2025年中考数学一轮知识梳理难点与解题模型10平行线中的常见的四种“拐角”模型（原卷版）

难点与解题模型10平行线中的常见的四种“拐角”模型

题型一：“猪蹄”模型（含“锯齿”模型）

题型二：“铅笔”模型

题型三：“鸡翅”模型

题型四：“骨折模型”

题型一：“猪蹄”模型（含“锯齿”模型）

一、“猪蹄”模型

猪蹄模型的基本特征：一组平行线，中间有一个点，分别与平行线上的点构成“猪蹄”。

猪蹄模型（又名燕尾模型、M字模型）

步骤总结

步骤一：过猪蹄（拐点）作平行线

步骤二：借助平行线的性质找相等或互补的角

步骤三：推导出角的数量关系

模型结论：∠B＋∠D＝∠DEB．

二、锯齿模型

已知图示结论（性质）证明方法

AB∥DE∠B+∠E=∠C

遇拐点做平行

线（方法不唯

一）

AB∥DE∠B+∠M+∠E=∠C+∠N

a∥b所有朝左角之和等于所有朝右角的和

【中考母题学方法】

【典例1-1】（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，直线AB∥CD，将一个含60角的直角三角尺EGF按图中

方式放置，点E在AB上，边GF、EF分别交CD于点H、K，若BEF64，则GHC等于（）．

A．44B．34C．24D．14

【典例1-2】（2020·湖南·中考真题）如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（）

A．70°B．65°C．35°D．5°

【典例1-3】（2024•茌平区一模）如图，AB∥EF，C90，则，，的关系是（）

A．90B．90

C．180D．

【典例1-4】（2024·河南南阳·模拟预测）传统文化如同一颗璀璨的明珠，熠熠生辉，为增强学生体质，同时

让学生感受中国传统文化，某校将国家非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图①是某同学“抖

空竹”时的一个瞬间，小红同学把它抽象成数学问题：如图②，已知AB∥CD，AEC131，BAE57，

则DCE的度数为（）

A．64B．65C．74D．75

【典例1-5】（2023·北京西城·统考一模）下面是解答一道几何题时两种添加辅助线的方法，选择其中一种，

完成证明．

已知：如图，．

求证：𝐴∥𝐶

∠𝐴�=∠�+∠�

方法二

方法一

证明：如图，延长，交于点F．

𝐴𝐶

证明：如图，过点E作

𝑀∥𝐴

【中考模拟即学即练】

【变式1-1】（2024·辽宁·模拟预测）汽车前照灯的反射镜具有抛物线的形状，它们是抛物面(如图)，明亮的

光束是由位于抛物线反射镜焦点F上的光源产生的，此时光线沿着与抛物线的对称轴AB平行的方向射出，

若FCD40，FGH70，则光线FC与FG形成的CFG的度数为（）

A．90B．100C．110D．120

【变式1-2】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，AB∥CD，OBOD，若ABO36，则ODC的度数为

（）

A．36B．54C．D．

【变式1-3】（2024·甘肃·模拟预测）如图1，是我7国2具°有自主知识产权、1用0于8°探索宇宙的单口径球面射电望

远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中EG为竖直方向的馈源（反

射面），入射波AO经过三次反射后沿OA水平射出，且OA∥OA，已知入射波AO与法线的夹角135，

则AOF（）

A．70B．60C．45D．35

【变式1-4】（2024·云南昆明·模拟预测）如图，已知a∥b，若AB与BC的夹角为105，155，则2的

度数为（）

A．105B．125C．130D．150

【变式1-5】（2024·江苏常州·一模）如图，直线ab，点A在直线a上，点C在直线b上，ABBC，若144，

则2．

【变式1-6】问题情境：如图1，已知∥，．求的度数．

𝐴𝐶∠𝐴�=108°∠�𝐴+∠�𝐶

经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE∥AB，根据平行线有关性质，可得

．∠�𝐴+∠�𝐶=360°−

∠问�题��迁=移2：52如°图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，，．

(1)当点P在A、B两点之间运动时，、、之间∠�有�何�数=量∠�关系∠？��请�说=明∠�理由．

(2)如果点P在A、B两点外侧运动时（∠点𝐴P�与点∠�A、∠B�、O三点不重合），请你直接写出、、之间

的数量关系．∠𝐴�∠�∠�

(3)问题拓展：如图4，∥，是一条折线段，依据此图所含信息，把你

所发现的结论，用简洁�的�数1学�式�子�表�达1−为�1−�2−⋯−��−1−�．�

题型二：“铅笔”模型

从猪蹄模型可以看出，点E是凹进去了，如果点E是凸出来，如下图：

那么，像这样的模型，我们就称为铅笔头模型。

模型结论：∠B+∠E+∠D=360°

【中考母题学方法】

【典例2-1】（崇川区校级三模）如图，已知AB∥CD，∠A＝140°，∠E=120°，则∠C的度数是（）

A．80°B．100°C．120°D．140°

【典例2-2】（2024春•启东市校级月考）如图，直线a∥b，∠1＝28°，则∠3＝度，∠3+∠4+∠5＝

度．

【典例2-3】请在横线上填上合适的内容．

（1）如图（1）已知AB//CD，则BDBED．

解：过点E作直线EF//AB．

∴FEB（）．（）

∵AB//CD，EF//AB，

∴（）//（）．（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行）

∴FED（）．（）．

∴BDBEFFED．

∴BDBED．

（2）如图②，如果AB//CD，则BBEDD（）

【典例2-4】如图，已知AB∥CD．

（1）如图1所示，∠1+∠2＝；

（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝；并写出求解过程．

（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝；

（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝．

【中考模拟即学即练】

【变式2-1】（江苏模拟）如图，是赛车跑道的一段示意图，其中AB∥DE，测得∠B=140°，∠D＝120°，

则∠C的度数为（）

A．120°B．100°C．140°D．90°

【变式2-2】问题情境：如图1，，，，求的度数．

𝐴∥𝐶∠�𝐴=130°∠�𝐶=120°∠𝐴�

思路点拨：

小明的思路是：如图2，过P作，通过平行线性质，可分别求出、的度数，从而可求出

的度数；��∥𝐴∠𝐴�∠𝐴�∠𝐴�

小丽的思路是：如图3，连接，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出的度数；

小芳的思路是：如图4，延长�交�的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的∠�相��关知识可求出

的度数．𝐴��∠𝐴�

问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的的度数为°；

问题迁移：∠𝐴�

（1）如图5，，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，，．、

、之间�有�何∥�数�量关系？请说��明理由；∠𝐶�=∠�∠�𝐴=∠�∠𝐴�

∠（�2）∠在�（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写

出、、间的数量关系．

∠𝐴�∠�∠�

【变式2-3】（1）如图1，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3＝______．（直接写出结果）

（2）如图2，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝_____．（直接写出结果）

（3）如图3，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝_______．（直接写出结果）

（4）如图4，l1∥l2，求∠A1+∠A2+…+∠An＝_______．（直接写出结果）

题型三：“鸡翅”模型

已知图示结论（性质）

AB∥DE∠1=∠2+∠3

AB∥DE∠1+∠3-∠2=180°

【中考母题学方法】

【典例3-1】（2024·广东深圳·模拟预测）抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一．明代

《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间

流行的历史至少在600年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：

AB∥CD，BAE94，DCE122，则E的度数为（）

A．28B．38C．18D．25

【典例3-2】AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点．

（1）如图1，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；

（2）如图2，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；

（3）如图3，点E在射线BA上，过点E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，点G在直线CD上，作∠BEG

的平分线EH交PC于点H，若∠APC＝30°，∠PAB＝140°，求∠PEH的度数．

【典例3-3】（2023·重庆大渡口·统考模拟预测）在数学课上老师提出了如下问题：

如图，，当与满足什么关系时，?

小明认为∠�=160°∠�时∠�，他解答这个问��题∥的�思�路和步骤如下，请根据小明的思路完成下面的作．

图．与填．空．∠：�−∠�=20°��∥��

解：用直尺和圆规，在的右侧找一点M，使（只保留作图痕迹）．

��∠���=∠�

∵，

∴①∠�_�_�__=__∠_�______

∵

∴∠�−∠�②𝐴_=__2_0_°____，

∵∠���=，°

∴∠�=160°③__________，

∴④∠�_+__∠_�__�_�__=____°

∴．

所以��满∥足��的关系为：当时，．

∠�−∠�=20°��∥��

【中考模拟即学即练】

【变式3-1】如图，若AB//CD，则∠1+∠3-∠2的度数为

【变式3-2】问题探究：

如下面四个图形中，ABCD．

（1）分．别．说出图1、图2、图3、图4中，∠1与∠2、∠3三者之间的关系．

（2）请你从中任．选．一．个．加以说明理由．

解决问题：

（3）如图5所示的是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出两束光线OB、OC经灯碗反射后平

行射出．如果∠ABO=57°，∠DCO=44°，那么∠BOC=_______°．

【变式3-3】已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．

（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；

（2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为．

1

（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度数．

2

题型四：“骨折模型”

模型结论：∠E=∠B-∠D

【中考母题学方法】

【典例4-1】（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，