2024-2025学年同步试题 数学 必修第二册十二　平面几何中的向量方法　向量在物理中的应用举例

十二平面几何中的向量方法向量在物理中的应用举例(时间:45分钟分值:90分)【基础全面练】1.(5分)在△ABC中,若(+)·(-)=0,则△ABC()A.是正三角形 B.是直角三角形C.是等腰三角形 D.形状无法确定【解析】选C.(+)·(-)=-=0,即||=||,即CA=CB,则△ABC是等腰三角形.【补偿训练】(2024·佛山高一检测)若非零向量与满足(+)·=0,·=0,则△ABC为()A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形【解析】选C.因为非零向量与满足(+)·=0,又因为,均为单位向量,所以角A的平分线垂直于BC,则AB=AC,因为·=0,所以⊥,即AB⊥AC,所以△ABC为等腰直角三角形.2.(5分)一物体在力F的作用下,由点A(4,-2)移动到点B(5,4).已知F=(3,2),则F对该物体所做的功为()A.-15J B.15J C.28J D.-28J【解析】选B.由A(4,-2),B(5,4),所以=(1,6),又F=(3,2),所以F对物体做的功W=F·=1×3+6×2=15(J).3.(5分)(2024·南充高一检测)在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=2,AC=3,=2,=12,CN与BM交于点P,则cos∠BPN的值为()A.55 B.-255 C.-55【解析】选D.建立如图所示的平面直角坐标系,则B(0,2),N(0,1),C(3,0),M(2,0),得=(-3,1),=(-2,2),所以cos∠BPN==810×24.(5分)(2024·新乡高一检测)若平面上的三个力F1,F2,F3作用于一点,且处于平衡状态.已知|F1|=1N,|F3|=2N,F1与F3的夹角为60°,则F2的大小为()A.1N B.3N C.7N D.3N【解析】选C.根据三力平衡得F1+F3+F2=0,即F1+F3=-F2,两边同时平方得F12+2F1·F3+F3即|F1|2+2|F1||F3|cos60°+即12+2×1×2×12+22=7=|解得|F2|=7.5.(5分)(2024·上海高一检测)已知O为△ABC所在平面内一点,D是AB的中点,动点P满足=(1-λ)·+λ(λ∈R),则点P的轨迹一定过△ABC的()A.内心 B.垂心C.重心 D.AC边的中点【解析】选C.由动点P满足=(1-λ)+λ(λ∈R),且1-λ+λ=1,所以P,C,D三点共线,又因为D为AB的中点,所以CD为△ABC的边AB的中线,所以点P的轨迹一定过△ABC的重心.【补偿训练】在△ABC中,设-=2·,那么动点M形成的图形必经过△ABC的()A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心【解析】选C.假设BC的中点是O,则-=(+)·(-)=2·=2·,即(-)·=·=0,所以⊥,所以动点M在线段BC的垂直平分线上,所以动点M形成的图形必经过△ABC的外心.6.(5分)(多选)下列说法错误的是()A.若∥,则直线AB与直线CD平行B.若△ABC是直角三角形,则必有·=0C.在△ABC中,若·+=0,则△ABC为等边三角形D.若A(xA,yA),B(xB,yB),则||=(xB【解析】选ABC.A错,可能为同一条直线;B错,直角不一定是∠C;C错,由条件可得·(+)=·=0,所以∠BAC为直角,即△ABC为直角三角形,非等边三角形;=(xB-xA,yB-yA),所以||=(xB7.(5分)已知平行四边形ABCD中,=(1,2),=(3,1),则平行四边形ABCD的对角线AC的长为__________.

答案:5【解析】由=+=(4,3),所以||=42+38.(5分)加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动,处于如图所示的平衡状态时,若两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均为2003N,则该学生的体重(单位:kg)约为________kg.(参考数据:取重力加速度大小为g=10m/s2)

答案:60【解析】如图,||=||=2003,∠AOB=60°,作平行四边形OACB,则OACB是菱形,=+,||=2||sin60°=600,所以|G|=||=600,因此该学生体重为600g=60010=60(kg).9.(5分)已知向量a=-12,32,=a-b,=a+b,若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形,则△OAB的面积为________.

答案:1【解析】由题意,得|a|=1.又△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形,所以⊥,||=||.由⊥,得(a-b)·(a+b)=|a|2-|b|2=0,所以|a|=|b|.由||=||,得|a-b|=|a+b|,所以a·b=0,所以|a+b|2=|a|2+|b|2=2,则||=||=2,所以S△OAB=12×2×2=1.10.(10分)一条东西方向的河流两岸平行,河宽250m,河水的速度为向东23km/h.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发,航行到位于河对岸B(AB与河的方向垂直)的正西方向并且与B相距2503m的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km/h,则当小货船的航程最短时,求合速度的方向,并求此时小货船航行速度的大小.【解析】如图,AB=250m=0.250km,BC=2503m=34tan∠CAB=BCAB=340.250所以∠CAB=60°,所以∠CAD=90°+60°=150°,所以合速度的方向与水流的方向成150°的角.设小货船的速度为v1,水流速度为v2,合速度为v,则v1=v-v2,所以|v1|=v262−2×6×23所以小船航行速度的大小为221km/h.【综合应用练】11.(5分)(多选)在△ABC中,已知AB=2,AC=5,∠BAC=60°,BC,AC边上的两条中线AM,BN相交于点P,下列结论正确的是()A.AM=39B.BN=21C.∠MPN的余弦值为21D.++=0【解析】选BD.如图所示:由题可知,M,N分别为BC,AC中点,则=12(+),同时平方得=14(++2·)=14(++2||||cos∠BAC)=14(4+25+2×2×5×12)=394,则|AM|=392,故A错误;又=-,同时平方得==+-2·=254+4-2×52×2×12=214,则||=212,故B正确;cos∠MPN====12×=12×−4+252−12×2×5×++=-+(-)+(-)=+-3=+-3×23=+-3×23×12(+)=0,故D正确.12.(10分)设作用于同一点的三个力F1,F2,F3处于平衡状态,若|F1|=1,|F2|=2,且F1与F2的夹角为23π,如图所示(1)求F3的大小;(2)求F2与F3的夹角.【解析】(1)由题意|F3|=|F1+F2|,因为|F1|=1,|F2|=2,且F1与F2的夹角为23π,所以|F3|=|F1+F2|=1+4+2×1×2×(−12(2)设F2与F3的夹角为θ,因为F3=-(F1+F2),所以F3F2=-F1F2-F2F2,所以3·2·cosθ=-1·2·-12-4,所以cosθ=-32所以θ=5π613.(10分)如图,已知质点由点A(20,15)移动到点B(7,0)的过程中,两恒力F1=(3,4),F2=(6,-5)作用于该质点.(1)求力F1,F2分别对质点所做的功;(2)求力F1,F2的合力F对质点所做的功.【解析】(1)=(-13,-15),力F1对质点所做的功W1=F1·=(3,4)·(-13,-15)=3×(-13)+4×(-15)=-99,力F2对质点所做的功W2=F2·=(6,-5)·(-13,-15)=6×(-13)+(-5)×(-15)=-3,所以,力F1,F2对质点所做的功分别为-99和-3;(2)W=F·=(F1+F2)·=F1·+F2·=-99-3=-102.14.(10分)在△ABC中,已知AB=AC=5,BC=6,M是边AC上靠近点C的一个三等分点,试在直线BM上求一点P(说明位置),使得PC⊥BM.【解析】根据题意,以B为原点