抛物线性质应用归类-高考数学一轮复习热点题型专项训练

专题9-4抛物线性质应用归类

目录

【题型一】抛物线定义..................................................................2

【题型二】焦半径1：坐标公式..........................................................4

【题型三】焦半径2：极坐标公式转化....................................................4

112

-----1-----——

【题型四】焦点弦1：1必1|FB|P........................................................................................................5

【题型五】焦点弦2：中位线型..........................................................6

【题型六】焦点弦3：焦点定比值........................................................7

【题型七】抛物线切线..................................................................8

【题型八】最值范围1:线段型最值......................................................8

【题型九】最值范围2：面积型最值......................................................9

【题型十】抛物线与圆.................................................................10

【题型十一】抛物线与椭圆.............................................................10

【题型十二】抛物线与双曲线...........................................................11

二、真题再现..........................................................................12

三、模拟检测..........................................................................13

结束..............................................................

综述

1.抛物线有关知识：

(1)抛物线定义：|Pfl=|PM，点厂不在直线/上，于

(2)抛物线的标准方程与几何性质

y2=2px(p>0)y2=—2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=~2py(p>0)

标准方程

P的几何意义：焦点尸到准线/的距离

y

1

g~~7

图形£7

顶点0(0,0)

对称轴y=0x=0

焦点嚷,0）«0)(f)

离心率e-二1

一

准线方程x=-2%2y=-2y=2

范围xWO,y£Ry20,x£RyWO,x£R

开口方向向右向左向上向下

3.抛物线产=2.3>0）焦点弦A3,设AQi，州）、Bg,m），A3的中点E,准线为/.

⑴焦半径问题：

①焦半径：\AF\=\AD\=X1+^,\BF\^\BC\^X2+^（随焦点位置变动而改变）；

②焦点弦：|4引=为+尤2+。=悬（其中，a为直线A8的倾斜角）；③器+其可=京

IAF\=—P—\BF\=—2—

焦半径公式得：l-COS。，1+COS0,

（2）4、8两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即了1%2=9，yry2=-p2（随焦点动而变）；

（3）其他结论：①&0.=点=（其中，a为直线AB的倾斜角）；②以AB为直径的圆必与准线相切于点H.

热点题型归纳

【题型一】抛物线定义

【典例分析】

已知耳。=1,2,3,…,2023）是抛物线C:V=2x上的点，歹是抛物线C的焦点，若丽+而+…+乙小b=6,

则I\F+P^F+.：+P^F=

【提分秘籍】

基本规律

抛物线定义

(1)抛物线定义：|PF|=|PM，点厂不在直线/上，于

(2)抛物线的标准方程与几何性质

【变式演练】

L.如果心?，…，4是抛物线C：V=4%上的点，它们的横坐标依次为修，叼，…，％!，F是抛物线C的焦点,

若Xi+x2+-+xn=20,则田/|+内?1+-+\PnF\=

A.n+10B.n+20C.2n+10D.2n+20

2.我们知道，二次函数〉=62+版+。的图象是抛物线，有同学发现经过抛物线这一节的学习，结合函数

图象平移的性质可求出该抛物线的焦点坐标.则二次函数y=2/-16x+31的图象的焦点坐标为()

A.国B."c4T.H]

D

3..曲线C:x=J-y+i6y_i5上存在两点AB到直线y=-：到距离等于到歹的距离，则

|AF|+|BF|=()

A.12B.13C.14D.15

【题型二】焦半径1:坐标公式

【典例分析】

在抛物线丁=8x上有三点A,B,C,尸为其焦点，且尸为“BC的重心，则|AF|+忸尸|+|CF|=()

A.6B.8C.9D.12

【提分秘籍】

基本规律

抛物线;^=2»仍＞0)焦点弦A8,设AQi，yi)、B(x2,竺)，48的中点E,准线为/.分别做A、B在准线

上垂线垂足为C,D.

焦半径问题：①焦半径：\AF]=\AD\=Xl+^,\BF]=\BC\=X2+^(随焦点位置变动而改变)

由对称性，可得如下对称结论：

⑴焦点厂在x轴正半轴，抛物线上任意一点户(知几)，则附=%+个

(2)焦点产在x轴负半轴，抛物线上任意一点P(x0,九)，则的=-%+?；

(3)焦点歹在＞轴正半轴，抛物线上任意一点下伍,九)，则|尸石=%+个

(4)焦点厂在V轴负半轴，抛物线上任意一点户(知儿)，则|P盟=-%+g

【变式演练】

1..已知△钙C的三个顶点都在抛物线v=4x上，E为抛物线的焦点，若丽=g(荏+而)，则

\AF\+\BF\+\CF\=()

A.3B.6C.9D.12

2.已知抛物线C:/=4x的焦点为尸，点A,8是抛物线C上不同两点，且A,8中点的横坐标为2,则

\AF\+\BF\=()

A.4B.5C.6D.8

3.设点人(-〃，^(〃")在抛物线产二汽工上，尸是焦点，则寓司+|4同+…+%。同=()

A.880B.878C.876D.882

【题型三】焦半径2：极坐标公式转化

【典例分析】

已知抛物线E关于无轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（L2）在抛物线上.

（1）求该抛物线E的方程及其准线方程；

（2）直线/过抛物线E的焦点F,交该抛物线于两点，且|4户|=3|8尸求A3的长度.

【提分秘籍】

基本规律

抛物线/=2px⑦>0）焦点为F,焦点弦AB,设A（xi，a）、8（尤2,刃），结合极坐标知识中的圆锥曲线同

一方程，可得焦半径如下简洁公式：

\AF\=—2—IBF\=—2—

焦半径公式：l-COS。，1+COS。，

【变式演练】

7T

1.若过抛物线产=》的焦点厂的直线/交抛物线于A、8两点，且直线/的倾斜角。之；，点A在X轴上方，

4

则|用|的取值范围是.

2.如图，过抛物线;y2=2px（°>0）的焦点E作两条互相垂直的弦AB、CD,若△Ab与VBDR面积之和的

最小值为32,则抛物线的方程为.

-----1-----——

【题型四】焦点弦1：P

【典例分析】

已知抛物线V=2px（P是正常数）上有两点4（百,%）,8（%,%）,焦点产,

甲：

乙：必必=-"

丙：OAOB=——p2-

4

T：去+高=2以上是“直线经过焦点尸'的充要条件有几个（）

\FA\\FB\p

A.0B.1C.2D.3

【提分秘籍】

基本规律

抛物线V=2p无⑦>0）焦点弦AB,设A（xi，%）、8（X2,>2），AB的中点E,准线为/.

112

焦半径：而+的=/

焦点弦：|A8|=xi+x2+p=^^^（其中，a为直线AB的倾斜角）

【变式演练】

1.已知抛物线C：丁=2/（。>0）的焦点厂到其准线的距离为2,圆跖（尤-iy+y'1,过尸的直线/

与抛物线C和圆/从上到下依次交于A,P,Q,8四点，则|"|+13a的最小值为.

2.如图，已知抛物线V=4x的焦点为/，直线/过尸且依次交抛物线及圆（尤-1）2+丁=；于点

A、B、C、D四点，则9|/R|+4|C。的最小值为.

3.如图所示，已知抛物线0:丁=2°芯过点（2,4）,圆C2：/+y2-4x+3=0.过圆心C?的直线/与抛物线G

和圆分别交于P，Q，MN,则|RW|+4|QN|的最小值为（）

A.23B.42C.12D.13

【题型五】焦点弦2：中位线型

【典例分析】

设抛物线V=4x的焦点为尸，过产的直线/交抛物线于A,B两点，过的中点”作V轴的垂线与抛物线

在第一象限内交于点尸，若归同=于则直线/的方程为.

【提分秘籍】

基本规律

抛物线丁=2/。>0）焦点弦A3,设4（方，力）、8（X2,m），的中点E,准线为/.

①焦半径：\AF]=\AD\=xi+^,\BF]^\BC\^X2+^（随焦点位置变动而改变）；

②焦点弦：|45|=制+&+。=羔（其中，a为直线的倾斜角）；

【变式演练】

1.（多选）已知抛物线V=2px（。>0）的焦点厂到准线的距离为4，直线/过点尸且与抛物线交于A&,乂），

副吃,％）两点，若”（人2）是线段的中点，则（）

A.p=4B.抛物线的方程为=16x

C.直线/的方程为y=2x-4D.|AB|=10

2..抛物线丁=29（2>0）的焦点为F,已知点A,B为抛物线上的两个动点，且满足NAFB=6O。.

\MN\

过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN,垂足为N,则匕，的最大值为__________.

\AB\

3.过抛物线丁=8%的焦点作直线交抛物线于点人（石,y）,B{x2,y2）,若%+々=6,则线段AB的中

点M到抛物线准线的距离为.

【题型六】焦点弦3：焦点定比值

【典例分析】

已知抛物线C：y2=2px（p>0）,过焦点尸的直线交抛物线C于A,2两点，且线段的长是焦半径|AP|

长的3倍，则直线AB的斜率为.

【提分秘籍】

基本规律

过抛物线的焦点的弦与对称轴的夹角为a且衣=AFB,cos0=\—|

FAB4+1

2D

4均=xi+》2+P=sin2a

【变式演练】

1.已知倾斜角为60。的直线/过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点尸，且与C交于A3两点(点A在第一象

限)，若|AF|=3,则忸同=.

若M是抛物线V=4x上一点，?是抛物线的焦点，以人为始边、9为终边的角NxRW=60。，则

2.

\MF\=.

3.过抛物线y2=px,(0>0)的焦点5作直线1,交抛物线于A,B两点，若|E4|=3|FB|,则直线I的倾斜

角等于.

【题型七】抛物线切线

【典例分析】

过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点.

【提分秘籍】

基本规律

抛物线切线有如下结论与性质：

1.过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点.

3.点户伍,为)是抛物线三=2冲(mwO)上一点，则抛物线过点尸的切线方程是：xox=m(yo+y).

【变式演练】

1.己知3)是抛物线c：x2=2py(p>0)上一点，且位于第一象限，点M到抛物线C的焦点厂的距离

为4,过点P(4,2)向抛物线C作两条切线，切点分别为A,B,则赤.丽=()

A.-1B.1C.16D.-12

2.过点P作抛物线C:/=2y的切线4,切点分别为“,N,若APMN的重心坐标为(1,1),且尸在抛

物线上，则。的焦点坐标为()

【题型八】最值范围1：线段型最值

【典例分析】

已知点44,4)在抛物线丫2=以上，尸是抛物线的焦点，点P为直线x=-l上的动点，我们可以通过找对

称点的方法求解两条线段之和的最小值，则|叫+|尸耳的最小值为()

A.8B.2如C.2+A/41D.而

【提分秘籍】

基本规律

抛物线线段型最值，可转化为：

1.利用定义和焦半径公式，把到焦点距离转化为到准线距离，或者把到准线距离转化为到焦点距离

2.设抛物线上点坐标，结合题意构造距离函数式求范围最值

【变式演练】

1..抛物线E:/=4y与圆M:f+(y-l)2=16交于A、B两点，圆心M(O,1),点尸为劣弧.上不同于A、B的

一个动点，平行于>轴的直线PN交抛物线于点N,则AP肱V的周长的取值范围是

A.(6,12)B.(8,10)C.(6,10)D.(8,12)

2.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为/,A、B是抛物线上的两个动点，且满足尸3=].设线

段AB的中点M在/上的投影为N,则\丹MN的\最大值是

\AB\

3.已知过抛物线C:y2=4x的焦点尸且倾斜角为60。的直线交C于A,8两点，。为AB的中点，P为C上

一点，贝『尸尸1+1尸0的最小值为()

o5

A.—B.—C.8D.5

33

【题型九】最值范围2：面积型最值

【典例分析】

已知抛物线C：V=8x,点P为抛物线上任意一点，过点尸向圆Y+y2-4x+3=0作切线，切点分

别为A,B,则四边形刃3的面积的最小值为()_

A.1B.2C.6D.75

【变式演练】

1.已知厂为抛物线”=方的焦点，点A,3在该抛物线上且位于无轴的两侧，加.加=2(其中。为坐标原

点)，贝必A3。与AAF。面积之和的最小值是.

2.已知尸是抛物线尸=x的焦点，点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OAOB=2（其中。为坐标

原点），则A4BO与AAFO面积之和的最小值是（）

一拒

CD.V10

3.已知F为抛物线4V=》的焦点，点A,8都是抛物线上的点且位于x轴的两侧,若OA.OB=15（0为原点）,

则AABO和AAFO的面积之和的最小值为（）

A.晅B.6

>----------

【题型十】抛物线与圆

【典例分析】

在平面直角坐标系xOy中，若抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点为尸,直线尸3与抛物线C交于A,8两点，1

AF\=4,圆E为的外接圆，直线0M与圆E切于点跖点N在圆E上，则丽.西的取值范围是（）

B.[-3,21]D.[3,27]

【提分秘籍】

基本规律

抛物线与圆的综合题型，多从以下几方面入手：

1.圆外一点与圆上一点距离，多转化为与圆心的距离

2.抛物线上点与焦点（或者准线）距离，多转化为与准线（或焦点）的距离。

3.利用圆的方程与抛物线的方程，可以设点坐标计算。

【变式演练】

M2

1.已知抛物线-y=2PMp>°）的准线与圆E：/+V-6x+4y-3=0只有一个公共点，设A是抛物线M

LILU1ULIL1

上一点，F为抛物线的焦点，若=（。为坐标原点），则点A的坐标是（）

A.（-1,2）或（-1,一2）B.（1,2）或（1,-2）

C.（1,2）D.（1,-2）

2..抛物线y2=4x的焦点为厂，其准线与X轴的交点为N,过点F做直线与此抛物线交于A,8两点，若

NB±AB,则|AF|—忸尸|=（）

A.3B.4C.5D.6

PM2

3.已知点“（0,4）,点p在抛物线尤上运动，点。在圆尤2+（卜2）2=1上运动，则兀的最小值为（）

【题型十一】抛物线与桶圆

【典例分析】

22

已知抛物线f=2PMp>0)的焦点厂是椭圆为+==1(。>b>0)的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相

ab

交于A、8两点，若AE4B是正三角形，则椭圆的离心率为

A"B-Tcf

D-T

【变式演练】

221C

1.已知椭圆5+方=l(a>b>0)的半焦距为c(c>0),左焦点为F,右顶点为A,抛物线V=](a+c)x

与椭圆交于B,C两点，若四边形钻尸C是菱形，则椭圆的离心率是()

2.已知点A是抛物线d=8y的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上.在△抬8中,

sinZPAB=msinZPBA(meR),当相取最小值时，点尸恰好在以A,2为焦点的椭圆上，则椭圆的离心

率为•

-V=l(a>Z?>0)的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，过点M(-'，!)且斜率为；

3.已知椭圆C:

部+铲22z

的直线交椭圆C于A,3两点，若M是线段48的中点，则椭圆C的方程为

【题型十二】抛物线与双曲线

【典例分析】

22

已知双曲线5-方=1S>0)的右焦点到其一条渐近线的距离等于0,抛物线J2=2px(p>0)的焦点与

双曲线的右焦点重合，则抛物线上一动点M到直线乙：4x-3y+8=。和4:x=-3的距离之和的最小值为

()

1114~1621

A.—B.—C.—D.—

5555

【变式演练】

1.已知点尸为抛物线y2=4x的焦点，A(-l,0),点M为抛物线上一动点，当犒最小时，点M恰好在以

4尸为焦点的双曲线C上，则双曲线C的渐近线斜率的平方是()

A.^i1B.2+2&C.3+2若D.2^~1

24

22

2.已知双曲线C:=l(a>0,b>0)的左，右焦点分别为£,耳，抛物线y2=2px(p>0)与双曲线C有

ab

相同的焦点.设P为抛物线与双曲线c的一个交点，且sin/PK^=¥，则双曲线C的离心率为

A.V2或6B.应或3C.2或gD.2或3

/J

3.已知抛物线G：/=2/(°>0)的焦点尸恰好是双曲线G•晨一至>°)的右焦点，且G与C?

的交点的连线过点尸，设双曲线的渐近线的斜率为左,则尸的值为.

福建省龙岩市2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题

真题再现

1.（2007•全国•高考真题（理））焦点在（-1,。），顶点在。,0）的抛物线方程是（）

A.y2=8（x+l）B.y2=-8（x+l）C.y2=8（x-l）D./=-8（x-l）

2.（辽宁•高考真题（文））已知尸为抛物线产=》的焦点，43是该抛物线上的两点，质耳+忸同=3,则

线段AB的中点到V轴的距离为

1、丫2

3.（•山东•高考真题（文））抛物线G：J=-x.（p＞0）的焦点与双曲线C2：二-y2=l的右焦点的连线

-P3

交Cl于第一象限的点M,若C］在点”处的切线平行于C：的一条渐近线，则〃=

小叵22/34后

A.16B.SC.3D.3

4.（海南•高考真题（理））已知点P在抛物线＞2=4尤上，那么点P到点。（2,-1）的距离与点P到抛物线焦

点距离之和取得最小值时，点P的坐标为

11

A.（-,-1）B.（-,1）C.（1,2）D.（1,-2）

22

5.（•浙江・高考真题（理））若椭圆会+方=1（。＞方＞0）的左、右焦点分别为月、F2,线段月层被抛物线

/=2法的焦点分成5:3的两段，则此椭圆的离心率为（）

A3B4折c4275

A.LJ.---------------.LJ.---

171755

6.（全国•高考真题（文））如果抛物线的准线方程是尤=一3,那么这条抛物线的焦点坐标是

（）

A.（3,0）B.（2,0）C.（1,0）D.（-1,0）

22

2

7.（湖北•高考真题（理））双曲线G：4-r=1（。＞01＞0）的左准线为/，左焦点和右焦点分别为月和工；

ab

抛物线c?的准线为/,焦点为F?；。与C?的一个交点为则照一照等于（）

A.—1B.1C.—D.-

22

8.（山东•高考真题（文））已知抛物线y2=2px（p＞0）,过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于AB两

点，若线段43的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为

A.x=lB.x=—1

C.x=2D.x=—2

9.（湖北•高考真题（文））将两个顶点在抛物线y2=2px（p>0）上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角

形个数记为n,则（）

A.n=0B.n=lC.n=2D.n>3

10.（2021.全国•高考真题）已知。为坐标原点，抛物线C：丫2=2/（。>0）的焦点为厂，P为C上一点,

我与X轴垂直，。为X轴上一点，且尸。，。尸，若忸。|=6,则C的准线方程为.

11.（2017•天津•高考真题（文））设抛物线：/=4x的焦点为R准线为/.已知点C在/上，以C为圆心的

圆与y轴的正半轴相切于点A若NfAC=120。，则圆的方程为.

12.（2018•全国•高考真题（理））已知点和抛物线C：y2=4x,过C的焦点且斜率为左的直线与C

交于A,B两点.若NWB=90。，则左=.

"模拟检测

1.已知抛物线c：y=2/（。>0）的焦点为F,抛物线上的任意一点P到焦点F的距离比到直线x=-2的

距离少过焦点尸的直线4与抛物线C交于A,B两点,直线A。，8。与直线4：y=x-3分别相交于M,

N两点，。为坐标原点，若|MN|=24,则直线乙的斜率为（）

A.1或—B.1或2C.—或2