上海市青浦某中学2024-2025学年高二年级上册期末质量检测数学试卷

上海市青浦高级中学2024-2025学年高二上学期期末质量检测

数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、填空题

1.直线、=底-3的倾斜角为.

2.为了考察某区1万名高一年级学生数学知识与能力测试的成绩，从中抽取50本试卷，每

本试卷30份，那么样本容量是.

3.已知向量。=(无,0,3),S=(l,j,2),aVb>则》=.

4.a,b,c三个数成等比数列，其中a=7+46,c=7-46,贝同=

5.甲、乙两人各进行1次射击，如果两人击中目标的概率分别为0.8和0.4,则其中恰有1

人击中目标的概率是.

6.如果圆锥的底面圆半径为1,母线长为2,则该圆锥的侧面积为.

7.已知直线乙：ax+3y-l=0与直线2x+(a-l)y+l=0平行，贝！J。=.

8.在空间直角坐标系中，点出2,0,0)为平面a外一点，点2(0,1,1)为平面a内一点.若平面

夕的一个法向量为(14,-2),则点A到平面a的距离是.

9.若将两个半径为1的铁球熔化后铸成一个球，则该球的表面积为.

10.某车间的质检员利用随机数表对生产的60个零件进行抽样测试，先将60个零件进行编

号，编号分别为01，02,60,从中选取5个个体组成样本，下面提供随机数表的第1

行到第2行：

6667403714640571110565099586687683203790

5716031163149084452175738805905223594310

若从表中第1行第7列开始向右依次读取数据，则得到的第5个样本编号是.

11.定义两个相交平面夹角为两个平面所组成的四个二面角的最小值.已知平面a与4所成

的角为80。，尸为见£外一定点，过点P的一条直线与巴£所成的角都是30。，则这样的直

线有.

12.已知正四面体/BCD的边长为1,尸是空间一点，^PA2+PB2+PC2+PD2=^,则尸”的

最小值为.

试卷第1页，共4页

二、单选题

13.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样

本的中位数、众数分别是（）

125

20233

3124489

455577889

50011479

6178

A.45,45B.45,46

C.46,45D.47,45

14.空间中有两个不同的平面尸和两条不同的直线在〃，则下列说法中正确的是（）

A.若。_L/?,m_L_L/7,则加_L〃B.若a_L尸，冽_La,机_L〃，则〃_L〃

C.若a///?,mlla,〃//尸，则加〃〃D.若a//£,mlla,mlIn,则加///?

15.已知等差数列｛%｝前"项和为S0，%+%+%=3,则使S“取得最大值时"

的值为（）

A.4B.5C.6D.7

16.已知点。在V48c确定的平面内，。是平面4BC外任意一点，满足

_,_.__,.21

CD=2OC-xOA-yOB,且x>0,>>0,贝巾一+一的最小值为（）

xy

A.-+—B.|+V2C.-+—D.3+2V2

42242

三、解答题

17.已知圆C的圆心为（2,1）,若圆C经过直线点x-y+l=0,/2：2x+y+2=0的交点.

（1）求圆C的标准方程；

⑵直线/：丘-k2=0与圆C交于跖N两点，且|MV|=2«,求直线/的方程.

18.为加强学生睡眠监测督导，学校对高中三个年级学生的日均睡眠时间进行调查.根据分

层随机抽样法，学校在高一、高二和高三年级中共抽取了100名学生的日均睡眠时间作为样

本，其中高一35人，高二33人.已知该校高三年级一共512人.

试卷第2页，共4页

(1)学校高中三个年级一共有多少个学生？

(2)若抽取100名学生的样本极差为2,数据如下表所示(其中x<10,〃是正整数)

日均睡眠时间(小时)X8.599.510

学生数量n3213114

求该样本的第40百分位数.

19.如图，已知点尸在圆柱。。1的底面圆。上，ZAOP=120°,圆O的直径|/同=4,圆柱

的高|。勾=3.

(1)求圆柱的表面积与体积；

(2)求直线4P与N5所成的角.

20.如图，已知4(6,66),S(0,0),C(12,0),直线/：(左+6)x—y-2左=0.

(1)证明直线/经过某一定点，并求此定点坐标;

(2)若直线/等分V/3C的面积，求直线/的一般式方程;

(3)若尸(2,2石)，李老师站在点P用激光笔照出一束光线，依次由BC(反射点为K)、AC(反

射点为/)反射后，光斑落在P点，求入射光线尸K的直线方程.

21.如图1,在边长为4的菱形中，/。/8=60。，点N分别是边8C,CD的中

点，AC[\BD=Oi,AC[\MN=G.沿MV将△CMN翻折到△2；肉的位置，连接为，PB,

PD,得到如图2所示的五棱锥P-ABMND.

试卷第3页，共4页

(1)在翻折过程中是否总有平面PBD，平面R4G?证明你的结论；

(2)当四棱锥P-MNDB体积最大时，求直线PB和平面MNDB所成角的正弦值；

(3)在(2)的条件下，在线段以上是否存在一点0,使得二面角。-九W-P的平面角的余

弦值为叵？若存在，试确定点0的位置；若不存在，请说明理由.

试卷第4页，共4页

《上海市青浦高级中学2024-2025学年高二上学期期末质量检测数学试卷》参考答案

题号13141516

答案CABB

71

1.607-

3

【分析】首先得到直线的斜率，即可求出倾斜角.

【详解】直线y=3的斜率为百，设倾斜角为々，贝iJtana=g,

又0。4a<180。，所以a=60。，故直线y=氐—3的倾斜角为60。.

故答案为：60°

2.1500

【分析】直接利用样本容量的定义分析，即可求解.

【详解】因为从抽取50本试卷，每本试卷30份，

所以样本容量为50x30=1500份.

故答案为：1500

3.-6

【分析】根据向量垂直的数量积表示求解.

【详解】因为向量"=(x,0,3),5=(1,y,2),aiS，

所以。,b=x+0+6=0，解得x——6，

故答案为：-6

4.±1

【分析】利用等比中项的性质求b即可.

【详解】由题设〃=℃=(7+46)(7-46)=49-48=1,则6=±1,

当6=-1时，数列的公比为46-7;当6=1时，数列的公比为7+4石.

所以6=±1.

故答案为：±1

14

5.0.56/—

25

【分析】根据题意，分别求甲击中目标，乙没有击中目标和甲没有击中目标，乙击中目标的

概率，再求和即可.

答案第1页，共12页

【详解】因为两人击中目标的概率分别为0.8和0.4,

所以，甲击中目标，乙没有击中目标的概率为0.8x0.6=0.48；

甲没有击中目标，乙击中目标的概率为02x0.4=0.08,

所以,恰有1人击中目标的概率是0.48+0.08=0.56

故答案为：0.56

6.2兀

【分析】由圆锥的侧面积公式即可求解.

【详解】由圆锥的侧面积公式S=—=—x(27ir)xT?=—x27ixlx2=2TI.

22v72

故答案为：2兀

7.3

【分析】根据两直线4：4%+用＞+。]=0，，2：4、+与歹+。2=0平行的充要条件：

A{B2-A2BY=0且AG—与。1w0即可求解.

【详解】因为〃〃2,由两直线平行的充要条件可得，

QX(4-1)-2X3=0且3x1-(q-l)x(-l)w0,

解得4=3.

故答案为；3

8.”屈

22

【分析】根据条件，利用点到面的距离的向量法，即可求出结果.

【详解】由题知重=(-2,1,1),又平面0的一个法向量为万=(1,1,-2),

所以点A到平面a的距离为d=f[=也，

\n\V1+1+42

故答案为：好.

2

9.4-^471

【分析】根据熔化前后体积不变可求出熔化后所得球的半径长，再利用球体的表面积公式可

得结果.

4TT47r

【详解】设熔化后铸成球的半径为天，贝|2x三xF=£x*,可得R=急.

答案第2页，共12页

所以，球的表面积为S=4球2=4兀x(啦y=4而兀.

故答案为：4^471.

10.09

【分析】由随机数表法直接求解即可.

【详解】从随机数表第1行的第7列数字开始由左向右每次连续读取2个数字，删除超出范

围及重复的编号，

符合条件的前5个编号是37,14,05,11,09,所以选出来的第5个样本编号为09.

故答案为：09.

11.4

【分析】过点P作平面/O8垂直于平面生力的交线/,并且交直线/于点O,连接。尸，则

OP11,过点尸在平面NO8内作的平分线期，以为轴在夕-/-6的角平分面内

转动04,根据题意可得出有两条直线满足题意；以O尸为轴在平面/。夕内前后转动。鸟，

根据题意可得出有两条直线满足题意，综合可得结果.

【详解】解：首先给出下面两个结论：

①两条平行线与同一个平面所成的角相等；

②与二面角的两个面成等角的直线在二面角的平分面内或平行于角平分面.

(1)如图1,过二面角&-/-£内任一点作棱/的垂面402,交棱/于点。，

与两半平面交于。4。3，

因为/_1_平面/OB,平面所以。4_L/,OB_U,

则/N08为二面角的平面角，则=80。，

设为2/O2的平分线，则乙4。4=4。3=40。，

。耳与平面a,/7所成的角都是40。，此时过点尸且与。4平行的直线符合要求，

当以。为定点，在二面角0-/-£的平分面上转动时，。耳与两平面的夹角会变小，

会对称地出现两条符合成30。的情形；

此时过点尸且与平行的直线符合条件，有2条，

答案第3页，共12页

a

图2

贝！］/苧加=/6。/=50°,。鸟与平面见尸所成的角都是50。，

当。与以。为定点，在二面角夕的平分面上转动时,

与两平面夹角变小，对称地在图2中OR的两侧会出现30。的情形，有两条，

此时，过点尸且与平行的直线符合要求，有两条.

综上所述，符合条件的直线有4条.

故答案为：4.

12.国

6

【分析】先求出正四面体N8CZ）的内切球半径和外接球半径，再利用向量的线性运算进行转

化，从而可求得结论.

【详解】设。是正四面体4BC。内切球的球心，正四面体48co的内切球半径为「，外接

球半径为R,

如图，将正四面体/BCD置于正方体中，正四面体的外接球即为正方体的外接球，正方体的

体对角线为球的直径，

答案第4页，共12页

因为正四面体/2C。的边长为1,所以正方体的棱长为辛，正方体对角线长为

®旦巫=2R,故R旦

224

(万丫1(万丫C-

正四面体的体积昨——4XLL4=注

I2J32I2J12

从而正四面体的高h满足：1x1/7=1=%=1

34123

将正四面体/BCD分割成以球心。为顶点，以正四面体的四个面为底面的四个相同的三

棱锥，

它们的底面与正四面体的底面相同，高为内切球的半径r,故r=-h=^~.

412

而外接球可以利用R+r=〃,R=~h,解得R=t.

44

故正四面体/BCD的内切球半径为逅，正四面体N8C。的外接球半径为"，则

124

PA?+PB2+PC2+PD2=PA+PB2+PC2+RD2

=(PG+O4)2+(PO+OB)2+(PO+OC)2+(PO+O5)2

=4力+2珂方+砺+发+而)+4凉

又因为为+砺+反+历=6，所以而(况+砺+1+而)=所-6=0,

(/7>2a5

22222尸。

PA+PB+PC+PD=4PO+0+4—4=424

IJ23

即尸O="，

12

所以P是正四面体ABCD内切球上一点，故PA的最小值为OA-PA=叵土显.

4126

故答案为：逅.

6

【点睛】关键点睛：找出正四面体N5C。的内切球半径和外接球半径是关键，

答案第5页，共12页

PA2+PB-+PC1+PD2用向量法转换为4丽2+2PO[OA+OB+OC+OD^+AOA是难点，本

题主要考查多面体的内切球和外切球的问题，考查空间想象能力，属于较难题.

13.C

【分析】直接根据茎叶图知识求出中位数和众数即可.

【详解】根据题意，有30个数据，所以中位数为排序后第15和16个数的平均值：

经手=46,众数为出现最多的数，为45.

2

故选：C.

14.A

【分析】根据面面垂直的性质结合线线以及线面的位置关系可判断AB；根据面面平行的性

质结合线线以及线面的位置关系可判断CD；

【详解】对于A,若则加//£或加u£,

又〃，当〃z//£时，在£内必存在直线/和加平行，则机；

当时，显然有“J■加，所以加_1_〃，故A正确；

对于B,若a_L/?,〃?_La,则用//6或由机_L〃，则”与夕斜交、垂直、平行均有可

能，故B错误；

对于C,若夕///，mlla,则机///?或机u£,由〃〃尸，则加与”相交、平行、异面均有

可能，故C错误；

对于D,若。〃£,mlla,则加//£或加u尸，又加〃“，则〃//£或故D错误.

故选：A.

15.B

【分析】由等差数列的通项公式、前“项和公式列方程组求得可和公差"，写出前〃项和，

由二次函数性质得结论.

【详解】设等差数列｛%,｝公差为d,由%+。5+%=3,%=11

则%-2d+/+%+2d=3%=3,%=1，

%=%+4d=1

・•・｛c-11x107「，

S]1=11%H---------d=-11

、2

解得q=9,d=-2,

答案第6页，共12页

2

Sn=9几+及（；l）x（-2）=-n+10〃=一（〃一5）2+25,

・••当〃=5时，Sn取得最大值.

故选：B.

16.B

【分析】由四点共面可知、+>=2,结合基本不等式的乘力”法即可求解.

【详解】CD=C0+0D=2OC-xdA-y0B^0D=^0C-xdA-y0B,

因为°四点共面，所以3_=l=x+y=2,

、、土穴武八11=21（2+y3y_IT3q

注思至>0A,j>0,从而—I—=1——--=—HH——>—+2./—=—+V2.

xyyxyJ22x2y2V22

当且仅当x=4-2亚/=272-2时等号成立，

所以一2+一1的最小值为3：+也「.

xy2

故选：B.

17.(l)(x-2)2+(y-l)2=10

(2)5x-12y-24=0

【分析】(1)求出交点坐标，进而得到半径，得到圆的标准方程;

(2)由垂径定理得到圆心(2,1)到直线h-〉-2=0的距离，利用点到直线距离公式求出答

案.

x-y+1=0

【详解】(1)联立,解得

2x+y+2=0

故半径为J(2+]『+(]_0)2=屈,

故圆C的标准方程为(尤-2)2+(y-l『=10；

(2)设圆心(2,1)到直线丘-y-2=0的距离为心

则由垂径定理得|AGV|=2，10-废=276，

解得d=2,即L,匕2,解得后==，

+12

答案第7页，共12页

故直线/的方程为卷》一>一2=0,即5x-12y-24=0.

18.（1）1600

（2）8.25小时

【分析】（1）根据分层抽样，按比例抽取即可得到答案.

（2）根据极差可得x=8,再结合学生总数量为100,可求出〃=40,再根据求第。百分位数

的方法即可求得.

【详解】（1）设学校高中三个年级一共有N个学生，

因为采用分层抽样法抽取一个容量为100的样本，

在高一年级抽取了35人，高二年级抽取了33人，

所以高三抽取的人数为：100-35-33=32人，

又因为高三年级一共512人，所以有：羌32=詈100，解得N=1600.

所以学校高中三个年级一共有1600个学生.

（2）因为抽取100名学生的样本极差为2,x<10,

所以10-x=2nx=8,77=100-32-13-11-4-40.

又因为100x0.4=40,

o_|_o5

所以样本的第40百分位数为：与三=8.25（小时）.

2

19.⑴表面积20兀,体积12兀；

eV21

（2）arccos---•

7

【分析】（1）直接根据圆柱的表面积与体积公式计算可得；

（2）首先求出H?忸尸I，再根据圆柱的性质可得4与4尸所成角即为44与4尸所成角，

连接尸瓦，利用勾股定理求出卢蜀，户耳|，再利用余弦定理计算可得.

【详解】（1）因为是圆。的直径，则|。用=2,

圆柱的表面积S=27tx|OB『+兀*|/2,|/4|=271X2?+71x4x3=2071,

圆柱的体积匕=3x兀x2?=12兀；

（2）因为用，所以NB与4P所成角即为4月与4P所成角，

连结尸乌，因为43是圆。的直径，所以/P1P8,

答案第8页，共12页

因为N/。尸=120°,

所以NR4P=30。,NABP=60。，又因为|。同=|。刊=曰/同=2,

所以忸尸|=2,|/尸|=2』,

则户4卜7M2+IMI2=亚,।尸团=小尸3「+|明「=底,

忸4「+|/闻2一忸团2=后

cos/尸/4二

2x|尸43/同7

即直线4P与.所成的角为a-I1

20.（1）证明见解析，定点坐标为（2,2君）;

(2)V3x+17>>-36V3=0；

(3)2x+V3y-10=0.

【分析】（1）整理得到©x-2）+（亚-y）=0,从而得到方程组，求出定点坐标；

1O

（2）求出定点尸（2,26）在直线上，且［4〃|=8,由S“MO=5S“BC得到|40=/月。=9，

设出。（%,%）,由向量比例关系得到。点坐标，得到直线方程；

（3）作出辅助线，确定尸关于8c和NC的对称点邛，£,得到与乌=与，由对称性得

kpL手,写成直线方程.

【详解】（1）直线/:（4+百）尤一y—24=0可化为左（x-2）+（亚一＞）=0,

x=2

解得厂，故直线/经过的定点坐标为（2,2百）;

、y=273

(2)因为4(6,6百)，5(0,0),C(12,0),所以|AB|=|NCRBC|=12,

由题意得直线AB方程为y=&,

答案第9页，共12页

故直线/经过的定点A/(2,2g)在直线48上，所以|.|="6-2)2+(66-26『=8,

设直线/与/c交于点。，所以

叫

设。(x。,%),所以即(x0-6,%—6A^)=j6,—6,

所以%=半，所以羊)’

将。点坐标代入直线/的方程，解得左=一电1,

所以直线/的方程为岳+17了-36>/5=0；

(3)设尸关于5c的对称点片(2,-26)，关于NC的对称点鸟(加，〃)，

直线NC的方程为言行=］二万，即了=-行(苫-12),

Pi

CX

11-26

直线NC的方程为歹=-百(x-12),所以

解得加=14,"=,所以4(14,6j§),

由题意得片,K,/,鸟四点共线，kg=当，由对称性得乐K=-孚，

答案第10页，共12页

所以入射光线尸K的直线方程为、-2百=-乎(x-2),

即2x+V3^-10=0.

21.(1)总有平面PAD_L平面切G；证明见解析

⑵噜

(3)存在；。为线段为的中点.

【分析】(1)通过证明AD_L平面P/G来证得平面尸8D_L平面为G.

(2)首项判断出PG_L平面MNDB时，四棱锥P-MNDB体积最大,作出直线PB和平面MNDB

所成角，解三角形求得其正弦值.

⑶建立空间直角坐标系，设而=29(0=41),根据二面角。-肪V-P的余弦值求得

A,由此确定。点的位置.

【详解】(1)在翻折过程中总有平面PAD，平面出G,

证明如下：：点M,N分别是边BC,CD的中点，

又因为菱形中/D/8=60。，...△EW是等边三角形，

：G是血W的中点，J.MNVPG,

:菱形/8CO的对角线互相垂直，L/C,：.MNVAC,

：ACcPG=G,NCu平面F4G,尸Gu平面F4G,

.•.TW_L平面为G,；