2)[/_匕2+〃)]=0,

所以/-C?=0或/-G?+/)=(J,

所以6=C或/=02+尸，

所以a/BC为等腰三角形或直角三角形.

故选:D

5.(23-24高三•安徽芜湖•)已知。,64分别是△A8C三个内角48,C的对边，下列关于△48C的形状判断

一定正确的为()

A.sin2+sin2,8=811^,则△48C为直角三角形

B.sin2+sin25=sinC,则△4BC为等腰三角形

C.silZ+si/B+sin2c=2，则MBC为直角三角形

D.si/N+silB+sin2c=2，则△ABC为等腰三角形

题型三：判断三角形形状：化边为角型

:指I点I迷I津

正余弦定理：化边为角型

(1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理"角化边"；

1.(22-23高三•上海青浦•阶段练习)已知AABC中，角4,B,C的对边分别是a,b,c,下列命题中，真

命题的个数是()

(1)若/tan8=6?tan/,则△/BC是等腰三角形；

(2)若sin/=cos8,则△4BC是直角三角形；

(3)若cos/cos3cosC<0,则△4BC是钝角三角形；

(4)若cosQ-8)cos(8-C)cos(C-N)=l,则△N8C是等边三角形.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】利用三角形的性质、正弦定理、同角三角函数的基本关系进行计算求解.

【详解】△ASC中，a2tanB=b~tanA>由正弦定理有：

SITIRairiA

sin2A-----=sin2B-----,因为△45。中sinZw0,sinBw0,

cosBcosA

sin/IcitiR

所以----=-----,即sin4cos/=singcosB,即sin2Z=sin25,

cos8cosA

所以2/=25或2/+25=兀，故(1)错误；

△45。中，因为sinZ=cos_B〉0,所以BE[。,]),

ITJT

所以/+8=或/=8+故(2)错误；

22

△ABC中,cos^cos5cosC<0,当cos/<0,cos2<0,cosC<0时,

显然不满足；

当cos4cos5,cosC中有1为负，2个为正，不妨设cos/<0,cosB>0,cosC〉0,

则Ce[o,l],所以/UBC是钝角三角形；故(3)正确；

△ABC中，4民。£(0,兀)，所以£(-兀,兀),5-Cw(-兀㈤，。一4£(一兀,兀),

所以cos(ACOS(B-C)G(-1,1],COS(C-^)G(-1,1],

因为cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,

所以cos(2-5)=cos(5—C)=cos(C—/)=l,所以4=5=C,

则△/5C是等边三角形，故(4)正确；故A,C,D错误.

故选：B.

2.(22-23高三・福建福州•)△45。中三个角的对边分别记为〃、b、c,其面积记为S,有以下命题：①

S32sinBsif②若2cos3sin/=sinC,则△NBC是等腰直角三角形；③

2sm/

sin2C=sin2A+sin2B-2sinAsinBcosC；®(a2+b2)sin(A-B)=(a2-Z?2)sin(^4+5),贝!J△48C是等腰或直角

三角形.其中正确的命题是

A.①②③B,①②④C.②③④D.①③④

【答案】D

【解析】根据正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角函数恒等变换对各个命题进行判断.

_uabmiasinB八、、„1,.1sinBsinC

【详解】由一~7=-7得6=~代入5=彳。6$111。得5==或2一——,①正确；

sm/sin5sinA22smN

若2cos3sin/=sinC=sin(N+3)=sinAcosB+cosAsmB,/.cos8sin4-cos/sin3=0,sin(N-8)=0,

•••42是三角形内角，4-B=0,即/=3,△ABC为等腰三角形，②错；

又工=也-

由余弦定理/=/+〃-2a6cosC•••荷。=痴2/+如22-2sin/sin2cosC,③正确;

sin/sin5

(a2)sin(z4-5)=(a2-)sin(^+B),

a2-b2sin(/-5)sinAcosB-cosAsinB.a1_sinAcosB由正弦定理得唯一sinAcosB

贝1f—r=----=------------

a+bsin(/+5)sinAcosB+cosAsinBb2cos/sinBsin-5cosAsinB

角形中sin/wO,sinBw0,则sinZcos/=sin8cos5,sin2A=sin2B,2/=25或2/+25=%,:・A=B

jr

^A+B=—,④正确.

故选：D.

【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查三角形形状的判断，由正弦定理进行边角

转化在其中起到了重要的作用，解题时注意体会边角转换.

3.（23-24高三•重庆・）ZUBC中，角4民C所对应的边分别是色瓦c,c=acosB+ccosA,则△ABC的形

状是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

【答案】D

【分析】首先利用正弦定理边化角，再利用两角和的正弦公式化简，判断三角形的形状.

【详解】由正弦定理边化角可知，sinC=sincosS+sinCcosA,

又sinC=sin（/+5）=sin/cosB+cos/sinB,

所以cosZsin8=sinCcosA,即cos/（sin3-sinC）=0,

所以cos/=0或sin8=sinC,则4=90°或B=C,

所以a/BC是等腰三角形或直角三角形.

故选：D

4.（23-24高三•广东广州・）在A/BC中，角/、B、C所对的边为a、b、c若（=则&，则△/BC的形状

ctanC

是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角、切化弦，再结合二倍角公式求解即得.

sinB

【详解】在中，由《=咽0及正弦定理得坐£=华缪，而sin/>0,sin3>0,

c2tanCsin2csmC

cosC

整理得sinBcosB=sinCeosC,即sin23=sin2C,而0<B<兀,0<C<兀，

TT

则0<2B<2兀,0<2C<2TT,因此23=2C或28+2C=TI,即3=C1或8+C=-,

2

所以△NBC是等腰三角形或直角三角形.

故选：C

5.（2024・山东•二模）在△48C中，设内角4民。的对边分别为。，仇。，设甲:b-c=a（cosC-cos5）,设乙:

△48C是直角三角形，则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】D

【分析】利用正弦定理定理、和角的正弦公式化简命题甲，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.

【详解】在△48C中，由正弦定理及6-c=a(cosC-cosB),得sin2-sinC=sin/(cosC-cosB),

即sin(N+C)-sin(N+8)=sinN(cosC-cos5),整理得cossinC-cos/sin8=0,

71

由正弦定理得ccos/-bcos4=0,贝！Jcos4=0或6=c,即/=耳或6=c,

jr

因此甲：4=5或6=c,显然甲不能推乙；

乙：△/BC是直角三角形，当角8或C是直角时，乙不能推甲，

所以甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件.

故选：D

题型四：面积公式的应用

T旨I点I迷I津

；三角形面积，不仅仅有常见的“底乘高”，还有以下：

111abe

；(l)SAABC=-absinC=-bcsinA=-acsinB=----

2224R

1

(2)SAABC=—(a+b+c)-r(r是切圆的半径)

।9

1.(23-24高三•重庆•)已知△48C的内角A,B,C的对边分别为b,c,aNBC的面积为S,

5=(*"sin/,则/=()

12)tan/tanCtanB

A.120°B.135°C.150°D.165°

【答案】A

【分析】由面积公式得到b=2c,再将切化弦，结合两角和的正弦公式、诱导公式得到

sin2B=AsinCcosB,利用正弦定理将角化边得到/=2QCCOS5,由余弦定理得到7c之=/,最后利用余

弦定理计算可得.

【详解】因为s=g加sin/,又S=(；62-c2}in/,

所以；儿$m4=］；62一°2卜11%,又0。<4<180。，所以sin4>0,

所以儿=/-2°2,即(6-2c)(6+c)=0,显然6+c>0,所以b=2c,

l,11cosAcosCsinCcos/+sin4coscsin(/+C)sin522cos5

因为----+-----=-----+-----=--------------------=---------=---------,-----=------

tanAtanCsinAsinCsinAsinCsinAsinCsinAsinCtanBsinB

d112.sin52cos5

>

又---；+---}=---n所以二一彳.万=一•「

tanAtanCtanBsinAsmCsinB

所以sin2B=2sin/sinCcos5，由正弦定理可得/=2accosB，

22

又由余弦定理〃=a+c-2accosB，即〃=4+/一62,

所以4。2=。2+。2_4。2,则7c2=〃2,

由余弦定理cos/==4/+c；7c-=_1；

2bc4c22

又0。</<180。，所以N=120。.

故选：A

【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是推导出b=2c、7c2=a2,再由余弦定理计算可得.

2.（2023•江西景德镇•模拟预测）已知△45。中，设角A、B、。所对的边分别为。、b、c,△/5C的面积

为S,若3sin?B+Zsin?C=sin/kinZ+2sinBsinC）,则信■的值为（）

C.1D.2

【答案】B

【分析】首先根据正弦定理将等式中的角转化成边得：3b2+2c2=a2+26csinZ,通过余弦定理可将等式化简

整理为…。s八国心一口通过三角函数图像可知g+A区同时通过基本不等式可知

噎白近,即得通过取等条件可知4=与，c=Cb，将其代入问题中即可求解答案.

c2bc2b4

【详解】已知3sin2B+2sin2C=sin2A+sinA-(2sin5sinC)

由正弦定理可知：3/+2c2=/+26csin4,

3Z)2+2c之-a2=2bcsinA，

整理得：(^2+c2-a2)+2Z)2+c2=2Z?csinA,

两边同除26c得：2/+J=5亩/,

2bc2bc

根据余弦定理得：cosA+-+-^-=smA,即2+W=sinZ-cos4=0siii(4-：］,

c2bclbI4J

■.-b>0,c>Q,.­.-+^->2.EZ=V2,当且仅当2=三，即c=J5z,时等号成立.

c2b7c2bc2b

Xv-+^-=sin^-cos^=V2sinp-^<V2,当且仅当/=当时，等号成立.

c2bI4J4

综上所述：-+-^->y/2^-+-^-<y/2,

c2bc2b

故得：凡此时c=缶且4。

o17.371y/2.S41beC且友」.

..S—besin—­be，•"z-="z-="

244b24b24b42

故选：B

3.（2023・海南•二模）在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知

2

a=G(〃+c2-3)tanA=>/3bc,2cosA+'（夜-1卜osC,则AABC的面积

72

A.③一也R3V2+V6C3母-巫D3+6

24'4八4

【答案】D

【解析】本题利用余弦定理，倍角公式，内角和定理进行化简，可求得角A和C的值，再利用正弦定理和

面积公式求得结果即可.

【详解】由题，仅2+C2-3)tanA=百be

所以-Jtan/="・「Q±4=cos/

2bc22bc

、百

所以tan力•cosA=sinA=——

2

又因为锐角三角形ABC,所以Z=?

由题2cos2=(挺—1卜osC,即1+cos(/+5)=(收-l)cosC

日「左

根据cos(4+8)=-cosC代入可得,cosC=——，即n。:

24

5兀

B=7T-A-C=——

12

a

再根据正弦定理:c=V2

sinAsinC

V6+V23+V3

面积S==acsMB==.道.也.

2244

故选D

【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形的综合，以及三角恒等变化公式的的运用，熟悉公式，灵活运用

是解题的关键，属于中档偏上题.

TT

4.（21-22高三上•江西宜春•）在443。中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知6=2,/=可，且

Cb

,贝必力BC的面积为

1-cosCcosA

A.百B.2GC.逋或后D.G或26

3

【答案】D

【详解】依题意，6(l-cosC)=ccos46=ccos/+6cosC,由正弦定理得

sin5=sinCcosA+smBcosC=sin(/+C)=sinAcosC+cosAsinC,化简得sinBCOSC=sinZCOSC,故cosC=0或

=2=2出i

sinB=sin/.当cos。=0,C='时，"兀,面积S=—ab=23\当sin5=sinZ时，为等边三角形,

2tan-2

6

面积为3-22=百，故选D.

4

点睛：本题主要考查三角函数很等变换的应用，考查了解三角形正弦定理，考查了三角形你给的面积公式

在解三角形中的综合应用，还需要结合分类讨论的数学思想方法来求解.首先利用正弦定理和三角形内角和

公式化简已知条件，由于解有两个，所以需要对三角形的情况进行分类讨论.

5.(23-24高三•广西百色)△NBC的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,己知

sinC+csin5=4asin5sinC,Z?2+c2-a2=8,则△48C的面积为()

A2Rr8873

z\.•JJ.-------------U•\-J・--------

3333

【答案】B

【分析】由给定条件，利用正弦定理边化角求出sin/,再利用余弦定理求出加即可求出三角形面积.

【详解】在△48C中，由6sinC+csin8=4asin3sinC及正弦定理，2sin5sinC=4sinAsin5sinC,

而sin8sinC>0,则sin/=g,由/+<?-/=8及余弦定理得26ccos/=8,cosA>0,

因止匕cos/=J1-sin2N=且,be=—f=,则邑='bcsin/==,

2V3"c24V33

所以△NBC的面积为迈.

3

故选：B

题型五：求边长或者周长

指I点I迷I津

解三角形，主要考查正弦定理、余弦定理，还考查三角形面积公式，两角差的正弦公式，同角间的三角

函数关系，正切函数性质等等.注意正弦定理在进行边角转换时等式必须是齐次，关于边凡64的齐次式

或关于角的正弦sin4sin?,sinC的齐次式，齐次分式也可以用正弦定理进行边角转换.求范围问题，通

常是把量表示为三角形某个角的三角函数形式，利用此角的范围求得结论.

1.（23-24高三•湖北黄冈•）在448。中，内角43,C的对边分别为。，b,c,已知26sin/=3G，。=3,

为钝角，b-c=2,则6=（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

2兀

【分析】利用正弦定理可得3=彳，再结合余弦定理运算求解.

【详解】由正弦定理一^―=—^—可得bsin/=asin5=3sin5,

sinAsinB

且2bsinZ=3百，即6sin5=3VJ,贝ljsin5=9,

2

且为钝角，则5=

又因为b-c=2,即c=b-2,

由余弦定理可得〃=a2+c2-2accosB,

即/=9+伍一2『一2x3伍一2）x1-g）,解得6=7.

故选：C.

2.（23-24高三•江苏淮安・）在△/5C中，角4,B,。所对的边分别为Q,b,c,若4=60。，a=娓,

a2+b2-c2=42ab^则。=（）

A.1B.2C.4D.6

【答案】B

【分析】由余弦定理求出cosC,得sin。，由正弦定理即可求解.

【详解】由题意，得cosC=.+/_」=正,

2ablab2

又C为KABC的内角。£（0,兀），因为sin2C+cos2C=1

V2

则

sinC~T

•ry[6x^~

,-easinC2c

由正弦定理，得口二.1———产~=2

SIIL4V3

V

故选：B.

3.（23-24高三•山西长治•）在4/5。中，角A,B,。所对应的边分别为〃，b,c,a=2c=2,

tan--------1-tan-=4,贝Ub=()

22

A.V2B.V3C.2D.V5

【答案】B

A+BC

【分析】先根据tan+tan5=4求出C,然后利用余弦定理求出b.

2