苏科版九年级数学下册 第8章 统计和概率的简单应用（知识归纳+题型突破）（解析版）

第八章统计和概率的简单应用

（知识归纳+题型突破）

课标要求

1、会用扇形统计图、条形统计图、折线统计图表示数据、综合计算数据。

2、在具体情境下，能计算比较出概率的大小与公平性。

3、能对数据进行合理的整理描述分析，对事件概率用树状图和列表法进行描述。

基础知识归纳

知识点1中位数

将一组数据按照大小顺序排列，若数据的个数是奇数，则处于最中间位置的那个数据就是该组数据的中位

数；若数据的个数是偶数，则处于最中间位置的两个数据的平均数就是该组数据的中位数。一组数据的中

位数是唯一的。

中位数也是反映一组数据的集中趋势的量，有时我们更关注的是该组数据的中位数，因为中位数不受极端

值的影响。

知识点2众数

一般地，一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。

一组数据中的众数可能不止一个，众数是反映一组数据的“多数水平”的数据代表。

知识点3极差

一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围，我们就把这样的数据叫做极差。

一般来说，极差越小，则说明数据的波动幅度越小。

知识点4方差的定义与计算

各个数据与它们的平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差，记作s2.

设有一组数据X1，X2，X3，Xn，其平均数为元，则$2-5）2+（羽一元）2+…+（x“一无y]

n

知识点5标准差的定义与计算

方差的算术平方根叫做一组数据的标准差，记作s.

)22)2

s=用=y—[(%1-X+(x2-x)+•••+(xn-X].

Vn

知识点6概率的计算公式

一般地，如果一个试验有n个等可能的结果，当其中的m个结果之一出现时，事件A发生，那么事件A发

生的概率为P(A尸,，其中m为事件A发生可能出现的结果数，n为一次试验所有等可能出现的结果数。

n

题型一样本条形统计图扇形统计图

【例1】我市有A，B,C,D,E五个景区很受游客喜爱，一旅行社对某小区居民在暑假期间去以上五个景

区旅游(只选一个景区)的意向做了一次随机调查统计，并根据这个统计结果制作了如下两幅不完整的统

计图：

8o

7o

6O

5O

4O

3O

2O

1O

O

(1)该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是________人，机=

(2)若该小区有居民1200人，试估计去B地旅游的居民约有多少人？

(3)小军同学已去过E地旅游，暑假期间计划与父母从A,B,C,。四个景区中，任选两个去旅游，求选到

A,C两个景区的概率.(要求画树状图或列表求概率)

【答案】(1)200；35

(2)420人

【分析】(1)用想去。景区的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再计算想去B景区的百分比得

到机的值；

(2)用1200乘以2区所占比值可估计该景区旅游的居民大约人数；

(3)画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出选到A,C两个景区的结果数，然后根据概率公式计算.

【详解】(1)解：该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是20+10%=200(人)，

70

777%=——x100%=35%,

200

••in—35；

(2)估计去8地旅游的居民约有1200x35%=420(人)；

(3)画树状图如下：

开始

ABCD

/\/K/4\/K

BCDACDABDABC

由树状图知，共有12种等可能结果，其中选到A,C两个景区的有2种结果，所以选到A,C两个景区的

概率为J-

12O

【例2】为了解学生手机使用情况，某学校开展了“手机伴我健康行”的主题活动，学校随机抽取部分学生进

行“使用手机目的”和“每周使用手机的时间”问卷调查(问卷中的问题均为单项选择)，并绘制扇形统计图和

请根据以上信息，解答下列问题：

(1)在这次活动中被调查的学生共人；所抽取的学生使用手机时间的中位数落在________范围内(填

写时间段即可)；

(2)直接补全条形统计图；

(3)该校有学生4800人，请估算每周使用手机时间超过2小时的人数.

【答案】⑴100,2至3

(2)图见解析

(3)3120

【分析】(1)通过扇形统计图求出“玩游戏”对应的百分比，用“玩游戏”的人数除以其所占的百分比可得本次

调查的学生人数，在根据中位数的定义即可求解；

(2)求出每周使用手机的时间在3小时以上的学生人数，再补全条形统计图即可；

(3)由每周使用手机时间在2小时以上的百分比乘以4800即可得到结果.

【详解】(1)解：“玩游戏”对应的百分比为1-40%-18%-7%=35%,

在这次调查中，一共抽取的学生人数为35+35%=100(名).

所抽取的100名学生使用手机时间的中位数为第50,51名同学的平均数，

即：所抽取的学生使用手机时间的中位数落在2至3小时范围内，

故答案为：100,2至3；

(3)估计每周使用手机时间在2小时以上的人数约为：4800x—而一=3120人，

答：每周使用手机时间超过2小时的人数约为3120人.

巩固训练

1.某盒子中装有6张黑色卡片和若干张白色卡片，它们除颜色外其余都相同.某班级为估计盒子中白色卡

片的张数，分15个组进行摸卡片试验.每一组做300次试验，汇总后，摸到白色卡片的次数为1500次.

(1)估计从盒子中任意摸出一张卡片，恰好是白色卡片的概率.

(2)请你估计这个盒子中白色卡片接近多少张.

【答案】(l)g

(2)3张

【分析】(1)根据概率公式即可得到结论;

(2)根据题意列式计算即可.

【详解】(1)解：尸=段/:，

15x3003

答：恰好是白色卡片的概率为:；

(2)解：总的张数：6+11-.=9(张)，

白色卡片的张数：9-6=3(张)，

答：白色卡片的张数接近3张.

2.为了落实新课改精神，许多学校都开设了“知识拓展类”、“体艺特长类”、“实践活动类”三类拓展性课程，

某校为了解在周二第六节开设的“体艺特长类”中各门课程学生的参与情况，随机调查了部分学生作为样本进

行统计，绘制了如图所示的统计图(部分信息未给出)

某校部分学生“体艺特长类”课程参与情况扇形统计图

某校部分学生“体艺特长类”课程参与情况条形统计图

(类别)

A.球类

B.动漫类

C.舞蹈类

D.音乐类

E.棋类

根据图中信息，解答下列问题：

(1)求被调查学生的总人数；

(2)若该校有200名学生参加了“体艺特长类”中的各门课程，请估计参加棋类的学生人数;

(3)根据调查结果，请你给学校提一条合理化建议.

【答案】⑴40人

(2)40人

(3)见解析

【分析】(1)根据“总体=样本容量+所占比例''即可得出结论；

(2)根据“样本容量=总体x所占比例”可求出参加C舞蹈类的学生人数，再由总体减去其他各样本容量算

出参加E棋类的学生人数，求出其所占总体的比例，再根据比例关系即可得出结论；

(3)根据条形统计图的特点，找出一条建议即可.

【详解】(1)解：12+30%=40人，

二.被调查学生的总人数为40人；

(2)解：样本中参加舞蹈类课程的人数为40xl0%=4人,

.•.样本中参加棋类课程的人数为40-12-10-4-6=8人，

Q

，估计参加棋类的学生人数为200x±=40人；

40

(3)解：因为参加A球类的学生人数最多，故建议学校增加球类课时量，希望学校多开展拓展性课程等.

3.某校开展“垃圾分类，绿色生活”主题宣传活动.为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校环保社团

成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进

行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图.

四个等级频率分布表

等级频数频率

优秀21a%

良好bm0/o

合格612%

待合格3n%

四个等级条形统计图

八21

20-7

15-

。6

plII.Inn__>

优秀良好合格不合格等级

(1)本次调查随机抽取了名学生；表中n=

(2)补全条形统计图；

(3)若全校有1500名学生，请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”等级的学生的人数.

【答案】⑴50,6

(2)见解析

(3)630人

【分析】(1)根据等级频率分布表中合格的信息即可求解;

(2)根据题意算出样本的数量即可补全统计图；

(3)根据样本百分比估算总体的计算方法即可求解.

【详解】(1)解：根据题意，6-4-12%=50,

3

/.n%=—xl00%=6%,即〃=6,

故答案为：50,6.

(2)解：根据题意得，6=50—(21+6+3)=20,

.••良好的人数为20人，补全条形统计图如图所示；

该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”等级的学生约有630人.

题型二平均数中位数众数方差

【例3】某小区共有200户居民，从中随机抽取5户，每户月均用水量如下：(单位：吨)8,10,10,13,

14.由此估计这200户居民每月共用水约为吨.

【答案】2200

【分析】用小区200户家庭乘以随机抽取的用户的平均月用水量即可.

【详解】解：(8+10+10+13+14)4-5x200

=55+5x200

=2200（吨）,

故答案为:2200.

【例4】吴师傅从鱼塘中捕得同时放养的草鱼500尾，从中任选10尾，称得每尾鱼的质量(单位：kg)分

别为2.5,2.6,2.4,2.6,2.3,2.4,2.2,2.7,2.8,2.5,则这500尾草鱼的总质量大约是kg.

【答案】1250

【分析】用总数量乘以样本的平均质量即可.

【详解】解：估计这500尾的总质量大约为：

…2.5+2.6+2.4+2.6+2.3+2.4+2.2+2.7+2.8+2.5，…八、

500x---------------------------------------------------------=1250(kg),

故答案为：1250.

【例5】为了解某小区居民使用共享单车次数的情况，某研究小组随机采访了该小区的10名居民，得到这

10名居民一周内使用共享单车的次数统计表如下：

使用次数05101620

人数11341

(1)这10位居民一周内使用共享单车次数的中位数是次，众数是次；

(2)若小明同学把数据“20”看成了“30”，那么中位数、方差和平均数中不受影响的是(填“中位数”“方

差”或“平均数”)；

(3)该小区有2000名居民，试估计该小区居民一周内使用共享单车的总次数.

【答案】(1)13,16

⑵中位数

(3)23800次

【分析】(1)根据众数、中位数分别求解可得；

(2)由中位数不受极端值影响可得答案；

(3)先求出平均数，用总人数乘以样本中居民的平均使用次数即可得.

【详解】(1)解：这10位居民一周内使用共享单车次数的中位数是吟笆=13(次),

众数为16次，

故答案为：13,16；

(2)把数据“20”看成了“30”，

那么中位数，方差和平均数中不受影响的是中位数和众数，

故答案为：中位数.

0x1+5x1+10x3+16x4+20x1119

(3).••样本的平均数为:

1+1+3+4+1I6-

估计该小区居民一周内使用共享单车的总次数为2000X*=23800次.

【例6】在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式S2_(2f)+(3一行+(3->

n

则下列说法错误的是()

A.样本的方差是2B.样本的中位数是3

C.样本的众数是3D.样本的平均数是3

【答案】A

【分析】先根据方差的计算公式得出样本数据，样本平均数，方差，再根据中位数与众数的定义逐项判断

即可得.

【详解】解：由方差的计算公式得：这组样本数据为2,3,3,4,

2+3+3+4

.•.样本的平均数是=3,故D正确，不符合题意；

4

,(2-XV+(3-X)2+(3-X)2+(4-X)2

s1=-----------------------------------------

n

_(2-3)2+(3-3)2+(3-3)2+(4-3>

一4

=9,故A错误，符合题意；

样本的中位数是受=3,故B正确，不符合题意;

样本的众数是3,故C正确，不符合题意；

故选：A.

巩固训练

4.小红家今年有苹果树100棵，现进入收获期，收获时先随意采摘5棵树上的苹果，称得每棵树上的苹果

质量(单位：千克)如下：50,49,51,52,48,估计今年小红家一共可收获苹果千克.

【答案】5000

【分析】先计算平均数，用样本的平均数估算总体的平均数，进而即可求解.

50+49+51+52+48

【详解】解：依题意，平均每棵树上的苹果质量为=50千克

估计今年小红家一共可收获苹果100x50=5000千克，

故答案为：5000.

5.国庆长假期间，兴趣小组随机采访了10位到高邮的游客使用“街兔”共享电动车的次数，得到了这10位游

客1天内使用“街兔”共享电动车的次数，统计如下：

使用次数02346

人数14122

(1)这10位游客1天内使用“街兔”共享电动车的次数的众数是次，中位数是次，平

均数是'次.

(2)若国庆长假期间，每天约有1200位游客到高邮，试估计这些游客7天国庆长假期间使用“街兔”共享电动

车的总次数.

【答案】⑴2,2.5,3.1

(2)26040

【分析】(1)根据中位数、众数和平均数的定义求解即可；

(2)用总人数乘以游客1天内使用“街兔”共享电动车的次数的平均数，再乘以总天数即可.

【详解】(1)解：这10位游客1天内使用“街兔”共享电动车的次数的中位数是矍=2.5,众数是2,平均

数是,(0xl+2x4+3xl+4x2+6x2)=3.1

故答案为：2,2.5,3.1.

(2)估计这些游客7天国庆长假期间使用“街兔”共享电动车的总次数为1200x3.1x7=26040(次)

6.若一组数据2,3,4,5,6的方差是S：,另一组数据H,12,13,14,15的方差是S；,则S：

(填〈”或

【答案】=

【分析】先计算两组数据的平均数，再计算两组数据的方差比较即可.

【详解】解：：玉=：(2+3+4+5+6)=4,%=:(11+12+13+14+15)=13,

1[(6-4)2+(2-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2]=2,=[(11-13)2+(12-13)2

+(13-13)2+(14-13)2+(15-13)2]=2,

•o2_c<2

••iJi—J2,

故答案为：=.

7.杭州亚运会开设了“射击比赛”项目，甲、乙两个射击队都想代表国家参赛，为选拔一个比较好的队伍,

组织了一次选拔赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表：

甲组789710109101010

乙组10879810109109

(1)甲队的平均成绩是.

(2)计算乙队的平均成绩和方差.

(3)已知甲队成绩的方差是1.4,哪个队的成绩更稳定？

【答案】⑴9

(2)9；1

(3)乙队成绩更稳定

【分析】(1)根据平均数的计算公式进行计算即可；

(2)先求出乙组的平均成绩，再根据方差公式进行计算；

(3)先比较出甲组和乙组的方差，再根据方差的意义即可得出答案；

【详解】(1)解：甲队的平均成绩是，x(7+8+9+7+9+10x5)=9(分).

故答案为：9.

(2)乙队的平均成绩是：，x(10x4+8x2+7+9x3)=9(分)，

2222

则方差是：^X[4X(10-9)+2X(8-9)+(7-9)+3X(9-9)]=1;

(3)•••甲队成绩的方差是1.4,乙队成绩的方差是1,

六乙队成绩更稳定；

题型三由频率估计概率

【例7】一个不透明的箱子里装有机个球，其中红球3个，这些球除颜色不同外其余都相同，每次搅拌均匀

后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验发现，摸到红球的频率稳定在0.3附近，则可以估算

出m的值为()

A.3B.7C.10D.12

【答案】C

【分析】用红球的个数除以红球频率的稳定值即可.

【详解】解：由题意知，加的值约为3+0.3=10,

故选：C.

【例8】一个不透明的盒子中装有红、黄两种颜色的小球共10个，它们除颜色外其他都相同.小明多次摸

球后记录并放回小球重复试验，发现摸到红色小球的频率稳定在0.4左右，由此可知盒子中黄色小球的个数

可能是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入

手，设袋中有黄色乒乓球尤个，列出方程求解即可.

【详解】解：设袋中有黄色乒乓球无个，

由题意得7丁=0.4,

解得：x=6.

故选：D.

【例9】昆明是我国有名的花城，它四季如春，比较适合各种花卉的生长条件，成了养殖花卉的名城，某林

业部门为了考察某种花的种子在一定条件下的发芽率，做了大量的种子发芽实验，得到如下的一组统计数

据：

实验种子数量（颗）10050010001500200030004000

发芽种子数量（颗）653466971051139621012808

种子发芽的频率0.650.6920.6970.7010.6980.7000.702

估计该种子在此条件下发芽的概率是（）（结果精确到0.1）

A.0.6B.0.7C.0.69D.0.70

【答案】B

【分析】在大量重复试验下，利用频率估计概率即可解答.

【详解】解：：随着种子数量的增多，其发芽的频率逐渐稳定在0.7左右，

••・估计该种子在此条件下发芽的概率是Q7,

故选：B.

巩固训练

8.罚球是篮球比赛中得分的一个组成部分，罚球命中率的高低对篮球比赛的结果影响很大.下图是对某球

A.当罚球次数是500时，该球员命中次数是411,所以“罚球命中”的概率是0.822

B.随着罚球次数的增加，“罚球命中”的频率总在0.812附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该球

员“罚球命中”的概率是0.812

C.由于该球员“罚球命中”的频率的平均值是0.809,所以“罚球命中”的概率是0.809

D.若让该球员再进行1000次的罚球训练，命中的个数可能会超过812次

【答案】BD

【分析】根据图形和各个小题的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题.

【详解】解：当罚球次数是500时，该球员命中次数是411,所以此时“罚球命中”的频率是：411^500=0.822,

但“罚球命中”的概率不一定是0.822,故A错误，不合题意；

随着罚球次数的增加，“罚球命中”的频率总在0.812附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该球员“罚球

命中”的概率是0.812.故B正确，符合题意；

虽然该球员“罚球命中”的频率的平均值是Q809,但是“罚球命中”的概率不是0.809,故C错误，不合题意.

若让该球员再进行1000次的罚球训练，命中的个数可能会超过812次，故D正确，符合题意.

故选BD.

9.对1000件某品牌毛衣进行抽检，统计合格毛衣的件数.在相同条件下，经过大量的重复抽检，发现一

件合格毛衣的频率稳定在Q95,则这1000件毛衣中合格的件数大约是一件.

【答案】950

【分析】用总件数乘以合格毛衣的频率即可得出答案.

【详解】解：1000x0.95=950（件），

故答案为：950.

10.在一个不透明的袋子中有50个除颜色外均相同的小球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约

为38%,估计袋中白球有个.

【答案】19

【分析】用袋中球的总个数乘以摸到白球的频率，据此可得.

【详解】解：估计袋中白球有50x38%=19个，

故答案为：19.

题型四游戏的公平问题

【例10】在一个不透明的盒子中放入三个红色小球和四个白色小球，每个小球上写有一个数字.其中，红

色小球上的数字分别是1,2,3,白色小球上的数字分别是1,2,3,4,这些小球除颜色和数字外，其余

完全相同.

（1）从盒子中任意摸出一个小球，求摸出小球上的数字小于3的概率；

（2）现将四个白色小球取出后，放入另外一个不透明的盒子内，此时，小明和小亮做游戏，他俩约定游戏

规则：从这两个盒子中各随机摸出一个小球，若小球上的数字之和为奇数，则小明获胜；若和为偶数，则

小亮获胜，请用列表或画树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平.

4

【答案】（1）（2）树状图见解析，这个游戏规则对双方公平.

【分析】（1）根据概率公式计算即可；

（2）先利用树状图法展示所有可能的结果数，再求出小明和小亮获胜的概率，然后通过比较概率的大小判

断游戏规则对双方是否公平.

【详解】解：（1）根据题意可得：盒子中共有7个球，其中有4个小于3,

4

故摸出小球上的数字小于3的概率为：P＜数学小于3）—y;

（2）画树状图为：

开始

/1\/N/N/4\

123123123123

共有12种等可能的结果，小球上的数字之和为奇数的结果数为6,

••・小明获胜的概率为：P（小明获胜）—~'小亮获胜的概率为：P（小亮获胜）

..£_1

•2-2,

这个游戏规则对双方公平.

【例11】小明的爸爸拿回一张电影票，儿子小明和妹妹小利都想去看电影，于是爸爸给他们出了一个主意，

方法是：从印有1,2,3,4,5,4,6,7的8张扑克牌中任取一张，抽到比4大的牌，则小明去看电影,

否则小利去看电影.

（1）你认为爸爸这个方法是否合理？请用概率的知识解释原因.

（2）若使方法公平，你认为该如何修改这个方法？

【答案】（1）不合理，见解析；（2）见解析

【分析】（1）根据概率的求法进行判断即可；

（2）根据概率的求法修改成概率一样的情况即可；

【详解】⑴：比4大的牌有5,6,7,

/.P（抽到大于4的）=-.

O

•••不大于4的牌有1,2,3,4,4,

/.P（抽到不大于4的）=:，

O

•••9>3,

88

,这个方法不合理；

（2）改成抽到大于4的牌和抽到小于4的牌；

:比4大的牌有5,6,7,

•••P（大于4的牌）=/

O

:小于4的牌有1,2,3,

.••P（小于4的牌）

O

..3_3

"8-8'

.•.此时是公平的；

【例12］甲、乙两位同学只有一张《金刚川》的电影票，谁都想去，最后商定通过抽卡片的游戏决定.游

戏规则：将正面分别写有“我”、“爱”、“实”、“验”的四张卡片（注：这四张卡片的形状、大小、质地、颜色

等方面完全相同，若背面向上放在桌面上，看上去无任何差别）洗匀后，背面向上放在桌面上.从中随机

抽取两张卡片，若卡片上的字能组合成“我爱”或“实验”，则甲去；否则乙去.

（1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，写出所有抽出的卡片的所有可能出现的结果；

（2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由.

【答案】（1）列表见详解，共有6种结果；（2）不公平，理由见详解.

【分析】（1）从列表中可得所有可能出现的结果共有6种；

（2）从（1）知，甲去的概率为§,而乙去的概率为:，即可判断结果.

【详解】（1）用号码1,2,3,4分别表示“我”、“爱”、“实”、“验”，从中随机抽取两张卡片，列表如下:

1234

1。，2）0,3)。，4）

2（2」）（2,3）（2,4）

3（3」）（3,2）。，4）

4（4」）（4,2）（4,3）

则抽出的卡片的所有可能出现的结果为（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,3）,（2,4）,（3,4）共有6种;

12

（2）从（1）知，甲去的概率为:，而乙去的概率为（，所以这个游戏不公平.

巩固训练

11.甲、乙两位同学做一个抽卡片游戏，游戏规则如下：在大小和形状完全相同的4张卡片上分别标上字2、

3、4、5,将这4张卡片放入一个不透明盒子中搅匀，参与者每次从中随机抽取一张卡片，记录数字，然后

将卡片放回搅匀.

（1）甲随机抽取卡片16次，其中6次抽取标有数字3的卡片，求这16次中抽取标有数字3的卡片的频率；

（2）甲、乙两位同学各抽取卡片一次，若取出的两张卡片数字之和为3的倍数，则甲胜；若取出的两张卡

片数字之和不为3的倍数，则乙胜.用画树状图或列表的方法说明这个游戏规则对双方是否公平.

【答案】（1）J;（2）不公平，见解析.

O

【分析】（1）根据频率=频数+样本容量，计算即可；

（2）画树状图，计算甲获胜的概率是邑，乙获胜的概率是3，比较两者概率的大小，判断即可.

1616

【详解】（1）16次中抽取标有数字3的卡片的频率为：-1=|；

168

（2）规则不公平，理由如下：

画树状图，如下：

两数之和有16个结果：4,5,6,7,5,6,7,8,6,7,8,9,7,8,9,10,其中，是3的倍数

的和有6,6,6,9,9,5个，二甲获胜的概率是盘，乙获胜的概率是U，两个概率不相等，,这个游

1616

戏的规则是不公平的.

12.有2个信封，每个信封内各装有四张卡片，其中一个信封内的四张卡片上分别写有1,2,3,4四个数

字，另一个信封内的四张卡片分别写有5,6,7,8四个数字.甲乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两

个信封中各随机抽取一张卡片，然后把卡片上的两个数相乘，如果得到的积大于20,则甲获胜；否则乙获

胜.

（1）请你通过列举法求甲获胜的概率；

（2）你认为这个游戏公平吗？如果不公平，那么得到的两数之积大于多少时才能公平？

【答案】（1）三；（2）不公平，得到的积大于15能保证公平

【分析】（1）通过列表法求解即可；

（2）分别求出々甲）与々乙）的值，根据々甲八々乙）是否相等判断公平性，然后根据表格确定出公平时满足的条

件即可.

【详解】解：（1）利用列表法得出所有可能的结果，如下表：

1234

55101520

66121824

77142128

88162432

由上表可知，该游戏所有可能的结果共16种，

其中两卡片上的数字之积大于20的有5种，

，甲获胜的概率为为二；

10

（2）•.•甲获胜的概率串二，乙获胜的概率与T，格位，

1010

这个游戏对双方不公平；

•.•从表格中可知，积大于15的共计有8种情况，

Q11

.••甲获胜的概率为辱=彳，乙获胜的概率2=彳，为=与，

1622

•••将规则改为“如果得到的积大于15,则甲获胜；否则乙获胜”能保证公平.

题型五列表法或树状图法求概率

【例13】袋中装有编号为1,2,3的三个质地均匀、大小相同的球，从中随机取出一球记下编号（不放回）,

再从袋中随机取出第二个球，两次所取球的编号的和是偶数的概率为（）

1115

----

A.9B.63D.9

【答案】c

【分析】列表法求概率即可.

【详解】解：由题意，列表如下:

123

134

235

345

共6种等可能的结果，其中和为偶数的情况有2种,

故选c.

【例14］周末小明一家想到丹霞山、老厂竹海、坡上草原中的一处旅游，小颖一家想去丹霞山、坡上草原

中的一处旅游，则两家恰好选择同一处景区的概率是.

【答案】|

【分析】先用4、夙C分别表示丹霞山、老厂竹海、坡上草原，然后画出树状图，再由树状图求得所有等

可能的结果与两家恰好选择同一景点的结果，继而求得答案.

【详解】解：用A、B,C分别表示丹霞山、老厂竹海、坡上草原，

依题意，树状图如下：

共有6等可能的结果，两家恰好选择同一处景区的有2情况,

21

・••两家抽到同一景点的概率是：-=-

63

故答案为：—

巩固训练

13.小明和小亮下周日计划参加四项活动，分别是看电影（记为A）、郊游（记为B）、去图书馆（记为C）、

滑雪（记为D）,他们各自在这四项活动中任选一个，每项活动被选中的可能性相同.

（1）小明选择去郊游的概率为多少；

（2）请用树状图或列表法求小明和小亮选择是同一个活动的概率.

【答案】（1）|；（2）|

44

【分析】（1）根据概率的定义可以直接求出；

（2）用树状图或列表法列举出小明和小亮选择活动的所有可能性，根据概率的计算公式求出小明