2025年中考数学几何模型综合训练专题39最值模型之几何转化法求最值模型（全等、相似、中位线、对角线性质等）（教师版）

专题39最值模型之几何转化法求最值模型

（全等、相似、中位线、对角线性质等）

几何中最值问题是中考的常见题型，变幻无穷，试题设计新颖，形式活泼，涵盖知识面广，综合性强。

在各地中考数学试卷中，几何最值问题也是重难点内容，在中考数学试卷中通常出现在压轴题的位置。

本专题我们所讲的几何转化法求几何最值是对前面八类几何最值模型的一个补充。虽然我们前面讲的

几何最值模型涵盖了大部分的最值问题，但也有部分几何最值无法很好的解决。鉴于此我们补充几类几何

转化法（主要利用全等、相似、或其他的几何性质（如：中位线、对角线、特殊的边角关系等）转化），

希望对大家有所帮助！

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.几何转化模型-全等转化法.................................................................................................................1

模型2.几何转化模型-相似转化法.................................................................................................................6

模型3.几何转化模型-中位线转化法.............................................................................................................9

模型4.几何转化模型-对角线转化法...........................................................................................................11

模型5.几何转化模型-其他性质转化法.......................................................................................................14

.................................................................................................................................................17

模型1.几何转化模型-全等转化法

条件：OA=OB，OA’=OB'，∠AOB=∠A'OB'；结论：△OAA'△OBB'，AA'BB'。

该类转化法求最值的模型，三角形OAB和OA’B’在图形中很难同时出现，需要我们通过辅助线构造出手拉

手型的全等模型，从而将所求线段进行转化。

例1．（23-24八年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，DBC30，AB23，P是BC

边上一动点，连接DP，把线段DP绕点D逆时针旋转60到线段DQ，连接CQ，则线段CQ的最小值为．

【答案】3

【分析】在BD上截取DEDC，过点E作EFBC于点F，通过证明DEP≌DCQASA可得CQPE，

根据垂线段最短可得当点P和点F重合时，PEBC，此时PE取最小值时，即可求解．

【详解】解：在BD上截取DEDC，过点E作EFBC于点F，∵DBC30，∴EDC60，

∵线段DP绕点D逆时针旋转60到线段DQ，∴PCQ60，DPDQ，

∴PCQPDCEDCPDC，即CDQEDP，

DEDC

在DEP和DCQ中，CDQEDP，∴DEP≌DCQASA，∴CQPE，

DPDQ

当PE取最小值时，CQ也取得最小值，当点P和点F重合时，PEBC，此时PE取最小值时，

∵四边形ABCD为矩形，DBC30，AB23，∴BD2AB43，DCDEAB23，DBC30，

1

∴BEBDDE23，∴EFBE3，∴CQ的最小值为3．故答案为：3．

2

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，含30角的直角三角形，30角所对的边

是斜边的一半，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形．

例2．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为0，8，点B为x

轴上一动点，以AB为边在直线AB的右侧作等边三角形ABC．若点P为OA的中点，连接PC，则PC的长

的最小值为．

【答案】6

【分析】本题考查了轴对称―最短路线问题，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，添加

恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．

以AP为边作等边三角形APE，连接BE，过点E作EFAP于F，由“SAS”可证△ABE≌△ACP，可得

BEPC，则当BE有最小值时，PC有最小值，即可求解．

【详解】解：如图，以AP为边作等边三角形APE，连接BE，过点E作EFAP于F，

点A的坐标为(0,8)，OA8,点P为OA的中点，AP4,

△AEP是等边三角形，EFAP，AFPF2,AEAP，EAPBAC60，BAECAP，

AEAP

在ABE和△ACP中，BAECAP,ABE≌ACPSAS，BEPC,

ABAC

当BE有最小值时，PC有最小值，即BE⊥x轴时，BE有最小值，

BE的最小值为OFOPPF426，∴PC的最小值为6，故答案为：6．

例3.（2024·四川内江·二模）如图，在OAB中，AOB90，BOAO22，P是OB的中点，若点D

在直线AB上运动，连接OD，以OD为腰，向OD的右侧作等腰直角三角形ODE，连接PE，则在点D的

运动过程中，线段PE的最小值为．

【答案】1

【分析】取AO的中点Q，连接DQ，先证得OQD≌OPE，得出QDPE，根据点到直线的距离可知当

QDAB时，QD最小，然后根据等腰直角三角形的性质求得QDAB时QD的值，即可求得线段PF的最

小值．

【详解】解：如图，取AO的中点Q，连接DQ，

∵DOE为等腰直角三角形，AOB90，∴AOBDOE90，DODE，∴AODBOE，

∵BOAO22，P为BO中点，Q是AO的中点，∴AQOQBPOP2，

OQOP

在ODQ和OPE中，QODPOE，∴OQDOPE，∴QDPE，

ODOE

∵点D在直线AB上运动，∴当QDAB时，QD最小，∵AOB90，BOAO22，∴A45，

∵QDAB，∴QAD是等腰直角三角形，∵AQ2，∴ADDQ1，

∴线段PE的最小值是为1．故答案为：1．

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质以及垂线

段最短问题，通过分析条件添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．

例4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在VABC中，ACB90，AB4，点O是AB的中点，以BC为

直角边向作等腰Rt△BCD，连接OD，当OD取得最大值时，OBD的面积为．

【答案】22

【详解】解：过点B作BEAB，使BEBO，连接OC，OE，CE，如图1所示：

1

则EBO90，OBE为等腰直角三角形，AB4，点O为AB的中点，BEBOAB2，

2

由勾股定理得：OEBE2BO222，

1

在VABC中，ACB90，AB4，点O是AB的中点，COBOAOAB2，

2

等腰Rt△BCD是以BC直角边的等腰三角形，BCBD，CBD90，

EBCEBOABC90ABC，OBDABCCBD90ABC，EBCOBD，

BEBO

在EBC和OBD中，EBCOBD，△EBC≌OBDSAS，ECOD，

BCBD

根据“两点之间线段最短”得：ECOCOE，即EC222，OD222，OD的最大值为222，

此时点E，O，C在同一条直线上，过点D作DFAB交AB的延长线于F，如图2所示：

OBE为等腰直角三角形，BOE45，COBO2，OBCOCB，

又BOEOBCOCB45，OBCOCB22.5，OBD90OCB112.5，

EBC≌OBD，OCBODB22.5，DOB180OBDODB180112.522.545，

△ODF为等腰直角三角形，DFOF，由勾股定理得：OF2DF2OD2，

11

即22，，．

2DF(222)DF22SOBDOBDF22222

22

模型2.几何转化模型-相似转化法

条件：OB=kOA，B'O=kOA’，∠AOB=∠A'OB'；结论：△OAA'∽△OBB'，BB'kAA'。

该类转化法求最值的模型，三角形OAB和OA’B’在图形中很难同时出现，需要我们通过辅助线构造出手拉

手型的相似模型，从而将所求线段进行转化。

BC3

例1．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，BCDC,,AD1,AB2，

CD4

则对角线AC的最小值为．

【答案】1

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形三边的关系等知识，准确构造出相似三角形对线段

进行转化是解题的关键．

DE5

【详解】解：如图，过点A作AEAD，且

AD4

3BC3DEBD5

AD1AE设BC3k,CD4k则BD5k

4CD4ADCD4

EBBD54

ADCEDBEDBADCACEB当EB最小时，AC最小

ACCD45

3545

EBABAEEB最小为2AC最小为1故答案为：1．

4454

例2．（2024上·浙江宁波·九年级校联考期中）如图，O的直径AB长为16，点E是半径OA的中点，过

点E作CDAB交O于点C，D．点P在CBD上运动，点Q在线段CP上，且PQ2CQ．则EQ的最大

能是．

48

【答案】13

33

1

【分析】延长CD到F，使得DFDE，连接OF，PF，OP，OD．首先证明EQPF，解直

3

角三角形求出OF，求出PF的最大值即可解决问题．

【详解】解：延长CD到F，使得DFDE，连接OF，PF，OP，OD．

∵ABCD∴CEDE∵DEDF∴EF2CE∵PQ2CQ

CECQ1CECQ1EQCE1

∴则∵ECQFCP∴ECQ∽FCP则

EFQP2CFCP3PFCF3

又∵AEOE4，OD8，OED90∴DEOD2OE2824243

2

在RtOED中EF2DE83，OE4∴OFOE2EF24283413

∵PFOPOF∴PF8413则PF的最大值为8413

4848

∴EQ的最大值为13故答案为13

3333

【点睛】本题考查垂径定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化

的思想思考问题．

例3．（23-24八年级下·云南曲靖·期中）如图，在矩形ABCD中，AB3，BC4，AC与BD交于点O，

分别过点C，D作BD，AC的平行线相交于点F，点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点，

则PG的最小值是（）

3456

A．B．C．D．

2345

【答案】D

【分析】先判定四边形OCFD为菱形，找出当GP垂直于菱形OCFD的一边时，PG有最小值．过D点作

DMAC于M，过G点作GPAC与P，则GP∥DM，利用平行四边形的面积求解DM的长，再利用相

似三角形的判定和性质可求解PG的长，进而可求解．

【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，ACBD，∴ODOC．

∵DF∥OC，OD∥CF，∴四边形OCFD为萎形．∵点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点，

∴当GP垂直于萎形OCFD的一边时，PG有最小值．

如图，过D点作DMAC于M，过G点作GPAC与P，则GP∥DM，

∵AB3，BC4，∴CDAB3，AC32425．

1112

∵SACDMADCD，∴ACDMADCD，即5DM43，解得DM．

ACD225

∵GP∥DM，G为CD的中点，∴△CPG∽△CMD，

PG1

PGCG66

∴，∴122，∴PG，故PG的最小值为．故选：D．

DMCD55

5

【点睛】本题主要考查矩形的性质，菱形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识．正

确确定当GP垂直于萎形OCFD的一边时，PG有最小值和正确作出辅助线是解题关键．

模型3.几何转化模型-中位线转化法

三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。

条件：如图，在三角形ABC的AB，AC边的中点分别为D、E，

1

结论：（1）DE//BC且DEBC，（2）ADE∽ABC。

2

△△

证明：如图1，过点C作CF∥AB交DE延长于点F，∴∠A∠ECF，∠F∠ADE，

∵DE是VABC的中位线，∴ADBD，AECE，∴△ADE≌△CFEAAS，∴DEFE，CFAD，

1

∴CFBD，DEDF，又∵CF∥BD，∴四边形BCFD是平行四边形，

2

1

∴BCDF，BC∥DF，∴DE∥BC，DEBC；

2

∵DE∥BC，∴ADEB，AEDC，∴ADE∽ABC。

△△

例1．（2024·山东德州·二模）如图，在平行四边形ABCD中，AD6，BD8，ADDB，点M、N分

别是边AB、BC上的动点（不与A、B、C重合），点E、F分别为DN、MN的中点，连接EF，则EF

的最小值为（）

A．2.4B．3C．4D．4.8

【答案】A

1

【分析】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，利用三角形中位线定理得出EFDM，则当DMAB

2

时，DM最小，则EF最小，利用勾股定理求出AB，然后利用等面积法求出DM的最小值，即可求解．

【详解】解：连接DM，

1

∵点E、F分别为DN、MN的中点，∴EFDM，当DMAB时，DM最小，则EF最小，

2

∵AD6,BD8,ADDB，∴ABAD2BD210，

1111

设△ABD中AB边上高为h，则SABDADBDABh，∴6810h，

2222

1

∴h4.8，∴DM最小值为4.8，则EF最小值为4.82.4，故选：A．

2

例2．（2024·广东肇庆·一模）如图，点C在以AB为直径的半圆上，D是半圆上不与点C重合的动点．连

接CD，M是CD的中点，过点C作CPAB于点P．若AB9，则PM的最大值是．

9

【答案】

2

【分析】本题考查了圆的性质、三角形中位线定理，延长CP至E，使CPPE，连接DE，结合题意得出

1

即点E在圆上，由三角形中位线定理得出PMDE，则当DE经过原点O时，DE有最大值为9，此时PM

2

有最大值，即可得解．

【详解】解：如图，延长CP至E，使CPPE，连接DE，

，

1

CPAB，点C、E关于直线AB对称，即点E在圆上，M是CD的中点，PMDE，

2

199

当DE经过原点O时，DE有最大值为9，此时PM有最大值，为DE，故答案为：．

222

例3．（2023·四川成都·一模）已知矩形ABCD中，AB2AD8，点E、F分别是边AB、CD的中点，点P

为AD边上动点，过点P作与AB平行的直线交AF于点G，连接PE，点M是PE中点，连接MG，则MG的

最小值＝．

【答案】25

5

1

【分析】连接AC交PG与点N，连接EN，证明MGEN，求EN最小值即可．

2

【详解】解：∵AB2AD8，点E、F分别是边AB、CD的中点，

5

∴CFFD，AE4，AC428245，∴sinBAC，连接AC交PG与点N，连接EN，

5

NGAGPG

∵PG//CD，∴ANGACF，APGADF；∴，

CFAFDF

1

∵CFFD，∴NGPG，∵点M是PE中点，∴MGEN，

2

EN5452525

当ENAC时，EN最小，MG也最小；sinBAC，EN，MG；故答案为：．

AE5555

1

【点睛】本题考查了相似三角形的性质和解直角三角形，解题关键是恰当作辅助线，得出MGEN，求EN

2

最小值．

模型4.几何转化模型-（特殊）平行四边形对角线转化法

该模型主要运用（特殊）平行四边形对角线的性质（如：平行四边形对角线互相平分、矩形的对角线相等）

来将不易求得的某些线段转化为能易求的线段进行求解。

例1．（24-25九年级上·广东河源·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AD6，AB8，M为线段BD上

一动点，MPCD于点P，MQBC于点Q，则PQ的最小值为．

424

【答案】4.8/4/

55

【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，掌握矩形的

判定与性质是解题的关键．连接MC，首先根据勾股定理解得BD的值，证明四边形MPCQ是矩形，可得

PQCM，当时CMBD，CM最小，则PQ最小，然后由面积法求出CM的长，即可获得答案．

【详解】解：如图，连接MC，

∵四边形ABCD为矩形，AD6，AB8，∴BCD90，BCAD6，ABCD8，

∴BDBC2CD2628210∵MPCD，MQBC，∴MPCMQCPCQ90，

∵四边形MPCQ是矩形，∴PQCM，当时CMBD，CM最小，则PQ最小，

1111

此时SBCCDBDCM，即6810CM，解得CM4.8，

BCD2222

∴PQ的最小值为4.8．故答案为：4.8．

例2．（23-24九年级上·广东茂名·期末）如图，P是Rt△ABC的斜边AC（不与点A、C重合）上一动点，

分别作PMAB于点M，PNBC于点N，O是MN的中点，若AB5，BC12，当点P在AC上运动时，

BO的最小值是．

304

【答案】/2

1313

【分析】本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理等知识．连接BP，证四边形BMPN是矩形，

得BPMN．再根据当BPAC时，BP最小，然后由面积法求出BP的最小值，即可解决问题．

【详解】解：连接BP，如图，

∵AB5，BC12，∴ACAB2BC213．

∵ABC90，PMAB，PNBC，∴四边形BMPN是矩形，∴BPMN，BP与MN互相平分．

1

∵点O是MN的中点，∴点O在BP上，BOBP．∵当BPAC时，BP最小，

2

116013030

又∵此时S△ABBCACBP，∴51213BP，∴BP，∴BOBP．故答案为：．

ABC221321313

例3．（2024·河南周口·一模）如图，Rt△ABC中，ACB90，AC4，BC6，点P为AB上一个动

点，以PC，PB为邻边构造平行四边形PBQC，连接PQ，则PQ的最小值为（）

61012

A．13B．13C．13D．13

131313

【答案】C

【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，解直角三角形，垂线段最短，设BC，PQ交于O，

1

过点O作OHAB于H，由平行四边形的性质得到PQ2OP，OBBC3，则由垂线段最短可知，当

2

点P与点H重合时，OP最小，最小值为OH的值，即此时PQ最小，最小值为OH的值的2倍，利用勾股定

OHAC

理求出ABAC2BC2213，再解直角三角形得到，据此求解即可．

OBAB

【详解】解：如图所示，设BC，PQ交于O，过点O作OHAB于H，

1

∵四边形PBQC是平行四边形，∴PQ2OP，OBBC3，∴当OP最小时，PQ最小，

2

由垂线段最短可知，当点P与点H重合时，OP最小，最小值为OH的值，即此时PQ最小，最小值为OH的

值的2倍，在Rt△ABC中，ACB90，AC4，BC6，

OHAC

∴ABAC2BC2213，∴sin∠OBHsin∠ABC，

OBAB

OH461312

∴，∴OH，∴PQ最小值为13，故选：C．

32131313

模型5.几何转化模型-其他性质转化法

图1图2

如图1，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，则BC=3AC.

如图2，等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，则BC=2AC.

例1．（23-24九年级上·广西柳州·期末）如图，正方形ABCD，边长AB2，对角线AC、BD相交于点O，

将直角三角板的直角顶点放在点O处，三角板两边足够长，与BC、CD交于E、F两点，当三角板绕点O

旋转时，线段EF的最小值为（）

A．1B．2C．2D．22

【答案】C

【分析】证明OEC≌OFD，得到EF2OE，要使EF有最小值，即求OE的最小值，当OEBC时，OE

有最小值，由等腰三角形的性质可求出．

【详解】解：正方形ABCD，OCOD,ODCOCB45,OCOD，

DOFCOE,OCOD，ODCOCB45，OEC≌OFD(ASA)，

OEOF,EOF90，EF2OE，故要使EF有最小值，即求OE的最小值，

当OEBC时，OE有最小值，OBOC,BOC90,OEBC，

1

OEBC1，线段EF的最小值为2．故选：C．

2

【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟

练掌握旋转的性质是解题的关键．

例2．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在ABC中，ABAC4，BAC120，P为BC边

上一动点，连接AP，将线段AP绕点A顺时针旋转120至AP，则线段PP的最小值为（）

53

A．B．23C．3D．5

2

【答案】B

【分析】过点A作ADPP于D，根据旋转的性质得到APAP，PAP120，进而得到当PD最短时，

11

PP最短，当APBC时，AP最短，然后利用含30角直角三角形的性质得到APAC2，ADAP1，

22

最后利用勾股定理求解即可．

【详解】解：如图所示，过点A作ADPP于D，

由旋转可得，APAP，PAP120，∴PP2PD，APD30，

当PD最短时，PP最短，∵P为BC边上一动点，∴当APBC时，AP最短，

1

∵ABAC4，BAC120，∴C30，∴当APBC时，APAC2，

2

1

∴ADAP1∴PDAP2AD23∴PP2PD23．故选：B．

2

【点睛】此题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理和勾股定理等知识，解题的关键

是熟练掌握以上知识点．

例3．（2024·江苏无锡·三模）如图，在四边形ABCD中，AD∥CB，对角线AC、BD交于点O，且

AOB120．若ACBD4，则ADBC的最小值为（）

A．16B．4C．9D．2

【答案】D

【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，解直角三角形，二次函数的性质等知识，解决问题的关键

是作辅助线将条件集中在同一个三角形中求解．作DE∥AC交BC的的延长线于E，作BFDE于F，设

BDa，表示出DE，解斜三角形BCD，进而求得结果．

【详解】解：如图，作DE∥AC交BC的的延长线于E，作BFDE于F，

∵DE∥AC，BDFBOC180AOB60，∵AD∥CB，四边形ADEC是平行四边形，

ADCE，DEAC，ADBCCEBCBE，设BDa，则DEAC4a，

13

在Rt△BDF中，BDa，BDF60，DFacos60a，BFasin60a，

22

22

1333

，在中，2222，

EFDEDF4aa4aRtBCFBEBFEFa4a3(a2)4

2222

2

当a2时，BE最小4，即BE最小2(ADBC)最小2．故选：D．

例4．（2024·陕西渭南·二模）如图，在菱形ABCD中，ABC120，AB23，点E、F分别是AD、BC

边上的两个动点，连接AF，EF，若FA平分BFE，则DE的最大值为（结果保留根号）

【答案】233

【分析】此题考查了菱形的性质，利用三角函数求边长，过点B作BGAD于点G，由菱形的性质易得

BAD60，AD∥BC，求出BGABsinBAD3．根据菱形的性质及角平分线得到DAFAFE，推

出AEEF．由AEDEAD23可知，当AE最小时，DE最大，从而得到DE的最大值．

【详解】过点B作BGAD于点G，由菱形的性质易得BAD60，AD∥BC，则AFBDAF．

∵AB23，∴BGABsinBAD3．∵FA平分BFE，

∴AFBAFE，则DAFAFE，∴AEEF．

∵AEEF，∴AE最小BG3，∴DE的最大值为233．

1．（23-24九年级上·山西临汾·期中）如图，在ABC中，ABBC10，AC12，点D，E分别是AB,BC

边上的动点，连结DE，F，M分别是AD,DE的中点，则FM的最小值为（）

A．12B．10C．9.6D．4.8

【答案】D

【分析】本题考查等腰三角形三线合一的性质，三角形的面积，三角形中位线定理，正确得出AE的值是解

题的关键．过点B作BHAC于H，当AE取最小值时，FM的值最小，由垂线段最短可知，当AEBC于

点E时，AE的值最小，利用等腰三角形三线合一的性质求出BH的长，进而利用三角形等面积法求解即可．

【详解】过点B作BHAC于H，

1

∵F，M分别是AD,DE的中点，∴FMAE，当AE取最小值时，FM的值最小，

2

由垂线段最短可知，当AEBC于点E时，AE的值最小，

1

在ABC中，ABBC10，AC12，∴CHAC6，∴BHBC2CH28，

2

11

∴SV12848BCAE，∴AE9.6，∴FM4.8，故选：D．

ABC22

2．（2023·浙江杭州·二模）如图，点O为VABC的内心，B=60，BMBN，点M，N分别为AB，BC

上的点，且OMON．甲、乙两人有如下判断：甲：MON120：乙：当MNBC时，△MON的周长有

最小值．则下列说法正确的的是（）

A．只有甲正确B．只有乙正确C．甲、乙都正确D．甲、乙都错误

【答案】A

【分析】此题主要考查了三角形的内心，全等三角形的判定和性质，解答此题的关键正确的作出辅助线构

造全等三角形，难点是在解答△MON的周长最小时，将三角形的各边都用ON表示，并根据垂线段最短来

判断．连接OB，过点O作ODAB于D，OEBC于E，依据“HL”判定RtODM和RtOEN全等，从而

得出DOMEON，然后再根据四边形的内角和等于360即可对甲的说法进行判断；过点O作OFMN

3

于点F，则MN2NF，根据MON120得ÐNOF=ÐMOF=60°，进而得NF=ON，据此得△MON

2

的周长为(23)ON，只有当ON最小时，△MON的周长为最小，然后根据“垂线段最短”可对乙的说法进

行判断．

【详解】解：连接OB，过点O作ODAB于D，OEBC于E，

点O为VABC的内心，OB是ABC的平分线，又ODAB，OEBC，ODOE，

OMON

在RtODM和RtOEN中，，RtODM≌RtOENHL，DOMEON，

ODOE

在四边形ODBE中，ODBOEB90，BDOE180，

又B=60，DOE120，即：ÐDON+ÐEON=120°，

DONDOM120，即：MON120，故甲的说法正确；

过点O作OFMN于点F，OMON，OFMN

OF是MON的平分线，MFNF，MN2NF，

又甲的说法正确；MON120，NOFMOF60，

NF3

在RtNOF中，sinNOF，NFONsinNOFONsin60ON，

ON2

MN=2NF=3ON，△MON的周长为：OMONMN(23)ON，

当ON最小时，△MON的周长为最小，根据“垂线段最短”可知：当ONBC时，△MON的周长为最小，

MNBC，ON与BC一定不垂直，ON不是最小，

△MON的周长不是最小，故乙的说法不正确．故选：A．

3．（23-24八年级下·广东江门·期中）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是对角线BD上一点，PEBC

于点E，PFCD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①APEF且APEF；②PFEBAP；③

△ADP一定是等腰三角形；④四边形PECF的周长为42；⑤EF的最小值为22；⑥PB2PD22PA2．其

中结论正确的是（）

A．①③④⑤B．②③④⑥C．①④⑤⑥D．①②⑤⑥

【答案】D

【详解】①连接PC，延长FP交于点G，PEBC，PFCD，PECPFC90，

正方形ABCD中，BCD90�，�EPF90，四边形PECF是矩形，PCEF，

由正方形的对称性知，APPC，APEF；AB∥CD，PFAB，

APG和FEP中，PEPG，PFAG，APEF；正确；

②PCEF，PEEP，RtPCE≌RtEFPHL，PFEECP，

BAPBCP，BAPPFE；正确；

③ADP45，DAPDPA135，DAP＜DAB90，DPA＞DBA45，

只有当DAPDPA67.5时，或PADPDA45时，ADP才是等腰三角形，除此之外都不是等

腰三角形；不正确；

④BDCDBC45，DFPPEB90，BPE90PBE45，DPF90PDF45，

BEPE，DFPF，PEECPFCFBEECDFCFBCCD448；不正确；

⑤连接AC，设AC与交点为O，则ACBD，APAO，

��1

AC2AB42，AOAC22，AP≥22，EF≥22，EF的最小值为22；正确；

2

⑥AP2EF2PE2PF2，PEBE，PFDF，

2AP22PE22PF2=PB2PD2，即PB2PD2=2AP2；正确．故正确的有①②⑤⑥故选：D．

【点睛】本题主要考查了正方形，矩形，全等三角形，轴对称，等腰三角形，勾股定理，解决问题的关键

是熟练掌握正方形性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称性质，等腰三角形判定和

性质，勾股定理解直角三角形．

4．（2024·江苏扬州·三模）如图，正方形ABCD边长为4，以B为圆心，AB为半径画弧，E为弧AC上动

点，连BE，取BE中点F，连CF，则DECF最小值为．

【答案】25

【分析】在BC上截取BG2，证明△BCF和BEG全等，得到CFEG，则DECFDEEGDG，由

此得出最小值．本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是将DECF转化为

DEEG，根据三角形三边关系，得出最小值．

【详解】解：在BC上截取BG2，连接EG，DG，

∵正方形ABCD边长为4，以B为圆心，AB为半径画弧∴ABBECB4，

BCBE

∵F是BE中点，BF2BG，在△BCF和BEG中，CBFEBG，

BFBG

BCF≌BEG(SAS)，CFEG，DECFDEEGDG，

CD4，CG2，DGCD2CG225，DECF的最小值为25，故答案为：25．

5．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，若Rt△ABC中，ACB90，B30，AC23，P是BC

边上一动点，连接AP，把线段AP绕点A逆时针旋转60到线段AQ，连接CQ，则线段CQ的最小值为（）

A．1B．3C．D．23

【答案】C3

【分析】此题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和